北师大版八年级数学下册第5章 分式与分式方程 章节知识点复习题(含详解)

第5章《分式与分式方程》章节知识点复习题
【题型1 分式有意义的条件】
1.下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列x的值中，使分式无意义的是（　　）
A． B． C． D．
3.当时，分式没有意义，则m的值等于（ ）
A． B． C．2 D．3
4.已知，无论取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围 .
【题型2 利用分式的基本性质解决问题】
1.下列代数式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.把分式的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（ ）
A．为原分式值的 B．为原分式值的
C．为原分式值的10倍 D．不变
3.将的分母化为整数，得（　　　）
A． B．
C． D．
4.若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是 ．
【题型3 分式的化简求值】
1.先化简，再求值：，其中x满足
2.先化简，再求值：，其中且x为整数．请你选一个合适的x值代入求值．
3.先化简，再求值：，其中x是不等式的负整数解．
4.已知与互为相反数，求的值．
【题型4 比较分式的大小】
1.要比较与中的大小（x是正数），知道的正负就可以判断，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
2.已知：
（1）若，求m的值；
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
3.由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
4.已知等式
(1)①用含的代数式表示；
②若均为正整数，求的值；
(2)设，，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．
【题型5 解分式方程的一般方法】
1.解下列方程：
(1)； (2)．
2.如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的的值是 ．

3.解下列分式方程
(1)； (2)．
4.同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题：
解方程：
解：①
②
③
④
⑤
⑥
(1)请你帮他找出这道题从第_______步开始出错；
(2)请完整地解答此分式方程；
(3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条）
【题型6 裂项相消法解分式方程】
1.李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题：
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)解方程：．
2.解方程：．
3.解方程：．
4.化简下式：
（1）
（2）
（3）分式方程的解是_________（请直接写出答案）
【题型7 利用通分或约分代入求分式的值】
1.已知，则分式的值为 ．
2.若的值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．．
3.已知，那么分式的值是______．
4.已知，求分式的值为 ．
【题型8 利用倒数法求分式的值】
1.【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，∴，即①
∴②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【拓展延伸】
（3）已知，，，求的值．
2.(1)已知实数满足，求分式的值．
(2)已知实数满足，求分式的值．
3.利用“倒数法”解下面的题目：
已知：，求：
(1)代数式的值． (2)代数式的值．
4.若，求的值．
参考答案
【题型1 分式有意义的条件】
1.A
【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、无论取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意；
B、当时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
C、当时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
D、当时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
故选：A．
2.A
【分析】根据分式无意义的条件，即分母为0进行解答即可．
【详解】解：由于分式无意义，
所以，
即，
故选：A．
3.A
【分析】根据分式无意义，分母等于零可得，解可得m的值．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
4.c＜ 1
【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需 c 1大于0，求出不等式的解集即可得到c的范围．
【详解】原式分母为：x2＋2x c＝x2＋2x＋1 c 1＝（x＋1）2 c 1，
∵（x＋1）2≥0，无论x取任何实数，这个式子都有意义，
∴ c 1＞0，
解得：c＜ 1．
故填：c＜ 1
【题型2 利用分式的基本性质解决问题】
1.B
【分析】利用分式的基本性质逐个变形得结论．
【详解】解：A、 分式的分子分母都减去1，不符合分式的基本性质，变形不正确；
B、，符合分式的基本性质，变形正确；
C、分式的分子分母都乘以10得，变形错误；
D、 分式乘方得，不符合分式的基本性质，变形错误．
故选：B．
2.C
【分析】将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解．
【详解】解：x、y均缩小为原来的10倍后，
，
∴分式的值为原分式值的10倍，
故选：C．
3.D
【分析】根据分式的基本性质求解．　　
【详解】解：将的分母化为整数，可得．
故选：D．
4.12
【分析】将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可．
【详解】将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为
，
若分式的值为6，
则所得分式的值是．
故答案为：12．
【题型3 分式的化简求值】
1.解：原式
，
，
，
原式．
2.解：
，
∵要使分式有意义，，
∴x不能为1和，取，
当时，原式．
3.解：原式=
解得，负整数解为
将代入原式=
4.解：原式=
=
∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴原式=．
【题型4 比较分式的大小】
1.C
【分析】将进行化简得到，利用x是正数，可得出，即可判断A和B的大小，进而可得答案．
【详解】解：由题意可知：
∵，
∴，，
∴，即，
故选：C．
2.(1)由，
得 ，
2 m=1，
解得m=1；
(2)B=，
∴当a+4=±1时B为整数
a= 3，a= 5.
(3)当a>0时,A B=-<0，
A3.C
【分析】将c= 3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c< 3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错．
【详解】解：A选项，当c= 3时，分式无意义，故该选项不符合题意；
B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意；
C选项，
∵c< 3，
∴3+c<0，c<0，
∴3(3+c)<0，
∴，
∴，故该选项符合题意；
D选项，当c<0时，
∵3(3+c)的正负无法确定，
∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
4.（1）①由得：，
即，
②∵x、y为正整数，，
∴可知y只能为1或者2，
∴当y=1时，x=4，当y=2时，x=3，
即x、y的值为：或者；
（2），理由如下，
根据题条件可知，，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，即，
则有：，
即
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
结论得证．
【题型5 解分式方程的一般方法】
1.（1）解：原方程得：，
解得，
经检验是原方程的解；
（2）解：由原方程得：，
整理得，
解得，
经检验，当时，，
∴原方程无解．
2.解：
，
由题意，，
∴，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故答案为：4．
3.（1）解：左右两边同时乘以得：
，
，
，
，
检验：把代入最简公分母得，
∴是原分式方程的解；
（2）原方程可化为：
，
左右两边同时乘以得：
，
，
，
∴，
经检验，是原方程的解．
4.（1）解：这道题从第②步开始出错；
（2），
去分母得：，
，
，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，故无解．
（3）解分式方程去分母时，每一项都要乘以最简公分母；
解分式方程要检验．
【题型6 裂项相消法解分式方程】
1.（1）解：
；
（2）证明：
，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
检验：是原分式方程的解，
∴原方程的解为．
2.解：将分式方程变形为，
整理得，
方程两边都乘以，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的根．
3.解：
，
，
，
解得：，经检验是原方程的解，
∴．
4.（1）
=
=
=
=
（2）
=
=
=
=
=
（3）∵
∴
∴
故
解得x=-
经检验，x=-是原方程的解.
【题型7 利用通分或约分代入求分式的值】
1.
【分析】根据得到，再整体代入进行计算即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：．
2.D
【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可．
【详解】由题意可得，，则，
∴，
故选：D．
3.
【分析】先将已知条件化简为，然后将分式化简，整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
故答案为：．
4.
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以，分式的值不变，再把代入计算即可．
【详解】解：分式的分子分母都除以，得：
，
，
原式，
故答案为：．
【题型8 利用倒数法求分式的值】
1.解：（1）第①步由得到逆用了法则：；第②步运用了公式：；
故答案为：；；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.（1）解：∵，
∴的倒数，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴的倒数
，
∴．
3.（1）解：∵，
∴，则，
即；
（2）解：取倒数得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
4.解：∵，且
∴
∵
∴．