四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试题（含解析）

四川省绵阳中学2024 2025学年高一下学期第一次测试数学试题
一、单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知在正六边形中，G是线段上靠近D的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
4．设为实数，已知向量，.若，则向量与的夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．图象的对称轴为，
D．在区间上的最小值为
6．若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．4
8．已知平行四边形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，若，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．2
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移m（）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
10．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
11．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角C一定为锐角 B．
C． D．的最小值为
三、填空题
12．已知向量，，且，则 .
13．已知，，则 .
14．如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为 ．
四、解答题
15．如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
（1）若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
（2）若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
16．已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）若，且，求的值.
（3）在中，若，求的取值范围.
17．某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米.
（1）如图1，P，Q分别在，上，且，求证：.
（2）如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.
问：①设，求的取值范围；
②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低 说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，）
18．在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
（3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
19．定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
参考答案
1．【答案】B
【详解】
.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由可得，
即，也即，
解得或，因，则，
故.
故选A.
3．【答案】C
【详解】由向量的线性运算及正六边形的性质可知
.

故选C.
4．【答案】D
【详解】因，，
由可得，解得，则，，
故，
，，
设向量与的夹角为，
则，
因，故.
即向量与的夹角的正弦值为.
故选D.
5．【答案】C
【详解】，，；
由图象可知：最小正周期，，
又，，解得：，
又，，；
对于A，，不是偶函数，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，令，解得：，
的对称轴为，故C正确；
对于D，当时，，
当，即时，，D错误.
故选C.
6．【答案】B
【详解】由可得，
因，则，
又，则，
因，
则，
故
，
因，故.
故选B.
7．【答案】C
【详解】
由和正弦定理，
可得，
即，
因，
且，则，可得，故.
如图，因BC边上一点D满足，且AD平分，
则，即①，
又的面积为，即得②，
由①②联立，解得.
故选C.
8．【答案】A
【详解】
如图，设，的长分别为，
由图知，，
由，
因，代入整理得：，
则由，即得，当且仅当时等号成立，
此时，四边形ABCD的面积，
即四边形ABCD面积的最大值为.
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】易得，
当时，，所以函数在上有增有递，故A错误；
因为，所以是的一个对称中心，故B正确；
的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，，所以，，且，所以当时，，故C正确；
因为，作出在上的图象如图所示，
与有且只有三个交点，所以，
又因为时，且,关于直线对称，
所以，所以，
，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】BCD
【详解】因为，所以，又，所以，故A错误；
因为，所以与的夹角为，故B正确；
，所以，所以C正确；
在上的投影向量， 所以D正确.
故选BCD
11．【答案】BC
【详解】对于A，由可得，
因，代入得：，则，角为钝角，故A错误；
对于B， 由A得，利用正弦定理，，
又，
代入上式，可得，
即，显然两边同时除以，
可得，因，则成立，故B正确；
对于C，由A项已得，由余弦定理，，
化简得：，即，故C正确；
对于D，因，
由B项得，代入可得：，
因，，由，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值为，故D错误.
故选BC.
12．【答案】
【详解】由，，且有，
所以.
13．【答案】
【详解】由可得，
因，则，则，，
故.
14．【答案】
【详解】设，
由题意知，
当与重合时，由，得，
当与重合时，同理可得，
所以，
因为，
所以的周长，
令，因为，所以，
又，
所以，且，
所以，所以当时，取得最小值，且.
15．【答案】（1），
（2）2
【详解】（1）（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
,
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2，
16．【答案】（1）；
（2）
（3）
【详解】（1）
，
函数的最小正周期为
由，可得，
故函数的单调增区间为.
（2）由（1）已得，则，
因，则，故，
则
.
（3）在中，，
因，可得，
故，解得，则，
故，
因，则，故，
则，即的取值范围为.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）①；②当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元，理由见解析
【详解】（1）延长到，使，连接，
因为为正方形，所以，，
所以与全等，所以，，
因为，所以，即，
所以与全等，所以，
所以，
所以，又，
所以；
（2）①因为，所以，
当点与点重合时，最小，，所以，
，
当点与点重合时，最大，，所以，
所以的取值范围为；
②设，由①知，
，，
，
设，
因为，所以，
又，
所以，
因为在上单调递增，
所以当时，最小，此时，即，
所以的最小值为，
因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，
所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）
在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，
故
,
由于为锐角三角形，故,故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
19．【答案】（1）最大值为，的取值集合为
（2）
（3），
【详解】（1）若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2），
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.