2025秋高考数学复习第九章第二讲排列与组合课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
第二讲　排列与组合
1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、
组合数公式.
2.能用排列数公式与组合数公式解决简单的实际问题.
名称 定义 区别
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 有序
组合 合成一组 无序
1.排列与组合的概念
内容 排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A　”表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C　”表示
2.排列数与组合数
【名师点睛】(1)排列数与组合数的关系：
考点一 排列问题
[例 1]有 3 名男生，2 名女生，在下列不同要求下，求不同的
排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中甲只能在正中间、最左侧或最右侧的
位置，共____种排法；
(2)全体排成一行，其中男生必须排在一起，共____种排法；
(3)全体排成一行，男生不能排在一起，共____种排法；
(4)全体排成一行，其中甲在乙的左侧，乙在丙的左侧，共
____种排法；
(5)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边，共
____种排法；
(6)若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，共
____种排法；
(7)排成前后两排，前排 3 人，后排 2 人，共____种排法；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 1 人，共____种排
法.
答案：(1)72 (2)36 (3)12 (4)20 (5)78 (6)72 (7)120
(8)36
【题后反思】求解排列应用问题的六种常用方法
【变式训练】
1.(2022 年新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排
参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方
)
式共有(
A.12 种
C.36 种
B.24 种
D.48 种
答案：B
2.(2023 年重庆月考)医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、
胸部CT、心电图、血压测量五个检查项目.为了体检数据的准确性，
抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部 CT
两项不连在一起检查.则不同顺序的检查方案一共有(
)
A.6 种
C.18 种
B.12 种
D.24 种
答案：B
考点二 组合问题
[例 2]某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15
种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？
【题后反思】组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则
先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些
元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题
必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重
复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，
考虑逆向思维，用间接法处理.
【变式训练】
(2023 年新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，
用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中
部两层共抽取 60 名学生.已知该校初中部和高中部分别有 400 名和
200 名学生，则不同的抽样结果共有(
)
答案：D
考点三 排列与组合的综合问题
考向 1 相邻问题
[例3]某会议期间，有 2 位女性和 3 位男性共 5 位领导人站成
一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有
2 位相邻的站法有(
)
A.12 种
B.24 种
C.48 种
D.96 种
答案：C
考向 2 相间问题
[例 4]某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和
1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是
(
)
A.72
B.120
C.144
D.168
答案：B
考向 3 特殊元素(位置)问题
[例5]2025 年春节放假安排如下：农历除夕至正月初七放假调
休，共 8 天.某单位安排 8 位员工值班，每人值班 1 天，每天安排
1 人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相
邻的两天值班，则不同的安排方案共有(
)
A.9 360 种
C.4 080 种
B.6 720 种
D.8 160 种
答案：D
【反思感悟】解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类.
(2)按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满
足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
【考法全练】
1.数学竞赛中，某校有 A，B，C，D，E，F 共 6 名同学获奖，
在竞赛结束后站成一排合影留念时，若 A，B 两人必须相邻且站
在正中间，C，D 两人不能相邻，则不同的站法共有(
)
A.48 种
B.40 种
C.32 种
D.24 种
答案：C
2.(2024 年福建泉州月考)7 名渔民各驾驶 1 艘渔船依次排队出
海，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同
的排法有(
)
A.96 种
B.120 种
C.192 种
D.240 种
答案：C
3.(2024 年湖南联考)1 对夫妻带着 3 个小孩和 1 个老人，手拉
着手围成一圈跳舞，3 个小孩互不相邻，则不同的站法共有(
)
A.6 种
B.12 种
C.18 种
D.36 种
答案：B
⊙排列组合中的分组与分配问题
考向 1 不同元素的整体均分问题
[例6]若将 6 名教师平均分配到 3 所学校去任教，有________
种不同的分法.
答案：90
考向 2 不同元素的部分均分问题
[例7]将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人至少
1 本的不同分法共有________种.
解析：把 6 本不同的书分成 4 组，每组至少 1 本的分法有 2
种.
①有 1 组 3 本，其余 3 组每组 1 本，不同的分法共有
答案：1 560
考向 3 不同元素的不等分问题
[例 8]若将 6 名教师分配到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2
名，一所 3 名，则有________种不同的分法.
答案：360
考向 4 相同元素的分配问题
[例 9]把 9 个完全相同的口罩分给 6 名同学，每人至少 1 个，
)
不同的分配方法有(
A.41 种
C.156 种
B.56 种
D.252 种
答案：B
【题后反思】分组与分配问题的解题思路
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“隔板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，
后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
提醒：对于部分均分问题，若有 m 组元素个数相等，则分组
时应除以
【高分训练】
1.(2023 年广东江门期末考)将 5 名教育志愿者分配到甲、乙、
丙、丁 4 个学校进行支教，每名志愿者只分配到 1 个学校，每个
学校至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有(
)
A.60 种
C.240 种
B.120 种
D.480 种
答案：C
2.(2024 年广东联考)某景区新开通了 A，B，C 共 3 个游玩项
目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志
愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行
体验，且甲不体验 A 项目，则不同的安排方法共有(
)
A.12 种
C.24 种
B.18 种
D.30 种
答案：C