第1节 函数的概念及其表示
[课程标准要求]
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示
函数.
3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素:定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为同一个函数.
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,A即为函数的定义域,函数的值域C不是集合B,而是满足C B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[－2,0].
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
1.(人教A版必修第一册P66例3改编)下列选项中,表示的是同一个函数的是( )
[A] y=与y=
[B] y=x2与y=(x－1)2
[C] y=与y=x
[D] y=1与y=x0
2.(苏教版必修第一册P115习题5.2 T7改编)已知函数f(x)=若f(a)=6,则a等于( )
[A] 0 [B] 2 [C] －3 [D] 2或3
3.已知函数f(x)=(1－x+(2x－1)0,则f(x)的定义域为 .
4.(人教B版必修第一册P96探索与研究改编)已知函数f(－1)=x+4－5,则f(x)的解析式是 .
考点一 函数的定义域
1.(2025·北京模拟)函数f(x)=+ln(1－x)的定义域为( )
[A] (－∞,1)
[B] (－2,1)
[C] (－∞,－2)∪(－2,1)
[D] (－2,+∞)
2.已知函数y=f(x+1)的定义域是[2,4],则函数g(x)=的定义域为( )
[A] (2,3) [B] (2,3]
[C] (2,3)∪(3,6] [D] (2,3)∪(3,4]
3.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是 .
4.若函数f(x)=的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为 .
1.求给定函数的定义域
由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义.
2.求抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由 m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
考点二 求函数解析式
1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其图象过点(1,－1),且满足f(x+2)=f(x)+4x+4,则f(x)的解析式为 .
2.(2025·河南安阳模拟)已知函数f(x)对定义域{x|x≠0}内的任意实数x满足f(2x)－2f()=4x,则f(x)= .
3.(2025·江苏扬州模拟)写出满足f(x－y)=f(x)+f(y)－2xy的函数的解析式: .
4.(2025·江西九江模拟)设f(x)是定义在R上的单调函数,若 x∈R,f(f(x)－2x)=11,则f(x)的解析式为 .
函数解析式的求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)方程思想:已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
(4)赋值法:若已知抽象函数表达式,求解析式时常用赋值法.
考点三 分段函数及其应用
角度1 分段函数求值
[例1] 已知函数f(x)=则f(2 024)等于( )
[A] －1 [B] 0 [C] [D] 1
求分段函数的函数值,先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现 f(f(a)) 的形式时,应从内到外依次求值.
角度2 分段函数与方程、不等式
[例2] 已知函数f(x)=若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a的取值范围是( )
[A] (2,+∞)
[B] [－2,0)∪(0,2]
[C] (－∞,－2]∪[2,+∞)
[D] (－2,0)∪(0,2)
(1)根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
(2)求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=则f(log29)等于( )
[A] [B] [C] [D]
2.(角度2)设f(x)=若f(m)=f(m+1),则f()等于( )
[A] 14 [B] 16 [C] 2 [D] 6
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的有关概念 1,5,15
函数的表示法 2,7,8,9,12,13
分段函数 3,4,6,10,11,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·河南开封模拟)已知函数f(x)的定义域为[－1,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为( )
[A] [0,1] [B] [－1,0]
[C] [－,1] [D] [－,0]
2.已知函数f(x)满足f()+f(－x)=2x(x≠0),则f(－2)等于( )
[A] － [B] [C] [D] －
3.(2025·安徽合肥模拟)已知f(x)=则f(f(26))等于( )
[A] [B] [C] 1 [D] 2
4.(2025·吉林长春模拟)已知f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为( )
[A] 1 [B] 4 [C] 1或4 [D] 2
5.已知y=f(x)是定义域为A={x|x=sin ,k∈N*且k≤4},值域为B={π,e,}的函数,则这样的函数共有( )
[A] 6个 [B] 27个
[C] 64个 [D] 81个
6.(多选题)已知函数f(x)=则( )
[A] f(0)=2
[B] f(x)的值域为(－∞,4)
[C] f(x)<1的解集为(－∞,－1)∪(－1,1)
[D] 若f(x)=3,则x=或x=1
7.(5分)已知函数f(x)是一次函数,且[f(x)]2－3f(x)=4x2－10x+4,则f(x)的解析式为 .
8.(14分)已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x).
(1)求证:f(0)=0;
(2)求证:f(x)=其中k和h均为常数.
9.(2025·河南郑州模拟)若函数f(x)=的部分图象如图所示,则f(5)等于( )
[A] － [B] －
[C] － [D] －
10.(2025·四川成都模拟)设函数f(x)=则满足f(a)
[A] (－∞,0) [B] (0,+∞)
[C] (0,1) [D] (1,+∞)
[A] 2 [B] [C] 1 [D] 0
12.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x－1)+f(x－2),且当x<3时 f(x)=x,则下列结论中一定正确的是( )
[A] f(10)>100 [B] f(20)>1 000
[C] f(10)<1 000 [D] f(20)<10 000
13.(5分)已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1)时,f(x)=,则当x∈[1,2)时,f(x)= .
14.(15分)在一个实验中,发现某个物体离地面的高度y(单位:m)随时间x(单位:s)的变化规律可表示为f(x)=
(1)当k=1,m=2时,若此物体的高度不低于4 m时,能持续多长时间
(2)当且仅当x=6时,此物体达到最大的高度6,求实数k,m满足的条件.
15.(2025·江苏盐城模拟)一般地,设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x) 可解得唯一的x=(y)也是一个函数(即对任意一个y∈B,都有唯一的x∈A与之对应),那么就称x=(y)是函数y=f(x)的反函数,记作 x=f－1(y).在x=f－1(y)中,y是自变量,x是y的函数,习惯上改写成y=f－1(x)的形式.例如函数f(x)=2x－1的反函数为f－1(x)=.设 g(x)=(x>1),则函数h(x)=x+g－1(x)的值域为( )
[A] [8,+∞) [B] (8,+∞)
[C] (,+∞) [D] [9,+∞)
16.(5分)(2025·上海模拟)定义符号函数sgn(x)=则方程(1+sgn(x))·log2|x|+(1－sgn(x))·2x=1的解集为 .
第1节 函数的概念及其表示（解析版）
[课程标准要求]
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示
函数.
3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素:定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为同一个函数.
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,A即为函数的定义域,函数的值域C不是集合B,而是满足C B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[－2,0].
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
1.(人教A版必修第一册P66例3改编)下列选项中,表示的是同一个函数的是( )
[A] y=与y=
[B] y=x2与y=(x－1)2
[C] y=与y=x
[D] y=1与y=x0
【答案】 A
【解析】 对于A选项,y=的定义域是[－3,3),y=的定义域是[－3,3),
并且=,所以两个函数的定义域相同,对应关系相同,所以是同一个函数;
对于B选项,两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数;
对于C选项,y==|x|,所以两函数的对应关系不同,所以不是同一个函数;
对于D选项,y=1的定义域是R,y=x0的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.故选A.
2.(苏教版必修第一册P115习题5.2 T7改编)已知函数f(x)=若f(a)=6,则a等于( )
[A] 0 [B] 2 [C] －3 [D] 2或3
【答案】 B
【解析】 当a≥0时,则f(a)=a2+a=6,解得a=2或a=－3(舍去);当a<0时,则f(a)=5a+6=6,解得a=0(舍去).综上所述a=2.故选B.
3.已知函数f(x)=(1－x+(2x－1)0,则f(x)的定义域为 .
【答案】 (－∞,)∪(,1)
【解析】 将(1－x化为,所以x<1,又因为2x－1≠0,所以x≠.
综上,f(x)的定义域为(－∞,)∪(,1).
4.(人教B版必修第一册P96探索与研究改编)已知函数f(－1)=x+4－5,则f(x)的解析式是 .
【答案】 f(x)=x2+6x(x≥－1)
【解析】 f(－1)=x+4－5,
设－1=t,则=t+1,t≥－1,
所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)－5=t2+6t,
故f(x)=x2+6x(x≥－1).
考点一 函数的定义域
1.(2025·北京模拟)函数f(x)=+ln(1－x)的定义域为( )
[A] (－∞,1)
[B] (－2,1)
[C] (－∞,－2)∪(－2,1)
[D] (－2,+∞)
【答案】 C
【解析】 函数f(x)=+ln(1－x)有意义的条件是解得x<1且x≠－2,
所以函数f(x)的定义域为(－∞,－2)∪(－2,1).故选C.
2.已知函数y=f(x+1)的定义域是[2,4],则函数g(x)=的定义域为( )
[A] (2,3) [B] (2,3]
[C] (2,3)∪(3,6] [D] (2,3)∪(3,4]
【答案】 A
【解析】 因为函数y=f(x+1)的定义域是[2,4],所以2≤x≤4,所以2≤x+1≤3,
所以函数f(x)的定义域为[2,3].
所以要使函数g(x)=有意义,
则有解得2所以函数g(x)=的定义域为(2,3).
故选A.
3.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是 .
【答案】 [0,1)
【解析】 函数f(x)=的定义域为R,得 x∈R,ax2－2ax+1≠0恒成立,
当a=0时,1≠0恒成立;
当a≠0时,Δ=4a2－4a<0,得0综上,实数a的取值范围是0≤a<1.
4.若函数f(x)=的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为 .
【答案】 －
【解析】 函数f(x)的定义域是不等式ax2+abx+b≥0的解集.不等式ax2+abx+b≥0的解集为{x|1≤x≤2},所以
解得
所以a+b=－－3=－.
1.求给定函数的定义域
由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义.
2.求抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由 m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
考点二 求函数解析式
1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其图象过点(1,－1),且满足f(x+2)=f(x)+4x+4,则f(x)的解析式为 .
【答案】 f(x)=x2－2
【解析】 根据题意可知a+b+c=－1,
又a(x+2)2+b(x+2)+c=ax2+bx+c+4x+4恒相等,
化简得到(4a+b)x+4a+2b+c=(b+4)x+c+4恒相等,
所以
故a=1,b=0,c=－2,
所以f(x)的解析式为f(x)=x2－2.
2.(2025·河南安阳模拟)已知函数f(x)对定义域{x|x≠0}内的任意实数x满足f(2x)－2f()=4x,则f(x)= .
【答案】 －x－
【解析】 由f(2x)－2f()=4x,
得f(2x)－2f()=2·(2x),
即f(x)－2f()=2x,①
将x换为,得f()－2f(x)=2×,②
由①+2×②,得－3f(x)=2x+,
故f(x)=－x－.
3.(2025·江苏扬州模拟)写出满足f(x－y)=f(x)+f(y)－2xy的函数的解析式: .
【答案】 f(x)=x2
【解析】 f(x－y)=f(x)+f(y)－2xy中,令x=y=0,得f(0)=0;
令y=x得f(x－x)=f(x)+f(x)－2x2,
故f(x)+f(x)=2x2,
则f(x)=x2.
4.(2025·江西九江模拟)设f(x)是定义在R上的单调函数,若 x∈R,f(f(x)－2x)=11,则f(x)的解析式为 .
【答案】 f(x)=2x+3
【解析】 由 x∈R,f(f(x)－2x)=11,
可得f(x)－2x必为定值,
设f(x)－2x=m,即f(x)=2x+m,
由f(m)=2m+m=11,解得m=3,
所以f(x)=2x+3.
函数解析式的求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)方程思想:已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
(4)赋值法:若已知抽象函数表达式,求解析式时常用赋值法.
考点三 分段函数及其应用
角度1 分段函数求值
[例1] 已知函数f(x)=则f(2 024)等于( )
[A] －1 [B] 0 [C] [D] 1
【答案】 D
【解析】 由题意知f(2 024)=f(2)=f()=f()=f(3)=f(1)=f()=f()=sin=1.
故选D.
求分段函数的函数值,先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现 f(f(a)) 的形式时,应从内到外依次求值.
角度2 分段函数与方程、不等式
[例2] 已知函数f(x)=若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a的取值范围是( )
[A] (2,+∞)
[B] [－2,0)∪(0,2]
[C] (－∞,－2]∪[2,+∞)
[D] (－2,0)∪(0,2)
【答案】 D
【解析】 由a[f(a)－f(－a)]>0,知a≠0,
若a>0,则f(a)－f(－a)>0,
即a+1－[－2×(－a)－1]>0,
解得a<2,所以0若a<0,则f(a)－f(－a)<0,
即－2a－1－(－a+1)<0,解得a>－2,
所以－2综上,不等式的解集为(－2,0)∪(0,2).故选D.
(1)根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
(2)求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=则f(log29)等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由于log29>3,则f(log29)=f(log29)=f(log23)=+=3+=.故选B.
2.(角度2)设f(x)=若f(m)=f(m+1),则f()等于( )
[A] 14 [B] 16 [C] 2 [D] 6
【答案】 A
【解析】 因为f(x)的定义域为(0,+∞),
则解得m>0,
若m≥1,则m+1≥2>1,
可得2(m－1)=2m－2≠2m,不合题意;
若01,可得=2m,
解得m=.
综上所述m=,
所以f()=f(8)=14.
故选A.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的有关概念 1,5,15
函数的表示法 2,7,8,9,12,13
分段函数 3,4,6,10,11,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·河南开封模拟)已知函数f(x)的定义域为[－1,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为( )
[A] [0,1] [B] [－1,0]
[C] [－,1] [D] [－,0]
【答案】 D
【解析】 由题意
解得－≤x≤0.
故选D.
2.已知函数f(x)满足f()+f(－x)=2x(x≠0),则f(－2)等于( )
[A] － [B] [C] [D] －
【答案】 C
【解析】 由f()+f(－x)=2x(x≠0),①
可得f(－x)－xf()=－(x≠0),②
将①乘以x+②得2f(－x)=2x2－,
所以f(－x)=x2－.所以f(－2)=.故选C.
3.(2025·安徽合肥模拟)已知f(x)=则f(f(26))等于( )
[A] [B] [C] 1 [D] 2
【答案】 C
【解析】 因为26 > 4,
所以f(26)=log5(26－1)=2,又因为2<4,
所以f(f(26))=f(2)=e2－2=1.故选C.
4.(2025·吉林长春模拟)已知f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为( )
[A] 1 [B] 4 [C] 1或4 [D] 2
【答案】 B
【解析】 当a<1时,f(a)=2a－1=1,
则a－1=0,解得a=1(舍去);
当a≥1时,f(a)==1,则=2,
解得a=4.故选B.
5.已知y=f(x)是定义域为A={x|x=sin ,k∈N*且k≤4},值域为B={π,e,}的函数,则这样的函数共有( )
[A] 6个 [B] 27个
[C] 64个 [D] 81个
【答案】 A
【解析】 因为A=,B={π,e,},
由于函数的值域中含有3个元素,且定义域中含有3个元素,因此这是定义域与值域之间的一一对应关系构成的函数,因此共能构成3×2×1=6(个)函数.故选A.
6.(多选题)已知函数f(x)=则( )
[A] f(0)=2
[B] f(x)的值域为(－∞,4)
[C] f(x)<1的解集为(－∞,－1)∪(－1,1)
[D] 若f(x)=3,则x=或x=1
【答案】 BC
【解析】 f(0)=02=0,A错误;
当x≤－1时,f(x)=x+2≤－1+2=1;
当－1所以f(x)的值域为(－∞,4),B正确;
当x≤－1时,f(x)=x+2<1,解得x<－1;
当－1所以f(x)<1的解集为(－∞,－1)∪(－1,1),C正确;
当x≤－1时,f(x)=x+2=3,解得x=1(舍去);
当－1所以f(x)=3的解为x=,D错误.故选BC.
7.(5分)已知函数f(x)是一次函数,且[f(x)]2－3f(x)=4x2－10x+4,则f(x)的解析式为 .
【答案】 f(x)=－2x+4或f(x)=2x－1
【解析】 设f(x)=kx+b(k≠0),
则[f(x)]2－3f(x)=(kx+b)2－3(kx+b)=k2x2+(2kb－3k)x+b2－3b=4x2－10x+4,
则
解得k=－2,b=4或k=2,b=－1,
故f(x)=－2x+4或f(x)=2x－1.
8.(14分)已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x).
(1)求证:f(0)=0;
(2)求证:f(x)=其中k和h均为常数.
【证明】 (1)令x=0,
则f(0)=af(0),
因为a>0,所以f(0)=0.
(2)①当x≥0时,
由f(ax)=af(x),
得f(x)=f(x·1)=xf(1),
此时取k=f(1),
则有f(x)=kx;
②当x<0时,
f(x)=f[(－x)·(－1)]=(－x)f(－1)
=x[－f(－1)],
此时取h=－f(－1),则有f(x)=hx.
综上,f(x)=
9.(2025·河南郑州模拟)若函数f(x)=的部分图象如图所示,则f(5)等于( )
[A] － [B] －
[C] － [D] －
【答案】 A
【解析】 由题图知,方程ax2+bx+c=0的两根为2,4,且f(x)的图象过点(3,1),
所以解得a=－2,b=12,c=－16,
所以f(x)==,
故f(5)==－.故选A.
10.(2025·四川成都模拟)设函数f(x)=则满足f(a)[A] (－∞,0) [B] (0,+∞)
[C] (0,1) [D] (1,+∞)
【答案】 B
【解析】 ①当a<0时,2a<0,此时f(a)=f(2a)=1,不符合题意;②当a≥0时,2a≥0,f(a)0.综上,实数a的取值范围是(0,+∞).故选B.
11.(2025·江西南昌模拟)已知函数f(x)=若f(a－3)=f(a+2),则f(a)等于( )
[A] 2 [B] [C] 1 [D] 0
【答案】 B
【解析】作出函数f(x)的图象,如图所示.
因为f(a－3)=f(a+2),
且a－3所以
即－2此时f(a－3)=a－3+3=a,f(a+2)=,
所以a=,即a2=a+2,
解得a=2或a=－1(不满足a=,舍去),
则f(a)=.故选B.
12.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x－1)+f(x－2),且当x<3时 f(x)=x,则下列结论中一定正确的是( )
[A] f(10)>100 [B] f(20)>1 000
[C] f(10)<1 000 [D] f(20)<10 000
【答案】 B
【解析】 因为当x<3时f(x)=x,
所以f(1)=1,f(2)=2,
又因为f(x)>f(x－1)+f(x－2),
则f(3)>f(2)+f(1)=3,
f(4)>f(3)+f(2)>5,
f(5)>f(4)+f(3)>8,
f(6)>f(5)+f(4)>13,
f(7)>f(6)+f(5)>21,
f(8)>f(7)+f(6)>34,
f(9)>f(8)+f(7)>55,
f(10)>f(9)+f(8)>89,
f(11)>f(10)+f(9)>144,
f(12)>f(11)+f(10)>233,
f(13)>f(12)+f(11)>377,
f(14)>f(13)+f(12)>610,
f(15)>f(14)+f(13)>987,
f(16)>f(15)+f(14)>1 597,
f(17)>f(16)+f(15)>2 584,
f(18)>f(17)+f(16)>4 181,
f(19)>f(18)+f(17)>6 765,
f(20)>f(19)+f(18)>10 946>1 000,则B正确.故选B.
13.(5分)已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1)时,f(x)=,则当x∈[1,2)时,f(x)= .
【答案】
【解析】 根据f(x)=2f(x+1)得,f(x－1)=2f(x).
当x∈[1,2)时,x－1∈[0,1),f(x－1)==,
所以f(x)=f(x－1)=.
14.(15分)在一个实验中,发现某个物体离地面的高度y(单位:m)随时间x(单位:s)的变化规律可表示为f(x)=
(1)当k=1,m=2时,若此物体的高度不低于4 m时,能持续多长时间
(2)当且仅当x=6时,此物体达到最大的高度6,求实数k,m满足的条件.
【解】 (1)当k=1,m=2时,
f(x)=
由题意可知f(x)≥4,
若0≤x≤6,则8－≥4,解得2≤x≤6;
若6综上所述2≤x≤8,所以若此物体的高度不低于4 m时,能持续时间为8－2=6(s).
(2)令x+m=0,解得x=－m [0,6],可得m∈(－∞,－6)∪(0,+∞),因为f(x)=8－在[0,6]上单调递增,
由题意可得当x=6时,f(x)=8－=6,解得m=2,
且f(x)=12－kx<6在(6,12]内恒成立,
则解得k≥1.
综上所述m=2,k≥1.
15.(2025·江苏盐城模拟)一般地,设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x) 可解得唯一的x=(y)也是一个函数(即对任意一个y∈B,都有唯一的x∈A与之对应),那么就称x=(y)是函数y=f(x)的反函数,记作 x=f－1(y).在x=f－1(y)中,y是自变量,x是y的函数,习惯上改写成y=f－1(x)的形式.例如函数f(x)=2x－1的反函数为f－1(x)=.设 g(x)=(x>1),则函数h(x)=x+g－1(x)的值域为( )
[A] [8,+∞) [B] (8,+∞)
[C] (,+∞) [D] [9,+∞)
【答案】 D
【解析】 由题意可得g－1(x)=(x>4),
则h(x)=x+==
=(x－4)++5(x>4),
由x－4>0,可得h(x)≥2×+5=9,
当且仅当x=6时,等号成立,故h(x)的值域为[9,+∞).故选D.
16.(5分)(2025·上海模拟)定义符号函数sgn(x)=则方程(1+sgn(x))·log2|x|+(1－sgn(x))·2x=1的解集为 .
【答案】 {－1,}
【解析】 由题意知方程(1+sgn(x))·log2|x|+(1－sgn(x))·2x=1的定义域为{x|x≠0},当 x>0时,原式等价于2log2x+0=1,log2x=,x==;当x<0时,原式等价于0+2×2x=1,
2x+1=1=20,x+1=0,x=－1.
综上,原方程的解集为{－1,}.
(
第
15
页
)(共67张PPT)
第1节 函数的概念及其表示
第二章 函 数
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.函数的概念
一般地,设A,B是 ,如果对于集合A中的 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
非空的实数集
任意
唯一确定
知识梳理
2.函数的三要素
(1)函数的三要素: 、 、 .
(2)如果两个函数的 相同,并且 完全一致,则这两个函数为同一个函数.
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
释疑
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,A即为函数的定义域,函数的值域C不是集合B,而是满足C B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[－2,0].
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
知识梳理
解析法
列表法
释疑
分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
重要结论
直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
对点自测
1.(人教A版必修第一册P66例3改编)下列选项中,表示的是同一个函数的是
( )
A
对点自测
对点自测
[A] 0 [B] 2 [C] －3 [D] 2或3
B
【解析】 当a≥0时,则f(a)=a2+a=6,解得a=2或a=－3(舍去);
当a<0时,则f(a)=5a+6=6,解得a=0(舍去).综上所述a=2.故选B.
对点自测
对点自测
f(x)=x2+6x(x≥－1)
关键能力
课堂突破
考点一 函数的定义域
C
[A] (－∞,1)
[B] (－2,1)
[C] (－∞,－2)∪(－2,1)
[D] (－2,+∞)
A
[A] (2,3) [B] (2,3]
[C] (2,3)∪(3,6] [D] (2,3)∪(3,4]
[0,1)
1.求给定函数的定义域
由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义.
2.求抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由 m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
题后悟通
考点二 求函数解析式
1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其图象过点(1,－1),且满足f(x+2)=f(x)+4x+4,则f(x)的解析式为 .
f(x)=x2－2
3.(2025·江苏扬州模拟)写出满足f(x－y)=f(x)+f(y)－2xy的函数的解析式:
.
f(x)=x2
【解析】 f(x－y)=f(x)+f(y)－2xy中,令x=y=0,得f(0)=0;
令y=x得f(x－x)=f(x)+f(x)－2x2,
故f(x)+f(x)=2x2,
则f(x)=x2.
4.(2025·江西九江模拟)设f(x)是定义在R上的单调函数,若 x∈R,
f(f(x)－2x)=11,则f(x)的解析式为 .
f(x)=2x+3
【解析】 由 x∈R,f(f(x)－2x)=11,
可得f(x)－2x必为定值,
设f(x)－2x=m,即f(x)=2x+m,
由f(m)=2m+m=11,解得m=3,
所以f(x)=2x+3.
函数解析式的求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
题后悟通
(4)赋值法:若已知抽象函数表达式,求解析式时常用赋值法.
考点三 分段函数及其应用
角度1 分段函数求值
D
解题策略
求分段函数的函数值,先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现 f(f(a)) 的形式时,应从内到外依次求值.
角度2 分段函数与方程、不等式
D
[A] (2,+∞)
[B] [－2,0)∪(0,2]
[C] (－∞,－2]∪[2,+∞)
[D] (－2,0)∪(0,2)
【解析】 由a[f(a)－f(－a)]>0,知a≠0,
若a>0,则f(a)－f(－a)>0,
即a+1－[－2×(－a)－1]>0,
解得a<2,所以0若a<0,则f(a)－f(－a)<0,
即－2a－1－(－a+1)<0,解得a>－2,
所以－2综上,不等式的解集为(－2,0)∪(0,2).故选D.
解题策略
(1)根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
(2)求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
[针对训练]
B
[A] 14 [B] 16 [C] 2 [D] 6
A
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
函数的有关概念 1,5,15
函数的表示法 2,7,8,9,12,13
分段函数 3,4,6,10,11,14,16
基础巩固练
D
C
C
【解析】 因为26 > 4,
所以f(26)=log5(26－1)=2,又因为2<4,
所以f(f(26))=f(2)=e2－2=1.故选C.
[A] 1 [B] 4 [C] 1或4 [D] 2
B
[A] 6个 [B] 27个
[C] 64个 [D] 81个
A
BC
【解析】 f(0)=02=0,A错误;
当x≤－1时,f(x)=x+2≤－1+2=1;
当－1所以f(x)的值域为(－∞,4),B正确;
当x≤－1时,f(x)=x+2<1,解得x<－1;
当－1所以f(x)<1的解集为(－∞,－1)∪(－1,1),C正确;
7.(5分)已知函数f(x)是一次函数,且[f(x)]2－3f(x)=4x2－10x+4,则f(x)的解析式为 .
f(x)=－2x+4或f(x)=2x－1
8.(14分)已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x).
(1)求证:f(0)=0;
【证明】 (1)令x=0,
则f(0)=af(0),
因为a>0,所以f(0)=0.
8.(14分)已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x).
【证明】 (2)①当x≥0时,
由f(ax)=af(x),
得f(x)=f(x·1)=xf(1),
此时取k=f(1),
则有f(x)=kx;
综合运用练
A
B
[A] (－∞,0) [B] (0,+∞)
[C] (0,1) [D] (1,+∞)
【解析】 ①当a<0时,2a<0,此时f(a)=f(2a)=1,不符合题意;②当a≥0时,2a≥0,
f(a)0.综上,实数a的取值范围是(0,+∞).
故选B.
B
【解析】 作出函数f(x)的图象,如图所示.
12.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x－1)+f(x－2),且当x<3时 f(x)=x,则下列结论中一定正确的是( )
[A] f(10)>100 [B] f(20)>1 000
[C] f(10)<1 000 [D] f(20)<10 000
B
【解析】 因为当x<3时f(x)=x,
所以f(1)=1,f(2)=2,
又因为f(x)>f(x－1)+f(x－2),
则f(3)>f(2)+f(1)=3,
f(4)>f(3)+f(2)>5,
f(5)>f(4)+f(3)>8,
f(6)>f(5)+f(4)>13,
f(7)>f(6)+f(5)>21,
f(8)>f(7)+f(6)>34,
f(9)>f(8)+f(7)>55,
f(10)>f(9)+f(8)>89,
f(11)>f(10)+f(9)>144,
f(12)>f(11)+f(10)>233,
f(13)>f(12)+f(11)>377,
f(14)>f(13)+f(12)>610,
f(15)>f(14)+f(13)>987,
f(16)>f(15)+f(14)>1 597,
f(17)>f(16)+f(15)>2 584,
f(18)>f(17)+f(16)>4 181,
f(19)>f(18)+f(17)>6 765,
f(20)>f(19)+f(18)>10 946>1 000,则B正确.故选B.
(1)当k=1,m=2时,若此物体的高度不低于4 m时,能持续多长时间
(2)当且仅当x=6时,此物体达到最大的高度6,求实数k,m满足的条件.
应用创新练
D