2025秋高考数学复习第一章第四讲不等式性质与解不等式课件(共50张PPT)

(共50张PPT)
第四讲　不等式性质与解不等式
1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不
等式的实际背景.
2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.
3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元
二次方程的联系.
关系 方法
作差法 作商法
a>b a－b>0
a＝b a－b＝0
a1.两个实数比较大小的依据
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b b传递性 a>b，b>c a＞c
可加性 a>b a＋c>b＋c
可乘性 注意 c 的符号
2.不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
同向可加性
同向同正
可乘性
可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) a，b同为正数
可开方性 a，b 同为正数
【名师点睛】(1)有关分式的性质
(2)分式不等式的解法
判别式
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1根x1＝x2＝　 没有实数根
3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集 {x|xx2}　 R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集 {x|x1考点一 不等关系与不等式的性质
考向 1 比较大小
通性通法：比较大小的 5 种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、
配方、有理化、通分等).
(2)作商法：直接作商与 1 的大小比较，注意两式的符号.
(3)函数的单调性法：把要比较的两个数看成一个函数的两个
值，根据函数的单调性比较大小.
(4)不等式的性质法.
(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，
从而得出结论.
[例1](1)(2024年海南海口阶段练习)若x－y)，N＝(x2－y2)·(x＋y)，则 M，N 的大小关系是________.
解析：M－N＝－2xy(x－y)，
因为 x所以 M－N>0，即 M>N.
答案：M>N
答案：M>N
考向 2 不等式的性质
通性通法：利用不等式的性质判断正误的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；
对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则，一是满足题设
条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表
性.
[例 2](多选题)(2023 年江苏苏州期中考)下列命题为真命题的
是(
)
答案：BCD
【考法全练】
1.(2024 年安徽蚌埠阶段练习)已知 a<0是(
)
答案：C
2.( 多选题)(2024 年江西抚州阶段练习) 下列命题成立的是
(
)
答案：BD
考点二 不含参的不等式
[例3](1)(多选题)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足
关于 x 的不等式[x]2＋[x]－12≤0 的解可以为(
)
A.
B.3
C.－4.5
D.－5
解析：因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0，
即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数 x 的最小整数，所以不
等式[x]2＋[x]－12≤0 的解可以为 3，－4.5.故选 BC.
答案：BC
(2)(2024 年上海静安一模)不等式|2x－1|<3 的解集为
__________.
解析：由不等式|2x－1|<3，得(2x－1)2－9<0，即(2x＋2)(2x－
4)<0，解得－1所以原不等式的解集为 x∈(－1，2).
答案：(－1，2)
【题后反思】解一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；
(2)判：计算对应方程的判别式；
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方
程有没有实根；
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
【变式训练】
关于 x 的方程 x2－4mx＋2m＋6＝0 至少有一个负实数根的充
要条件是(
)
综上可知 m＞－1，
即关于 x 的方程 x2－4mx＋2m＋6＝0 没有负实数根时，
m＞－1，
所以关于 x 的方程 x2－4mx＋2m＋6＝0 至少有一个负实数根
的充要条件是 m≤－1.故选 B.
答案：B
考点三 含参的不等式
[例 4] (2024年甘肃庆阳阶段练习)集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋
2a<0}，B＝{x|x2＋2x－3<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必
要条件，则实数 a 的取值范围是(
A.{a|－1≤a≤3}
C.{a|2)
B.{a|－1≤a≤2}
D.{a|a≥2}
解析：B＝{x|x2＋2x－3<0}＝{x|－3A＝{x|x2＋(a＋2)x＋2a<0}＝{x|(x＋a)·(x＋2)<0}，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
所以 A 是 B 的真子集.
当 a<2 时，A＝{x|－2所以－2<－a≤1，即－1≤a<2；
当 a＝2 时，A＝ ，此时，A 是 B 的真子集，符合题意；
当 a>2 时，A＝{x|－a所以－3≤－a<－2，即 2综上，实数 a 的取值范围为{a|－1≤a≤3}.
答案：A
【变式训练】
(2023 年山东泰安期末考)已知关于 x 的不等式 ax2－b≥2x－
ax(a，b∈R).
(1)若不等式的解集为{x|－2≤x≤－1}，求 a，b 的值；
(2)若 a＜0，解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax.
⊙一元二次不等式恒成立的问题
考向 1 在实数域 R 上恒成立
[例5]对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成
立，则实数 a 的取值范围是(
A.(－∞，2)
C.(－2，2)
)
B.(－∞，2]
D.(－2，2]
解析：当 a－2＝0，即 a＝2 时，－4<0 恒成立；
当 a－2≠0，即 a≠2 时，
解得－2综上所述，实数 a 的取值范围是(－2，2].
答案：D
考向 2 在给定区间上恒成立
[例 6](2024 年辽宁朝阳阶段练习)若对任意的 x∈(1，＋∞)，
关于x的不等式x2＋(4－a)·x＋9≥0恒成立，则a的最大值为(　　)
A.13
B.12
C.10
D.9
答案：C
考向 3 在给定参数范围内恒成立
[例7]已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成
立，则 x 的取值范围为(
)
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
D.(1，3)
答案：C
【反思感悟】一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)函数法(图象法)：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
①f(x)＞0 在 x∈R 上恒成立 a＞0 且Δ＜0；
②f(x)＜0 在 x∈R 上恒成立 a＜0 且Δ＜0；
(2)最值法(分离参数法)：对于含参数的不等式恒成立问题，常
通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题.
a＞f(x)恒成立 a＞fmax(x)，
a＜f(x)恒成立 a＜fmin(x).
【高分训练】
1.若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，
则 x 的取值范围为______________________________.
2.已知关于 x 的函数 f(x)＝2x2－ax＋1(a∈R).
(1)当 a＝3 时，求不等式 f(x)≥0 的解集；
(2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈(0，＋∞)恒成立，求实数 a 的最大
值.