（浙教版）九年级数学下册期末真题汇编——解答题（100题）（含解析）
文档属性
| 名称 | （浙教版）九年级数学下册期末真题汇编——解答题（100题）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 31.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-05 07:58:01 | ||
图片预览
文档简介
/ 让教学更有效 精品试卷 | 小学数学
（浙教版）九年级数学下册期末真题汇编——解答题（100题）
1．（2024·山东济南·中考真题）计算：．
2．（23-24九年级下·山东泰安·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值．
3．（23-24九年级下·湖南邵阳·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．）
(1)求索道的长（结果精确到1m）；
(2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
4．（23-24九年级下·陕西榆林·期末）如图是正方体截取一个角后的几何体，画出这个几何体的三视图．
5．（23-24九年级下·山西长治·期末）如图是用若干个相同的小正方体堆成的几何体，请回答下列问题：
(1)用粗实线在下列方格图中画出该几何体的三视图．
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加________个小正方体．
6．（23-24九年级下·贵州毕节·期末）如图是一个几何体的三种视图．
(1)这个几何体的名称是________；
(2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留）
7．（2024·广东·中考真题）如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
8．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：；
（2）计算：．
9．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）
10．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，．
(1)若，．
①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数．
②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）．
(2)在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由．
11．（23-24九年级下·黑龙江双鸭山·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值．
12．（23-24九年级下·广东梅州·期末）已知，如图，二次函数的图像与轴交于、两点．
(1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
(2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，的正弦值为，求的值．
13．（23-24九年级下·广东梅州·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值．
14．（23-24九年级下·黑龙江双鸭山·期末）已知，如图，二次函数的图像与轴交于、两点．
(1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
(2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，的正弦值为，求的值．
15．（23-24九年级下·湖南怀化·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角；②沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求坡面的水平距离和垂直距离；
(2)求山的高．
16．（23-24九年级下·陕西榆林·期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：）
17．（23-24九年级下·广东江门·期末）【综合与实践】
主题：如图，装饰圆锥形生日帽．
素材：母线，高的圆锥形生日帽，四张颜色不同（红、黄、蓝、绿）且足够大的卡纸和一条足够长的装饰彩带．
步骤1：若生日帽侧面展开所得的扇形圆心角记为，请把红、黄、蓝、绿四张卡纸依次按照该圆心角的比例剪成半径为的扇形；
步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在生日帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖生日帽外表面且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，得到四彩生日帽．
【计算与探究】
(1)计算黄色扇形卡纸的圆心角的度数；
(2)为了使所制作的生日帽更美观，需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A 的彩带进行装饰（彩带的宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
18．（23-24九年级下·山东烟台·期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为2米的木杆放在灯杆（点A处为照明灯）前0.6米处，再沿着方向移动1.8米放置另一个等长木杆．
(1)请分别画出木杆的影子（用线段表示，适当加粗）；
(2)若测得木杆影长为1.2米，求木杆的影子长度．
19．（23-24九年级下·陕西西安·期末）如图，身高的小鹏从距路灯的底部（点O）的点A处沿方向行走到达点C处，小鹏在点A处时，头顶B在路灯投影下形成的影子在点M处．
(1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小鹏在点C处时，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置；
(2)若路灯（点P）距地面，小鹏从点A走到点C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少？
20．（23-24九年级下·江苏扬州·期末）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和 ．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形．
(1)在图中画出点P，并直接写出点P的坐标；
(2)画出绕原点O逆时针旋转所得；
(3)若以（2）中旋转后所得扇形作为圆锥侧面围成一个圆锥，则所得圆锥底面半径为 ．
21．（23-24九年级下·山东青岛·期末）数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动：
(1)如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高；
(2)夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
22．（23-24九年级下·河南郑州·期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图；
(2)该几何体的表面积（含下底面）是______；
(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加____个小立方块．
23．（23-24九年级下·四川成都·期末）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、．
(1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号）
(2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段；
(3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长．
24．（23-24九年级下·四川成都·期末）周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树，垂直于地面，满树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，斜坡与水平地面所成的锐角为，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据）
(1)求点D到水平地面的距离；
(2)求树的高度（结果精确到0.1米）．
25．（23-24九年级下·山东威海·期末）（1）如图1，小丽站在同一盏路灯下B处和F处的影子分别为，请你画出路灯O的位置以及小丽站在D处在路灯O下的影子；
（2）在图2中用尺规作的内接等腰（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在图3中用尺规作的内接等边（不写作法，保留作图痕迹）．
26．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）下图是由几个相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，请分别画出该几何体从正面、左面看到的形状图．
27．（23-24九年级下·贵州毕节·期末）如图是一个立体图形从三个不同方向看所得到的形状图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积和侧面积（结果保留）．
28．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
29．（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
30．（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)写出图中一个与相等的角：______；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
31．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点．
(1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小；
(2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长．
32．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；
(2)如果，，求的半径．
33．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：与相切；
(3)若，，求的半径．
34．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
(1)求证：与半圆相切；
(2)连接．若，，求的值．
35．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
36．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
37．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
38．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中，面出四边形的一条对称轴．
(2)在图②中，画出经过点E的的切线．
39．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
40．（2024·青海·中考真题）如图，直线经过点C，且，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
41．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求扇形的面积．
42．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
43．（2024·四川·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的面积．
44．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，若，，求的长．
45．（2024·山东济宁·中考真题）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
46．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
47．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，．求的值．
49．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
50．（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
51．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
52．（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
53．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
54．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
55．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
56．（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
57．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
58．（2024·甘肃兰州·中考真题）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
59．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
60．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
61．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的面积．
62．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
63．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
64．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．
折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点．
【解决问题】
(1)当点与点重合时，求的长；
(2)设直线与直线相交于点，当时，求的长．
65．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
(1)求关于的函数表达式；
(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，）
66．（2024·江苏宿迁·中考真题）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下：①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角；②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米；③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．
…
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度，
（参考数据：）
67．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点到地面的距离；
(2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
68．（2024·内蒙古·中考真题）（1）计算：
（2）解方程：
69．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
(1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
70．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
71．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处．记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处．记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
72．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值．
73．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
74．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
75．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
76．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，）
77．（2024·西藏·中考真题）计算：．
78．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．
79．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．）
80．（23-24九年级下·山东泰安·期末）已知：如图，二次函数的图像与轴交于、两点．
(1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
(2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为的正弦值为，求的值．
81．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
(1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)路灯的高度是____________m．
(3)设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
82．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
83．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ）
(2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．
①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径．
(3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接交于点P．求证：．
②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长．
84．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
85．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
86．（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求的长；
②求的半径．
87．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
88．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若．则_______．
（2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有，连接．
（3）如图2，当与相切时，求的长度；
（4）求长度的取值范围．
89．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
90．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
(3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．
91．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
92．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．
根据以上操作，得________．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．
【深入研究】
若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
93．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？
(2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
94．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
95．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
(1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
96．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
97．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平．
第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平．
第三步，连接．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形是正方形．
乙同学的结论：．
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平．
第五步，连接交于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：．
（2）请证明这个结论．
98．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
99．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2
图③ 1 ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
100．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．
参考答案
1．6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【解析】解：原式．
2．，
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，先根据正弦的定义求出，由勾股定理得出，最后根据正切的定义计算即可得解．
【解析】解：在中，，，，
根据勾股定理得：，
∴．
3．(1)500m
(2)483m
【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题．
（1）中，利用即可求解；
（2）在中，，先求出的高长度，再加的高度即可求解．
【解析】（1）解：在中，
由题意得，
（m）；
即索道的长约为m.
（2）解：如图，延长交直线于点，易得，
在中，
由题意得，
（m）
（m）
即山顶点到水平地面的距离的长约为m.
4．见解析
【分析】此题考查了三视图的画法，正确掌握三视图之间的数量关系是解决问题的关键．主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等，即长对正，高平齐，宽相等，结合俯视图与左视图的定义画出即可．
【解析】解：如图，
5．(1)图见解析
(2)5
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键：
（1）根据三视图的画法，作图即可；
（2）根据俯视图和左视图不变，画出最多可添加的小正方体的个数和位置，进行求解即可．
【解析】（1）解：画出三视图如图所示：
（2）添加后，保持俯视图和左视图不变，则最多可添加的小正方体的个数和位置如图：
；
故答案为：5．
6．(1)圆柱
(2)
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆柱的侧面积公式．
（1）根据俯视图和左视图可以判断出该几何体是柱体，根据主视图判断为圆柱；
（2）根据圆柱的底面直径和高，再利用圆柱的侧面积公式计算即可；
【解析】（1）解：根据三视图即可得出该几何体是圆柱，
故答案为：圆柱．
（2）解：由图可知，圆柱的底面圆的直径是4，高为6，
则圆柱的侧面积为：．
∴这个几何体的侧面积为．
7．(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切．
【解析】（1）解：如图1，即为所作；
（2）证明：如图2，作于，
∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
8．（1）1；（2）．
【分析】（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．米
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可．
【解析】解：根据题意可得：，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
设，则米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
10．(1)①；②；
(2)点点同学的说法正确，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）①延长交于点，利用四边形内角和求解即可；
②，过点作，，则四边形是矩形，利用锐角三角函数分别求出，，进而得出，即可求解
（2）设，则，点到桌面的距离为，再分别计算、、时，点到桌面的距离，即可得到答案．
【解析】（1）解：①如图，延长交于点，
，
，
，
，，
，
②如图，过点作，，
则四边形是矩形，
，
在中，，
，
，，
，
在中，，
，
，
即点到桌面的最大距离为；
（2）解：点点同学的说法正确，理由如下：
设，则，
点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
点到桌面的距离先变大，后变小，
点点同学的说法正确．
11．，
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，先根据正弦的定义求出，由勾股定理得出，最后根据正切的定义计算即可得解．
【解析】解：在中，，，，
根据勾股定理得：，
∴．
12．(1)，
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合题，解直角三角形，注意掌握二次函数与一元二次方程的关系．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）令，利用因式分解法解关于x的一元二次方程即可；
（2）过点作轴，垂足为，由正弦的定义得到，设，，求出，根据，求出，得到点C的坐标，再结合点C的坐标横坐标与纵坐标之积为9，建立方程求解即可．
【解析】（1）解：在中，
令，得，
，，
，
，；
（2）解：过点作轴，垂足为，
，
设，，
，
，
，
．
点的横坐标与纵坐标之积为9，
，
（不合题意，舍去），
点在二次函数的图象上，
，
．
13．，
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在中，，．根据已知得出方程，求出，由勾股定理求出，即可求出的正切值．
【解析】解：在中，，，
根据勾股定理得：
则
14．(1)，
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合题，解直角三角形，注意掌握二次函数与一元二次方程的关系．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）令，利用因式分解法解关于x的一元二次方程即可；
（2）过点作轴，垂足为，由正弦的定义得到，设，，求出，根据，求出，得到点C的坐标，再结合点C的坐标横坐标与纵坐标之积为9，建立方程求解即可．
【解析】（1）解：在中，
令，得，
，，
，
，；
（2）解：过点作轴，垂足为，
，
设，，
，
，
，
．
点的横坐标与纵坐标之积为9，
，
（不合题意，舍去），
点在二次函数的图象上，
，
．
15．(1)坡面的水平距离和垂直距离分别是和
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及解直角三角形、矩形性质等知识，数形结合，选择恰当的三角函数列式求解是解决问题的关键．
（1）在中，由正弦函数、余弦函数定义列式求解即可得到答案；
（2）延长交于点，如图所示，由矩形性质得到相关线段长，在中，由正切函数定义列方程求解即可得到答案．
【解析】（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
16．7.7米
【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
由题意得米，米，．设米，在中，根据锐角三角函数可得米，从而得到米，然后在中，根据锐角三角函数可得米，即可求解．
【解析】解：由题意得，米，米，．
设米，
在中，，
米，
在中，，
，
解得，
经检验是原方程的根．
米，
（米），
答：电池板离地面的高度约为米．
17．(1)黄色扇形卡纸的圆心角的度数是；
(2)彩带长度的最小值为．
【分析】本题考查圆锥的计算、最短路径问题，掌握勾股定理、弧长计算公式、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数是解题的关键．
（1）在中利用勾股定理求出，由弧长公式求出n，从而求出黄色扇形卡纸的圆心角的度数；
（2）连接，过点P作的垂线，垂足为点C．根据等腰三角形的性质和三角函数求出，的长度即为所求．
【解析】（1）解：在中利用勾股定理，得，
，
解得，
．
答：黄色扇形卡纸的圆心角的度数是；
（2）解：如图，连接，过点P作的垂线，垂足为点C．
∵，，
∴，
∴．
答：彩带长度的最小值为．
18．(1)见解析
(2)4.8米
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据中心投影的性质画出图形即可；
（2）利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】（1）解：如图所示，作射线分别交直线于点G，H，则即为所求．
（2）解：由题知，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理．
∴，
∴，
解得：．
∴木杆EF的影子长度为4.8米．
19．(1)见解析
(2)变短了，身影的长度变短了
【分析】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，读懂题目信息，列出两个影长的表达式是解题关键．
（1）连接并延长，与过点且垂直于里面的直线的交点为路灯P的位置，连接并延长，与路面的交点为影子N的位置；
（2）设小鹏在A点处时身影为，C处的身影为，根据相似三角形的性质，分别求出，，即可求解．
【解析】（1）解：路灯P的位置和影子N的位置如图所示．
（2）解：变短了．
由题意可知，，，，，
设小鹏在A点处时身影为，C处的身影为，
由题意知：，
∴，即，
解得，
由题意知，
∴，即，
解得，
∴，
即小鹏从点A走到点C时，身影的长度变短了．
20．(1)见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查网格作图，熟练掌握旋转性质，圆锥的弧长计算，底面圆周长计算，位似性质，是解题的关键．
（1）对应点连线的交点P即为旋转中心；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可；
（3）设底面圆的半径为根据底面圆周长=扇形的弧长，构建方程求解．
【解析】（1）解：如图，点P即为所求，；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：设底面圆的半径为
，
由题意，
．
故答案为：．
21．(1)
(2)画图见解析，小军影子的长度变短了
【分析】本题考查了平行投影和中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可；
（2）先根据中心投影画出图形，然后证明，，根据相似三角形的性质，，即可求解．
【解析】（1）解：根据题意，知，，，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
答：路灯的高为；
（2）解：如图，
由题意，知，，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
解得，，
∵
∴小军影子的长度变短了．
22．(1)见解析
(2)
(3)3
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
（1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形进行画图即可；
（2）分别找到前后左右上下六个面中露在外面的小正方体的面的个数，再根据每个面的面积为1进行求解即可；
（3）若使该几何体俯视图和左视图不变，可在从左数第1列后排和中间一排的小正方体上分别添加1，2块小正方体．
【解析】（1）解：如图，
（2）解：表面积为，
故答案为：30；
（3）解：要使俯视图不变，可以在左边一列前排和后排添加无数个小正方体，在中间一列的后排都添上无数个正方体，在右边一列后排添加无数个小正方体，要想左视图不变，则可以在左边一列的后排添上一个正方体，中间一排添加两个小正方体，
∴要同时保证左视图和俯视图不变，则最多可以添加个小正方体，
故答案为：3．
23．(1)2，1
(2)见解析
(3)3.6米
【分析】
本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
（1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可；
（2）根据中心投影的定义画出图形；
（3）利用相似三角形的性质构建方程组求解．
【解析】
解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影．
故答案为：，；
（2）如图1中，线段即为所求；
（3）如图1，过点作于点，设米，O米．
∵，，
∴∽△，
∴，
∴①，
同法可得，
∴②，
由①②解得，
经检验是分式方程组的解，
同法可得，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解．
即的影长为米．
24．(1)2米
(2)树高7.7米
【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）过D作于H，根据含角直角三角形的性质求解即可；
（2）过H作交AB于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出，进而求解即可．
【解析】（1）解：过D作于H，
在中，，
∴（米）；
（2）解：过H作交AB于E，
∵，，
∴
∴四边形为平行四边形
∴米
在中，，
（米）
（米）
∴，即
解得
∴（米）．
答：树高7.7米．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题主要考查了中心投影，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的尺规作图，等边三角形的判定，熟知圆的相关知识以及线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键：
（1）延长二者交于点O，连接并延长交直线于G，则即为所求；
（2）在上任取一点A，连接并延长交于B，过点O作的垂线交于点C，则即为所求；
（3）在上任取一点A，连接并延长交于D，作线段的垂直平分线分别交于B、C，则即为所求．
【解析】解：（1）如图所示，点O和即为所求；
延长二者交于点O，连接并延长交直线于G，则即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
在上任取一点A，连接并延长交于B，过点O作的垂线交于点C，则即为所求；
（3）如图所示，即为所求；
在上任取一点A，连接并延长交于D，作线段的垂直平分线分别交于B、C，则即为所求；
解直角三角形可得，则，同理可得，再证明可得，则为等边三角形．
26．见解析
【分析】本题考查了几何体的三视图画法，由几何体的俯视图及小正方形中的数字，可知主视图和俯视图有几列，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字，能判断每一列有几个正方形是解答本题的关键．
根据俯视图可知，主视图有列，每列小正方形数目分别为、、，左视图有列，每列小正方形数目分别为、，据此可画出图形即可．
【解析】解：如图所示：
．
27．圆柱，体积和侧面积分别为和．
【分析】本题考查了三视图，以及圆柱的体积和侧面积公式，解题的关键在于根据三视图得到相应的立体图形．从三视图可得，正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱．由三视图可以得到圆柱的半径，长和高，进而得出体积和侧面积．
【解析】解：由三视图可知这个立体图形是圆柱．
体积为()，
侧面积为()．
28．(1)
(2)旗杆高度为；
(3)雕塑高度为．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；
（3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解．
【解析】（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
29．(1)能，见解析
(2)
【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：
（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；
（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．
【解析】（1）解：能，
理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为，
根据题意，得，
解得，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；
（2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴圆锥的体积为．
30．(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】（1）利用等边对等角可得出，即可求解；
（2）连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证；
（3）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：连接，
，
∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．
31．(1)；
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可；
（2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可．
【解析】（1）为的弦，
．得．
中，，
又，
．
直线与相切于点为的直径，
．即．
又，
．
在中，．
，
．
（2）如图，连接．
∵ 直线 与 相切于点 ，
∴
∵
∴．
，得．
在中，由，
得．
．
在中，，
．
32．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分；
（2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可．
【解析】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键．
33．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可；
（2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论；
（3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，连接，
∵，为中点，
∴，
∴过圆心，
∵，
∴，
而为半径，
∴为的切线；
（3）解：如图，过作于，连接，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设半径为，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
34．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证；
（2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案．
【解析】（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点
，平分
与半圆相切于点
由
是半圆的切线
（2）解：由（1）可知，
，
，
又，
在中，，
，
解得：
35．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可．
【解析】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于点C，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
36．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【解析】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴；
（2）由（1）知四边形为矩形，，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
即：的半径为．
37．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线；
（2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根据求出，进一步求出
【解析】（1）证明：连接，延长，交于点，连接如图，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．
38．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：
（1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求；
（2）如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求．
【解析】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求；
易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点；
（2）解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求；
易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则．
39．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证；
（2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解．
【解析】（1）证明：连接．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的切线．
（2）过点C作于点H，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在中，∵，
设半径为r，∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．
40．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．
（1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案；
（2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解．
【解析】（1）证明：连接，
∵在中，，，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
．
41．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用等边对等角，圆周角定理等可得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即，然后根据切线的判定即可得证；
（2）先利用含的直角三角形的性质求出，同时求出，进而求出，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出，，证明是等边三角形，得出，，进而求出，在中，利用余弦定义可求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
【解析】（1）证明：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又是的半径；
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
42．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解．
【解析】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴半径的长为3
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
43．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）由垂径定理的推论可知，据此即可求证；
（2）利用勾股定理求出即可求解；
【解析】（1）证明：∵为⊙O的弦，C为的中点，
由垂径定理的推论可知：，
∵，
∴，
∵为⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
44．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线；
（2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为．
【解析】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴长为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键．
45．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案；
（2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
46．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，易得，圆周角定理得到，进而得到，证明，推出，进而得到，即可得证；
（2）等角的三角函数相等，得到，证明，得到，进行求解即可．
【解析】（1）解：连接，则：，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
47．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证；
（2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案．
【解析】（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
48．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；
（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．
【解析】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
49．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可；
（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可；
（3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
在中，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得，（舍去），
故．
【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
50．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）证明，，结合，，再进一步可得结论；
（3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案；
【解析】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意；
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
51．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
52．(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键．
（1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得；
（2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到．
【解析】（1）证明：∵连接，则，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
53．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证；
（）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解．
【解析】（1）证明：连接，则，
，，
，
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键．
54．与相切，理由见解析
【分析】连接，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则，因此，然后由切线的判定即可得出结论．
【解析】解：与相切．
证明：连接．
∵，
∴．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上，
∴．
∴．
∴．
∴由，得，即．
∴与相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
55．(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可；
（2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）解∶连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵与相切于D，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解∶延长交于P，连接，此时最大，
由（1）知：，，
∴．
56．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可．
【解析】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
57．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．
（1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为的内心，
，
，
∴，
又为的直径，
，
又为的切线且为的半径，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
．
58．的长为
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案；
【解析】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为；
59．(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；
（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．
【解析】（1）解：过点A作于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．
（2）解：过点D作于点F，
设海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∴渔政船的航行时间为（小时），
答：渔政船的航行时间为小时．
60．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解．
【解析】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
在中，，
∴．
答：大桥的长度约为米．
61．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形；
（2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
62．(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的纵坐标为3．
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，即，
∵点D在反比例函数图象上，
把代入得，，
解得，
∴，
∴；
（3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：，
∵直线与函数图象交于，两点，
∴联立方程组得，，
即，
设、，
∴，
∵点P为的中点，
∴点P的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
把代入得，，
解得，
∴直线与x、y轴交于点、，
∴，，
∴，
∴，
过点O作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
63．(1)；
(2)电线塔的高度．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；
（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：电线塔的高度．
64．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．
（1）过点C作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合，
则有，设，则，再利用勾股定理即可得出．
（2）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可．
【解析】（1）解：如图1，过点C作，
则，，
∴，
∴ ，
，
当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合，
则有，
设，则，
∵
∴在中，
解得：，
故
（2）如图2，当点F在上时，如下图：
由(1)可知，
∵
∴，
设，，则 ，
根据折叠的性质可得出：，．
∵，
∴，
∵
∴在中，，
则，
解得：，
如图3，当点F在的延长线上时，
同上，
在中，
设，，， ，
在中，
，
则
解得，
则，
综上：的值为：或．
65．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）设关于的函数表达式为，将图中的点代入即可求出答案；
（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；
（3）延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案．
【解析】（1）解：设关于的函数表达式为，
将代入，
得，
解得，
；
（2）解：根据函数解析式得函数对称轴，
故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大；
（3）解：，
延长与过点作的线交于点，令，
，，
，
，
，
，
，
延长交与点，
，
，
，
，
，
．
66．73.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论．
【解析】解：由题意得，米，米，，，
在中，，
，
在中，，
，
米，
，
解得，
（米，
答：塔的高度为73.2米．
67．(1)点到地面的距离为；
(2)顶部线段的长为．
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解．
【解析】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）解：如图，过点作，垂足为
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
68．（1）；（2）
【分析】本题考查了正切、零指数幂、实数的绝对值、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握运算法则和分式方程的解法是解题关键．
（1）先计算正切、零指数幂、化简绝对值和二次根式，再计算乘法与加减法即可得；
（2）先化成整式方程，再计算一元一次方程，最后进行检验即可得．
【解析】解：（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
所以方程的解是．
69．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键．
（1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得．
【解析】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
70．（1）；（2），；（3）
【分析】（1）；
（2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果；
（3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【解析】解：（1），
，
故答案为：；
（2）、、、均与所在直线平行，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）如图，
作于，
，
，，
，
设，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
71．(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；
（2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【解析】（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
72．(1)证明见解析
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析，此时
【分析】（1）先证明得到，再由垂线的定义得到，据此证明，得到，由此即可证明四边形是平行四边形；
（2）当时，四边形是矩形，利用三角形内角和定理得到，则可证明是等边三角形，得到，进而可证明，则四边形是矩形，在中，．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
即当时，四边形是矩形，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．
73．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【解析】（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
74．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【解析】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
75．“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是
【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长．
【解析】解：过作于，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是．
76．(1)见解析
(2)5
【分析
（浙教版）九年级数学下册期末真题汇编——解答题（100题）
1．（2024·山东济南·中考真题）计算：．
2．（23-24九年级下·山东泰安·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值．
3．（23-24九年级下·湖南邵阳·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．）
(1)求索道的长（结果精确到1m）；
(2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
4．（23-24九年级下·陕西榆林·期末）如图是正方体截取一个角后的几何体，画出这个几何体的三视图．
5．（23-24九年级下·山西长治·期末）如图是用若干个相同的小正方体堆成的几何体，请回答下列问题：
(1)用粗实线在下列方格图中画出该几何体的三视图．
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加________个小正方体．
6．（23-24九年级下·贵州毕节·期末）如图是一个几何体的三种视图．
(1)这个几何体的名称是________；
(2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留）
7．（2024·广东·中考真题）如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
8．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：；
（2）计算：．
9．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）
10．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，．
(1)若，．
①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数．
②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）．
(2)在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由．
11．（23-24九年级下·黑龙江双鸭山·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值．
12．（23-24九年级下·广东梅州·期末）已知，如图，二次函数的图像与轴交于、两点．
(1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
(2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，的正弦值为，求的值．
13．（23-24九年级下·广东梅州·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值．
14．（23-24九年级下·黑龙江双鸭山·期末）已知，如图，二次函数的图像与轴交于、两点．
(1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
(2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，的正弦值为，求的值．
15．（23-24九年级下·湖南怀化·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角；②沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求坡面的水平距离和垂直距离；
(2)求山的高．
16．（23-24九年级下·陕西榆林·期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：）
17．（23-24九年级下·广东江门·期末）【综合与实践】
主题：如图，装饰圆锥形生日帽．
素材：母线，高的圆锥形生日帽，四张颜色不同（红、黄、蓝、绿）且足够大的卡纸和一条足够长的装饰彩带．
步骤1：若生日帽侧面展开所得的扇形圆心角记为，请把红、黄、蓝、绿四张卡纸依次按照该圆心角的比例剪成半径为的扇形；
步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在生日帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖生日帽外表面且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，得到四彩生日帽．
【计算与探究】
(1)计算黄色扇形卡纸的圆心角的度数；
(2)为了使所制作的生日帽更美观，需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A 的彩带进行装饰（彩带的宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
18．（23-24九年级下·山东烟台·期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为2米的木杆放在灯杆（点A处为照明灯）前0.6米处，再沿着方向移动1.8米放置另一个等长木杆．
(1)请分别画出木杆的影子（用线段表示，适当加粗）；
(2)若测得木杆影长为1.2米，求木杆的影子长度．
19．（23-24九年级下·陕西西安·期末）如图，身高的小鹏从距路灯的底部（点O）的点A处沿方向行走到达点C处，小鹏在点A处时，头顶B在路灯投影下形成的影子在点M处．
(1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小鹏在点C处时，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置；
(2)若路灯（点P）距地面，小鹏从点A走到点C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少？
20．（23-24九年级下·江苏扬州·期末）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和 ．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形．
(1)在图中画出点P，并直接写出点P的坐标；
(2)画出绕原点O逆时针旋转所得；
(3)若以（2）中旋转后所得扇形作为圆锥侧面围成一个圆锥，则所得圆锥底面半径为 ．
21．（23-24九年级下·山东青岛·期末）数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动：
(1)如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高；
(2)夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
22．（23-24九年级下·河南郑州·期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图；
(2)该几何体的表面积（含下底面）是______；
(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加____个小立方块．
23．（23-24九年级下·四川成都·期末）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、．
(1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号）
(2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段；
(3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长．
24．（23-24九年级下·四川成都·期末）周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树，垂直于地面，满树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，斜坡与水平地面所成的锐角为，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据）
(1)求点D到水平地面的距离；
(2)求树的高度（结果精确到0.1米）．
25．（23-24九年级下·山东威海·期末）（1）如图1，小丽站在同一盏路灯下B处和F处的影子分别为，请你画出路灯O的位置以及小丽站在D处在路灯O下的影子；
（2）在图2中用尺规作的内接等腰（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在图3中用尺规作的内接等边（不写作法，保留作图痕迹）．
26．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）下图是由几个相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，请分别画出该几何体从正面、左面看到的形状图．
27．（23-24九年级下·贵州毕节·期末）如图是一个立体图形从三个不同方向看所得到的形状图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积和侧面积（结果保留）．
28．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
29．（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
30．（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)写出图中一个与相等的角：______；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
31．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点．
(1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小；
(2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长．
32．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；
(2)如果，，求的半径．
33．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：与相切；
(3)若，，求的半径．
34．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
(1)求证：与半圆相切；
(2)连接．若，，求的值．
35．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
36．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
37．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
38．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中，面出四边形的一条对称轴．
(2)在图②中，画出经过点E的的切线．
39．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
40．（2024·青海·中考真题）如图，直线经过点C，且，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
41．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求扇形的面积．
42．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
43．（2024·四川·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的面积．
44．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，若，，求的长．
45．（2024·山东济宁·中考真题）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
46．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
47．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，．求的值．
49．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
50．（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
51．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
52．（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
53．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
54．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
55．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
56．（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
57．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
58．（2024·甘肃兰州·中考真题）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
59．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
60．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
61．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的面积．
62．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
63．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
64．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．
折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点．
【解决问题】
(1)当点与点重合时，求的长；
(2)设直线与直线相交于点，当时，求的长．
65．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
(1)求关于的函数表达式；
(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，）
66．（2024·江苏宿迁·中考真题）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下：①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角；②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米；③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．
…
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度，
（参考数据：）
67．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点到地面的距离；
(2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
68．（2024·内蒙古·中考真题）（1）计算：
（2）解方程：
69．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
(1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
70．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
71．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处．记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处．记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
72．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值．
73．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
74．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
75．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
76．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，）
77．（2024·西藏·中考真题）计算：．
78．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．
79．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．）
80．（23-24九年级下·山东泰安·期末）已知：如图，二次函数的图像与轴交于、两点．
(1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
(2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为的正弦值为，求的值．
81．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
(1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)路灯的高度是____________m．
(3)设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
82．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
83．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ）
(2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．
①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径．
(3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接交于点P．求证：．
②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长．
84．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
85．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
86．（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求的长；
②求的半径．
87．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
88．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若．则_______．
（2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有，连接．
（3）如图2，当与相切时，求的长度；
（4）求长度的取值范围．
89．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
90．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
(3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．
91．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
92．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．
根据以上操作，得________．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．
【深入研究】
若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
93．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？
(2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
94．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
95．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
(1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
96．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
97．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平．
第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平．
第三步，连接．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形是正方形．
乙同学的结论：．
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平．
第五步，连接交于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：．
（2）请证明这个结论．
98．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
99．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2
图③ 1 ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
100．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．
参考答案
1．6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【解析】解：原式．
2．，
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，先根据正弦的定义求出，由勾股定理得出，最后根据正切的定义计算即可得解．
【解析】解：在中，，，，
根据勾股定理得：，
∴．
3．(1)500m
(2)483m
【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题．
（1）中，利用即可求解；
（2）在中，，先求出的高长度，再加的高度即可求解．
【解析】（1）解：在中，
由题意得，
（m）；
即索道的长约为m.
（2）解：如图，延长交直线于点，易得，
在中，
由题意得，
（m）
（m）
即山顶点到水平地面的距离的长约为m.
4．见解析
【分析】此题考查了三视图的画法，正确掌握三视图之间的数量关系是解决问题的关键．主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等，即长对正，高平齐，宽相等，结合俯视图与左视图的定义画出即可．
【解析】解：如图，
5．(1)图见解析
(2)5
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键：
（1）根据三视图的画法，作图即可；
（2）根据俯视图和左视图不变，画出最多可添加的小正方体的个数和位置，进行求解即可．
【解析】（1）解：画出三视图如图所示：
（2）添加后，保持俯视图和左视图不变，则最多可添加的小正方体的个数和位置如图：
；
故答案为：5．
6．(1)圆柱
(2)
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆柱的侧面积公式．
（1）根据俯视图和左视图可以判断出该几何体是柱体，根据主视图判断为圆柱；
（2）根据圆柱的底面直径和高，再利用圆柱的侧面积公式计算即可；
【解析】（1）解：根据三视图即可得出该几何体是圆柱，
故答案为：圆柱．
（2）解：由图可知，圆柱的底面圆的直径是4，高为6，
则圆柱的侧面积为：．
∴这个几何体的侧面积为．
7．(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切．
【解析】（1）解：如图1，即为所作；
（2）证明：如图2，作于，
∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
8．（1）1；（2）．
【分析】（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．米
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可．
【解析】解：根据题意可得：，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
设，则米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
10．(1)①；②；
(2)点点同学的说法正确，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）①延长交于点，利用四边形内角和求解即可；
②，过点作，，则四边形是矩形，利用锐角三角函数分别求出，，进而得出，即可求解
（2）设，则，点到桌面的距离为，再分别计算、、时，点到桌面的距离，即可得到答案．
【解析】（1）解：①如图，延长交于点，
，
，
，
，，
，
②如图，过点作，，
则四边形是矩形，
，
在中，，
，
，，
，
在中，，
，
，
即点到桌面的最大距离为；
（2）解：点点同学的说法正确，理由如下：
设，则，
点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
点到桌面的距离先变大，后变小，
点点同学的说法正确．
11．，
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，先根据正弦的定义求出，由勾股定理得出，最后根据正切的定义计算即可得解．
【解析】解：在中，，，，
根据勾股定理得：，
∴．
12．(1)，
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合题，解直角三角形，注意掌握二次函数与一元二次方程的关系．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）令，利用因式分解法解关于x的一元二次方程即可；
（2）过点作轴，垂足为，由正弦的定义得到，设，，求出，根据，求出，得到点C的坐标，再结合点C的坐标横坐标与纵坐标之积为9，建立方程求解即可．
【解析】（1）解：在中，
令，得，
，，
，
，；
（2）解：过点作轴，垂足为，
，
设，，
，
，
，
．
点的横坐标与纵坐标之积为9，
，
（不合题意，舍去），
点在二次函数的图象上，
，
．
13．，
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在中，，．根据已知得出方程，求出，由勾股定理求出，即可求出的正切值．
【解析】解：在中，，，
根据勾股定理得：
则
14．(1)，
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合题，解直角三角形，注意掌握二次函数与一元二次方程的关系．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）令，利用因式分解法解关于x的一元二次方程即可；
（2）过点作轴，垂足为，由正弦的定义得到，设，，求出，根据，求出，得到点C的坐标，再结合点C的坐标横坐标与纵坐标之积为9，建立方程求解即可．
【解析】（1）解：在中，
令，得，
，，
，
，；
（2）解：过点作轴，垂足为，
，
设，，
，
，
，
．
点的横坐标与纵坐标之积为9，
，
（不合题意，舍去），
点在二次函数的图象上，
，
．
15．(1)坡面的水平距离和垂直距离分别是和
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及解直角三角形、矩形性质等知识，数形结合，选择恰当的三角函数列式求解是解决问题的关键．
（1）在中，由正弦函数、余弦函数定义列式求解即可得到答案；
（2）延长交于点，如图所示，由矩形性质得到相关线段长，在中，由正切函数定义列方程求解即可得到答案．
【解析】（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
16．7.7米
【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
由题意得米，米，．设米，在中，根据锐角三角函数可得米，从而得到米，然后在中，根据锐角三角函数可得米，即可求解．
【解析】解：由题意得，米，米，．
设米，
在中，，
米，
在中，，
，
解得，
经检验是原方程的根．
米，
（米），
答：电池板离地面的高度约为米．
17．(1)黄色扇形卡纸的圆心角的度数是；
(2)彩带长度的最小值为．
【分析】本题考查圆锥的计算、最短路径问题，掌握勾股定理、弧长计算公式、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数是解题的关键．
（1）在中利用勾股定理求出，由弧长公式求出n，从而求出黄色扇形卡纸的圆心角的度数；
（2）连接，过点P作的垂线，垂足为点C．根据等腰三角形的性质和三角函数求出，的长度即为所求．
【解析】（1）解：在中利用勾股定理，得，
，
解得，
．
答：黄色扇形卡纸的圆心角的度数是；
（2）解：如图，连接，过点P作的垂线，垂足为点C．
∵，，
∴，
∴．
答：彩带长度的最小值为．
18．(1)见解析
(2)4.8米
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据中心投影的性质画出图形即可；
（2）利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】（1）解：如图所示，作射线分别交直线于点G，H，则即为所求．
（2）解：由题知，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理．
∴，
∴，
解得：．
∴木杆EF的影子长度为4.8米．
19．(1)见解析
(2)变短了，身影的长度变短了
【分析】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，读懂题目信息，列出两个影长的表达式是解题关键．
（1）连接并延长，与过点且垂直于里面的直线的交点为路灯P的位置，连接并延长，与路面的交点为影子N的位置；
（2）设小鹏在A点处时身影为，C处的身影为，根据相似三角形的性质，分别求出，，即可求解．
【解析】（1）解：路灯P的位置和影子N的位置如图所示．
（2）解：变短了．
由题意可知，，，，，
设小鹏在A点处时身影为，C处的身影为，
由题意知：，
∴，即，
解得，
由题意知，
∴，即，
解得，
∴，
即小鹏从点A走到点C时，身影的长度变短了．
20．(1)见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查网格作图，熟练掌握旋转性质，圆锥的弧长计算，底面圆周长计算，位似性质，是解题的关键．
（1）对应点连线的交点P即为旋转中心；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可；
（3）设底面圆的半径为根据底面圆周长=扇形的弧长，构建方程求解．
【解析】（1）解：如图，点P即为所求，；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：设底面圆的半径为
，
由题意，
．
故答案为：．
21．(1)
(2)画图见解析，小军影子的长度变短了
【分析】本题考查了平行投影和中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可；
（2）先根据中心投影画出图形，然后证明，，根据相似三角形的性质，，即可求解．
【解析】（1）解：根据题意，知，，，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
答：路灯的高为；
（2）解：如图，
由题意，知，，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
解得，，
∵
∴小军影子的长度变短了．
22．(1)见解析
(2)
(3)3
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
（1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形进行画图即可；
（2）分别找到前后左右上下六个面中露在外面的小正方体的面的个数，再根据每个面的面积为1进行求解即可；
（3）若使该几何体俯视图和左视图不变，可在从左数第1列后排和中间一排的小正方体上分别添加1，2块小正方体．
【解析】（1）解：如图，
（2）解：表面积为，
故答案为：30；
（3）解：要使俯视图不变，可以在左边一列前排和后排添加无数个小正方体，在中间一列的后排都添上无数个正方体，在右边一列后排添加无数个小正方体，要想左视图不变，则可以在左边一列的后排添上一个正方体，中间一排添加两个小正方体，
∴要同时保证左视图和俯视图不变，则最多可以添加个小正方体，
故答案为：3．
23．(1)2，1
(2)见解析
(3)3.6米
【分析】
本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
（1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可；
（2）根据中心投影的定义画出图形；
（3）利用相似三角形的性质构建方程组求解．
【解析】
解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影．
故答案为：，；
（2）如图1中，线段即为所求；
（3）如图1，过点作于点，设米，O米．
∵，，
∴∽△，
∴，
∴①，
同法可得，
∴②，
由①②解得，
经检验是分式方程组的解，
同法可得，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解．
即的影长为米．
24．(1)2米
(2)树高7.7米
【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）过D作于H，根据含角直角三角形的性质求解即可；
（2）过H作交AB于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出，进而求解即可．
【解析】（1）解：过D作于H，
在中，，
∴（米）；
（2）解：过H作交AB于E，
∵，，
∴
∴四边形为平行四边形
∴米
在中，，
（米）
（米）
∴，即
解得
∴（米）．
答：树高7.7米．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题主要考查了中心投影，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的尺规作图，等边三角形的判定，熟知圆的相关知识以及线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键：
（1）延长二者交于点O，连接并延长交直线于G，则即为所求；
（2）在上任取一点A，连接并延长交于B，过点O作的垂线交于点C，则即为所求；
（3）在上任取一点A，连接并延长交于D，作线段的垂直平分线分别交于B、C，则即为所求．
【解析】解：（1）如图所示，点O和即为所求；
延长二者交于点O，连接并延长交直线于G，则即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
在上任取一点A，连接并延长交于B，过点O作的垂线交于点C，则即为所求；
（3）如图所示，即为所求；
在上任取一点A，连接并延长交于D，作线段的垂直平分线分别交于B、C，则即为所求；
解直角三角形可得，则，同理可得，再证明可得，则为等边三角形．
26．见解析
【分析】本题考查了几何体的三视图画法，由几何体的俯视图及小正方形中的数字，可知主视图和俯视图有几列，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字，能判断每一列有几个正方形是解答本题的关键．
根据俯视图可知，主视图有列，每列小正方形数目分别为、、，左视图有列，每列小正方形数目分别为、，据此可画出图形即可．
【解析】解：如图所示：
．
27．圆柱，体积和侧面积分别为和．
【分析】本题考查了三视图，以及圆柱的体积和侧面积公式，解题的关键在于根据三视图得到相应的立体图形．从三视图可得，正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱．由三视图可以得到圆柱的半径，长和高，进而得出体积和侧面积．
【解析】解：由三视图可知这个立体图形是圆柱．
体积为()，
侧面积为()．
28．(1)
(2)旗杆高度为；
(3)雕塑高度为．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；
（3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解．
【解析】（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
29．(1)能，见解析
(2)
【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：
（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；
（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．
【解析】（1）解：能，
理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为，
根据题意，得，
解得，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；
（2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴圆锥的体积为．
30．(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】（1）利用等边对等角可得出，即可求解；
（2）连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证；
（3）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：连接，
，
∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．
31．(1)；
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可；
（2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可．
【解析】（1）为的弦，
．得．
中，，
又，
．
直线与相切于点为的直径，
．即．
又，
．
在中，．
，
．
（2）如图，连接．
∵ 直线 与 相切于点 ，
∴
∵
∴．
，得．
在中，由，
得．
．
在中，，
．
32．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分；
（2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可．
【解析】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键．
33．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可；
（2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论；
（3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，连接，
∵，为中点，
∴，
∴过圆心，
∵，
∴，
而为半径，
∴为的切线；
（3）解：如图，过作于，连接，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设半径为，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
34．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证；
（2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案．
【解析】（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点
，平分
与半圆相切于点
由
是半圆的切线
（2）解：由（1）可知，
，
，
又，
在中，，
，
解得：
35．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可．
【解析】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于点C，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
36．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【解析】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴；
（2）由（1）知四边形为矩形，，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
即：的半径为．
37．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线；
（2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根据求出，进一步求出
【解析】（1）证明：连接，延长，交于点，连接如图，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．
38．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：
（1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求；
（2）如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求．
【解析】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求；
易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点；
（2）解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求；
易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则．
39．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证；
（2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解．
【解析】（1）证明：连接．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的切线．
（2）过点C作于点H，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在中，∵，
设半径为r，∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．
40．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．
（1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案；
（2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解．
【解析】（1）证明：连接，
∵在中，，，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
．
41．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用等边对等角，圆周角定理等可得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即，然后根据切线的判定即可得证；
（2）先利用含的直角三角形的性质求出，同时求出，进而求出，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出，，证明是等边三角形，得出，，进而求出，在中，利用余弦定义可求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
【解析】（1）证明：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又是的半径；
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
42．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解．
【解析】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴半径的长为3
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
43．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）由垂径定理的推论可知，据此即可求证；
（2）利用勾股定理求出即可求解；
【解析】（1）证明：∵为⊙O的弦，C为的中点，
由垂径定理的推论可知：，
∵，
∴，
∵为⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
44．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线；
（2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为．
【解析】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴长为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键．
45．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案；
（2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
46．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，易得，圆周角定理得到，进而得到，证明，推出，进而得到，即可得证；
（2）等角的三角函数相等，得到，证明，得到，进行求解即可．
【解析】（1）解：连接，则：，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
47．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证；
（2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案．
【解析】（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
48．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；
（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．
【解析】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
49．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可；
（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可；
（3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
在中，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得，（舍去），
故．
【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
50．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）证明，，结合，，再进一步可得结论；
（3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案；
【解析】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意；
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
51．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
52．(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键．
（1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得；
（2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到．
【解析】（1）证明：∵连接，则，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
53．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证；
（）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解．
【解析】（1）证明：连接，则，
，，
，
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键．
54．与相切，理由见解析
【分析】连接，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则，因此，然后由切线的判定即可得出结论．
【解析】解：与相切．
证明：连接．
∵，
∴．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上，
∴．
∴．
∴．
∴由，得，即．
∴与相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
55．(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可；
（2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）解∶连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵与相切于D，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解∶延长交于P，连接，此时最大，
由（1）知：，，
∴．
56．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可．
【解析】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
57．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．
（1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为的内心，
，
，
∴，
又为的直径，
，
又为的切线且为的半径，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
．
58．的长为
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案；
【解析】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为；
59．(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；
（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．
【解析】（1）解：过点A作于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．
（2）解：过点D作于点F，
设海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∴渔政船的航行时间为（小时），
答：渔政船的航行时间为小时．
60．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解．
【解析】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
在中，，
∴．
答：大桥的长度约为米．
61．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形；
（2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
62．(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的纵坐标为3．
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，即，
∵点D在反比例函数图象上，
把代入得，，
解得，
∴，
∴；
（3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：，
∵直线与函数图象交于，两点，
∴联立方程组得，，
即，
设、，
∴，
∵点P为的中点，
∴点P的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
把代入得，，
解得，
∴直线与x、y轴交于点、，
∴，，
∴，
∴，
过点O作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
63．(1)；
(2)电线塔的高度．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；
（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：电线塔的高度．
64．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．
（1）过点C作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合，
则有，设，则，再利用勾股定理即可得出．
（2）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可．
【解析】（1）解：如图1，过点C作，
则，，
∴，
∴ ，
，
当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合，
则有，
设，则，
∵
∴在中，
解得：，
故
（2）如图2，当点F在上时，如下图：
由(1)可知，
∵
∴，
设，，则 ，
根据折叠的性质可得出：，．
∵，
∴，
∵
∴在中，，
则，
解得：，
如图3，当点F在的延长线上时，
同上，
在中，
设，，， ，
在中，
，
则
解得，
则，
综上：的值为：或．
65．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）设关于的函数表达式为，将图中的点代入即可求出答案；
（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；
（3）延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案．
【解析】（1）解：设关于的函数表达式为，
将代入，
得，
解得，
；
（2）解：根据函数解析式得函数对称轴，
故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大；
（3）解：，
延长与过点作的线交于点，令，
，，
，
，
，
，
，
延长交与点，
，
，
，
，
，
．
66．73.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论．
【解析】解：由题意得，米，米，，，
在中，，
，
在中，，
，
米，
，
解得，
（米，
答：塔的高度为73.2米．
67．(1)点到地面的距离为；
(2)顶部线段的长为．
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解．
【解析】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）解：如图，过点作，垂足为
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
68．（1）；（2）
【分析】本题考查了正切、零指数幂、实数的绝对值、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握运算法则和分式方程的解法是解题关键．
（1）先计算正切、零指数幂、化简绝对值和二次根式，再计算乘法与加减法即可得；
（2）先化成整式方程，再计算一元一次方程，最后进行检验即可得．
【解析】解：（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
所以方程的解是．
69．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键．
（1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得．
【解析】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
70．（1）；（2），；（3）
【分析】（1）；
（2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果；
（3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【解析】解：（1），
，
故答案为：；
（2）、、、均与所在直线平行，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）如图，
作于，
，
，，
，
设，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
71．(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；
（2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【解析】（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
72．(1)证明见解析
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析，此时
【分析】（1）先证明得到，再由垂线的定义得到，据此证明，得到，由此即可证明四边形是平行四边形；
（2）当时，四边形是矩形，利用三角形内角和定理得到，则可证明是等边三角形，得到，进而可证明，则四边形是矩形，在中，．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
即当时，四边形是矩形，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．
73．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【解析】（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
74．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【解析】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
75．“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是
【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长．
【解析】解：过作于，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是．
76．(1)见解析
(2)5
【分析
同课章节目录