2025高三适应性考试（三）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】不等式，可化为，所以，
所以或，故或，
不等式的解集为，
所以，
所以.
故选：C．
2. 已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（ ）
A 2 B. C. 0 D. 1
【答案】A
【详解】，，
因为与共线，，
故选：A．
3. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 36 B. C. D. 6
【答案】D
【详解】等比数列中，，，
，由于故，所以，
故选：D．
4. 已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（ ）
A. B. 2 C. D. 18
【答案】A
【详解】由题意得，，
则新数据的方差
，
故选：A．
5. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
【答案】B
【详解】直线过定点，圆，
设到距离为，
，时，.
故选：B
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【详解】因点A在C上，则，又，为正三角形，
如图，准线与轴交于点，在中，，所以，
即.
故选：B
7. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
根据，不妨设上底面边长为2，下底面边长为3，
则在正三棱台，可知上表面面积，下表面面积，
过O作分别交AB，BC于点E，F，
O为的重心，，
且，则四边形为平行四边形，
且 ，同理可得且，为三棱柱，
设此正棱台高为，
则台体体积，
棱柱的体积，另一部分体积，
两部分体积之比为，
故选：B．
8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为
，
所以，
因为与关于y轴对称，则，，
，得，，
所以的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【详解】，如，，此时与无大小关系，A错．
，，，，，B对．
，，，
即，
则，，C对．
设，，此时但，D错，
故选：BC．
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 的对称中心为
C. 过点作曲线的切线有三条
D. 若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间
【答案】AB
【详解】对于A中，由函数，可得，令，可得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在处取极大值，在处取极小值，所以 A正确；
对于B中，因为函数为奇函数，关于对称，
所以函数关于中心对称，所以B正确；
对于C中，作出的大致图象，如图所示，
当时，为上凸函数，在拐点处的切线为，
它与恰交于；
当时，为上凹函数，，
过只能作的两条切线，所以C错误；
对于D中，由A知函数在上单调递增；上单调递减；
要使有零点，则只需，解得，
当时，大致图象如下
可得有一个零点之间，但另一零点，所以D错误.
故选：AB．
11. 已知数列，设，若满足性质：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则数列为“梦想数列”
B. 若数列是“梦想数列”，则常数
C. 若数列的前n项和，则数列为“梦想数列”
D. 若数列是“梦想数列”，则为等差数列
【答案】ABD
【详解】若是“梦想数列”，则①，
交换i，j的位置②，，
，B正确．
对于A，若，对两两不等的正整数i，j，k
符合条件，
为“梦想数列”，A正确．
对于C，，取，，，，
不为“梦想数列”，C错．
对于D，令，，记为数列的前n项和，是“梦想数列”，
，
①，
时，②，
，
（且），而时，上式也成立
对恒成立，为等差数列，D正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，母小题5分，共15分．
12. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为_______．
【答案】
【详解】上底正方形外接圆圆心，半径，下底正方形外接圆圆心，半径，
设球心O半径R，
，，
该四棱台外接球的表面积.
故答案为：.
13. 函数的最小值为______．
【答案】1
【详解】当时，，此时，，令得：，令得：，故此时在处取得最小值，；
当时，，此时，此时在单调递减，且；
综上：函数的最小值为1.
故答案为：1
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_______．
【答案】
【详解】
如图，由题意，令，则，，，
因为以为直径的圆过，则，
又为梯形，易知，所以，
则在中，由勾股定理可得，整理得，
因为，所以解得，
在中，由勾股定理可得，
且，则，
在中，由余弦定理可得，
，
解得，，整理得，
，即
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，，，且，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）若平面平面，直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
取中点，连接，
因为，且为中点，所以，
又因为为中点，所以，
因为，所以
又因为，平面，平面，
所以面，因为面，所以．
【小问2详解】
因为面面，面面，，平面，
所以面，可得为PN与平面ABCD所成角，即，
在梯形中，由，且为中点，
可得，所以，
又因为，可得，
以为中点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
设面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又因为平面，所以平面的一个法向量，
则，所以二面角余弦值为
16. 已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．
（1）求甲同学取球两次即终止的概率；
（2）求随机变量X的分布列及期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，．
小问1详解】
设甲同学取球两次即终止为事件A，．
【小问2详解】
X的可能取值为0，1，2，3，4
，；
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
答：甲同学取球两次即终止的概率为，随机变量X的期望为．
17. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
由得，即，
由余弦定理得：，即，
化简得：，
由正弦定理有：，
即，化简得：，
因，，所以，
因为正弦函数在上单调递增，故，即.
【小问2详解】
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，则，解得，则，
令，则目标式为，其中，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
因，，故，
故当时，.
因此，的取值范围是.
18. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围；
（3）若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由题意，解得，所以，
所以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
由题意，
令，则，
当时，，当且仅当取等号；
当时，，当且仅当取等号；
所以或，
即的取值范围为．
【小问3详解】
方法一：①当l斜率不为0时，
设直线，，，则，，
，
，
，，
所以，即，
所以，代入得，
（*）
，O到直线l的距离，
，
当且仅当，即时取“=”．
②当l斜率为0时，设直线，联立，
则，
由得，解得，
所以，
综上：．
方法二：设，，，，
由，
，，
设，，其中，，
即，，
，
，而，，
当且仅当或2即，或，时，取最大值1．
19. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设．
（1）讨论的极值；
（2）若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围；
（3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：．
【答案】（1）无极小值．
（2）．
（3）证明见解析
【小问1详解】
．
当时，在上单调递减，无极值；
当时，令易知在上单调递增；上单调递减，
无极小值．
【小问2详解】
方法一：设，不妨设，
由是其定义域上的＂等差偏移＂函数，
，
令，
，而时，，，，
即a的取值范围为．
方法二：设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为，
由“等差偏移”函数定义知：，化简得：
，
即：，即，
令，函数，，
故，又因为，所以，
【小问3详解】
方法一：时，，，
，假设，，，
令，，，
在上单调递增，，对恒成立
时
，
而，对恒成立
．
方法二：，则，
设，，
因为，当时在单调递增，，故．
构造函数，
即在单调递增，则，故当时，
所以有，故
即．
所以，即；
故2025高三适应性考试（三）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（ ）
A 2 B. C. 0 D. 1
3. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 36 B. C. D. 6
4. 已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（ ）
A. B. 2 C. D. 18
5. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 的对称中心为
C. 过点作曲线的切线有三条
D. 若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间
11. 已知数列，设，若满足性质：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则数列为“梦想数列”
B. 若数列是“梦想数列”，则常数
C. 若数列的前n项和，则数列为“梦想数列”
D. 若数列是“梦想数列”，则为等差数列
三、填空题：本题共3小题，母小题5分，共15分．
12. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为_______．
13. 函数的最小值为______．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，，，且，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）若平面平面，直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
16. 已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．
（1）求甲同学取球两次即终止的概率；
（2）求随机变量X的分布列及期望．
17. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
18. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围；
（3）若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值．
19. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设．
（1）讨论的极值；
（2）若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围；
（3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：．
