第2节 函数的单调性与最值
[课程标准要求]
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最值.
2.理解函数的单调性、最值的作用和实际意义.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义.
函数 增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1
f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2∈I”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1(2)单调区间的定义.
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件 x∈D, 都有f(x)≤M; x0∈D, 使得 f(x0)=M x∈D, 都有f(x)≥M; x0∈D, 使得 f(x0)=M
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
1.函数单调性的等价定义
设任意x1,x2∈I(x1≠x2),则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在I上单调递增.
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在I上单调递减.
2.与函数运算有关的单调性结论
(1)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性.
(2)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数.
(3)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.
(4)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
1.(人教A版必修第一册P77思考改编)下列函数是增函数的为( )
[A] f(x)=|x| [B] f(x)=()x
[C] f(x)=x2 [D] f(x)=
2.(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y=在区间[1,2]上的最大值为( )
[A] [B]
[C] －1 [D] 不存在
3.(苏教版必修第一册P134 T6改编)设m为实数,若函数f(x)=x2+3x－2在区间(m,m+1)上单调递减,则m的取值范围为 .
4.(人教A版必修第一册P86习题3.2 T7改编)函数f(x)=的单调递减区间是 .
5.(人教A版必修第一册P86习题3.2 T8(3)改编)函数f(x)=x+在(－∞,－2]上单调递增,则k的取值范围为 .
考点一 函数的单调性与单调区间
1.已知函数y=f(x),x∈R.若f(1)[A] 函数f(x)在(－∞,+∞)上一定是增函数
[B] 函数f(x)在(－∞,+∞)上一定不是增函数
[C] 函数f(x)在(－∞,+∞)上可能是减函数
[D] 函数f(x)在(－∞,+∞)上不可能是减函数
2.(2025·浙江绍兴模拟)函数y=ln(x2－2x)的单调递减区间是( )
[A] (－∞,1) [B] (1,+∞)
[C] (－∞,0) [D] (2,+∞)
由复合函数的单调性可得y=ln(x2－2x)的单调递减区间为(－∞,0).故选C.
3.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( )
[A] y=ex [B] y=|x2－2x|
[C] y=log2x+x [D] y=
4.(2025·河南南阳模拟)函数y=|x|(1－x)在区间A上单调递减,那么区间A可以是( )
[A] (－∞,0)
[B] [0,]
[C] [0,+∞)
[D] (－∞,0)∪(,+∞)
(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.
(2)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法.
(3)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
考点二 函数单调性的应用
角度1 利用单调性比较大小
[例1]已知函数f(x)=2x+x3,若a=f(log32),b=f(),c=f(log2),则( )
[A] a[C] c比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,需要将变量转化到同一个单调区间内再进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
角度2 利用函数的单调性解不等式
[例2](2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x2－1)>f(3)的解集为( )
[A] (－2,2)
[B] (0,+∞)
[C] (－∞,0)
[D] (－∞,－2)∪(2,+∞)
求解含“f”的函数不等式的关键是根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)角度3 由函数单调性求参数范围
[例3]已知函数f(x)=在[,+∞)上单调递减,则a的取值范围是( )
[A] [－1,] [B] (－∞,－1]
[C] [－1,) [D] (－∞,－1)
利用单调性求参数
(1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较.
(2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
(3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·北京模拟)已知f(x)在(0,+∞)上单调递减,且x0>0,则下列结论中一定成立的是( )
[A] f(x0+1)>f(x0) [B] f(x0+1)[C] f(x0－1)>f(x0) [D] f(x0－1)2.(角度2)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1－x)的解集为( )
[A] (,+∞) [B] (－∞,)
[C] (,1) [D] (－1,)
3.(角度3)(2025·青海西宁模拟)已知函数f(x)=对任意x1≠x2,都有>0成立,则a的取值范围是( )
[A] (0,1) [B] (1,2]
[C] (0,1] [D] (1,2)
考点三 求函数的最值
1.若对任意实数a,b规定F(a,b)=,则函数F(3－x2,2x)的最大值为( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
2.(2025·广东中山模拟)函数y=lox+,x∈[1,2)的值域为 .
3.函数f(x)=2x2的最小值为 .
4.函数y=的值域是 .
求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点
(1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.
(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
函数单调性与单调区间 1,2
函数单调性的应用 3,5,6,8,9,12
函数的最值 7,11,13
综合问题 4,10,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)=2x2－mx+1在区间[－1,+∞)上单调递增,则f(1)的取值范围是( )
[A] [7,+∞) [B] (7,+∞)
[C] (－∞,7] [D] (－∞,7)
2.(多选题)下列函数中,在(2,4)上是单调递减的是( )
[A] y=()x [B] y=log2(x2+3x)
[C] y= [D] y=cos x
3.(2025·山东菏泽模拟)函数y=的单调递增区间为( )
[A] [,+∞)
[B] (－6,]
[C] [,1)和(1,+∞)
[D] (－∞,－6)∪(－6,]
4.已知f(x)=2x－a+1,且f(x)<6在区间(1,2)上恒成立,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,1] [B] [－1,+∞)
[C] (－1,1] [D] (－1,2]
5.(2025·四川绵阳模拟)已知f(x)为R上的减函数,则( )
[A] f(0.2－0.3)>f(log32)>f(0.5)
[B] f(0.5)>f(log32)>f(0.2－0.3)
[C] f(log32)>f(0.5)>f(0.2－0.3)
[D] f(0.2－0.3)>f(0.5)>f(log32)
6.(2025·安徽六安模拟)已知函数f(x)=()在区间(2,3)上单调递减,则正实数a的取值范围为( )
[A] (0,1) [B] (0,]
[C] (0,] [D] [,)
7.(5分)(2025·山东枣庄模拟)若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为3,则实数m= .
8.(13分)(2025·上海模拟)已知a>0且a≠1,函数f(x)=x2+bx+c,g(x)=loga[f(x)－ax].对任意
x∈R,f(x－4)=f(－x)恒成立,且f(1)=5.
(1)求实数b,c的值;
(2)若y=g(x)在[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
9.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=满足对任意的x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是( )
[A] (0,] [B] (0,1)
[C] [,1) [D] (0,3)
10.(2025·贵州贵阳模拟)已知正实数a,b满足e2a－2+eb=e2－2a+e－b,则a的最大值为( )
[A] 0 [B] [C] 1 [D]
11.(2025·河南襄城模拟)已知函数f(x)=的最大值为0,则实数a的取值范围为( )
[A] [0,2] [B] [0,1]
[C] (－∞,2] [D] [0,2)
12.(多选题)(2025·湖北孝感模拟)设函数f(x)=loga|x3－3ax|(a>0且a≠1)在区间(,2)上单调递减,则a的取值可以为( )
[A] [B] [C] [D] 3
13.(5分)已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)=x2－3x+1,其中x∈R.则f(x)的最小值为 .
14.(15分)已知函数f(x)=
(1)用定义法证明f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;
(2)若f(x)的最小值是6,求a的值.
15.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+
f(y)－1,当x>0时,f(x)>1,且f(2)=5,则关于x的不等式f(x)+f(4－3x)<6的解集为( )
[A] (1,+∞) [B] (2,+∞)
[C] (－∞,1) [D] (－∞,2)
16.(5分)已知函数f(x)=则f(f())= ;若f(x)在x∈(a,)上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围为 .
第2节 函数的单调性与最值（解析版）
[课程标准要求]
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最值.
2.理解函数的单调性、最值的作用和实际意义.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义.
函数 增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2∈I”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1(2)单调区间的定义.
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件 x∈D, 都有f(x)≤M; x0∈D, 使得 f(x0)=M x∈D, 都有f(x)≥M; x0∈D, 使得 f(x0)=M
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
1.函数单调性的等价定义
设任意x1,x2∈I(x1≠x2),则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在I上单调递增.
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在I上单调递减.
2.与函数运算有关的单调性结论
(1)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性.
(2)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数.
(3)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.
(4)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
1.(人教A版必修第一册P77思考改编)下列函数是增函数的为( )
[A] f(x)=|x| [B] f(x)=()x
[C] f(x)=x2 [D] f(x)=
【答案】 D
【解析】 对于A,f(x)=|x|在R上不具有单调性,不符合题意,舍去.对于B,f(x)=()x为R上的减函数,不符合题意,舍去.对于C,f(x)=x2在R上不具有单调性,不符合题意,舍去.对于D,
f(x)=为R上的增函数,符合题意.故选D.
2.(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y=在区间[1,2]上的最大值为( )
[A] [B]
[C] －1 [D] 不存在
【答案】 A
【解析】 y=在(－1,+∞)上单调递增,则y=在区间[1,2]上单调递增,
所以ymax==.故选A.
3.(苏教版必修第一册P134 T6改编)设m为实数,若函数f(x)=x2+3x－2在区间(m,m+1)上单调递减,则m的取值范围为 .
【答案】 (－∞,]
【解析】 由题意得m+1≤,解得m≤.
4.(人教A版必修第一册P86习题3.2 T7改编)函数f(x)=的单调递减区间是 .
【答案】 (－∞,－2]
【解析】 设t=x2+3x+2,由t≥0可得,x≥－1或x≤－2,则函数y=,由t=x2+3x+2=(x+)2在(－∞,－2]上单调递减,在[－1,+∞)上单调递增,而y=在[0,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可知,函数f(x)=的单调递减区间是(－∞,－2].
5.(人教A版必修第一册P86习题3.2 T8(3)改编)函数f(x)=x+在(－∞,－2]上单调递增,则k的取值范围为 .
【答案】 (－∞,4]
【解析】 若k<0,则y=x,y=在(－∞,－2]上单调递增,
所以函数f(x)=x+在(－∞,－2]上单调递增,符合题意;
若k=0,则函数f(x)=x在(－∞,－2]上单调递增,符合题意;
若k>0,则y=x+在(,0)上单调递减,在(－∞,]上单调递增,
则≥－2,解得0综上所述,k的取值范围为(－∞,4].
考点一 函数的单调性与单调区间
1.已知函数y=f(x),x∈R.若f(1)[A] 函数f(x)在(－∞,+∞)上一定是增函数
[B] 函数f(x)在(－∞,+∞)上一定不是增函数
[C] 函数f(x)在(－∞,+∞)上可能是减函数
[D] 函数f(x)在(－∞,+∞)上不可能是减函数
【答案】 D
【解析】因为函数y=f(x),x∈R且f(1)则函数f(x)在(－∞,+∞)上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增函数,
如f(x)=x2,满足f(1)故D正确,A,B,C错误.故选D.
2.(2025·浙江绍兴模拟)函数y=ln(x2－2x)的单调递减区间是( )
[A] (－∞,1) [B] (1,+∞)
[C] (－∞,0) [D] (2,+∞)
【答案】 C
【解析】由y=ln(x2－2x),所以x2－2x>0,解得x<0或x>2,
所以函数y=ln(x2－2x)的定义域为(－∞,0)∪(2,+∞),
令u=x2－2x,则函数u=x2－2x在(－∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
而函数y=ln u在(0,+∞)上单调递增,
由复合函数的单调性可得y=ln(x2－2x)的单调递减区间为(－∞,0).故选C.
3.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( )
[A] y=ex [B] y=|x2－2x|
[C] y=log2x+x [D] y=
【答案】 AC
【解析】 因为y=ex与y=为R上的增函数,
所以y=ex为R上的增函数,故A正确;
由y=|x2－2x|的图象(图略)知B不正确;
因为y=log2x和y=x在x∈(0,+∞)上都单调递增,所以y=log2x+x在x∈(0,+∞)上单调递增,故C正确;
y=的定义域为(－∞,－2]∪[1,+∞),故D不正确.故选AC.
4.(2025·河南南阳模拟)函数y=|x|(1－x)在区间A上单调递减,那么区间A可以是( )
[A] (－∞,0)
[B] [0,]
[C] [0,+∞)
[D] (－∞,0)∪(,+∞)
【答案】 A
【解析】由题意得y=f(x)=|x|(1－x)=
作出其图象如图,
由图象可知函数在区间(－∞,0),(,+∞)上单调递减.故选A.
(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.
(2)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法.
(3)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
考点二 函数单调性的应用
角度1 利用单调性比较大小
[例1]已知函数f(x)=2x+x3,若a=f(log32),b=f(),c=f(log2),则( )
[A] a[C] c【答案】 D
【解析】 由于函数y=2x,y=x3在R上均为增函数,故f(x)=2x+x3在R上单调递增,
由于020=1,log2故>log32>log2,故f(log2)比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,需要将变量转化到同一个单调区间内再进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
角度2 利用函数的单调性解不等式
[例2](2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x2－1)>f(3)的解集为( )
[A] (－2,2)
[B] (0,+∞)
[C] (－∞,0)
[D] (－∞,－2)∪(2,+∞)
【答案】 A
【解析】 f(x)=
易知y=在(－∞,0)上单调递减,
y=在(0,+∞)上单调递减,且f(x)在x=0处连续,故f(x)在R上单调递减,
由f(x2－1)>f(3),得x2－1<3,解得－2故不等式f(x2－1)>f(3)的解集为(－2,2).故选A.
求解含“f”的函数不等式的关键是根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)角度3 由函数单调性求参数范围
[例3]已知函数f(x)=在[,+∞)上单调递减,则a的取值范围是( )
[A] [－1,] [B] (－∞,－1]
[C] [－1,) [D] (－∞,－1)
[溯源探本]本例题源于人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4.
【答案】 A
【解析】 当x>1时,f(x)=单调递减,f(x)当x≤1时,f(x)=－x2+2ax+4,则其图象的对称轴方程为x==a,f(1)=2a+3,
若f(x)在[,+∞)上单调递减,则 解得a的取值范围为[－1,].故选A.
利用单调性求参数
(1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较.
(2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
(3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·北京模拟)已知f(x)在(0,+∞)上单调递减,且x0>0,则下列结论中一定成立的是( )
[A] f(x0+1)>f(x0) [B] f(x0+1)[C] f(x0－1)>f(x0) [D] f(x0－1)【答案】 B
【解析】 由x0>0得,x0+1>x0,结合f(x)在(0,+∞)上单调递减,则必有f(x0+1)而当x0∈(0,1)时,x0－1<0,不在此单调递减区间内,故无法比较f(x0－1)和f(x0)的大小,C,D错误.故选B.
2.(角度2)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1－x)的解集为( )
[A] (,+∞) [B] (－∞,)
[C] (,1) [D] (－1,)
【答案】 A
【解析】 由f(x)=x|x|=得f(x)在R上单调递增,
由f(2x)>f(1－x),有2x>1－x,即x>.故选A.
3.(角度3)(2025·青海西宁模拟)已知函数f(x)=对任意x1≠x2,都有>0成立,则a的取值范围是( )
[A] (0,1) [B] (1,2]
[C] (0,1] [D] (1,2)
【答案】 B
【解析】 因为对任意x1≠x2,都有>0成立,所以函数f(x)在定义域内单调递增,
因为f(x)=所以
解得1考点三 求函数的最值
1.若对任意实数a,b规定F(a,b)=,则函数F(3－x2,2x)的最大值为( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 B
【解析】 由题意得F(3－x2,2x)==
作出该函数的图象如图,
由函数图象可得,当x=1时,F(3－x2,2x)有最大值2.故选B.
2.(2025·广东中山模拟)函数y=lox+,x∈[1,2)的值域为 .
【答案】 (,]
【解析】 因为y=lox和y=在[1,2)上均为减函数,所以y=lox+在[1,2)上为减函数,
所以lo2+3.函数f(x)=2x2的最小值为 .
【答案】 －1
【解析】 令=t,t≥1,则x2=t2－1,
所以y=2(t2－1)－t=2t2－t－2(t≥1).
因为y=2t2－t－2(t≥1)的对称轴为直线t=,且在[1,+∞)上单调递增.
所以ymin=2×12－1－2=－1,
所以函数f(x)的最小值为－1.
4.函数y=的值域是 .
【答案】 [2,+∞)
【解析】 y===+.
令t=(t≥1),则y=t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1,x=0时,等号成立.因此函数的最小值为2,函数无最大值,即函数的值域是[2,+∞).
求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点
(1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.
(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
函数单调性与单调区间 1,2
函数单调性的应用 3,5,6,8,9,12
函数的最值 7,11,13
综合问题 4,10,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)=2x2－mx+1在区间[－1,+∞)上单调递增,则f(1)的取值范围是( )
[A] [7,+∞) [B] (7,+∞)
[C] (－∞,7] [D] (－∞,7)
【答案】 A
【解析】 由函数f(x)=2x2－mx+1的对称轴是直线x=,因为函数在区间[－1,+∞)上单调递增,所以≤－1,解得m≤－4,又因为f(1)=3－m,因此3－m≥7,所以f(1)的取值范围是[7,+∞).故选A.
2.(多选题)下列函数中,在(2,4)上是单调递减的是( )
[A] y=()x [B] y=log2(x2+3x)
[C] y= [D] y=cos x
【答案】 AC
【解析】 根据指数函数的性质得y=()x在(2,4)上单调递减,A项符合题意;
根据复合函数的单调性可知y=log2(x2+3x)在(2,4)上单调递增,B项不符合题意;
根据反比例函数的性质及函数图象的平移得y=在(2,4)上单调递减,C项符合题意;
根据余弦函数的性质得,y=cos x在(2,4)上先减后增,D项不符合题意.故选AC.
3.(2025·山东菏泽模拟)函数y=的单调递增区间为( )
[A] [,+∞)
[B] (－6,]
[C] [,1)和(1,+∞)
[D] (－∞,－6)∪(－6,]
【答案】 C
【解析】 设t=－x2－5x+6,则有x≠－6且x≠1,
t=－x2－5x+6=－(x+)2+,则t∈(－∞,0)∪(0,],
所以函数y=的定义域为{x|x≠－6且x≠1},
由二次函数的性质可知t的单调递增区间为(－∞,－6),(－6,];单调递减区间为[,1)和(1,+∞),
又因为y=在区间(－∞,0)和(0,+∞)上单调递减,
由复合函数的单调性可知函数y=的单调递增区间为[,1)和(1,+∞).故选C.
4.已知f(x)=2x－a+1,且f(x)<6在区间(1,2)上恒成立,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,1] [B] [－1,+∞)
[C] (－1,1] [D] (－1,2]
【答案】 B
【解析】 由解析式易知f(x)单调递增,
当x∈(1,2)时,f(x)<6恒成立,则f(2)=5－a≤6,解得a≥－1.故选B.
5.(2025·四川绵阳模拟)已知f(x)为R上的减函数,则( )
[A] f(0.2－0.3)>f(log32)>f(0.5)
[B] f(0.5)>f(log32)>f(0.2－0.3)
[C] f(log32)>f(0.5)>f(0.2－0.3)
[D] f(0.2－0.3)>f(0.5)>f(log32)
【答案】 B
【解析】 因为0.2－0.3>1,0.5=log3log32>0.5,
又因为f(x)为R上的减函数,所以f(0.5)>f(log32)>f(0.2－0.3).故选B.
6.(2025·安徽六安模拟)已知函数f(x)=()在区间(2,3)上单调递减,则正实数a的取值范围为( )
[A] (0,1) [B] (0,]
[C] (0,] [D] [,)
【答案】 C
【解析】 根据题意,函数f(x)=(),令t=,
由正实数a知,函数t=单调递减,
因为f(x)在区间(2,3)上单调递减,
则f(x)=()t单调递增且t=≥0,
所以解得0故a的取值范围是(0,].故选C.
7.(5分)(2025·山东枣庄模拟)若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为3,则实数m= .
【答案】 3
【解析】 因为函数f(x)==2+,由函数的单调性知,当m>2时,f(x)=在[0,1]上单调递减,最大值为f(0)=m=3;当m<2时,f(x)=在[0,1]上单调递增,最大值为f(1)==3,即m=4,显然m=4不符合题意,故实数m=3.
8.(13分)(2025·上海模拟)已知a>0且a≠1,函数f(x)=x2+bx+c,g(x)=loga[f(x)－ax].对任意
x∈R,f(x－4)=f(－x)恒成立,且f(1)=5.
(1)求实数b,c的值;
(2)若y=g(x)在[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为f(x－4)=f(－x),可知f(x)图象的对称轴为直线x=－2,
且f(1)=5,则解得
(2)由(1)可知f(x)=x2+4x,
则g(x)=loga[x2+(4－a)x],
由题意可知x2+(4－a)x=x[x+(4－a)]>0在[2,3]上恒成立,即x+4>a在[2,3]上恒成立,
可得0可知y=x2+(4－a)x的图象开口向上,对称轴为直线x=<1,
即y=x2+(4－a)x在[2,3]上是单调递增,
若y=g(x)在[2,3]上是单调递增,则a>1,
所以实数a的取值范围是(1,6).
9.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=满足对任意的x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是( )
[A] (0,] [B] (0,1)
[C] [,1) [D] (0,3)
【答案】 A
【解析】 因为f(x)对任意的x1≠x2,
都有<0成立,
所以f(x)=为R上的减函数,
所以解得010.(2025·贵州贵阳模拟)已知正实数a,b满足e2a－2+eb=e2－2a+e－b,则a的最大值为( )
[A] 0 [B] [C] 1 [D]
【答案】 A
【解析】 由题意e2a－2－e2－2a=e－b－eb,构造函数f(x)=ex－e－x,则f(2a－2)=f(－b),
显然f(x)在R上单调递增,所以2a－2=－b,即a=,
所以a==1(b+)≤1×2=0,当且仅当a=,b=1时等号成立.所以a的最大值为0.故选A.
11.(2025·河南襄城模拟)已知函数f(x)=的最大值为0,则实数a的取值范围为( )
[A] [0,2] [B] [0,1]
[C] (－∞,2] [D] [0,2)
【答案】 A
【解析】 若a=0,f(x)=即当x≥0时,f(x)≤0,所以f(x)的最大值为0,符合
题意;
若a<0,当x0,不符合题意;
若a=2,当x<2时,f(x)=－2ex<0,当x≥2时,f(x)≤0,当x=2时等号成立,符合题意;
若0若a>2,当x所以a∈[0,2].故选A.
12.(多选题)(2025·湖北孝感模拟)设函数f(x)=loga|x3－3ax|(a>0且a≠1)在区间(,2)上单调递减,则a的取值可以为( )
[A] [B] [C] [D] 3
【答案】 AC
【解析】 令y=|x3－3ax|,g(x)=x3－3ax,
因为g′(x)=3x2－3a=3(x+)(x),
所以当x∈(－∞,)∪(,+∞)时,g′(x)>0;当x∈(,)时,g′(x)<0,
所以g(x)在(－∞,),(,+∞)上单调递增,在(,)上单调递减.
令g(x)=0,解得x=0或x=±,
所以y=|x3－3ax|的大致图象如图所示,
当a>1时,若f(x)在(,2)上单调递减,则y=|x3－3ax|在(,2)上单调递减,
所以≤<2≤,解得≤a≤;
当0所以2≤或≥,解得0综上所述,实数a的取值范围为(0,]∪[,],所以a可能的取值为和.故选AC.
13.(5分)已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)=x2－3x+1,其中x∈R.则f(x)的最小值为 .
【答案】
【解析】 由2f(x)－f(－x)=x2－3x+1可知 2f(－x)－f(x)=x2+3x+1,与已知联立可解得
f(x)=x2－x+1=(x)2+≥,
令t=f(x),则g(f(x))=g(t)=t,t≥.
易知函数g(t)在[,+∞)上单调递增,
所以g(t)min=g()=,
即所求最小值为.
14.(15分)已知函数f(x)=
(1)用定义法证明f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;
(2)若f(x)的最小值是6,求a的值.
(1)【证明】对任意的x1>x2>0,
f(x1)－f(x2)=x1+a－(x2+a)=.
当00,0则<0,
即f(x1)当x1>x2>2时,x1－x2>0,x1x2>4,
则>0,即f(x1)>f(x2),
则f(x)在(2,+∞)上单调递增.综上,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
(2)【解】由(1)可知f(x)在(0,+∞)上的最小值是f(2)=4－a.
当x≤0时,f(x)=x2－2ax+a2－a,其图象的对称轴是直线x=a.
①若a≥0,f(x)在(－∞,0]上单调递减,则f(x)在(－∞,0]上的最小值是f(0)=a2－a.
②若a<0,f(x)在(－∞,a]上单调递减,在(a,0]上单调递增,则f(x)在(－∞,0]上的最小值是
f(a)=－a.
综上,f(x)min=
因为f(x)的最小值是6,
所以或或
解得a=－6.
所以a的值为－6.
15.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+
f(y)－1,当x>0时,f(x)>1,且f(2)=5,则关于x的不等式f(x)+f(4－3x)<6的解集为( )
[A] (1,+∞) [B] (2,+∞)
[C] (－∞,1) [D] (－∞,2)
【答案】 A
【解析】 任取x1因为x2－x1>0,所以f(x2－x1)>1,所以f(x2)－f(x1)>0,则f(x)在R上单调递增.
不等式f(x)+f(4－3x)<6等价于不等式f(x)+f(4－3x)－1<5,即f(x+4－3x)因为f(x)在R上单调递增,所以4－2x<2,解得x>1.故选A.
16.(5分)已知函数f(x)=则f(f())= ;若f(x)在x∈(a,)上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围为 .
【答案】 －1 [－3,－1)
【解析】 f()=sin π=－1,f(f())=f(－1)=|－1+1|－1=－1;
f(x)=的图象如图所示.
令|x+1|－1=1,x<0,得x=－3,
|x+1|－1=－1,x<0,得x=－1,
若f(x)在x∈(a,)上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围为[－3,－1).
(
第
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第2节 函数的单调性与最值
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最值.
2.理解函数的单调性、最值的作用和实际意义.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
函数 增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义.
f(x1)f(x1)>f(x2)
知识梳理
图象 描述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
释疑
函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,
x2∈I”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1三者缺一不可.
(2)单调区间的定义.
如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
知识梳理
单调递增
单调递减
释疑
若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件 x∈D, 都有 ; x0∈D, 使得 f(x0)=M x∈D,
都有 ;
x0∈D,
使得 f(x0)=M
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
2.函数的最值
知识梳理
f(x)≤M
f(x)≥M
释疑
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
重要结论
1.函数单调性的等价定义
设任意x1,x2∈I(x1≠x2),则
重要结论
2.与函数运算有关的单调性结论
(2)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数.
重要结论
(3)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.
(4)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
对点自测
1.(人教A版必修第一册P77思考改编)下列函数是增函数的为( )
D
对点自测
对点自测
A
3.(苏教版必修第一册P134 T6改编)设m为实数,若函数f(x)=x2+3x－2在区间
(m,m+1)上单调递减,则m的取值范围为 .
对点自测
对点自测
(－∞,－2]
对点自测
(－∞,4]
1.已知函数y=f(x),x∈R.若f(1)[A] 函数f(x)在(－∞,+∞)上一定是增函数
[B] 函数f(x)在(－∞,+∞)上一定不是增函数
[C] 函数f(x)在(－∞,+∞)上可能是减函数
[D] 函数f(x)在(－∞,+∞)上不可能是减函数
考点一 函数的单调性与单调区间
D
2.(2025·浙江绍兴模拟)函数y=ln(x2－2x)的单调递减区间是( )
[A] (－∞,1) [B] (1,+∞)
[C] (－∞,0) [D] (2,+∞)
C
【解析】由y=ln(x2－2x),所以x2－2x>0,解得x<0或x>2,
所以函数y=ln(x2－2x)的定义域为(－∞,0)∪(2,+∞),
令u=x2－2x,则函数u=x2－2x在(－∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
而函数y=ln u在(0,+∞)上单调递增,
由复合函数的单调性可得y=ln(x2－2x)的单调递减区间为(－∞,0).故选C.
3.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( )
AC
4.(2025·河南南阳模拟)函数y=|x|(1－x)在区间A上单调递减,那么区间A可以是( )
A
(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.
(2)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法.
(3)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
题后悟通
考点二 函数单调性的应用
角度1 利用单调性比较大小
D
[A] a[C] c解题策略
比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,需要将变量转化到同一个单调区间内再进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
角度2 利用函数的单调性解不等式
A
[A] (－2,2)
[B] (0,+∞)
[C] (－∞,0)
[D] (－∞,－2)∪(2,+∞)
解题策略
求解含“f”的函数不等式的关键是根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)角度3 由函数单调性求参数范围
A
解题策略
利用单调性求参数
(1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较.
(2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
(3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
1.(角度1)(2025·北京模拟)已知f(x)在(0,+∞)上单调递减,且x0>0,则下列结论中一定成立的是( )
[A] f(x0+1)>f(x0) [B] f(x0+1)[C] f(x0－1)>f(x0) [D] f(x0－1)[针对训练]
B
【解析】 由x0>0得,x0+1>x0,结合f(x)在(0,+∞)上单调递减,
则必有f(x0+1)而当x0∈(0,1)时,x0－1<0,不在此单调递减区间内,故无法比较f(x0－1)和f(x0)的大小,C,D错误.故选B.
2.(角度2)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>
f(1－x)的解集为( )
A
[A] (0,1) [B] (1,2]
[C] (0,1] [D] (1,2)
B
考点三 求函数的最值
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
B
－1
[2,+∞)
求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点
(1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
题后悟通
注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.
(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
题后悟通
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
函数单调性与单调区间 1,2
函数单调性的应用 3,5,6,8,9,12
函数的最值 7,11,13
综合问题 4,10,14,15,16
1.(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)=2x2－mx+1在区间[－1,+∞)上单调递增,则f(1)的取值范围是( )
[A] [7,+∞) [B] (7,+∞)
[C] (－∞,7] [D] (－∞,7)
基础巩固练
A
2.(多选题)下列函数中,在(2,4)上是单调递减的是( )
AC
C
4.已知f(x)=2x－a+1,且f(x)<6在区间(1,2)上恒成立,则实数a的取值范围是
( )
[A] (－∞,1] [B] [－1,+∞)
[C] (－1,1] [D] (－1,2]
B
【解析】 由解析式易知f(x)单调递增,
当x∈(1,2)时,f(x)<6恒成立,则f(2)=5－a≤6,解得a≥－1.故选B.
5.(2025·四川绵阳模拟)已知f(x)为R上的减函数,则( )
[A] f(0.2－0.3)>f(log32)>f(0.5)
[B] f(0.5)>f(log32)>f(0.2－0.3)
[C] f(log32)>f(0.5)>f(0.2－0.3)
[D] f(0.2－0.3)>f(0.5)>f(log32)
B
C
3
8.(13分)(2025·上海模拟)已知a>0且a≠1,函数f(x)=x2+bx+c,g(x)=loga[f(x)－ax].对任意x∈R,f(x－4)=f(－x)恒成立,且f(1)=5.
(1)求实数b,c的值;
8.(13分)(2025·上海模拟)已知a>0且a≠1,函数f(x)=x2+bx+c,g(x)=loga[f(x)－ax].对任意x∈R,f(x－4)=f(－x)恒成立,且f(1)=5.
(2)若y=g(x)在[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解】 (2)由(1)可知f(x)=x2+4x,
则g(x)=loga[x2+(4－a)x],
由题意可知x2+(4－a)x=x[x+(4－a)]>0在[2,3]上恒成立,即x+4>a在[2,3]上恒成立,
可得0综合运用练
A
A
A
[A] [0,2] [B] [0,1]
[C] (－∞,2] [D] [0,2)
AC
(1)用定义法证明f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;
(2)若f(x)的最小值是6,求a的值.
(2)【解】由(1)可知f(x)在(0,+∞)上的最小值是f(2)=4－a.
当x≤0时,f(x)=x2－2ax+a2－a,其图象的对称轴是直线x=a.
①若a≥0,f(x)在(－∞,0]上单调递减,则f(x)在(－∞,0]上的最小值是f(0)=a2－a.
15.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)－1,当x>0时,f(x)>1,且f(2)=5,则关于x的不等式f(x)+f(4－3x)<
6的解集为( )
[A] (1,+∞) [B] (2,+∞)
[C] (－∞,1) [D] (－∞,2)
应用创新练
A
【解析】任取x1因为x2－x1>0,所以f(x2－x1)>1,所以f(x2)－f(x1)>0,则f(x)在R上单调递增.
不等式f(x)+f(4－3x)<6等价于不等式f(x)+f(4－3x)－1<5,即f(x+4－3x)因为f(x)在R上单调递增,所以4－2x<2,解得x>1.故选A.
－1
[－3,－1)