第4节 幂函数与二次函数
[课程标准要求]
1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义.
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象.
(3)幂函数的性质.
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减;
④当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式.
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式:f(x)=a(x－m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n);
零点式:f(x)=a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质.
函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域 [,+∞) (－∞,]
对称轴 x=－
顶点 坐标 (－,)
奇偶性 当b=0时是偶函数, 当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在(－∞,－]上单调递减; 在[－,+∞)上单调递增 在(－∞,－]上单调递增; 在[－,+∞)上单调递减
1.(人教A版必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(4)的值是( )
[A] 64 [B] 4
[C] [D]
2.(人教B版必修第一册P108练习B T5改编)函数f(x)=－2x2+4x,x∈[－1,2]的值域为( )
[A] [－6,2] [B] [－6,1]
[C] [0,2] [D] [0,1]
3.(人教A版必修第一册P58复习参考题2 T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是( )
[A] (0,) [B] (－∞,－)
[C] (,+∞) [D] (－,0)
4.(苏教版必修第一册P140例2改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.60.6,则a,b,c的大小关系是 .(用“<”连接)
5.已知函数f(x)=,则f(3x－1)
考点一 幂函数的图象与性质
1.(2025·福建龙岩模拟)若幂函数f(x)的图象过点(4,2),则y=的定义域是( )
[A] (－2,0) [B] (0,2]
[C] [0,2] [D] (－2,2)
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )
[A] d>c>b>a [B] a>b>c>d
[C] d>c>a>b [D] a>b>d>c
3.(2025·四川成都模拟)幂函数f(x)=(m2－3m－3)xm在区间(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是( )
[A] m=4 [B] f(x)是减函数
[C] f(x)是奇函数 [D] f(x)是偶函数
4.已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln 2),c=f(),则a,b,c的大小关系是( )
[A] a>c>b [B] a>b>c
[C] b>a>c [D] b>c>a
(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内图象的特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.
(2)比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质比较;若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小;若不同底数、指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较.
注意:研究幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性、定义域、值域时,若α是分数,一般先将其化为根式,再求解.
考点二 二次函数的解析式
[例1] (1)(2025·海南海口模拟)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2－x)=f(2+x),则f(x)= .
(2)若二次函数f(x)满足f(2)=－1,f(－1)=－1,且f(x)的最大值是8,则f(x)的解析式为 .
求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:
[针对训练] (2025·广东深圳模拟)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)= .
考点三 二次函数的图象、性质及其应用
角度1 二次函数的最值(值域)
[例2] (2025·福建福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2－x+2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围;
(2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)=a(x－h)2+k(a≠0)的形式,根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解.
(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.
(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域.
角度2 二次函数的零点问题
[例3] (1)已知f(x)=1－(x－a)(x－b),并且m,n是方程f(x)=0的两根,则实数a,b,m,n的大小关系可能是( )
[A] m[C] a(2)(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的一元二次方程x2+(3a－1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1,x2,且x1<1,x2>1,则实数a的取值范围为 .
一元二次函数零点分布问题
解决一元二次函数零点分布问题,关键是利用数形结合,找出零点所满足的条件,常从以下4个方面考虑:
(1)图象的开口方向.
(2)判别式.
(3)对称轴方程与区间端点的关系.
(4)区间端点函数值的正负.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=－x2+4x,x∈[m,4]的值域是[0,4],则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞,2) [B] (0,2]
[C] [0,2] [D] [2,4]
2.(角度2)(2025·四川泸州模拟)若函数f(x)=2ax2+3x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值集合为( )
[A] {a|－1[B] {a|a=－或－1[C] {a|－1≤a≤2}
[D] {a|a=－或－1≤a≤2}
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
幂函数的图象与性质 3,5,8,9,13,15
二次函数的图象与性质 1,2,4,6,10
二次函数的综合应用 7,11,12,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知函数f(x)=(m－1)x2－2mx+3是偶函数,则函数f(x)在(－∞,0)上( )
[A] 单调递增 [B] 不单调
[C] 单调递减 [D] 不能确定
2.(2025·贵州贵阳模拟)若二次函数f(x)=ax2+2(a－1)x+2在(－∞,4)上单调递减,则a的取值范围为( )
[A] (,+∞) [B] [,+∞]
[C] (－∞,0)∪(0,] [D] (0,]
3.有下列四个幂函数,某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:①是偶函数;②值域是{y|y∈R,且y≠0};③在(－∞,0)上单调递增.如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则该同学研究的函数是( )
[A] y=x－1 [B] y=
[C] y=x3 [D] y=
4.若函数f(x)=x2－(m－2)x+4在区间(1,2)内存在最小值,则实数m的取值范围是( )
[A] (3,4) [B] (4,6)
[C] [5,9] [D] [－11,－7]
5.(2025·上海模拟)如图所示是函数y= (m,n均为正整数,且m,n互质)的图象,则( )
[A] m,n是奇数,且<1
[B] m是偶数,n是奇数,且<1
[C] m是偶数,n是奇数,且>1
[D] m,n是奇数,且>1
6.(多选题)如图,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(－1,0),则( )
[A] f(1－x)=f(x) [B] f(2)>0
[C] f()0
7.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数)满足f(x－1)=f(3－x),且方程f(x)=2x有两等根,f(x)在[0,t]上的最大值为g(t),则g(t)的最大值为 .
8.(13分)已知幂函数f(x)=(2m2+m－2)x2m+1在(0,+∞)上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f()9.(2025·黑龙江牡丹江模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)(0[A] x1f(x1)>x2f(x2)
[B] x1f(x2)[C] >
[D] <
10.若函数f(x)=2x2+(x－a)|x－a|在区间[－3,0]上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－9]∪{0}∪[3,+∞)
[B] (－∞,－3]∪{0}∪[9,+∞)
[C] [－9,3]
[D] [－3,9]
11.(多选题)(2025·浙江绍兴模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当x=时,对应的函数值y<0,则下列说法正确的有( )
[A] abc>0
[B] mn>
[C] 关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一负两个实数根,且负实数根在－和0之间
[D] P1(t+2,y1)和P2(t－2,y2)在该二次函数的图象上,则当实数t<时,y1>y2
12.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x－a|－2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,1] [B] [－2,1]
[C] [－1,2] [D] [－1,+∞)
13.(5分)(2025·吉林白城模拟)请写出一个幂函数f(x)满足以下条件:①定义域为[0,+∞);②f(x)为增函数;③对任意的x1,x2∈[0,+∞),都有f()≥,则f(x)= .
14.(15分)(2025·云南曲靖模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数,且对任意实数x,y满足f(x－y)=f(x)+f(y)+xy－1恒成立.
(1)求f(0),f(1);
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若方程f(f(2x))=k恰有两个实数根在(－2,2)内,求实数k的取值范围.
15.(5分)(2025·浙江舟山模拟)已知幂函数f(x)=(k2+k－1)x(2－k)(1+k),满足f(2)0)在区间[0,1]上的最大值为5,则m的值为 .
16.(5分)(2025·四川成都模拟)若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在区间[a,b]上是单调函数,②当x∈[a,b]时,函数f(x)的值域为[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间,若函数f(x)=x2－x+m存在“保值”区间,则实数m的取值范围为 .
第4节 幂函数与二次函数（解析版）
[课程标准要求]
1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义.
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象.
(3)幂函数的性质.
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减;
④当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式.
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式:f(x)=a(x－m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n);
零点式:f(x)=a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质.
函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域 [,+∞) (－∞,]
对称轴 x=－
顶点 坐标 (－,)
奇偶性 当b=0时是偶函数, 当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在(－∞,－]上单调递减; 在[－,+∞)上单调递增 在(－∞,－]上单调递增; 在[－,+∞)上单调递减
1.(人教A版必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(4)的值是( )
[A] 64 [B] 4
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 设函数f(x)=xα,则由f(x)的图象过点(2,),得f(2)=2α=,即α=－1,所以f(x)=,则f(4)=.
故选D.
2.(人教B版必修第一册P108练习B T5改编)函数f(x)=－2x2+4x,x∈[－1,2]的值域为( )
[A] [－6,2] [B] [－6,1]
[C] [0,2] [D] [0,1]
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=－2x2+4x图象的对称轴为直线x=1,
则f(x)在[－1,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(－1)=－2－4=－6,
即f(x)的值域为[－6,2].
故选A.
3.(人教A版必修第一册P58复习参考题2 T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是( )
[A] (0,) [B] (－∞,－)
[C] (,+∞) [D] (－,0)
【答案】 C
【解析】 由题意知即解得a>.故选C.
4.(苏教版必修第一册P140例2改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.60.6,则a,b,c的大小关系是 .(用“<”连接)
【答案】 b【解析】 0.60.6=(0.62)0.3=0.360.3,由幂函数的单调性知0.40.3>0.360.3>0.30.3,即b5.已知函数f(x)=,则f(3x－1)【答案】 [,1)∪(2,+∞)
【解析】 由于函数f(x)=是定义在[0,+∞)上的增函数,所以所以x>2或≤x<1.
考点一 幂函数的图象与性质
1.(2025·福建龙岩模拟)若幂函数f(x)的图象过点(4,2),则y=的定义域是( )
[A] (－2,0) [B] (0,2]
[C] [0,2] [D] (－2,2)
【答案】 B
【解析】 设f(x)=xα,依题意可得4α=2,解得α=,所以f(x)=,
所以f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞),且f(0)=0,
对于函数y=,则解得0即函数y=的定义域是(0,2].故选B.
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )
[A] d>c>b>a [B] a>b>c>d
[C] d>c>a>b [D] a>b>d>c
【答案】 B
【解析】 由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d.故选B.
3.(2025·四川成都模拟)幂函数f(x)=(m2－3m－3)xm在区间(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是( )
[A] m=4 [B] f(x)是减函数
[C] f(x)是奇函数 [D] f(x)是偶函数
【答案】 C
【解析】 函数f(x)=(m2－3m－3)xm为幂函数,则m2－3m－3=1,解得m=4或m=－1.当m=4时,f(x)=x4在区间(0,+∞)上单调递增,不满足题意,排除A;当m=－1时,f(x)=x－1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意.函数f(x)=x－1在(－∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但不是减函数,排除B;因为函数定义域关于原点对称,且f(－x)==－f(x),所以函数f(x)是奇函数,不是偶函数,故C正确,D错误.故选C.
4.已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln 2),c=f(),则a,b,c的大小关系是( )
[A] a>c>b [B] a>b>c
[C] b>a>c [D] b>c>a
【答案】 C
【解析】 幂函数f(x)=xα中,2f(2)=f(16),所以2×2α=16α,即2α+1=24α,所以α+1=4α,解得α=,所以f(x)=,所以f(x)是定义域为R的增函数.又a=f(log42),b=f(ln 2),c=f(),且log42=,
ln 2>ln =,=<,所以ln 2>log42>,即f(ln 2)>f(log42)>f(),所以b>a>c.故选C.
(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内图象的特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.
(2)比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质比较;若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小;若不同底数、指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较.
注意:研究幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性、定义域、值域时,若α是分数,一般先将其化为根式,再求解.
考点二 二次函数的解析式
[例1] (1)(2025·海南海口模拟)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2－x)=f(2+x),则f(x)= .
(2)若二次函数f(x)满足f(2)=－1,f(－1)=－1,且f(x)的最大值是8,则f(x)的解析式为 .
[溯源探本] 本例题(1)源于人教B版必修第一册P139复习题A组T8.
【答案】 (1)x2－4x+3 (2)f(x)=－4x2+4x+7
【解析】 (1)因为f(2－x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
又y=f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,
所以f(x)=0的两根为2－1=1,2+1=3,
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0),
因此设f(x)=a(x－1)(x－3)(a≠0).
又点(4,3)在y=f(x)的图象上,
所以3a=3,则a=1,故f(x)=(x－1)(x－3)=x2－4x+3.
(2)法一(利用一般式) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)=－4x2+4x+7.
法二(利用顶点式) 设f(x)=a(x－m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(－1),所以抛物线的对称轴为直线x==.所以m=.又根据题意函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)=a(x－)2+8.因为f(2)=－1,所以a(2－)2+8=－1,解得a=－4,所以f(x)=－4(x－)2+8=－4x2+4x+7.
法三(利用零点式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=－1,故可设f(x)+1=a(x－2)(x+1)
(a≠0),即f(x)=ax2－ax－2a－1.又函数f(x)有最大值8,即=8,解得a=－4.所以
所求二次函数的解析式为f(x)=－4x2+4x+7.
求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:
[针对训练] (2025·广东深圳模拟)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)= .
【答案】 x2+(答案不唯一)
【解析】 因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称,所以可设f(x)=ax2+c(a≠0),由得ax2－x+c=0,所以Δ=1－4ac=0,即ac=.取a=1,c=,则f(x)=x2+.
考点三 二次函数的图象、性质及其应用
角度1 二次函数的最值(值域)
[例2] (2025·福建福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2－x+2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围;
(2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
【解】 (1)由题意可知,a≠0.
当a>0时,
f(x)=ax2－x+2a－1的图象开口向上,对称轴方程为x=,
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2,且a>0,
解得0当a<0时,f(x)=ax2－x+2a－1的图象开口向下,对称轴方程为x=<0,
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0.
综上,a的取值范围是(－∞,0)∪(0,].
(2)①当0<≤1,即a≥时,
f(x)在区间[1,2]上单调递增,
此时g(a)=f(1)=3a－2.
②当1<<2,即f(x)在区间[1,]上单调递减,在区间[,2]上单调递增,
此时g(a)=f()=2a－－1.
③当≥2,即0f(x)在区间[1,2]上单调递减,
此时g(a)=f(2)=6a－3.
综上所述,g(a)=
解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)=a(x－h)2+k(a≠0)的形式,根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解.
(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.
(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域.
角度2 二次函数的零点问题
[例3] (1)已知f(x)=1－(x－a)(x－b),并且m,n是方程f(x)=0的两根,则实数a,b,m,n的大小关系可能是( )
[A] m[C] a(2)(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的一元二次方程x2+(3a－1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1,x2,且x1<1,x2>1,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (1)A (2)(－∞,－2)
【解析】 (1)设g(x)=－(x－a)(x－b),
又f(x)=1－(x－a)(x－b),
分别画出这两个函数的图象,其中f(x)的图象可看成是由g(x)的图象向上平移1个单位长度得到的,如图,
由图可知,可能有m故选A.
(2)令函数f(x)=x2+(3a－1)x+a+8,依题意,f(x)=0的两个不等实根x1,x2满足x1<1,x2>1,而函数f(x)图象开口向上,因此f(1)<0,则12+(3a－1)×1+a+8<0,解得a<－2,所以实数a的取值范围为(－∞,－2).
一元二次函数零点分布问题
解决一元二次函数零点分布问题,关键是利用数形结合,找出零点所满足的条件,常从以下4个方面考虑:
(1)图象的开口方向.
(2)判别式.
(3)对称轴方程与区间端点的关系.
(4)区间端点函数值的正负.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=－x2+4x,x∈[m,4]的值域是[0,4],则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞,2) [B] (0,2]
[C] [0,2] [D] [2,4]
【答案】 C
【解析】 画出函数f(x)=－x2+4x的图象,如图所示,
易知f(0)=f(4)=0,f(2)=4.若x∈[m,4]的值域是[0,4],由图可知m∈[0,2].故选C.
2.(角度2)(2025·四川泸州模拟)若函数f(x)=2ax2+3x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值集合为( )
[A] {a|－1[B] {a|a=－或－1[C] {a|－1≤a≤2}
[D] {a|a=－或－1≤a≤2}
【答案】 D
【解析】 由函数f(x)=2ax2+3x－1,
若a=0,可得f(x)=3x－1,令f(x)=0,
即3x－1=0,解得x=,符合题意;
若a≠0,令f(x)=0,即2ax2+3x－1=0,可得Δ=9+8a,当Δ=0,即9+8a=0时,解得a=－,此时
f(x)=－x2+3x－1,解得x=,符合题意;
当Δ>0,即a>－,且a≠0时,则满足f(－1)·f(1)=(2a－4)(2a+2)≤0,
解得－1≤a≤2,且a≠0,
若a=－1,可得f(x)=－2x2+3x－1,令f(x)=0,即2x2－3x+1=0,解得x=1或x=,
其中x=∈(－1,1),符合题意;
若a=2,可得f(x)=4x2+3x－1,令f(x)=0,即
4x2+3x－1=0,解得x=－1或x=,其中x=∈(－1,1),符合题意.
综上可得,实数a的取值集合为{a|a=－或－1≤a≤2}.故选D.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
幂函数的图象与性质 3,5,8,9,13,15
二次函数的图象与性质 1,2,4,6,10
二次函数的综合应用 7,11,12,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知函数f(x)=(m－1)x2－2mx+3是偶函数,则函数f(x)在(－∞,0)上( )
[A] 单调递增 [B] 不单调
[C] 单调递减 [D] 不能确定
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=(m－1)x2－2mx+3是偶函数,所以m≠1,所以函数图象关于y轴对称,即=0,解得m=0.所以f(x)=－x2+3图象为开口向下的抛物线,所以函数f(x)在(－∞,0)上单调递增.故选A.
2.(2025·贵州贵阳模拟)若二次函数f(x)=ax2+2(a－1)x+2在(－∞,4)上单调递减,则a的取值范围为( )
[A] (,+∞) [B] [,+∞]
[C] (－∞,0)∪(0,] [D] (0,]
【答案】 D
【解析】 因为二次函数f(x)=ax2+2(a－1)x+2在(－∞,4)上单调递减,
所以解得0所以a的取值范围为(0,].故选D.
3.有下列四个幂函数,某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:①是偶函数;②值域是{y|y∈R,且y≠0};③在(－∞,0)上单调递增.如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则该同学研究的函数是( )
[A] y=x－1 [B] y=
[C] y=x3 [D] y=
【答案】 B
【解析】 对于A,y=x－1是奇函数,值域是{y|y∈R,且y≠0},在(－∞,0)上单调递减,三个性质中有两个错误,不符合题意;对于B,y=x－2是偶函数,值域是{y|y∈R,且y>0},在(－∞,0)上单调递增,三个性质中有两个正确,符合题意;同理可判断C,D中的函数不符合题意.故选B.
4.若函数f(x)=x2－(m－2)x+4在区间(1,2)内存在最小值,则实数m的取值范围是( )
[A] (3,4) [B] (4,6)
[C] [5,9] [D] [－11,－7]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=x2－(m－2)x+4图象的对称轴为直线x=,开口向上,因为函数
f(x)=x2－(m－2)x+4在区间(1,2)内存在最小值,所以1<<2,解得45.(2025·上海模拟)如图所示是函数y= (m,n均为正整数,且m,n互质)的图象,则( )
[A] m,n是奇数,且<1
[B] m是偶数,n是奇数,且<1
[C] m是偶数,n是奇数,且>1
[D] m,n是奇数,且>1
【答案】 B
【解析】 由幂函数的性质可知,y=与y=x的图象恒过点(1,1)和点(0,0),即在第一象限的交点为(1,1),当0x,则<1,又y=的图象关于y轴对称,所以y=为偶函数,所以(－x===,又m,n互质,所以m为偶数,n为奇数.故选B.
6.(多选题)如图,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(－1,0),则( )
[A] f(1－x)=f(x) [B] f(2)>0
[C] f()0
【答案】 BD
【解析】 因为函数f(x)的对称轴为直线x=1,所以f(2－x)=f(x),故A错误;因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(－1,0),所以f(2)=f(0)>0,故B正确;因为函数图象开口向下,在(－∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且图象关于直线x=1对称,所以f()=f()>f(0),故C错误;由于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,
故b2－4ac>0,故D正确.故选BD.
7.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数)满足f(x－1)=f(3－x),且方程f(x)=2x有两等根,f(x)在[0,t]上的最大值为g(t),则g(t)的最大值为 .
【答案】 1
【解析】 已知方程f(x)=2x有两等根,
即ax2+(b－2)x=0有两等根,
所以Δ=(b－2)2=0,解得b=2.
因为f(x－1)=f(3－x),得=1,所以直线x=1是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线x=－,
所以－=1 a=－1,
故f(x)=－x2+2x,
若f(x)在[0,t]上的最大值为g(t),
当0所以f(x)max=－t2+2t≤－12+2=1,
当t>1时,f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,t]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=1,
综上,g(t)的最大值为1.
8.(13分)已知幂函数f(x)=(2m2+m－2)x2m+1在(0,+∞)上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f()【解】 (1)因为函数f(x)=(2m2+m－2)x2m+1为幂函数,则2m2+m－2=1,
即2m2+m－3=0,即(2m+3)(m－1)=0,解得m=1或m=－,
又因为函数f(x)=(2m2+m－2)x2m+1在(0,+∞)上单调递增,则2m+1>0,
解得m>－,
所以m=1,故f(x)=x3.
(2)由(1)可知,f(x)=x3,该函数的定义域为R,
对任意的x∈R,f(－x)=(－x)3=－x3=－f(x),则函数f(x)为R上的奇函数,
因为函数f(x)=x3在[0,+∞)上单调递增,则该函数在(－∞,0]上也单调递增,
所以函数f(x)在R上为增函数,
由f()因此,实数a的取值范围是(,2].
9.(2025·黑龙江牡丹江模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)(0[A] x1f(x1)>x2f(x2)
[B] x1f(x2)[C] >
[D] <
【答案】 D
【解析】 设幂函数f(x)=xα,
因为f(x)的图象经过点(,),则()α=,解得α=,所以f(x)=.
因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,则当0所以x1f(x1)又因为函数=在(0,+∞)上单调递增,则当0故选项D正确,选项B错误.故选D.
10.若函数f(x)=2x2+(x－a)|x－a|在区间[－3,0]上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－9]∪{0}∪[3,+∞)
[B] (－∞,－3]∪{0}∪[9,+∞)
[C] [－9,3]
[D] [－3,9]
【答案】 A
【解析】 f(x)=
若a=0,当x<0时,f(x)=x2在[－3,0]上单调递减,符合题意;
若a>0,则f(x)在(－∞,－a)上单调递减,在(－a,+∞)上单调递增,若f(x)在[－3,0]上是单调函数,则－a≤－3,则a≥3;
若a<0,则f(x)在(－∞,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
若f(x)在[－3,0]上是单调函数,则≤－3,所以a≤－9.
综上所述,实数a的取值范围是(－∞,－9]∪{0}∪[3,+∞).故选A.
11.(多选题)(2025·浙江绍兴模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当x=时,对应的函数值y<0,则下列说法正确的有( )
[A] abc>0
[B] mn>
[C] 关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一负两个实数根,且负实数根在－和0之间
[D] P1(t+2,y1)和P2(t－2,y2)在该二次函数的图象上,则当实数t<时,y1>y2
【答案】 BCD
【解析】 将(0,2),(1,2)代入y=ax2+bx+c得解得
所以二次函数y=ax2－ax+2,当x=时,对应的函数值y<0,
所以a－a+2<0,解得a<－,
所以b=－a>,
所以a<0,b>0,c>0,所以abc<0,故A错误;
当x=－1时,m=a+a+2=2a+2,当x=2时,
n=4a－2a+2=2a+2,
所以mn=(2a+2)2=4(a+1)2,因为a<－,所以mn>,故B正确;
因为二次函数y=ax2－ax+2过(0,2),(1,2),所以其对称轴为直线x=,
又当x=时,对应的函数值y<0,
根据二次函数的对称性知,当x=－时,对应的函数值y<0,
而当x=0时,y=2>0,所以二次函数与x轴负半轴的交点横坐标在－和0之间,
所以关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一负两个实数根,且负实数根在－和0之间,故C正确;
因为P1(t+2,y1)和P2(t－2,y2)在该二次函数的图象上,
所以y1=a(t+2)2－a(t+2)+2,
y2=a(t－2)2－a(t－2)+2,
若y1>y2,则a(t+2)2－a(t+2)+2>a(t－2)2－a(t－2)+2,
因为a<0,所以(t+2)2－(t+2)<(t－2)2－(t－2),解得t<,故D正确.
故选BCD.
12.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x－a|－2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,1] [B] [－2,1]
[C] [－1,2] [D] [－1,+∞)
【答案】 B
【解析】 f(x)=当x0,所以①当a>0时,2a≤2,即00恒成立;③当a<0时,－a≤2,即－2≤a<0.综上,－2≤a≤1.故选B.
13.(5分)(2025·吉林白城模拟)请写出一个幂函数f(x)满足以下条件:①定义域为[0,+∞);②f(x)为增函数;③对任意的x1,x2∈[0,+∞),都有f()≥,则f(x)= .
【答案】 (答案不唯一)
【解析】 由题意可知f(x)=的定义域为[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上为增函数;
下面证明该函数满足③:
取任意的x1,x2∈[0,+∞),
f()=>0,
=>0,
则==≥0,
即f()≥,即f(x)=满足③.
14.(15分)(2025·云南曲靖模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数,且对任意实数x,y满足f(x－y)=f(x)+f(y)+xy－1恒成立.
(1)求f(0),f(1);
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若方程f(f(2x))=k恰有两个实数根在(－2,2)内,求实数k的取值范围.
【解】 (1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)－1,f(0)=1;
令x=y=1,得f(0)=f(1)+f(1)+1－1,f(0)=1,即f(1)=.
(2)令y=x,得f(0)=f(x)+f(x)+x2－1,
即1=2f(x)+x2－1,
则f(x)=－x2+1.
(3)因为f(x)=－x2+1,
所以f(2x)=－2x2+1,
f(f(2x))=－+1=－2x4+2x2+,
令t=x2,则t∈[0,4),则方程－2t2+2t+=k在[0,4)内只有一个解,
并且t=0时,k=,代入方程有三个解,不符合题意.
设t1,t2是方程－2t2+2t+－k=0的两根,
令g(t)=－2t2+2t+－k,t∈[0,4),则
①当t1=t2,且在(0,4)内时,有Δ=0,此时k=1,t1=t2=,满足要求.
②当t1<0有g(0)·g(4)<0,
即(k－)(k+)<0,所以－综上,－故k的取值范围是{1}∪(－,).
15.(5分)(2025·浙江舟山模拟)已知幂函数f(x)=(k2+k－1)x(2－k)(1+k),满足f(2)0)在区间[0,1]上的最大值为5,则m的值为 .
【答案】
【解析】 因为f(x)是幂函数,故k2+k－1=1,所以k=－2或k=1.
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)当k=－2时,f(x)=x－4,不满足f(2)所以f(x)=x2,
所以g(x)=1－f(x)+2mx=－x2+2mx+1,
因为g(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=m(m>0),
①当0所以g(x)max=g(m)=m2+1=5,所以m=±2,均不符合题意,舍去;
②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上单调递增,
所以g(x)max=g(1)=2m=5,所以m=,符合题意.
综上所述,m=.
16.(5分)(2025·四川成都模拟)若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在区间[a,b]上是单调函数,②当x∈[a,b]时,函数f(x)的值域为[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间,若函数f(x)=x2－x+m存在“保值”区间,则实数m的取值范围为 .
【答案】 [,)∪[－,－)
【解析】 函数f(x)=x2－x+m在(－∞,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,
若[a,b] [,+∞),则b>a≥,
由f(a)=a,f(b)=b,
可知f(x)=x在[,+∞)上有两个不等实根.
设g(x)=f(x)－x=x2－x+m,
所以则
所以≤m<.
若[a,b] (－∞,],则a由f(a)=a2－a+m=b,
f(b)=b2－b+m=a,
两式相减可得a2－b2－a+b=b－a,
知a+b+=0,从而a2－a+m=－a－,
即a2+a+m+=0,
同理可得b2+b+m+=0,
设h(x)=x2+x+m+,
即h(x)=0在(－∞,]上有两个不等实根,
所以则
所以－≤m<－.
综上,m的取值范围是[,)∪[－,－).
(
第
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第4节 幂函数与二次函数
[课程标准要求]
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义.
一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象.
y=xα
知识梳理
(3)幂函数的性质.
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点 和 ,且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点 ,且在(0,+∞)上单调递减;
④当α为奇数时,y=xα为 ;当α为偶数时,y=xα为 .
(1,1)
(0,0)
(1,1)
奇函数
偶函数
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式.
一般式:f(x)= ;
顶点式:f(x)=a(x－m)2+n(a≠0),顶点坐标为 ;
零点式:f(x)=a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的 .
知识梳理
ax2+bx+c(a≠0)
(m,n)
零点
(2)二次函数的图象和性质.
知识梳理
函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c
(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
知识梳理
知识梳理
减
增
增
减
对点自测
D
对点自测
2.(人教B版必修第一册P108练习B T5改编)函数f(x)=－2x2+4x,x∈[－1,2]的值域为( )
[A] [－6,2] [B] [－6,1]
[C] [0,2] [D] [0,1]
对点自测
A
【解析】 函数f(x)=－2x2+4x图象的对称轴为直线x=1,
则f(x)在[－1,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(－1)=－2－4=－6,
即f(x)的值域为[－6,2].
故选A.
对点自测
3.(人教A版必修第一册P58复习参考题2 T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是( )
对点自测
C
4.(苏教版必修第一册P140例2改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.60.6,则a,b,c的大小关系是 .(用“<”连接)
对点自测
b【解析】 0.60.6=(0.62)0.3=0.360.3,由幂函数的单调性知0.40.3>0.360.3>0.30.3,
即b对点自测
[A] (－2,0) [B] (0,2]
[C] [0,2] [D] (－2,2)
考点一 幂函数的图象与性质
B
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )
[A] d>c>b>a [B] a>b>c>d
[C] d>c>a>b [D] a>b>d>c
B
【解析】由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d.故选B.
3.(2025·四川成都模拟)幂函数f(x)=(m2－3m－3)xm在区间(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是( )
[A] m=4 [B] f(x)是减函数
[C] f(x)是奇函数 [D] f(x)是偶函数
C
[A] a>c>b [B] a>b>c
[C] b>a>c [D] b>c>a
C
(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内图象的特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.
(2)比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质比较;若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小;若不同底数、指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较.
注意:研究幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性、定义域、值域时,若α是分数,一般先将其化为根式,再求解.
题后悟通
[例1] (1)(2025·海南海口模拟)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2－x)=f(2+x),则f(x)= .
考点二 二次函数的解析式
x2－4x+3
【解析】 (1)因为f(2－x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
又y=f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,
所以f(x)=0的两根为2－1=1,2+1=3,
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0),
因此设f(x)=a(x－1)(x－3)(a≠0).
又点(4,3)在y=f(x)的图象上,所以3a=3,则a=1,故f(x)=(x－1)(x－3)=x2－4x+3.
(2)若二次函数f(x)满足f(2)=－1,f(－1)=－1,且f(x)的最大值是8,则f(x)的解析式为 .
f(x)=－4x2+4x+7
求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:
解题策略
[针对训练] (2025·广东深圳模拟)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线
y=x相切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)= .
考点三 二次函数的图象、性质及其应用
角度1 二次函数的最值(值域)
[例2] (2025·福建福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2－x+2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围;
[例2] (2025·福建福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2－x+2a－1.
(2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
解题策略
解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)=a(x－h)2+
k(a≠0)的形式,根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解.
(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.
(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域.
[例3] (1)已知f(x)=1－(x－a)(x－b),并且m,n是方程f(x)=0的两根,则实数a,b,
m,n的大小关系可能是( )
[A] m[C] a角度2 二次函数的零点问题
A
【解析】 (1)设g(x)=－(x－a)(x－b),
又f(x)=1－(x－a)(x－b),
分别画出这两个函数的图象,其中f(x)的图象可看成是由g(x)的图象向上平移1个单位长度得到的,如图,
由图可知,可能有m故选A.
(2)(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的一元二次方程x2+(3a－1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1,x2,且x1<1,x2>1,则实数a的取值范围为 .
(－∞,－2)
【解析】 (2)令函数f(x)=x2+(3a－1)x+a+8,依题意,f(x)=0的两个不等实根x1,x2满足x1<1,x2>1,而函数f(x)图象开口向上,因此f(1)<0,则12+(3a－1)×1+a+8<0,解得a<－2,所以实数a的取值范围为(－∞,－2).
解题策略
一元二次函数零点分布问题
解决一元二次函数零点分布问题,关键是利用数形结合,找出零点所满足的条件,常从以下4个方面考虑:
(1)图象的开口方向.
(2)判别式.
(3)对称轴方程与区间端点的关系.
(4)区间端点函数值的正负.
1.(角度1)(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=－x2+4x,x∈[m,4]的值域是[0,4],则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞,2) [B] (0,2]
[C] [0,2] [D] [2,4]
[针对训练]
C
【解析】 画出函数f(x)=－x2+4x的图象,如图所示,
易知f(0)=f(4)=0,f(2)=4.若x∈[m,4]的值域是[0,4],由图可知m∈[0,2].故选C.
2.(角度2)(2025·四川泸州模拟)若函数f(x)=2ax2+3x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值集合为( )
D
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
幂函数的图象与性质 3,5,8,9,13,15
二次函数的图象与性质 1,2,4,6,10
二次函数的综合应用 7,11,12,14,16
1.已知函数f(x)=(m－1)x2－2mx+3是偶函数,则函数f(x)在(－∞,0)上( )
[A] 单调递增 [B] 不单调
[C] 单调递减 [D] 不能确定
基础巩固练
A
2.(2025·贵州贵阳模拟)若二次函数f(x)=ax2+2(a－1)x+2在(－∞,4)上单调递减,则a的取值范围为( )
D
3.有下列四个幂函数,某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:①是偶函数;②值域是{y|y∈R,且y≠0};③在(－∞,0)上单调递增.如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则该同学研究的函数是( )
B
【解析】 对于A,y=x－1是奇函数,值域是{y|y∈R,且y≠0},在(－∞,0)上单调递减,三个性质中有两个错误,不符合题意;对于B,y=x－2是偶函数,值域是{y|y∈R,且y>0},在(－∞,0)上单调递增,三个性质中有两个正确,符合题意;同理可判断C,D中的函数不符合题意.故选B.
4.若函数f(x)=x2－(m－2)x+4在区间(1,2)内存在最小值,则实数m的取值范围是( )
[A] (3,4) [B] (4,6)
[C] [5,9] [D] [－11,－7]
B
B
6.(多选题)如图,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(－1,0),则( )
BD
7.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数)满足f(x－1)=f(3－x),且方程f(x)=2x有两等根,f(x)在[0,t]上的最大值为g(t),则g(t)的最大值为 .
1
8.(13分)已知幂函数f(x)=(2m2+m－2)x2m+1在(0,+∞)上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
8.(13分)已知幂函数f(x)=(2m2+m－2)x2m+1在(0,+∞)上单调递增.
【解】 (2)由(1)可知,f(x)=x3,该函数的定义域为R,
对任意的x∈R,f(－x)=(－x)3=－x3=－f(x),则函数f(x)为R上的奇函数,
因为函数f(x)=x3在[0,+∞)上单调递增,则该函数在(－∞,0]上也单调递增,
所以函数f(x)在R上为增函数,
综合运用练
D
10.若函数f(x)=2x2+(x－a)|x－a|在区间[－3,0]上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－9]∪{0}∪[3,+∞)
[B] (－∞,－3]∪{0}∪[9,+∞)
[C] [－9,3]
[D] [－3,9]
A
11.(多选题)(2025·浙江绍兴模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
BCD
12.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x－a|－2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,1] [B] [－2,1]
[C] [－1,2] [D] [－1,+∞)
B
14.(15分)(2025·云南曲靖模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数,且对任意实数x,y满足f(x－y)=f(x)+f(y)+xy－1恒成立.
(1)求f(0),f(1);
14.(15分)(2025·云南曲靖模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数,且对任意实数x,y满足f(x－y)=f(x)+f(y)+xy－1恒成立.
(2)求函数f(x)的解析式;
14.(15分)(2025·云南曲靖模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数,且对任意实数x,y满足f(x－y)=f(x)+f(y)+xy－1恒成立.
(3)若方程f(f(2x))=k恰有两个实数根在(－2,2)内,求实数k的取值范围.
应用创新练
【解析】因为f(x)是幂函数,故k2+k－1=1,所以k=－2或k=1.
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)当k=－2时,f(x)=x－4,不满足f(2)所以f(x)=x2,
所以g(x)=1－f(x)+2mx=－x2+2mx+1,
因为g(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=m(m>0),
①当0所以g(x)max=g(m)=m2+1=5,所以m=±2,均不符合题意,舍去;