2025秋高考数学复习第七章第二讲两直线的位置关系课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
第二讲　两直线的位置关系
1.能用斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会
求两条平行直线间的距离.
名称 一般式 斜截式
直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0 l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
相交 k1≠k2
1.两条直线的位置关系
名称 一般式 斜截式
平行 k1＝k2，且b1≠b2
重合 k1＝k2，且b1＝b2
垂直 A1A2＋B1B2＝0 k1·k2＝－1
2.三个距离公式
(1)两点间的距离公式
两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离：
(2)点到直线的距离公式
点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离：
(3)两条平行直线间的距离公式
l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的
距离：
【常用结论】
(1)两直线平行的充要条件
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的
充要条件是 A1B2 －A2B1＝0 且 B1C2 －B2C1≠0(或 A1C2 －A2C1≠0).
注意，两直线斜率相等只是两直线平行的充分不必要条件(例外情
况为两直线均与 x 轴垂直，斜率均不存在).
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.注意，两直线斜率之积为－1只是两直线垂直的充分不必要条件(例外情况为两直线分别与x轴、y轴垂直).
(3)常见的对称关系
①点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，－y)，关于 y 轴的对称点
为(－x，y)，关于原点的对称点为(－x，－y)；
②点(x，y)关于 y＝x 的对称点为(y，x)，关于 y＝x＋b 的对称
点为(y－b，x＋b)，关于 y＝－x 的对称点为(－y，－x)，关于 y＝
－x＋b 的对称点为(b－y，b－x)；
③点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线
y＝b 的对称点为(x，2b－y).
考点一 两直线的平行与垂直
1.已知直线 l1：ax＋y－1＝0，直线 l2：x＋ay－2＝0，则
)
“a＝1”是“l1∥l2”的(
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当 l1∥l2 时，a2＝1，所以 a＝1 或 a＝－1.
当 a＝1 时，直线 l1：x＋y－1＝0，直线 l2：x＋y－2＝0，两
直线不重合，
当 a＝－1 时，直线 l1：－x＋y－1＝0，即 x－y＋1＝0，直线
l2：x－y－2＝0，两直线不重合.
所以当 a＝1 或 a＝－1 时，l1∥l2，所以“a＝1”是“l1∥l2”
的充分不必要条件.故选 A.
答案：A
选项B，假设存在a∈R，使l1∥l2，则a(a－1)－1×2＝0，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，l1：2x＋y－6＝0，l2：2x＋y－6＝0，两直线重合，舍去，
当a＝－1时，l1：－x＋y＋3＝0，即x－y－3＝0，l2：2x－
2y－6＝0，即x－y－3＝0，两直线重合，舍去，所以不存在a∈R，使l1∥l2，B错误；
答案：ACD
3.四边形 ABCD 的四个顶点分别是 A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，
D(11，6)，则四边形 ABCD 为(
)
A.矩形
C.等腰梯形
B.菱形
D.直角梯形
答案：D
【题后反思】解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思
后想”
考点二 两直线的交点与距离问题
[例 1](1)若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0 相交于
同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(
)
答案：A
(2)已知直线 l1：3x－4y－2＝0 与直线 l2：6x－8y＋3＝0 平行，
则 l1 和 l2 间的距离为(
)
A.
1
10
B.
1
5
C.
2
5
7
D.
10
答案：D
【题后反思】
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直
线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写
出直线方程.
(2)利用距离公式的注意点
①求点到直线的距离或两条平行直线间的距离时，应先化直
线方程为一般式；
②点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离为|x0－a|，到直线 y＝b 的
距离为|y0－b|；
③应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数
分别化为相等.
【变式训练】
1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大
时，a＝(
)
答案：B
2.若点 A(－3，－4)，B(6，3)到直线 l：ax＋y＋1＝0 的距离相
等，则实数 a 的值为(
)
答案：C
考点三 对称问题
[例 2](1)过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0
和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为
____________________；
解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a，8－2a)，则由题意知，点 A 关
于点P的对称点B(－a，2a－6)在 l2 上，代入 l2 的方程得－a－3(2a
－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4，0)在直线 l 上，因为 P(0，1)
也在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
(2)已知入射光线经过点 M(－3，4)，被直线 l：x－y＋3＝0 反
射，反射光线经过点 N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为
____________________.
答案：6x－y－6＝0
【题后反思】解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点 P′(x′，y′)
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点 M(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为 M′(m，n)，
解关于 m，n 的二元一次方程组，求出对称点 M′(m，n)的坐标.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【变式训练】
1.(2024 年河南期末考)已知 A(0，－3)，B(4，1)，P 是直线 l：
x－y－2＝0 上的一点，则当|PA |＋|PB|取最小值时，点 P 的坐标为
(
)
答案：B
2.已知三角形的一个顶点 A(4，－1)，它的两条角平分线所在
的直线方程分别为 l1：x－y－1＝0 和 l2：x－1＝0，则 BC 边所在
直线的方程为________________________.
解析：易得点 A 不在 l1 和 l2 上，因此 l1，l2 为∠B，∠C 的平
分线，所以点 A 关于 l1，l2 的对称点在 BC 边所在的直线上，
设点 A 关于 l1 的对称点为 A1(x1，y1)，点 A 关于 l2 的对称点为
A2(x2，y2).
答案：2x－y＋3＝0
⊙巧用直线系求直线方程
(1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是 y－y0＝k(x－x0)(k 是参数，
直线系中未包括直线 x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式
方程；
(2)平行于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是 Ax＋By＋
λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋
λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋
C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(A1B1≠A2B1，λ∈R，但不包括l2).
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解.
[例3](1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1
＝0(其中 m∈R)恒过定点，并求出定点坐标.
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，　
故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A(－1，2).
(2)求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0的交点P，
且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程.
(方法二)设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，
将方法一中求得的交点P(0，2)代入上式可得m＝－6，
故所求直线方程为4x＋3y－6＝0.
(方法三)设直线l的方程为x－2y＋4＋λ·(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l的方程为3x－4y＋8＝0.
【题后反思】确定方程含参数的直线所过定点的方法
(1)将直线方程写成点斜式 y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点
(x0，y0)；
(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及
常数项为 0 确定定点坐标；
(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而
确定定点坐标.
【高分训练】
1.(2024 年山东济南期中考)已知直线 l 经过 l1：2x－y＋4＝0
和 l2：x－y＋5＝0 的交点 C.
(1)若 l 与直线 x－4y＋4＝0 平行，求 l 的方程；
(2)若 l 到原点的距离等于 1，求 l 的方程.
2.( 多选题) 已知直线 l 的方程为 3x ＋4y －2 ＋λ(2x ＋y ＋2) ＝
0(λ∈R)，则(
)
A.直线 l 恒过定点(－2，2)
B.存在实数λ使直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距互为相反数
C.直线 l 的斜率一定存在
D.点 A(1，1)到直线 l 的距离最大值为
选项 C，l：(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0，当 4＋λ＝0 即λ＝
－4 时，直线 l 的斜率不存在，故 C 错误.
选项 D，点 A 到直线 l 距离的最大值为点 A(1，1)与定点(－2，
2)之间的距离，为 　 ，故 D 正确.故选 ABD.
答案：ABD