2025秋高考数学复习第九章第八讲离散型随机变量的数字特征课件(共50张PPT)

(共50张PPT)
第八讲　离散型随机变量的数字特征
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.
2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随
机变量的均值、方差解决一些简单实际问题.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
(1)均值
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b 为常数)
3.两点分布、二项分布与超几何分布的数字特征
(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
(3)若 X 为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取
【名师点睛】均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b 为常数).
【常用结论】
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中 k 为常数.
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若 X1，X2 相互独立，则 E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).
考点一 离散型随机变量的均值与方差
[例1](1)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，
在中国思想史上产生过深远影响.为弘扬中华优秀传统文化，某校
计划开展“四书”诵读比赛活动，某班有 4 名同学参赛，每人从
《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取 1 本进行准备，
且各自选取的书均不相同.比赛时，若这 4 名同学从这 4 本书中随
机抽取 1 本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的学生人
数的数学期望为(
)
A.
1
2
B.1
2
C.
3
D.2
答案：B
(2)(2024 年河北联考)某芯片公司生产甲、乙、丙 3 种型号的
芯片，每种芯片均需要 2 次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第 1
次光刻的良品率分别为 75%，80%，100%.只有第 1 次光刻为良品，
才能进行第 2 次光刻，否则为废品被淘汰，而甲、乙、丙芯片第 2
次光刻的良品率分别为 80%，75%，60%.第 2 次光刻的良品才是
合格品.
①从甲、乙、丙 3 种芯片的第 1 次光刻产品中各任取 1 件，
若恰有 2 件是良品，求甲芯片是良品的概率；
②甲、乙、丙 3 种芯片的每件合格品可为公司赚取利润 150
元，每件不合格品使公司赔 50 元，现生产甲、乙、丙芯片各 1 件，
设这 3 件芯片为公司赚取的利润为 X(单位：元)，求 X 的分布列、
数学期望与方差.
解：①设事件 Ai，Bi，Ci(i＝1，2)分别为甲、乙、丙 3 种芯片
第 i 次光刻为良品，
则P(A1)＝0.75，P(A2)＝0.8，P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.75，
P(C1)＝1，P(C2)＝0.6.
丙芯片第 1 次光刻肯定是良品，故恰有 2 件良品是甲、丙或
乙、丙，
所以甲芯片是良品的概率是
【题后反思】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值、方差的定义求 E(ξ)，D(ξ).
【变式训练】
1.(2024 年天津模拟)已知一个不透明的袋中有大小、质地相同
的 4 个红球、3 个白球和 2 个黑球.若不放回地摸球，每次摸 1 个
球，摸取 4 次，则恰有 3 次摸到红球的概率为________；若有放
回地摸球，每次摸 1 个球，摸取 3 次，则摸到红球的次数 X 的期
望为________.
2.一袋子中有除颜色外完全相同的 3 个白球和4个黑球，现从
袋中往外取球，每次任取 1 个球，记下颜色后放回，取球 7 次，
设取得的白球数为 X，则 D(X)＝(
)
答案：C
考点二 均值与方差在决策问题中的应用
[例 2](2024 年江苏南京月考)在一次知识竞赛中，参赛选手应
从 8 个不同的题目中随机抽取 3 个题目进行作答.已知这 8 个题目
中，选手甲只能正确作答其中的 6 个，而选手乙正确作答每个题
目的概率均为 0.75，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互
独立的.
(1)记选手甲正确作答的题目的个数为 X，乙正确作答的题目
的个数为 Y，求 X，Y 的分布列.
(2)结合你所学过的概率知识说明，甲、乙两名选手谁更优秀？
【题后反思】离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题
策略
实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有 E(ξ1)＝E(ξ2)或 E(ξ1)
与 E(ξ2)较为接近时，就需要用 D(ξ1)与 D(ξ2)来比较两个随机变量
的稳定程度.一般将期望最大(或最小)的方案作为最优方案.若各方
案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.
【变式训练】
(2024 年福建南平期末考)某公司举办联欢晚会，为活跃气氛，
计划举行抽奖活动，有两种方案.
方案一：不放回地从装有 2 个红球和 4 个白球的箱子中随机
抽出 3 个球，每抽出 1 个红球奖励 100 元.
方案二：有放回地从装有 2 个红球和 4 个白球的箱子中随机
抽出 3 个球，每抽出 1 个红球奖励 100 元.
分别用随机变量 X，Y(单位：元)表示某员工按方案一和方案
二抽奖的获奖金额.
(1)求随机变量 X 的分布列和数学期望.
(2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选
择哪种方案？请说明理由.
⊙利用分类讨论思想求数学期望
[例3](2024 年四川内江一模)某市为全面提高青少年健康素养
水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环
节，预赛成绩采用百分制，排名前 300 名的学生参加复赛.已知共
有 10 000 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地
抽取 100 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图.
(1)规定预赛成绩不低于 80 分为优良，若从上述样本中预赛成
绩不低于 70 分的学生中随机地抽取 2 人，求至少有 1 人预赛成绩
优良的概率.
(2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛
成绩 Z 近似服从正态分布 N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的 100
名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，
且σ2＝214，已知小明的预赛成绩为 95 分，利用该正态分布，估
计小明是否有资格参加复赛？
(3)复赛规则如下：①复赛题目由 A，B 两类问题组成，答对
A 类问题得 30 分，不答或答错得 0 分；答对 B 类问题得 70 分，
不答或答错得 0 分.②A，B 两类问题的答题顺序可由参赛学生选
择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题.
已知参加复赛的学生甲答对 A 类问题的概率为 0.8，答对 B 类问
题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使
累计得分的期望最大，学生甲应选择先答哪类问题？并说明理由.
取 2 人，至少有 1 人预赛成绩优良的概率为
解：(1)由题意可知抽取的 100 人中预赛成绩不低于 80 分的人
数为 100×10×(0.012＋0.005)＝17，
预赛成绩不低于 70 分的学生人数为 17＋100×10×0.016＝
33，
因此，从上述样本中预赛成绩不低于 70 分的学生中随机地抽
X 0 30 100
P 0.2 0.32 0.48
(3)若学生甲先答 A 类问题，设他的得分为随机变量 X，则 X
的可能取值有 0，30，100，
P(X＝0)＝0.2，P(X＝30)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝
0.8×0.6＝0.48，
所以随机变量 X 的分布列如下表所示.
E(X)＝0×0.2＋30×0.32＋100×0.48＝57.6.
Y 0 70 100
P 0.4 0.12 0.48
若学生甲先答 B 类问题，设他的得分为随机变量 Y，则 Y 的
可能取值有 0，70，100，
P(X＝0)＝0.2，P(X＝30)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝
0.6×0.8＝0.48，
所以随机变量 Y 的分布列如表所示.
E(Y)＝0×0.4＋70×0.12＋100×0.48＝56.4.
因为 E(X)>E(Y)，所以学生甲应先答 A 类问题.
【高分训练】
(1)记甲在一天内参加“四人赛”和“双人对战”两项活动
(两项活动均只参加一局)的总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答 5 道
题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，
积分为 0 分，只有全部答对 5 道题可以获得 5 个积分.该学习平台为
了吸引更多人参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从 1 阶
到 n(n≥10)阶，规定每轮答题获得 5 个积分进 2 阶，没有获得积分
进 1 阶，按照获得的阶级给予相应的奖品.若乙每次获得 5 个积分的