专题10 圆-2025年浙江省中考数学一模试题精编（含解析）

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专题10 圆
一．选择题
1．（2025 上城区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝20°，则∠AOB的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2．（2025 浙江一模）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为（　　）
A．130° B．100° C．120° D．110°
3．（2025 拱墅区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝43°，则∠ADC＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．49°
4．（2025 台州一模）如图，AB，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E．若∠BCD＝54°，则∠ADC等于（　　）
A．27° B．36° C．46° D．54°
5．（2025 余姚市一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
6．（2025 宁波一模）已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
7．（2025 滨江区一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，点E为劣弧（不含端点）上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G．若⊙O的半径为1，记OF＝x，BG＝y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．2x﹣y B． C．2y﹣x D．
8．（2025 浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，∠BAD＝90°，，若CB、CD的长为方程的两个实数根，则线段AC的长为（　　）
A． B． C．4 D．
9．（2025 钱塘区一模）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角△ABC内接于⊙O，AC＝BC，OD⊥BC于点D，点E是的中点．仅用无刻度的直尺在⊙O上找出点F，使EF∥AB．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长OD，交⊙O于点F．方法②：作直线CO，BE，相交于点G，连结AG，延长AG交⊙O于点F．下列判断正确的是（　　）
A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确
C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误
10．（2025 钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
11．（2025 滨江区一模）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝21°，则∠C的度数是（　　）
A．21° B．42° C．48° D．69°
12．（2025 湖州一模）如图，已知⊙O的半径长是1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，BC．若四边形PACB是菱形，则PC的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
13．（2025 钱塘区一模）如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点．若∠P＝30°，⊙O的半径为2，则PC的长为（　　）
A． B． C． D．
14．（2025 宁波一模）如图，多边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则（　　）
A．∠A＝100° B． C．∠A＝118° D．
15．（2025 定海区一模）如图是一把折扇，扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，AC是OA的一半．已知OA＝30cm，∠AOB＝120°，则扇面ABDC的周长为（　　）cm．
A．30 B．30π+30 C．20π D．10π
二．填空题
16．（2025 嵊州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，连结OC，则OC的长为 　 　 ．
17．（2025 新昌县一模）如图，水暖管横截面是圆，当半径r＝5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD（CD＜r）是 　 　 mm．
18．（2025 余姚市一模）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　 　 ．
19．（2025 萧山区一模）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝BC，将AC折叠至AD，使点D落在BC上．若AD过点O，则＝ 　 　 ．
20．（2025 钱塘区一模）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　 　 ．
21．（2025 衢州一模）如图，直线BC与⊙O相切于点C，点A在⊙O上，AB⊥BC于点B．若AB＝3，BC＝6，则⊙O的半径为 　 　 cm．
22．（2025 湖州一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝　 　 °．
23．（2025 衢州一模）一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是　 　 ．
24．（2025 湖州一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连结OA．若⊙O的半径长为10cm，AB的长为，则扇形OAC的面积是　 　 cm2（结果保留π）．
25．（2025 富阳区一模）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，则其底面圆的半径为 　 　 ．
26．（2025 衢江区一模）已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为　 　 cm2．
27．（2025 钱塘区一模）如图，在扇形OAB中，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．已知∠AOB＝90°，OA＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留π）．
28．（2025 衢江区一模）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C，连结BC，若AC＝4，tan∠CAB＝，则AB的长为　 　 ．
29．（2025 富阳区一模）如图是以AB为直径的⊙O，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着AC折叠，与AB交于点D，连结CD并延长与圆交于点E．若∠ACD＝3∠CAD，则的值等于 　 　 ．
三．解答题
30．（2025 钱塘区一模）如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长．
31．（2025 浙江一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG、CD的延长线相交于点F，求证：∠FGD＝∠AGC．
32．（2025 庆元县一模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AE的长．
33．（2025 衢江区一模）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若，BC＝6，求的长．
34．（2025 鹿城区校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，连结AO交CB于点D，交⊙O于点E，已知∠1+∠2＝90°．
（1）求证：；
（2）若CD＝3，AC＝4，求AB的长；
（3）若CA＝CB，设⊙O的半径为r，求△ABC的面积（用含r的代数式表示）．
35．（2025 温州一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1＝∠2，连结DG．
（1）若∠1＝35°，B为的中点，求∠ADC的度数．
（2）连结BD，当∠BDG＝∠BEG时．
①求证：四边形BEGD是平行四边形．
②若∠3＝∠DAB，求证：BC＝FG．
答案与解析
一．选择题
1．（2025 上城区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝20°，则∠AOB的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【点拨】由圆周角定理，即可计算．
【解析】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝20°，
∴∠AOB＝40°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半．
2．（2025 浙江一模）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为（　　）
A．130° B．100° C．120° D．110°
【点拨】根据等腰三角形性质求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出即可．
【解析】解：∵AB＝AC，∠ABC＝65°，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝100°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠A的度数和根据定理得出∠BOC＝2∠A是解此题的关键．
3．（2025 拱墅区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝43°，则∠ADC＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．49°
【点拨】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝47°，再根据圆周角定理求解即可．
【解析】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝43°，
∴∠ABC＝47°，
∴∠ADC＝∠ABC＝47°，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
4．（2025 台州一模）如图，AB，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E．若∠BCD＝54°，则∠ADC等于（　　）
A．27° B．36° C．46° D．54°
【点拨】根据直角三角形的性质求出∠ABC＝36°，再根据圆周角定理求解即可．
【解析】解：∵AB⊥CD于点E，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠ABC＝36°，
∴∠ADC＝∠ABC＝36°，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角是解题的关键．
5．（2025 余姚市一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
【点拨】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．
【解析】解：∵点A（1，），
∴AO＝＝2，
∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
6．（2025 宁波一模）已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
【点拨】连接OC，OB，可由勾股定理求得，再证明Rt△CDO≌Rt△BAO，则AO＝DO＝3，那么AD＝6，即可求解矩形面积．
【解析】解：连接OC，OB，
∵点C在半径为5的半圆O上，
∴OC＝OE＝5，
∵ED＝2，
∴OD＝3，
∵矩形ABCD，
∴∠CDO＝∠BAO＝90°，CD＝AB，
∴，
∵OC＝OB，
∴Rt△CDO≌Rt△BAO，
∴AO＝DO＝3，
∴AD＝6，
∴矩形ABCD的面积为4×6＝24，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2025 滨江区一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，点E为劣弧（不含端点）上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G．若⊙O的半径为1，记OF＝x，BG＝y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．2x﹣y B． C．2y﹣x D．
【点拨】如图，由题可得∠1＝∠2＝45°，，导角证明△ACF∽△GAC，则，化简即可得到，即可判断．
【解析】解：如图，连接AC
∵AB，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，OA＝OC＝1，
∴∠1＝∠2＝45°，，
设∠OAF＝α，
则∠CAF＝∠1+∠OAF＝45°+α，，
∴∠CAF＝∠AGC，
∴△ACF∽△GAC，
∴，即，
∴（1+x）（2﹣y）＝2，
∴2﹣y+2x﹣xy＝2，
∴2x﹣y＝xy，
两边同时除以xy得：，
故D符合题意，而A、B、C代数式的值均不能证明不变，故不符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
8．（2025 浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，∠BAD＝90°，，若CB、CD的长为方程的两个实数根，则线段AC的长为（　　）
A． B． C．4 D．
【点拨】由∠BAD＝90°，则BD是⊙O的直径，所以∠BCD＝∠BAD＝90°，CB、CD的长为方程的两个实数根，故有，，然后求出BC＝，过B作BE⊥AC于点E，由勾股定理得，，最后由和差即可求解．
【解析】解：由题意可得：BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴，
由题意可得：，，
∴，
∴（负值不符合题意，已经舍去），
∴，
∴BC＝，
∵，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD，
∴，
过B作BE⊥AC于点E，
∴∠BEC＝∠AEB＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴∠ACB＝∠CBE＝45°，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
9．（2025 钱塘区一模）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角△ABC内接于⊙O，AC＝BC，OD⊥BC于点D，点E是的中点．仅用无刻度的直尺在⊙O上找出点F，使EF∥AB．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长OD，交⊙O于点F．方法②：作直线CO，BE，相交于点G，连结AG，延长AG交⊙O于点F．下列判断正确的是（　　）
A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确
C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误
【点拨】方法①正确，只要证明∠BAF＝∠AFE即可；方法②正确，只要证明AF平分∠BAC可得结论．
【解析】解：方法①②都正确．
理由：如图，方法①中，
∵OF⊥BC，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∵CB＝CA，
∴＝，
∴＝，
∴∠BAF＝∠AFE，
∴EF∥AB．
如图，方法②中．
∵E是的中点，
∴＝，
∴BE平分∠ABC，
∵CA＝CB，
∴＝，
∴CO⊥AB，
∴CO平分∠ACB，
∴AG平分∠ABC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴＝，
∴＝，
∴∠BAF＝∠AFE，
∴EF∥AB．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2025 钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
【点拨】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断．
【解析】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交 d＜r②直线l和⊙O相切 d＝r③直线l和⊙O相离 d＞r．
11．（2025 滨江区一模）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝21°，则∠C的度数是（　　）
A．21° B．42° C．48° D．69°
【点拨】连接OA，由切线的性质得AC⊥OA，则∠OAC＝90°，而∠AOC＝2∠B＝42°，所以∠C＝90°﹣∠AOC＝48°，于是得到问题的答案．
【解析】解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，A为切点，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵∠B＝21°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×21°＝42°，
∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣42°＝48°，
故选：C．
【点睛】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12．（2025 湖州一模）如图，已知⊙O的半径长是1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，BC．若四边形PACB是菱形，则PC的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
【点拨】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据菱形的性质得到∠ACB＝∠APB，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB，进而求出∠APO＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OP，进而求出PC．
【解析】解：如图，连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB+∠APB＝180°，
∵四边形PACB是菱形，
∴∠ACB＝∠APB，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠AOB，
∴∠APB＝∠AOB，
∴∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝2，
∴PC＝OC+OP＝1+2＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13．（2025 钱塘区一模）如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点．若∠P＝30°，⊙O的半径为2，则PC的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥PC，根据含30°角的直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC．
【解析】解：如图，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠P＝30°，OC＝2，
∴OP＝2OC＝4，
由勾股定理得：PC＝＝＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．（2025 宁波一模）如图，多边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则（　　）
A．∠A＝100° B． C．∠A＝118° D．
【点拨】先根据内角和定理即可求解∠A，连接AC，过点B作BH⊥AC于点H，由BA＝BC得到∠BAC＝∠BCA＝30°，再解直角三角形即可．
【解析】解：∵，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
连接AC，过点B作BH⊥AC于点H，
∴AH＝CH，
∵，
∴，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的相关性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，掌握正多边形的性质是解题的关键．
15．（2025 定海区一模）如图是一把折扇，扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，AC是OA的一半．已知OA＝30cm，∠AOB＝120°，则扇面ABDC的周长为（　　）cm．
A．30 B．30π+30 C．20π D．10π
【点拨】根据题意求出OC，根据弧长公式分别求出AB、CD的弧长，根据扇形周长公式计算．
【解析】解：由题意得，OC＝AC＝＝15cm，
的长＝（cm），
的长＝＝10π（cm），
∴扇面ABDC的周长＝20π+10π+15+15＝（30π+30）cm，
故选：B．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
二．填空题
16．（2025 嵊州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，连结OC，则OC的长为 　5　 ．
【点拨】设圆的半径是r，由垂径定理得到CE＝CD＝4，由勾股定理得到r2＝（8﹣r）2+42，求出r＝5，即可得到OC的长．
【解析】解：设圆的半径是r，则OC＝OA＝r，
∴OE＝AE﹣AO＝8﹣r，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×8＝4，
∵OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴OC＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点得到关于r的方程．
17．（2025 新昌县一模）如图，水暖管横截面是圆，当半径r＝5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD（CD＜r）是 　2　 mm．
【点拨】由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【解析】解：∵OD⊥AB，AB＝8mm，
∴AC＝BC＝AB＝4mm，
∴OC＝＝＝3（mm），
∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（mm）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．
18．（2025 余姚市一模）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　140°　 ．
【点拨】根据已知条件利用圆周角定理求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BCD的度数．
【解析】解：∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD＝80°，
∴∠BAD＝＝＝40°，
又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
【点睛】本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理与圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．
19．（2025 萧山区一模）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝BC，将AC折叠至AD，使点D落在BC上．若AD过点O，则＝ 　　 ．
【点拨】连接BE、CE，先求出∠ABD＝∠AEC＝45°，证明△AFB为等腰直角三角形，得出，设CF＝DF＝x，BD＝y，则BF＝x+y，，BC＝2x+y，根据AB＝BC，得出，求出，最后求出结果即可．
【解析】解：连接BE、CE，如图所示：
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
根据折叠可知：∠ACB＝∠ADF，∠AFC＝∠AFD＝90°，CF＝DF，
∴∠ADF＝∠BAC＝∠ACB，
∴180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ADF，
即∠ABD＝∠CAE，
∵，
∴∠ABD＝∠AEC，
∴∠CAE＝∠AEC，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴，
∴∠ABD＝∠AEC＝45°，
∵∠AFB＝90°，
∴△AFB为等腰直角三角形，
∴，
设CF＝DF＝x，BD＝y，则BF＝x+y，，BC＝2x+y，
∵AB＝BC，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
20．（2025 钱塘区一模）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　6　 ．
【点拨】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB＝12，又因为PA＝PB，所以可求出PA的长．
【解析】解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝12，
∴PA＝6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出△PEF的周长＝PA+PB．
21．（2025 衢州一模）如图，直线BC与⊙O相切于点C，点A在⊙O上，AB⊥BC于点B．若AB＝3，BC＝6，则⊙O的半径为 　　 cm．
【点拨】连接OC、OA，过点A作AD⊥OC于D，根据切线的性质得到OC⊥BC，根据矩形的性质得到CD＝AB＝3，AD＝BC＝6，根据勾股定理计算即可．
【解析】解：如图，连接OC、OA，过点A作AD⊥OC于D，
∵直线BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝6，
设⊙O的半径为x，则OD＝x﹣3，
在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2，即x2＝62+（x﹣3）2，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．（2025 湖州一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝　36　 °．
【点拨】根据多边形的内角和可以求得∠BAE的度数，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠BAE﹣∠COD的度数．
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，
∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，
故答案为：36．
【点睛】此题重点考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角、等腰三角形的性质等知识，根据正多边形的中心角的定义求得∠COD＝72°是解题的关键．
23．（2025 衢州一模）一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是　π　 ．
【点拨】根据弧长公式求出即可．
【解析】解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3，
∴此扇形的弧长是＝π，
故答案为：π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为n°，半径为r，则此扇形的弧长是．
24．（2025 湖州一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连结OA．若⊙O的半径长为10cm，AB的长为，则扇形OAC的面积是　　 cm2（结果保留π）．
【点拨】先根据垂径定理求出AD得长，进一步求出∠AOD的度数，再结合扇形的面积公式即可解决问题．
【解析】解：∵半径OC⊥AB于点D，AB＝cm，
∴AD＝．
在Rt△AOD中，
sin∠AOD＝，
∴∠AOD＝60°，
∴（cm2）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算、勾股定理及垂径定理，熟知垂径定理及扇形的面积公式是解题的关键．
25．（2025 富阳区一模）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，则其底面圆的半径为 　1　 ．
【点拨】根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
【解析】解：展开图扇形的弧长l＝＝2π，
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
∴这个圆锥的底面圆半径是＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥原图与展开图扇形之间的关系进行求解是解决本题的关键．
26．（2025 衢江区一模）已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为　40π　 cm2．
【点拨】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解析】解：底面半径为4cm，则底面周长＝8π（cm），
侧面展开图的面积＝×8π×10＝40π（cm2）．
故答案为：40π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
27．（2025 钱塘区一模）如图，在扇形OAB中，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．已知∠AOB＝90°，OA＝4，则图中阴影部分的面积为　4π﹣8　 （结果保留π）．
【点拨】根据题意，可以先证明四边形DOEC是正方形，然后根据图形可知：阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣正方形DOEC的面积，再代入数据计算即可．
【解析】解：连接OC，如图所示，
∵点C为弧AB的中点，∠AOB＝90°，OA＝4，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC＝4，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∠DCO＝∠DOC＝45°，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠DOE＝90°，OD＝CD，
∴四边形DOEC是正方形，
∴OD＝OC sin45°＝4×＝2，
阴影部分的面积为：﹣2×2＝4π﹣8，
故答案为：4π﹣8．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．（2025 衢江区一模）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C，连结BC，若AC＝4，tan∠CAB＝，则AB的长为　　 ．
【点拨】依据意义，延长AC交⊙O于点D，过点B作BH⊥AD于点H，连接BD，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到＝，即BC＝BD，根据等腰三角形三线合一性质，得到DH＝CH，设DH＝CH＝a，则，证明△BDH∽△ADB，推出BD2＝a（2a+4），在Rt△BDH 中，利用勾股定理得到即，进而可以判断得解．
【解析】解：延长AC交⊙O于点D，过点B作BH⊥AD于点H，连接BD，
∵和是圆周角∠A所对的弧，
∴＝．
∴BC＝BD．
∴DH＝CH．
设DH＝CH＝a，
∴AH＝a+4，AD＝2a+4，
∵，
∴．
∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BDH＝∠ADB，
∴△BDH∽△ADB，
∴．
∴BD2＝DH AD＝a（2a+4）．
在 Rt△BDH 中，，，
∴2a2+7a﹣4＝0．
∴或a＝﹣4（舍去）．
∴，AH＝+4＝．
在Rt△ABH，AB＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、翻折变换（折叠问题）、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用解三角形的方法是关键．
29．（2025 富阳区一模）如图是以AB为直径的⊙O，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着AC折叠，与AB交于点D，连结CD并延长与圆交于点E．若∠ACD＝3∠CAD，则的值等于 　　 ．
【点拨】根据折叠得到等圆，结合∠CAB所对的弧不同得到即CD＝BC，再结合∠ACD＝3∠CAD和圆周角定理得到∠CBD＝∠CDB＝∠ODE＝∠DOE＝72°，即可得到OE＝DE＝OB＝r，△DOE∽△DBC，，代入得到，解得，最后计算即可．
【解析】解：连接OC，OE，设半径为r，
∵∠ACD＝3∠CAD，
∴设∠CAD＝x，∠ACD＝3x，
∵将圆形纸片沿着AC折叠，
∴，
∵CD＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠CAD＝4x，
∵AB为直径的⊙O，
∴∠BCA＝90°，
∴∠CBD+∠CAD＝90°＝4x+x，
解得∠CAD＝x＝18°，
∴∠ACD＝3x＝54°，∠CBD＝∠CDB＝4x＝72°，∠COB＝2∠CAD＝36°，
∴∠AOE＝2∠ACD＝108°，∠DCO＝∠CDB﹣∠COB＝36°＝∠COB，
∴∠DOE＝180°﹣∠AOE＝72°，CD＝OD，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ODE＝∠DOE＝72°，
∴OE＝DE＝OB＝r，△DOE∽△DBC，
∴＝，
∴，
整理解得（负值已舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠圆问题，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握折叠是解题的关键．
三．解答题
30．（2025 钱塘区一模）如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长．
【点拨】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到＝，进而得出＝，根据圆周角定理证明即可；
（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算得到答案．
【解析】（1）证明：∵AC＝BD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝，
∴∠A＝∠D；
（2）解：连接OC，OD，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴∠COD＝2∠A＝90°，
∵⊙O的半径为4，
∴的长为＝2π．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
31．（2025 浙江一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG、CD的延长线相交于点F，求证：∠FGD＝∠AGC．
【点拨】连接AC，根据四边形ACDG是圆内接四边形可知∠FGD＝∠ACD．再由垂径定理得出＝，故∠AGC＝∠ACD，利用等量代换即可得出结论．
【解析】证明：连接AC，
∵四边形ACDG是圆内接四边形，
∴∠FGD＝∠ACD．
∵弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∴∠AGC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠AGC．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆内接四边形是解答此题的关键．
32．（2025 庆元县一模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AE的长．
【点拨】（1）由题意易得∠ABC＝∠ACB，然后根据圆周角的性质可进行求解；
（2）延长AO交BC于点F，由题意易得AF⊥BC，则有∠AFB＝90°，然后问题可求证；
（3）由（2）易得，由可设BF＝x，则 AF＝2x，然后根据勾股定理可得 x＝4，进而可得△AOE∽△CDE，最后根据相似三角形的性质可进行求解．
【解析】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB；
（2）解：平行，如图，延长AO交BC于点F，
∵AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴＝，即点A为的中点，
∵AO是半径，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴AO∥CD；
（3）解：由（2）易得，
∵，
∴设BF＝x，则AF＝2x，
∴OA＝OB＝2x﹣3，
∵BF2+OF2＝OB2，
∴x2+32＝（2x﹣3）2，
解得：x＝4，
∴OA＝5，
∴AB＝＝＝AC＝，
∵AO∥CD，
∴△AOE∽△CDE，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
33．（2025 衢江区一模）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若，BC＝6，求的长．
【点拨】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据四边形内角和、邻补角的定义得到∠AOD＝∠ABC，得到∠ABC＝2∠ACD；
（2）根据正切的定义求出∠A，根据含30°角的直角三角形的性质求出OC，再根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）证明：如图，连接OD，
由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ACD，
∵OC为半径作圆与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠COD+∠ABC＝180°，
∵∠COD+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝6，
则tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠COD＝∠A+∠ADO＝120°，OD＝OA，
∴OC＝OA，
∵AC＝6，
∴OC＝2，
∴的长为：＝．
【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
34．（2025 鹿城区校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，连结AO交CB于点D，交⊙O于点E，已知∠1+∠2＝90°．
（1）求证：；
（2）若CD＝3，AC＝4，求AB的长；
（3）若CA＝CB，设⊙O的半径为r，求△ABC的面积（用含r的代数式表示）．
【点拨】（1）先根据圆周角定理可得∠ACE＝90°，再由同角的余角可得∠2＝∠AEC，则CD＝CE，最后由三角函数定义即可得结论；
（2）如图2，过点C作CM⊥AE于M，根据勾股定理可得AE＝5，由面积法得CM＝，由勾股定理得EM＝，由等腰三角形的三线合一的性质得：DE＝2EM＝，最后由圆周角定理，对顶角相等，等角对等边即可解答；
（3）如图3，连接CO并延长交AB于F，连接OB，先根据垂径定理得：∠AFO＝∠BFO＝90°，AF＝BF，根据三角形的内角和定理得：∠DCE＝∠ACB，则＝，△AOB是等腰直角三角形，设AF＝a，则OF＝a，由勾股定理和三角形的面积即可解答．
【解析】（1）证明：如图1，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AEC＝∠2，
∴CD＝CE，
∵tan∠1＝，
∴；
（2）解：如图2，过点C作CM⊥AE于M，
∵CD＝CE＝3，AC＝4，∠ACE＝90°，
∴AE＝＝5，
∴S△ABE＝×3×4＝×5CM，
∴CM＝，
由勾股定理得：EM＝＝，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DE＝2EM＝，
∴AD＝5﹣＝，
∵∠ADB＝∠2，∠B＝∠E，∠2＝∠E，
∴∠ADB＝∠B，
∴AB＝AD＝；
（3）解：如图3，连接CO并延长交AB于F，连接OB，
∵CA＝CB，
∴＝，∠CAB＝∠CBA，
∴CF⊥AB，
∴∠AFO＝∠BFO＝90°，AF＝BF，
由（2）知：∠2＝∠E＝∠ADB＝∠CBA，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
在Rt△AOB中，AF＝BF，
∴OF＝AB＝AF＝BF，
设AF＝a，则OF＝a，
∵OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝a2+a2，
∴r＝a，
∵S△ABC＝ AB CF，
∴S△ABC＝ 2a（a+r）＝a2+ay＝+＝．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
35．（2025 温州一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1＝∠2，连结DG．
（1）若∠1＝35°，B为的中点，求∠ADC的度数．
（2）连结BD，当∠BDG＝∠BEG时．
①求证：四边形BEGD是平行四边形．
②若∠3＝∠DAB，求证：BC＝FG．
【点拨】（1）连接BD，由已知得∠1＝∠2＝35°，再由圆周角定理∠CDB＝∠2＝35°，再根据点B为弧AC中点得∠ADB＝∠2＝35°，然后根据∠ADC＝∠ADB+∠CDB即可得出答案；
（2）①连接BD，由∠CDB＝∠2，∠1＝∠2得∠CDB＝∠1，则BD∥CE，再由∠BDG＝∠BEG得∠GDE＝∠BED，则DG∥BE，由此即可得出结论；
②过点B作BP∥DE交圆于点P，连接PD，则∠CDB＝∠PBD，进而得弧BC＝弧PD，则BC＝PD，由圆周角定理得∠P＝∠DAB＝∠3，证明∠PBD＝∠1，再由平行四边形性质得BD＝EG，据此可依据“AAS”判定△PBD和△FEG全等，则PD＝FG，由此即可得出结论．
【解析】（1）解：连接BD，如图1所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝35°，
∴∠2＝35°，
由圆周角定理得：∠CDB＝∠2＝35°，
∵点B为弧AC的中点，
∴∠ADB＝∠2＝35°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝70°；
（2）①证明：连接BD，如图2①所示：
∵∠CDB＝∠2，∠1＝∠2，
∴∠CDB＝∠1，
∴BD∥CE，
∵∠BDG＝∠BEG，
∴∠CDB+∠GDE＝∠BED+∠1，
∵∠CDB＝∠1，
∴∠GDE＝∠BED，
∴DG∥BE，
又∵BD∥CE，
∴四边形BEGD是平行四边形；
②证明：过点B作BP∥DE交圆于点P，连接PD，BD，如图2②所示：
∴∠CDB＝∠PBD，
∴，
∴BC＝PD，
由圆周角定理得：∠P＝∠DAB，
∵∠3＝∠DAB，
∴∠P＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠CDB＝∠2，∠CDB＝∠PBD，
∴∠PBD＝∠1，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△PBD和△FEG中，
，
∴△PBD≌△FEG（AAS），
∴PD＝FG，
∴BC＝FG．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质圆周角定理，平行四边形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，理解圆内接四边形的性质圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．
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