四川省泸州市泸县普通高中共同体2024-2025学年高一下学期4月期中数学试卷（含解析）

四川省泸州市泸县普通高中共同体2024-2025学年高一下学期期中联合考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，则（ ）三点共线
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
4．“”是“为幂函数”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
5．已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，点 为 上的点，且满足 ，记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关于向量的命题，错误的是（ ）
A．
B．在边长为1的等边中，
C．若，则
D．若，则向量的夹角是钝角
10．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，一定有
B．若，那么一定是钝角三角形
C．一定有成立
D．若，那么一定是等腰三角形
11．某同学用“五点法”作函数在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据（见下表），则下列说法正确的是（ ）
0
0 0
A．
B．，都有
C．设方程在上有两个不等实数根，则
D．若函数在上单调，则的最大值为
三、填空题
12．若函数满足，且在区间上，则 ．
13．如图，在中，分别是与的中点，且与相交于点.若，，则 .

14．在中，角所对的边分别为，已知，且，则 ；当时，面积的最大值为 .
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知.
(1)若，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，求向量与的夹角余弦值.
16．在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边，角的终边经过点，且.将的终边沿逆时针方向旋转，得到角的终边.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
17．已知向量.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间
(2)将的图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，求的最小值；
(3)若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
18．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，且的面积为，求的周长；
(3)若为线段上一点，且，求角的最大值.
19．若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”.
(1)若函数是“型函数”，求的值；
(2)若函数是“型函数”，求和的值；
(3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围.
四川省泸州市泸县普通高中共同体2024-2025学年高一下学期期中联合考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D D B A C ABD ABC
题号 11
答案 ABD
1．A
【详解】由题可得，，则.
故选:A.
2．C
【详解】对A，为偶函数，故A错误；
对B，在上不为增函数，故B错误；
对C，既是奇函数又在上单调递增，故C正确；
对D，为偶函数，故D错误.
故选：C
3．A
【详解】对于A，因为，
所以，所以A、B、D三点共线，故A正确；
对于B，因为，，
所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误；
对于C，因为，，
所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误；
对于D，因为，，
所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误.
故选：A.
4．D
【详解】是幂函数，
则，即，解得或，
所以是为幂函数的充分不必要条件，
故选：D
5．D
【详解】由题意可得，，
则在方向上的投影向量是.
故选：D
6．B
【详解】因为,所以,
又,所以,
故选：B.
7．A
【详解】因为，所以M为BC的四等分点且靠近点C，
所以，
故选：A.
8．C
【详解】由题意，可得，
且，
在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得
，
所以.
故选：C.
9．ABD
【详解】A选项，，A错误；
B选项，在边长为1的等边中，，B错误；
C选项，若，则，C正确；
D选项，若，则向量的夹角是钝角或，D错误.
故选：ABD
10．ABC
【详解】对于A项：因为在三角形中，所以，
根据正弦定理：，所以，所以正确；
对于B项：因为，所以，，
故是钝角三角形，所以正确；
对于C项：，根据正弦定理，
，，所以正确；
对于D项：，即，，
解得或，所以错误.
故选：.
11．ABD
【详解】对于A，由可知，所以，，
，故，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，时，，
方程在上有两个不等实数根，
则与在上有两个交点，
则，所以，所以，故C错误；
对于D，在上单调，
，，
所以，所以，故的最大值为，故D正确；
故选：ABD
12．
【详解】由函数满足，得函数的周期为4，
，所以.
故答案为：
13．3
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由于，，
所以，，，，所以，
故，，
所以.
故答案为：
14．
【详解】根据题意知，
根据正弦定理边角互化可得，
再根据余弦定理可得，
化简变形可得，
当时，可得.
当，根据正弦定理边角互化可得，
根据余弦定理，
根据二次函数的性质可得当时，最大值为.
故答案为：1；
15．(1)
(2)
【详解】（1）由已知得
，所以：.
（2）设向量与的夹角为，
，
，
.
所以向量与的夹角的余弦值为.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知角的终边经过点，在平面直角坐标系中，对于角终边上一点，根据三角函数的定义
这里，则
所以.
（2）由角的终边经过点，根据三角函数的定义，
可得
因为，根据两角和的余弦公式，
则.
（3）因为，所以
已知，根据
可得
因为，根据两角差的余弦公式，
则.
把代入上式，
可得.
又因为，所以.
17．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）已知，
可得：
化简得：
.
，最小正周期
令，可得，
所以的单调递减区间是.
（2）的图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，
得到的图象.再向左平移个单位，
得到的图象.
因为为偶函数，所以.
移项可得
则，因为，当时，取得最小值为
（3）不等式在时恒成立，
即在时恒成立,.
时，，则
当时，取得最小值
所以）的最小值为，
所以.
18．(1)2
(2)6
(3)
【详解】（1）由可得，
由余弦定理可得，
即，化简可得，所以.
（2）已知的面积，由三角形面积公式，
可得，即，解得
由余弦定理，把
代入得：
即，则，所以.
所以的周长为.
（3）因为，所以，且，
由三角形面积公式，
则，即，
由余弦定理
则，
当且仅当时，等号成立，
又因为，所以，移项得.
根据辅助角公式（其中），
，则，即，
因为，所以，
由得，解得，
所以角的最大值为.
19．(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）已知函数是“型函数”，
根据“型函数”的定义，，
因为，所以，故，可得.
（2）因为函数是“型函数”，所以，即.
由题意可知，所以恒成立，
所以，解得，.
（3）因为函数是“型函数”，对应的实数对为，所以.
当时，；
当时，则.
当时，，在上单调递减.
故当时，，则在的值域为.
因为对任意时，都存在，使得，
所以在的值域是的子集，
根据题意，在等式中，令可得，解得，合乎题意；
若函数在区间、上的值域为、，则，，
对任意的，则，则，且，即，
所以，问题等价于函数在区间上的值域为的子集，
当时，，其对称轴为.
①若，即，在上单调递增，，
此时为的真子集，不合乎题意；
②若，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，且，，
由题意可知，函数在上的值域为的子集，则有，
解得，
③若，即，在上单调递减，，
此时不是的子集，不合乎题意.
综上：的取值范围是.