上海市嘉定区封浜高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量调研数学试题(含解析)

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名称 上海市嘉定区封浜高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量调研数学试题(含解析)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-06-05 23:41:58

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文档简介

上海市嘉定区封浜高级中学2023 2024学年高一下学期期末质量调研数学试题
一、单选题(本大题共4小题)
1.已知复数(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知,向量为单位向量,,则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.下列关于基底的说法正确的是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底;
②基底中的向量可以是零向量;
③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.
A.① B.② C.①③ D.②③
二、填空题(本大题共12小题)
5. .
6.已知,,则 .
7.已知复数,,则在复平面内对应的点位于第 象限.
8.已知关于的实系数二次方程的一根为(其中是虚数单位),则 .
9.正方体中,异面直线与所成角的大小为 .
10.已知,,则向量在向量方向上的投影向量为 (用坐标表示).
11.给出下列命题:①书桌面是平面; ②平面与平面相交,它们只有有限个公共点;③如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合. 正确的是 (填写序号).
12.已知两条直线m,n,两个平面,,给出下列四个说法:
①,,;
②,,;
③,;
④,,,
其中正确的序号是 .
13.已知复数满足,则的最小值为 .
14.已知向量,若与的夹角为锐角,其中,则的取值范围是 .
15.将函数的图象向右平移个单位长度后,所得函数为奇函数,则 .
16.如图,在四面体中,与所成的角为,分别为的中点,则线段的长为 .
三、解答题(本大题共5小题)
17.已知是虚数单位,复数,m为实数.
(1)当实数m满足什么条件时,为纯虚数
(2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴,求复数
18.如图,底面ABCD为菱形,点P是平面ABCD外一点,且平面ABCD,E、F分别是为PD,PC的中点.
(1)求证:平面PAB;
(2)若,,,求直线BE与平面ABCD所成角的大小.
19.已知向量,,.
(1)若向量与垂直,求实数的值;
(2)若向量,且与向量平行,求实数的值.
20.如图,在正方体中,
(1)求证:平面;
(2)求直线所成的角的大小;
(3)求证:平面.
21.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若.
(i)求的值;
(ii)求的面积.
参考答案
1.【答案】A
【分析】利用复数的除法运算可得,再利用复数在复平面内对应的点的坐标是,即可得到选项.
【详解】因为,
所以复数在复平面内对应的点的坐标是,该点在第一象限,
故选A.
2.【答案】B
【分析】由向量坐标求出模,将,运用向量数量积运算律展开求得,最后利用向量夹角公式计算即得.
【详解】因为,由,则,
所以.
故选B.
3.【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式,代入周期公式可得结论.
【详解】易知,其中,
由周期公式可得其最小正周期为.
故选A.
4.【答案】C
【分析】根据基底的定义和性质分析判断.
【详解】对于①,平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底,所以①正确,
对于②,因为零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量,所以②错误,
对于③,由平面向量基本定理可知,平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的,所以③正确,
故选C.
5.【答案】
【分析】根据向量的加法法则求解即可.
【详解】
故答案为:.
6.【答案】7
【分析】利用数量积的坐标表示计算即得.
【详解】由,,得.
故答案为:7.
7.【答案】二
【分析】利用复数的减法化简复数,利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】根据题意,,
所以在复平面内对应的点为,在第二象限.
故答案为:二.
8.【答案】0
【分析】由韦达定理、复数四则运算即可直接运算求解.
【详解】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的,故都是方程的解,
所以.
故答案为:0.
9.【答案】/
【分析】根据给定条件,利用异面直线所成角的定义求解即得.
【详解】正方体中,,因此异面直线与所成的角或其补角,
而,因此.
所以异面直线与所成角的大小为.
故答案为:/.
10.【答案】
【分析】利用向量的数量积定义,可得向量在向量方向上的投影向量为,代入坐标计算即得.
【详解】因向量在向量方向上的投影向量为,
由,可得,,
故向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为:.
11.【答案】③
【分析】对于①:根据平面的性质分析判断;对于②:根据公理2分析判断;对于③:根据公理3分析判断.
【详解】对于①:由平面性质知,平面具有无限延展性,所以桌面只是平面一部分,不是平面,故①错误;
对于②:根据公理2可知,若两个平面有一个共点,则有过该点的唯一交线,可知有无限个公共点,且在一条直线上,
故②错误;
对于③:根据公理3可知,不共线的三个点确定一个平面,
因此两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合,③正确.
故答案为:③.
12.【答案】①④
【分析】对于①:根据线面垂直的性质分析判断;对于②③:根据线面位置关系分析判断;对于④:根据线面垂直分析判断.
【详解】对①,∵,,∴,又,∴,∴①正确;
对②,∵,,,∴或m与n异面,∴②错误;
对③,∵,,∴n与可以成任意角,∴③错误;
对④,∵,,则,
又∵,∴,∴④正确.
故答案为:①④.
13.【答案】
【分析】根据复数的几何意义,利用数形结合,即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知,表示复数与复数对应两点间的距离为1,
所以复数对应的点是以点为圆心,1为半径的圆,如图,
表示圆上的点到原点的距离,由图可知,的最小值为.
故答案为:.
14.【答案】.
【分析】由与的夹角为锐角,得到,求得,再由向量与共线时,求得,即可得到答案.
【详解】由向量,可得且,
则,
因为与的夹角为锐角,
可得,即,解得
当与共线时,可得,所以,解得,
所以且,即实数的取值范围为.
故答案为:.
15.【答案】
【分析】利用三角函数的图象变化规律,结合三角函数的奇偶性、诱导公式,求得的值.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后,可得的图象,
根据所得函数为奇函数,可得 ,即,因为,令,可得,
故答案为:.
16.【答案】或
【分析】取的中点,连接、,即可得到为异面直线与所成的角或其补角,即或,再利用余弦定理计算可得.
【详解】取的中点,连接、,
、分别为、的中点,且,
同理可得且,
为异面直线与所成的角或其补角,则或.
在中,,,
若,由余弦定理可得

若,由余弦定理可得

综上所述,或.
故答案为:或.
17.【答案】(1)-1
(2)
【分析】(1)根据纯虚数的定义进行求解即可;(2)利用复数的几何意义,根据对应的点位于实轴负半轴进行求解即可.
【详解】(1)根据纯虚数的定义,,解得;
(2)利用复数的几何意义,复数坐标为,根据对应的点位于实轴负半轴,,解得,则.
18.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据中位线得出,再利用线面平行的判定定理即可得证;
(2)根据平面,得出就是直线与平面所成角,解三角形即可.
【详解】(1)因为E、F分别是为的中点,
所以,又因为,
所以,
因为平面,平面,
所以平面;
(2)连接,
因为ABCD为菱形,,,
所以三角形为等边三角形,
故,
又,所以,
因为平面,
所以就是直线与平面所成角,
在直角三角形中,

所以,
即直线与平面所成角的大小为.
19.【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意解出的坐标,进而依据垂直条件解出的值即可;
(2)由题意解出的坐标,进而依据平行条件解出的值即可.
【详解】(1),,
,,
又与垂直,

即,解得,经检验符合题意,
若向量与垂直,则.
(2)由题意知:,,,

又与向量平行,,
即,解得,
与向量平行,则.
20.【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)根据线面平行的判定定理可证;
(2)根据异面直线所成角定义求解;
(3)根据线面垂直的判定定理可证.
【详解】(1)因为在正方体中,可知,
而平面,平面,所以平面.
(2)如图,连接,,在正方体中,可知,,
所以四边形是平行四边形,所以,
所以(或其补角)是直线与直线所成角,又,所以
,所以直线与直线所成角为.
(3)因为在正方体中,可知平面,且平面,所以,
又因为、是正方形的对角线,因此,
又,且,平面,
所以平面.
21.【答案】(1)
(2)(i);(ii).
【分析】(1)结合余弦定理,即可求解;
(2)(i)结合三角函数的同角公式,以及正弦两角和公式,即可求解;
(ii)结合正弦定理,以及三角形的面积公式,即可求解.
【详解】(1)已知,由余弦定理,
则,又,则.
(2)(i),由正弦定理有,得,
故,
.
(ii)由正弦定理可知,,
故的面积为.
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