山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学（A）试卷（含解析）

山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题A
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某学校寒假期间安排4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求2名学生，则分配方案有（ ）
A．24种 B．12种 C．6种 D．3种
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．2 C． D．6
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．某商场举办购物抽奖活动，每次从中任意抽取一个数字，其中将抽到的各位数字之和为8的三位数称为“幸运数”（如224是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A． B． C． D．
7．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
10．已知函数函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则恰有2个零点
B．若，则恰有4个零点
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若恰有2个零点，则的取值范围是
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（ ）
A．函数是偶函数 B．
C．函数的图象关于点对称 D．
三、填空题
12．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数a= .
13．的展开式中常数项为 （用数字作答）.
14．已知，若关于的方程无解，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
(1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
(2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
16．已知．
(1)当时，讨论的单调区间；
(2)若在定义域内单调递增，求的取值范围．
17．已知
(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；
(2)若，且，求．
18．已知函数．
(1)若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围；
(2)当时．
证明：（i）若，则恒成立；
（ii）若，则恒成立．
19．设是定义域为的函数，当时，.
(1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数；
(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.
山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题A参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D B A A B AB ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】.
故选：C.
2．C
【详解】由题意知：含的项为，故的系数为.
故选：C.
3．C
【详解】对于A，时，，函数在上单调递增，A错误；
对于B，函数是奇函数，B错误；
对于C，函数是偶函数，当时，，在上单调递减，C正确；
对于D，由得函数的定义域为，不关于原点中心对称，D错误.
故选：C.
4．D
【详解】由已知可得，，
由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率.
对于A、B项，由可得，，解得.
当时，切点为，此时切线方程为，
整理可得，切线方程为，故B项正确.
当时，切点为，此时切线方程为，
整理可得，切线方程为，故A项正确；
对于C、D项，由可得，，解得，切点为，
此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误.
故选：D.
5．B
【详解】由，则，
符合题意的三位数有，共个.
故选：B.
6．A
【详解】由，,，两边同时除以，得，
又展开式中的系数为，
所以，
所以
故选：A
7．A
【详解】令，得，即，
记，求导得，
因为当时，，函数在单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
且当时，且，当时，且，
则函数的大致图象如图，
交点有3个，所以，
所以的取值范围为.
故选：A.
8．B
【详解】由，则，即，，所以.
故选：B.
9．AB
【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.
故选：AB.
10．ACD
【详解】令，
则，解得或.
当时，.由，得；由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，.
，当时，取最小值，最小值为，
故的大致图象如图所示.由图可知，有且仅有1个实根.
当时，恰有1个零点，故A错误；
当时，有3个实根，则恰有4个零点，故B正确；
由恰有3个零点，得恰有2个实根，则或或，则错误；
由恰有2个零点，得恰有1个实根，且，
则或或，则D错误.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】对A，因为，所以，
所以函数是偶函数，故A正确；
对B，因为为偶函数，所以，即，
所以，即，令，得，
所以，故B错误；
对C，因为，所以，
即，又，所以，
所以，所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故C正确；
对D，因为，令，得，
所以，又，所以，
，…，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】令，解得，所以切点为，
将代入切线得.
故答案为：
13．
【详解】，
故展开式中含的项为展开式中常数项为，
所以展开式中的常数项为，
故答案为：
14．
【详解】，令（，且），
，
又，
令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
, 即.
在上是单调递减函数.
（，且），
（，且），
令（，且），则，
当或时，单调递减，
当时，单调递增，
又因为当时，，则，当时，，则，
画出的图象，如图所示：

由图可知，当时，关于的方程无解.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15．(1)540种；
(2)65种.
【详解】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
16．(1)单调增区间是，单调递减区间为.
(2)．
【详解】（1）当时，，定义域.
.
令，即解得：；
令，即解得：；
∴当时，函数的单调增区间是，递减区间为.
（2）∵，∴
∵在上单调递增，即恒成立，
∵时
∴，即a的取值范围为．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由于的二项展开式中第项的二项式系数为且最大（唯一），可得，
所以展开式的通项为（且），
所以当时，故展开式中的系数为；
（2）若，
则展开式的通项为（且），
当为奇数时，即的偶次项系数为负，当为偶数时，即的奇次项系数为正，
所以，
又，
故．
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）由已知可得，由可得．
令，则，
当时，有，所以，所以在上单调递减．
又，所以在上的值域为；
当时，有，所以，所以在上单调递增．
又，所以在上的值域为．
作出函数在的图象如图所示，
由图象可知，当时，有两解，
设为，且．
由图象可知，当时，有，即；
当时，有，即；
当时，有，即．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值．
综上所述，的取值范围为．
（2）（i）构造函数，则，
令，则在时恒成立，
所以，即在上单调递增，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以，当时，．
因为，故在上，．
令，则，
令，
故，即为增函数，所以，
所以为增函数，所以，
即，即，所以．
又，所以，当时，有；
（ii）在（i）的条件下，只需讨论上成立，
因为，所以．
令在上恒成立，
所以，在上单调递增，所以，
所以，当时，有，所以．
又，所以．
综上所述，在上，恒成立．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）不妨设，在区间上严格减，
对任意，有，
又，
函数在区间上是严格减函数；
（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，
当在区间上严格减时，在区间上是严格减，
又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，
因为.是函数的极值点，
所以是的根，所以，
当时，.
令，解得或，
所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
满足条件，所以.
（3）当时，
由条件知，
当时，对任意，有，
即，
又的值域是，，
当时，对任意，有，
，
又的值域是，，
综上可知，任意，.