2025秋高考数学复习第九章第四讲随机事件与概率课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
第四讲　随机事件与概率
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随
机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，掌握随机事件概率的
运算法则.
3.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的
意义以及频率与概率的区别.
1.频率与概率
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出
现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着
试验次数的增加会逐渐稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来
估计概率 P(A).
内容 定义 符号表示
包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A
(或 A B)
相等关系 若B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
2.事件的关系与运算
内容 定义 符号表示
并事件
(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件) 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
内容 定义 符号表示
互斥事件 若A∩B是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立 A∩B＝ 且
A∪B＝Ω
3.概率的基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率 P(Ω)＝1.
(3)不可能事件的概率 P( )＝0.
(4)互斥事件的概率
如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(5)对立事件的概率
若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝1－P(B).
(6)如果 A B，那么 P(A)≤P(B).
(7)设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)－P(A∩B).
【名师点睛】概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概
率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋
P(An).
【常用结论】
(1)当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件 A，B
对立时，一定互斥.两事件互斥是对立的必要不充分条件.
(2)随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确
定的常数，但在大量随机试验中，事件 A 发生的频率逐渐稳定于
事件 A 发生的概率.
考点一 随机事件与样本空间
1.下列各项中，属于随机事件的是(
)
A.若正方形边长为 a，则正方形的面积为 a2
B.在没有任何辅助的情况下，人可以在真空中生存
C.在一个标准大气压下，温度达到 80 ℃时水会沸腾
D.抛掷一枚硬币，反面向上
解析：对于 A，若正方形边长为 a，由面积公式可知其面积为
a2，这是必然事件，故 A 不合题意；
对于 B，真空中没有空气，在没有任何辅助的情况下，人不
能在真空中生存，这是不可能事件，故 B 不合题意；
对于 C，在一个标准大气压下，只有温度达到 100 ℃，水才
会沸腾，当温度是 80 ℃时，水不会沸腾，这是不可能事件，故 C
不合题意；
对于 D，抛掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能是
反面向上，这是随机事件，故 D 符合题意.故选 D.
答案：D
2.(多选题)袋中装有标号分别为 1，3，5，7 的四个相同的小
)
球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是(
A.取出的两球标号为 3 和 7
B.取出的两球标号的和为 4
C.取出的两球的标号都大于 3
D.取出的两球标号的和为 8
解析：基本事件即只含有一个样本点的事件，选项 A，B，C
都只含有一个样本点，是基本事件；选项 D 中包含取出的两球标
号为 1 和 7，3 和 5 两个样本点，所以选项 D 不是基本事件.
答案：ABC
3.从 1，2，3，…，10 中任意选一个数，这个试验的样本空
间为________________________，“它是偶数”这一事件包含的
样本点个数为________.
解析：任选一个数，共有 10 种不同选法，故样本空间为Ω＝
{1， 2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有 5 个，故
“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为 5.
答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5
【题后反思】
(1)判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件
发生的条件.
(2)确定样本空间的方法
①必须明确事件发生的条件；
②根据题意，按一定的次序列出样本空间.特别要注意结果出
现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
考点二 事件的关系与运算
1.(2024 年广东佛山月考)向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
事件 A 表示两次点数之和小于 8，事件 B 表示两次点数之和既能
)
被 2 整除又能被 3 整除，则事件 A∩B 用样本点表示为(
A.{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}
B.{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}
C.{(1，5)，(2，4)，(3，3)}
D.{(1，5)，(2，4)}
解析：依题意，事件 A∩B 表示两次点数之和为 6，因此事件
A∩B 用样本点表示为{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
故选 A.
答案：A
2.(多选题)如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设
A＝“甲元件断路”，B＝“乙元件断路”，C＝“丙元件断路”，
)
则能表示电路是通路的事件是(
答案：ACD
3.对气球连续射击两次，每次发射一枚弓箭，设 A＝{两次都
击中气球}，B＝{两次都没击中气球}，C＝{恰有一次击中气球}，
D＝{至少有一次击中气球}，其中彼此互斥的事件是___________
_________________，互为对立事件的是________.
解析：A∩B＝A∩C＝B∩C＝B∩D＝ ，因此 A 与 B，A 与 C，
B 与 C，B 与 D 均为互斥事件.对于事件 B 与 D 而言，除了 B 或 D
以外没有其他可能的情况，因此 B 与 D 互为对立事件.
答案：A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D　B 与 D
【题后反思】
(1)判断互斥、对立事件的两种方法
①定义法：不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个
事件中有且仅有一个发生，则称这两个事件互为对立事件.
②集合法：由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集，
则事件互斥；事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集
中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集.
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面
考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部
的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用 Venn 图分析
事件.
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
考点三 随机事件的频率与概率
[例1]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到
下表：
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的
比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获
得好评的第四类电影的概率.
(2)随机选取 1 部电影，求这部电影没有获得好评的概率.
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不
同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率
数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率
减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比
值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋
200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25＝50.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4 ＋ 50×0.2 ＋ 300×0.15 ＋ 200×0.25 ＋ 800×0.2 ＋
510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件
下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会
不同
概率 本身是一个在[0，1]内的确定值，不随试验结果的改变而
改变
【题后反思】频率与概率的区别
【变式训练】
某河流上有一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：
104 kW·h)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位：mm)有关.据统
计，当 X＝70 时，Y＝460；X 每增加 10，Y 增加 5.已知近 20 年
X的值为 140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，
110， 160，160，200，140，110，160，220，140，160.
降雨量/mm 70 110 140 160 200 220
频率
(1)完成下面的近 20 年六月份降雨量频率分布表；
(2)假定今年六月份该河上游的降雨量与近 20 年六月份降雨
量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发
电站的发电量低于490×104 kW·h或超过530×104 kW·h的概率.
解：(1)在所给数据中，降雨量为 110 mm 的有 3 个，为
160 mm的有 7 个，为 200 mm 的有 3 个，
故近 20 年六月份降雨量频率分布表如下.
考点四 互斥事件、对立事件的概率
①求两人都破译不出密码的概率；
②求至多一人破译出密码的概率.
②事件“至多一人破译出密码”的对立事件为“两人都破译
出密码”，
“两人都破译出密码”的概率为
答案：C
【题后反思】求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的
概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.
提醒：(1)应用互斥事件的概率加法公式，一定要先确定各个
事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差).
间接法体现了“正难则反”的思想方法.
(2)应用互斥事件的概率加法公式解决问题的关键在于理解两
个事件 A，B 的交事件 A∩B 的含义，准确求出其概率.
【变式训练】
1.某法院与某高中联合开展“立德树人，尚法远航”法律职业
体验活动，其中甲、乙两位同学准备各自从立案庭、民事庭、刑
事庭这 3 个庭室中选择 1 个进行跟班学习，则甲、乙两名同学不
在同一个庭室的概率为(
)
A.
1
9
B.
1
3
2
C.
3
D.
3
4
答案：C
答案：0.9
⊙用“正难则反”的思想求对立事件的概率
[例3](1)现有 5 个不同编号的球，其中黑色球 2 个，白色球 2
个，红色球 1 个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球不都相
邻的概率是________.
排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
(2)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概
率如下：
①至多 2 人排队等候的概率是多少？
②至少 3 人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件
B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4
人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，
则事件 A，B，C，D，E，F 互斥.
①记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A∪B∪C，所
以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
②记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件
G，所以 P(H)＝1－P(G)＝0.44.
【反思感悟】“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，
如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题
时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用
“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的
难度.在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即
若事件 A 与事件 B 互为对立事件，在求 P(A)或 P(B)时，利用公式
P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个.
【高分训练】
1.(2024 年湖北联考)某校举行数学竞赛校内选拔赛(满分 100
分)，为了解本次选拔赛成绩的情况，随机抽取了 100 名参赛学生
的成绩，并分成了五组：第一组[50，60)，第二组[60，70)，第三
组[70，80)，第四组[80，90)，第五组[90，100].根据数据绘制成如
图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为 0.3，第一
组和第五组的频率相同.
(1)求频率分布直方图中 a，b 的值，并估计此次选拔赛的平均
成绩(同一组数据用该组数据的中点值代替)；
(2)设“甲解出该题”为事件 A，“乙解出该题”为事件 B，
“丙解出该题”为事件 C，“甲、乙、丙 3 人中至少有 1 人解出
该题”为事件 D，
2.一个盒子中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白
球，1 个绿球.从中随机取出 1 个球，求：
(1)取出的球是红球或黑球的概率；
(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率.