山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期4月期中数学(B)试卷(含解析)

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名称 山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期4月期中数学(B)试卷(含解析)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-06-05 22:30:02

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文档简介

山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下面命题中,正确的是( )
A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则
2.复数的虚部是( )
A. B.1 C. D.
3.已知向量在上的投影向量为,且,则( )
A. B. C. D.
4.设,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.在中,,.若,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知复数,则( )
A. B. C. D.1
7.在日常生活中,我们会看到这样的情境:两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为,作用在行李包上的两个拉力分别为,,且,与的夹角为,则下列结论中正确的是( )
A.越小越费力,越大越省力 B.的范围为
C.当时, D.当时,
8.在中,内角的对边分别为,为BC边上一点,且,则的面积为()
A. B. C. D.
二、多选题
9.若是复数,其在复平面内对应的点为,下列说法正确的是( )
A.为纯虚数
B.若,则
C.若,则的轨迹是以为圆心,半径为1的圆
D.若,则
10.已知向量,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若在上的投影向量为,则向量与的夹角为
D.的最大值为3
11.在中,角所对的边分别为,,,O为外接圆圆心,则下列结论正确的有( )
A. B.外接圆面积为
C. D.的最大值为
三、填空题
12.请写出一个满足的复数 .(写出一个即可)
13.如图,在边长为3的正方形ABCD中,,若P为线段BE上的动点,则的最小值为 .
14.深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图(如图),徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成,其中,劣弧所在的圆为三角形的外接圆,圆心为.已知,外接圆的半径是2,则该图形的面积为 .
四、解答题
15.在复平面内,复数,.
(1)若复数对应的点在虚轴上,求实数的取值范围;
(2)若复数对应的点在第二象限或第四象限,求实数的取值范围.
16.已知向量.
(1)若向量与共线,求实数的值;
(2)若向量与的夹角为锐角,求实数的取值范围.
17.如图,在中,.设.
(1)用表示;
(2)若为内部一点,且.求证:三点共线.
18.已知复数,,.
(1)若,求角;
(2)复数,对应的向量分别是,,
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)存在使等式成立,求实数的取值范围.
19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题,该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于120°时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若,设点P为的费马点,求;
(3)设点P为的费马点,,求实数t的最小值.
山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期期中数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C A C D BCD ACD
题号 11
答案 ACD
1.C
【详解】对于,若,但两向量方向不确定,则不成立,故选项错误;
对于,向量无法比较大小,故选项错误;
对于,若,则两向量反向,因此,故选项正确;
对于,若,则,故选项错误.
故选:C
2.B
【详解】因为,虚部为.
故选:B.
3.A
【详解】依题意,向量在上的投影向量为,则,
由,得,于是,又,
所以.
故选:A
4.B
【详解】由于,故,
所以在复平面内对应的点为,在第二象限.
故选:B.
5.C
【详解】因为,所以,
又,所以,
所以,
又,、不共线,
所以,所以.
故选:C
6.A
【详解】因为,
所以.
故选:A
7.C
【详解】如图所示,根据题意依次分析选项:
对于A,由于,且,则有,即.
又为定值,故越小越省力,越大越费力,A错误;
对于B,当时,,行李包不会处于平衡状态,即,B错误;
对于C,当时,有,则,C正确;
对于D,当时,有,则,D错误.
故选:C
8.D
【详解】因为在中,,又为边上一点,且,
所以,
又,
所以,
所以,解得,
所以.
故选:D.
9.BCD
【详解】对于A,若,不是纯虚数,故A错误
对于B,因为,所以,故B正确
对于C,设即,
表示圆心在,半径为1的圆,故C正确
对于D,,设,则
,故D正确
故选:BCD.
10.ACD
【详解】对于A,由,得,因此,故A正确;
对于B,若,则,所以,所以,故B错误;
对于C,因,,
由在上的投影向量为,解得,
又,,故C正确;
对于D,因,
故,
当,即时,
也即时,取得最大值9,即的最大值为3,故D正确.
故选:ACD.
11.ACD
【详解】在中,由正弦定理及得:,
而,则有,即,又,,
则,所以,即,A正确;
由正弦定理得外接圆半径,该圆面积,B错误;
如图,,C正确;
由余弦定理得:,当且仅当时取等号,
因此,D正确.
故选:ACD
12.(答案不唯一)
【详解】令,则,
故答案为:(答案不唯一)
13.
【详解】解:在正方形中,建立如图所示坐标系,
由正方形边长为3且,
可得,
设,,则,
则,
故,
故当时,取得最小值为.
故答案为:.
14.
【详解】如图将圆O补充完整,连接OB,OC,取BC中点为D,连接AD.
因,为对应的圆周角,为对应的圆心角,
则,为正三角形,又外接圆半径为2,则弓形面积为.
因,则三角形为等腰三角形,AD平分角.
则,又,则.
又,
则,则.
则图形面积为:.
故答案为:.
15.(1)或
(2)或.
【详解】(1)由题意得,解得或;
(2)复数在复平面内对应的点为,
依题意可得,
则或
解得或,即实数的取值范围为或.
16.(1)
(2)
【详解】(1)由题意可得,,
若向量与共线,可得,
解得.
(2)若向量与的夹角为锐角可得且与不共线,
即可得,
解得且,
即实数的取值范围为且
17.(1),
(2)证明见解析
【详解】(1),

(2),
又,故,
故三点共线.
18.(1)
(2)(ⅰ),(ⅱ)
【详解】(1),,且,
,,即,,
又,故.
(2)(ⅰ)由复数的坐标表示可得,,,

又,则.
当时,取最大值为,当时,取最小值为,
的取值范围为;
(ⅱ),,

又,则,
化简得,,
,由小问(ⅰ)的结论可知,
,解得或,
综上所述,的取值范围为:.
19.(1)
(2)
(3)
【详解】(1)由,得,
故.
由正弦定理可得,故直角三角形,即.
(2)由(1)可得,所以三角形的三个角都小于,
则由费马点定义可知:,
设,
由,得,
整理得,
则.
(3)如图,点为的费马点,则,
设,
则由,得;
由余弦定理得,


故由,得,
即,而,,故,
当且仅当,结合,解得时,等号成立.
又,即有,解得或(舍去),
故实数的最小值为.
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