2025秋高考数学复习第九章第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

(共42张PPT)
第九章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第一讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.会用两个计数原理解决一些简单的实际问题.
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的
方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有
N＝m＋n 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做
第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同
的方法.
项目 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
不同点 分类、相加 分步、相乘
每类方案中的每一种方法都
能独立完成这件事，且互不
重复 每步依次完成才算完成这件
事(每步中的每一种方法不
能独立完成这件事)
【常见结论】
两个计数原理的区别与联系
考点一 分类加法计数原理的应用
1.(2024 年广东汕头期中考)一个三位数的百位、十位、个位上
的数字依次为 a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字
时该三位数称为“有缘数”(如 213，134 等).若 a，b，c∈{1，2，
3，4，5}，且 a，b，c 互不相同，则三位数为“有缘数”的个数
为________.
解析：根据题意知在 1，2，3，4，5 中，能组成“有缘数”
的组合有(1，2，3)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)共 4 种情况.
由(1，2，3)组成的三位数有 123，132，213，231，312，321，
共 6 个.
同理可得每种情况均能组成 6 个三位数，
所以三位数为“有缘数”的个数为 4×6＝24.
答案：24
2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称
这样的三位数为“凸数”(如120，343，275等)，那么所有“凸数”
)
的个数为(
A.240
C.729
B.204
D.920
解析：若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，
“凸数”为 120 与 121，共2个.若a2＝3，则百位数字有两种选择，
个位数字有三种选择，则“凸数”有 2×3＝6(个).若 a2＝4，满足
条件的“凸数”有 3×4＝12(个)，…，若 a2＝9，满足条件的“凸
数”有 8×9＝72(个).所以所有“凸数”有 2＋6＋12＋20＋30＋
42＋56＋72＝240(个).故选 A.
答案：A
3.如果把个位数字是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做
“好数”，那么在由 1，2，3，4 四个数字组成的有重复数字的
四位数中，“好数”共有________个.
解析：当有三个 1 时“好数”有 2 111，3 111，4 111，1 211，
1 311，1 411，1 121，1 131，1 141.当有三个 2，3 或 4 时“好数”
有 2 221，3 331，4 441.根据分类加法计数原理可知，“好数”共
有 12 个.
答案：12
考点二 分步乘法计数原理的应用
[例1](1)从 1～12 这 12 个整数中随机抽取 3 个，则这 3 个数
的和能被 3 整除的情况有(
)
A.12 种
B.64 种
C.76 种
D.80 种
解析：在 1～12 中能被 3 整除的有 3，6，9，12，除以 3 余数
为 1 的有 1，4，7，10，除以 3 余数为 2 的有 2，5，8，11.抽取的
3 个数的和能被 3 整除有以下情况.
答案：C
(2)(多选题)(2024 年四川眉山期中考)现有 4 个编号为1，2，3，
4 的盒子和 4 个编号为 1，2，3，4 的小球，要求把 4 个小球全部
放进盒子中，则下列结论正确的是(
)
A.没有空盒子的放法共有 24 种
B.有空盒子的放法共有 256 种
C.恰有 1 个盒子不放小球的放法共有 144 种
D.没有空盒子且恰有 1 个小球放入与自己编号相同的盒子的
放法有 16 种
答案：AC
【题后反思】利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需
要几个步骤，且每步都是独立的.
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连
续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成.
【变式训练】
1.用 0，1，2，3，4，5，6 这 7 个数字可以组成_______个无
重复数字的四位偶数.
解析：当千位数字为奇数，即取 1，3，5 中的任意一个时，
个位数字可取 0，2，4，6 中的任意一个，百位数字不能取与这两
个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根
据分步乘法计数原理，有 3×4×5×4＝240(种)取法.
当千位数字为偶数，即取 2，4，6 中的任意一个时，个位数
字可以取除首位数字外的任意一个偶数，百位数字不能取与这两
个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，
根据分步乘法计数原理，有 3×3×5×4＝180(种)取法.
所以根据分类加法计数原理，共可以组成 240＋180＝420(个)
无重复数字的四位偶数.
答案：420
2.(2024 年广西柳州一模)如图，在 4×4 的网格中，有一只蚂
蚁要从点 A 爬到点 B，每次只能向右或向上爬一格，则从点 A 到
点 B 的路径总数为__________，若蚂蚁只在下三角形(对角线 AB
及以下的部分所围成的三角形)爬行，则从点 A 到点 B 的路径总数
为__________.
解析：蚂蚁从点 A 爬到点 B 需要爬 8 格，其中 4 格向右，4
格向上，
路径总数为从 8 格中选择 4 格向右的组合数，所以共有 ＝
70(种)路径.
若蚂蚁只在下三角形(对角线 AB 及以下的部分所围成的三角
形)爬行，有如下情况：
共 14 种.
答案：70 14
考点三 两个计数原理的综合应用
[例2](1)现有 5 种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同
区域进行涂色，要求相邻的两个区域不能使用同一种颜色，则不
同的涂色方法的种数是(
)
A.120
B.140
C.240
D.260
解析：由题意，先涂 A 处有 5 种涂法，再涂 B 处有 4 种涂法，
然后涂 C 处.若 C 处与 A 处所涂颜色相同，则 C 处有 1 种涂法，
D 处有 4 种涂法；若 C 处与 A 处所涂颜色不同，则 C 处有 3 种涂
法，D 处有 3 种涂法.由此可得不同的涂色方法有 5×4×(1×4＋
3×3)＝260(种).故选 D.
答案：D
由于a，b，c∈A且互不相等，故有以下四种情况符合题意.
第一种，指数函数y＝ax和对数函数y＝logbx在(0，＋∞)上单调递增，而幂函数y＝xc不在(0，＋∞)上单调递增，此时有序数对(a，b，c)共有2×1×2＝4(个)；　
第二种，指数函数y＝ax和幂函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，而对数函数y＝logbx不在(0，＋∞)上单调递增，此时有序数对(a，b，c)共有2×(1×2＋2×1)＝8(个)；
答案：24
第三种，对数函数y＝logbx和幂函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，而指数函数y＝ax不在(0，＋∞)上单调递增，此时有序数对(a，b，c)共有2×(1×2＋2×1)＝8(个)；
第四种，三个函数都在(0，＋∞)上单调递增，此时有序数对
(a，b，c)共有2×1×2＝4(个).
利用分类加法计数原理可得有序数对(a，b，c)共有4＋8＋
8＋4＝24(个).
【题后反思】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么.
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.
(3)弄清分步、分类的标准是什么.
(4)利用两个计数原理求解.
【变式训练】
1.甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学，2 名
女同学.若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 名同学中
恰有 1 名女同学的不同选法共有(
)
A.150 种
C.300 种
B.180 种
D.345 种
解析：这名女同学可以在甲组选出也可以在乙组选出，故分
两类计算.
答案：D
2.(2024 年河北石家庄期末考)如图，一只蚂蚁从点 M 沿方格
线爬行至点 N，则最短路线有________条.
解析：由题可知，从点 M 到点 N 的最短路线必经过点 A 或点
B，如图.
答案：150
3.(2024 年上海徐汇模拟)将四棱锥 S-ABCD的每个顶点染上一
种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有四种颜色可供使用，
则染色方法总数为________.
解析：以下分 A，C 同色和 A，C 异色两种情况讨论.
若 A，C 同色，则 A，C 的颜色有 4 种选择，S 的颜色有 3 种
选择，B 的颜色有 2 种选择，D 的颜色有 2 种选择，共有 4×3×
2× 2＝48(种)染色方法.
若 A，C 异色，则 A 的颜色有4种选择，C的颜色有3种选择，
S 的颜色有 2 种选择，此时 B，D 都只能选剩下的最后一种颜色，
共有 4×3×2＝24(种)染色方法.
综上所述，共有 48＋24＝72(种)染色方法.
答案：72
⊙两个计数原理的创新应用
[例 3]若 m，n 均为非负整数，在做 m＋n 的加法时各位均不
进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的有序对”，
称 m＋n 为有序对(m，n)的值，那么值为 1 942 的“简单的有序对”
的个数是________.
解析：第 1 步，1＝1＋0，1＝0＋1，共 2 种组合方式；
第 2 步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9
＋0，共 10 种组合方式；
第 3 步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，
共 5 种组合方式；
第 4 步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共 3 种组合方式.
根据分步乘法计数原理，值为 1 942 的“简单的有序对”的个
数是 2×10×5×3＝300.
答案：300
【反思感悟】解决两个计数原理的创新应用问题的关键是要
抓住题中给的新定义信息分步或分类进行推理.
【高分训练】
1.定义集合 A 与 B 的运算 A*B 为 A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，
若 A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合 A*B 的元素个数为
(
)
A.4
B.8
C.12
D.16
解析：根据新定义，先从集合 A 中，任选一个数，再从集合
B中任选一个数，组成一个有序数对，即有3×4＝12(个)有序数对，
故集合 A*B 的元素个数为 12.故选 C.
答案：C
2.埃及金字塔充满了各种未解之谜，在埃及金字塔内有组神秘
的数字 142 857，因为142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，
142 857×4＝571 428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组
数字还有如下发现：142＋857＝999，428＋571＝999，285＋714
＝999，…，若从这组神秘数字中任选 3 个数字构成一个三位数 x，
剩下的三个数字构成另一个三位数 y，若 x＋y＝999，将所有可能
的三位数 x 按从小到大依次排序，则第 12 个三位数 x 为(
)
A.214
B.215
C.248
D.284
解析：根据题意，数字 142 857 中，两个数字之和为9的组合
有 1＋8＝9，2＋7＝9，4＋5＝9，共 3 组，若 x＋y＝999，x 从小
到大排列为 124，125，142，147，152，157，174，175，214，
215， 241，248，…，故第 12 个三位数 x 为 248.故选 C.
答案：C