2025秋高考数学复习第九章第五讲古典概型课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
第五讲　古典概型
1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.
1.古典概型
具有以下两个特征的试验的数学模型称为古典概型(古典概率模型).
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
试验的所有可能结果数
2.古典概型的概率公式
P(A)＝
事件 A 包含的可能结果数
.
考点一 古典概型的判断
1.下列关于古典概型的说法中正确的是(
)
①试验中样本空间的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点发生的可能性相等；
A.②④
B.③④
C.①④
D.①③④
解析：由古典概型的特征知①③④正确，②错误.故选 D.
答案：D
2.下列问题中是古典概型的是(
)
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子，求出现 1 点的概率
C.在区间[1，4]上任取一个数，求这个数大于 1.5 的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是 5 的
概率
解析：A，B 两项中的样本点发生的可能性不相等；C 项中样
本点有无限多个；D 项中样本点发生的可能性相等，且样本点个
数有限，是古典概型.故选 D.
答案：D
考点二 古典概型的概率
[例1](1)(2024 年全国甲卷理科)盒子里有 6 个相同的球，分别
标有数字 1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取 3 次，每次取
1 个球.记 m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个
________.
若c＝1，则a＋b≤5，则(a，b)为(2，3)，(3，2)，有2种.
若c＝2，则1≤a＋b≤7，则(a，b)为(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(4，3)，有10种.
若c＝3，则3≤a＋b≤9，则(a，b)为
(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，5)，(2，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(5，4)，有16种.
若 c＝4，则 5≤a＋b≤11，同理有 16 种.
若 c＝5，则 7≤a＋b≤13，同理有 10 种.
若 c＝6，则 9≤a＋b≤15，同理有 2 种.
(2)已知集合 M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，
A 是集合 N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与 y＝x2＋1
的图象有公共点的概率是________.
【题后反思】求解事件 A 发生的概率 P(A)的解题关键
【变式训练】
1.(2024 年四川宜宾一模)从标有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡
片中无放回地随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 3
的倍数的概率为(
)
解析：根据题意，从 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，有(1，
2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，
6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共 15 种取
法，
其中抽到的 2 张卡片上的数字之积是 3 的倍数有(1，3)，(1，
6)，(2，3)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，6)，(5，6)，共
9 种情况，
答案：C
2.(2024 年上海长宁一模)设 O 为坐标原点，从集合{1，2，3，
4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素 x，y，组成 A，B 两点
的坐标(x，y)，(y，x)，则S△AOB≤10的概率为________.
解析：如图所示，补全正方形 OCDE，其中点 E 在 x 轴上，
点 C 在 y 轴上，A，B 分别在边 CD，DE 上.
考点三 古典概型的交汇问题
考向 1 古典概型与平面向量的交汇
[例2](2024 年江苏南通期中考)抛掷质地均匀的骰子两次，得
到的点数分别为 m，n.设平面向量 a＝(4，2)，b＝(m，n)，则向量
a，b 不能作为平面内的一组基底的概率为(
)
解析：a＝(4，2)，b＝(m，n)且 a，b 不能作为基底，则 m＝
2n.当 m＝2 时，n＝1；当 m＝4 时，n＝2；当 m＝6 时，n＝3.
两次投掷得到点数有 6×6＝36(种)可能，所以所求的概率为
答案：A
考向 2 古典概型与函数的交汇
答案：C
考向 3 古典概型与解析几何的交汇
[例4]将一枚骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线
ax＋by＝0 与圆(x－2)2＋y2＝2 有公共点的概率为________.
【题后反思】求解古典概型交汇问题的思路
【考法全练】
1.已知向量 a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从 6 张大小相同且分别
标有号码 1，2，3，4，5，6 的卡片中，有放回地抽取两次，每次
抽取 1 张卡片，x，y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号
码，则 a·b>0 的概率是(
)
A.
1
12
B.
3
4
C.
1
5
1
D.
6
解析：设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基
本事件有 6×6＝36(个).
由 a·b>0，得 x>2y.
故满足 x>2y 的基本事件有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，
(6， 1)，(6，2)，共 6 个.
答案：D
2.(2024 年湖北鄂州联考)先后两次掷一枚质地均匀的正方体
骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数f(x)＝x3a-2b是定义
域为 R 的偶函数的概率为________.
⊙古典概型与统计的综合应用
[例5](2021 年广东华师附中测试)某校从参加高一年级期末考
试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩(均为整数，单位：分)
分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如下不完整
的频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校高
一年级期末考试数学成绩的中位数；
(2)从被抽取的数学成绩是 70 分及以上的学生中任选 2 人，求
他们在同一分数段的概率.
解：(1)因为各组的频率之和等于 1，故第四小组的频率为
1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3.
补全的频率分布直方图如图.
【高分训练】
(2024 年广东汕头期中考)为了增加学生对奥运知识的了解，
弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.
根据测试成绩，将所得数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，
80)，[80，90)，[90，100]分成 6 组，其频率分布直方图如图所示.
(1)求 a 的值和该样本的第 75 百分位数；
(2)试估计本次奥运知识能力测试的平均成绩；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格(60 分以下)
的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出 5 名学生，再
从抽取的这 5 名学生中随机抽取 2 名学生进行情况了解，求这 2
名学生中成绩落在[40，50)，[50，60)中各有 1 人的概率.
解：(1)由题意可得(0.010＋0.015＋0.015＋a＋0.025＋0.005)×
10＝1，解得 a＝0.030.
因为 0.1＋0.15＋0.15＋0.3<0.75，0.1＋0.15＋0.15＋0.3＋0.25>
0.75，
所以该样本的第 75 百分位数位于[80，90).
所以设该样本的第 75 百分位数为 x，则可得方程 0.1＋0.15＋
0.15＋0.3＋(x－80)×0.025＝0.75，解得 x＝82，
即该样本的第 75 百分位数为 82.
(2)因为 45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋
95×0.05＝71(分)，故估计本次奥运知识能力测试的平均成绩为
71 分.