2025秋高考数学复习第九章第六讲离散型随机变量及其分布列课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第六讲　离散型随机变量及其分布列
1.理解离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻
画随机现象的重要性.
2.理解超几何分布及其推导过程，并能解决简单的实际问题.
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯
一的实数 X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量.可能取值为有限个
或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量X的分布列可用下表表示：
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
X 0 1
P 1－p p
3.两点分布和超几何分布
(1)两点分布
若随机变量X的分布列如下表所示：
则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率.
【名师点睛】利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，
此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
考点一 离散型随机变量分布列的性质
1.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数 a 的值为(
)
答案：A
答案：C
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
3.设离散型随机变量 X 的分布列如表所示.
(1)求随机变量 Y＝2X＋1 的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2 的分布列.
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
Y 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得
m＝0.3.
首先列表如下.
从而随机变量 Y＝2X＋1 的分布列如表所示.
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(2)列表如下.
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故随机变量η＝|X－1|的分布列如表所示.
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
(3)列表如下.
从而随机变量ξ＝X2 的分布列如表所示.
【题后反思】分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分
布列的正确性.
(2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用
这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
考点二 求离散型随机变量的分布列
[例 1]某商场销售某种品牌的空调器，每周初购进一定数量的
空调器，商场每销售一台空调器可获利 500 元.若供大于求，则每
台多余的空调器需交保管费 100 元；若供不应求，则可从其他商
场调剂供应，此时每台空调器仅获利润 200 元.
(1)若该商场某周初购进 20 台空调器，求当周的利润(单位：
元)关于当周需求量 n(单位：台，n∈N)的函数解析式 f(n)；
周需求量 n 18 19 20 21 22
频数 1 2 3 3 1
(2)该商场记录了去年夏天(共 10 周)的空调器周需求量 n(单
位：台，n∈N)，整理得下表.
以记录的每周需求量的频率作为每周需求量的概率，若商场
某周初购进 20 台空调器，X 表示当周的利润(单位：元)，求 X 的
分布列.
X 8 800 9 400 10 000 10 200 10 400
P 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1
(2)由(1)得 f(18)＝8 800，f(19)＝9 400，f(20)＝10 000，
f(21)＝10 200，f(22)＝10 400，
所以当周的利润 X 的所有可能取值分别为 8 800，9 400，
10 000，10 200，10 400，
易知 P(X＝8 800)＝0.1，P(X＝9 400)＝0.2，P(X＝10 000)＝
0.3， P(X＝10 200)＝0.3，P(X＝10 400)＝0.1.所以 X 的分布列为
【题后反思】离散型随机变量分布列的求解步骤
【变式训练】
一个盒子里装有 7 张卡片，其中红色卡片有 4 张，编号分别
为 1，2，3，4；白色卡片有 3 张，编号分别为 2，3，4.从盒子中
任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；
(2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求
随机变量 X 的分布列.
所以随机变量 X 的分布列如下.
考点三 超几何分布
[例 2]端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽
子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观
完全相同.从中任意选取 3 个.
(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；
(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列；
(3)求至少有一个豆沙粽的概率；
(4)设 Y 表示取到的粽子的种类，求 Y 的分布列.
综上可知，Y 的分布列如表所示.
【题后反思】求超几何分布的分布列的步骤
【变式训练】
在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品，
从这 10 件产品中任取 3 件，求：
(1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列；
(2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.