第5节 指数与指数函数
[课程标准要求]
1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.会画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
n次方根 概念 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*
性质 当n是奇数时,a的n次方根用符号表示
当n是偶数时,正数a的n次方根用符号±表示;负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作=0
根式 概念 式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数
性质 当n为任意正整数时,()n=a
当n为奇数时,=a
当n为偶数时,=|a|=
2.有理数指数幂
概念 正分数指数幂:= a>0, m,n∈N*, n>1
负分数指数幂:==
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算性质 aras=ar+s a>0, b>0, r,s∈Q
(ar)s=ars
(ab)r=arbr
有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算.
3.指数函数的概念、图象与性质
(1)指数函数的概念.
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0,且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.
(2)指数函数的图象与性质.
函数 y=ax(a>0,且a≠1)
0
1
图象
图象特征 在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升
定义域 R
值域 (0,+∞)
性质 单调性 单调递减 单调递增
函数变 化规律 当x<0时,y>1;当x>0时,00时,y>1
1.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是02.与指数函数有关的几个函数的奇偶性
(1)函数y=ax－a－x,y=,y=+,y=(a>0,且a≠1)均为奇函数.
(2)函数y=ax+a－x为偶函数.
1.(人教A版必修第一册P109习题4.1 T1改编)下列运算正确的是( )
[A] =2－π [B] a=
[C] ()8= [D] (=x9
2.(人教B版必修第二册P13练习A T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(－1,2),那么这个函数也必定经过点( )
[A] (－2,) [B] (－1,)
[C] (1,2) [D] (3,)
3.(人教A版必修第一册P116探究改编)函数y=的图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
4.(人教A版必修第一册P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是( )
[A] a[C] b5.(北师大版必修第一册P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为 .
考点一 指数幂的运算
1.若a－1－a1=4,则a－2+a2的值为( )
[A] 8 [B] 16
[C] 2 [D] 18
2.将(其中a>0)化为有理数指数幂的形式为 .
3.+÷(= .
4.(2025·广东珠海模拟)若xy=3,则x+y= .
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用性质计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
[例1] (多选题)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为( )
[A] a=b [B] 0[C] a[典例迁移1] (改变指数,指数函数图象平移变换)函数f(x)=ax－b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
[A] a>1,b<0 [B] a>1,b>0
[C] 00 [D] 0[典例迁移2] (改变指数和系数,指数函数图象关于y轴对称)已知函数y=+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab等于( )
[A] －1 [B] －2 [C] －4 [D] －9
[典例迁移3] (改变系数,添加绝对值符号,让指数函数图象先平移再翻折)若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有且只有两个公共点,则a的取值范围是 .
指数型函数的图象
(1)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(2)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(3)函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象相同;当x<0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
[例2] (2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
[A] c>a>b [B] c>b>a
[C] a>b>c [D] b>a>c
比较指数式大小的常用方法
取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,然后得出大小关系
单调性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底
角度2 解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－3)
[B] (1,+∞)
[C] (－3,1)
[D] (－∞,－3)∪(1,+∞)
(2)方程4x+|1－2x|=11的解为 .
解指数不等式的常用方法
性质法 解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0隐含 性质法 解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解
图象法 解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解
角度3 指数函数性质的综合应用
[例4] (1)(2025·辽宁大连模拟)若函数f(x)=在区间(1,4)内单调递减,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,4] [B] [4,16]
[C] (16,+∞) [D] [16,+∞)
(2)(多选题)(2025·福建漳州模拟)小明同学对函数f(x)=a－x－kax(a>0,且a≠1)进行研究,得出如下结论,其中正确的有( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)有可能是奇函数,也有可能是偶函数
[C] 函数f(x)在定义域内单调递减
[D] 函数f(x)不一定有零点
求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.求参数值(范围)的方法是首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·云南昆明模拟)若a=2π－2,b=6－1,c=,则( )
[A] b>a>c [B] c>a>b
[C] a>b>c [D] a>c>b
2.(角度3)(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)的值域为(－1,1)
[C] 函数f(x)是奇函数
[D] 函数f(x)为减函数
3.(角度2)不等式<()3(x－1)的解集为 .
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
根式与指数幂的运算 1,7,15
指数函数的图象及应用 2,9
指数函数的性质及应用 3,4,5,6,10,11,12,13
指数函数的图象 与性质的综合应用 8,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.化简(a>0,c<0)的结果为( )
[A] ± [B]
[C] [D]
2.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
3.已知a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小顺序为( )
[A] c>b>a [B] a>b>c
[C] b>a>c [D] c>a>b
4.已知函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,则函数y=f(x)的单调递增区间为( )
[A] (－1,+∞) [B] (0,+∞)
[C] (－∞,－1) [D] (－∞,0)
5.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=ex－e2－x,若实数m,n满足f(m)+f(n)=0,则m+n等于( )
[A] 1 [B] 2 [C] e [D] 4
6.(多选题)函数f(x)=,则下列关于函数 f(x)的说法正确的是( )
[A] 函数f(x)的图象关于原点对称
[B] 函数f(x)的值域为(0,1)
[C] 不等式f(x)>的解集是(0,+∞)
[D] f(x)是增函数
7.(5分)计算化简:
(1)(0.027+()(2)= ;
(2)化简(a>0,b>0)的结果是 .
8.(14分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)若不等式()x+()x－m≥0在(－∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
9.(2025·江苏盐城模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、第三、第四象限,则g(b)=f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
[A] (0,) [B] (－∞,)
[C] (－∞,) [D] (0,)
10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=4x+a·2x在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
[A] [－4,+∞) [B] (－∞,－4]
[C] [－8,+∞) [D] (－∞,－8]
11.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知f(x)=x2－2x+m,g(x)=e2x－1－1,若对 x1∈[0,3], x2∈[,],使得f(x1)=g(x2),则实数m的取值范围是( )
[A] [2,e2－4] [B] [1,e2－5]
[C] [2,e2－5] [D] [1,e2－4]
12.(5分)若m∈R,f(x)=则满足f(m－2)≥f(m+3)的m的最大值为 .
13.(5分)已知函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则a的取值范围为 ,
f(－4)与f(1)的大小关系是 .
14.(15分)(2025·福建莆田模拟)已知函数f(x)=是定义域为R的奇函数.
(1)求实数b的值,并证明函数f(x)在R上单调递增;
(2)已知a>0且a≠1,若对于任意的x1,x2∈[1,3],都有f(x1)+≥恒成立,求实数a的取值范围.
15.(2025·广东茂名模拟)随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善,AI大规模应用成为可能,尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数,Tanh函数的解析式为tanh x=,经过某次测试得知tanh x0=,则当把变量减半时,tanh 等于( )
[A] [B] 3 [C] 1 [D] 或3
16.(5分)(2025·浙江宁波模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)=－f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m－1(m∈R,m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是 .
第5节 指数与指数函数（解析版）
[课程标准要求]
1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.会画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
n次方根 概念 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*
性质 当n是奇数时,a的n次方根用符号表示
当n是偶数时,正数a的n次方根用符号±表示;负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作=0
根式 概念 式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数
性质 当n为任意正整数时,()n=a
当n为奇数时,=a
当n为偶数时,=|a|=
2.有理数指数幂
概念 正分数指数幂:= a>0, m,n∈N*, n>1
负分数指数幂:==
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算性质 aras=ar+s a>0, b>0, r,s∈Q
(ar)s=ars
(ab)r=arbr
有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算.
3.指数函数的概念、图象与性质
(1)指数函数的概念.
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0,且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.
(2)指数函数的图象与性质.
函数 y=ax(a>0,且a≠1)
01
图象
图象特征 在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升
定义域 R
值域 (0,+∞)
性质 单调性 单调递减 单调递增
函数变 化规律 当x<0时,y>1;当x>0时,00时,y>1
1.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是02.与指数函数有关的几个函数的奇偶性
(1)函数y=ax－a－x,y=,y=+,y=(a>0,且a≠1)均为奇函数.
(2)函数y=ax+a－x为偶函数.
1.(人教A版必修第一册P109习题4.1 T1改编)下列运算正确的是( )
[A] =2－π [B] a=
[C] ()8= [D] (=x9
【答案】 C
【解析】 对于A,2－π<0,所以 =π－2,错误;对于B,因为>0,所以a<0,
则a=－(－a)·=,错误;对于C,()8=()8()8=,正确;对于D,
(=x9－2=x7,错误.故选C.
2.(人教B版必修第二册P13练习A T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(－1,2),那么这个函数也必定经过点( )
[A] (－2,) [B] (－1,)
[C] (1,2) [D] (3,)
【答案】 D
【解析】 由题意设f(x)=ax,则f(－1)=a－1=2,所以a=,f(x)=()x,故f(3)=.故选D.
3.(人教A版必修第一册P116探究改编)函数y=的图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 易知函数y=是增函数,可排除选项B,D,又当x=0时,y=2.故选A.
4.(人教A版必修第一册P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是( )
[A] a[C] b【答案】 C
【解析】 易得1.70.3>1,y=0.9x在定义域内是减函数,则0.93.1<0.91.7<0.90,即bc>b.故选C.
5.(北师大版必修第一册P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为 .
【答案】 [2,+∞)
【解析】 因为|x|≥0,所以3|x|≥1,所以f(x)≥2.
考点一 指数幂的运算
1.若a－1－a1=4,则a－2+a2的值为( )
[A] 8 [B] 16
[C] 2 [D] 18
【答案】 D
【解析】 因为a－1－a1=4,
所以a－2+a2=(a－1－a1)2+2=42+2=18.故选D.
2.将(其中a>0)化为有理数指数幂的形式为 .
【答案】
【解析】 ===.
3.+÷(= .
【答案】 －3
【解析】 +÷(=(22+1÷=2+1－4－2=－3.
4.(2025·广东珠海模拟)若xy=3,则x+y= .
【答案】 ±2
【解析】 当x>0,y>0时,x+y=+=2,
当x<0,y<0时,x+y=+()=－2.
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用性质计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
[例1] (多选题)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为( )
[A] a=b [B] 0[C] a【答案】 ABC
【解析】 由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示,
由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故选项A正确;
作出直线y=k,k>1,若3a=6b=k,则0作出直线y=m,0当01,则3a<3b<2b·3b=6b,故选项D错误.故选ABC.
[典例迁移1] (改变指数,指数函数图象平移变换)函数f(x)=ax－b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
[A] a>1,b<0 [B] a>1,b>0
[C] 00 [D] 0【答案】 D
【解析】 由函数f(x)=ax－b的图象可知,
函数f(x)=ax－b在定义域上单调递减,
所以0函数f(x)=ax－b图象是由y=ax向左平移所得,
所以－b>0,所以b<0,故D选项正确.故选D.
[典例迁移2] (改变指数和系数,指数函数图象关于y轴对称)已知函数y=+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab等于( )
[A] －1 [B] －2 [C] －4 [D] －9
【答案】 C
【解析】 因为函数y=f(x)=a()|x|+b图象过原点,所以a()0+b=0,
得a+b=0,又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交,
所以b=2,则a=－2,所以ab=－4.故选C.
[典例迁移3] (改变系数,添加绝对值符号,让指数函数图象先平移再翻折)若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有且只有两个公共点,则a的取值范围是 .
【答案】 (0,)
【解析】 当a>1时,作出函数y=|ax－1|的图象[如图(1)],要使直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则0<2a<1,解得00,且a≠1)的图象有两个公共点,则0<2a<1,解得0指数型函数的图象
(1)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(2)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(3)函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象相同;当x<0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
[例2] (2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
[A] c>a>b [B] c>b>a
[C] a>b>c [D] b>a>c
[溯源探本] 本例题源于人教A版必修第一册P119习题4.2 T6.
【答案】 D
【解析】 由y=1.01x在R上单调递增,则a=1.010.5由y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,
则a=1.010.5>c=0.60.5,
所以b>a>c.
故选D.
比较指数式大小的常用方法
取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,然后得出大小关系
单调性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底
角度2 解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－3)
[B] (1,+∞)
[C] (－3,1)
[D] (－∞,－3)∪(1,+∞)
(2)方程4x+|1－2x|=11的解为 .
【答案】 (1)C (2)x=log23
【解析】 (1)当a<0时,不等式f(a)<1可化为()a－7<1,即()a<8,即()a<()－3,因为0<<1,所以a>－3,此时－3(2)当x≥0时,原方程化为4x+2x－12=0,即(2x)2+2x－12=0,所以(2x－3)(2x+4)=0,所以2x=3,即x=log23;当x<0时,原方程化为4x－2x－10=0,令t=2x,则t2－t－10=0(0解指数不等式的常用方法
性质法 解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0隐含 性质法 解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解
图象法 解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解
角度3 指数函数性质的综合应用
[例4] (1)(2025·辽宁大连模拟)若函数f(x)=在区间(1,4)内单调递减,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,4] [B] [4,16]
[C] (16,+∞) [D] [16,+∞)
(2)(多选题)(2025·福建漳州模拟)小明同学对函数f(x)=a－x－kax(a>0,且a≠1)进行研究,得出如下结论,其中正确的有( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)有可能是奇函数,也有可能是偶函数
[C] 函数f(x)在定义域内单调递减
[D] 函数f(x)不一定有零点
【答案】 (1)A (2)ABD
【解析】 (1)设f(u)=3u,u=－2x2+ax,
则f(u)=3u在(－∞,+∞)上单调递增.
因为f(x)=在区间(1,4)内单调递减,
所以函数u=－2x2+ax在区间(1,4)内单调递减,
结合二次函数的图象和性质,可得≤1,
解得a≤4.故选A.
(2)由x∈R,有ax>0,即f(x)恒有意义,故定义域为R,A正确;
当k=1时,f(x)=a－x－ax,
故f(－x)=ax－a－x=－f(x),此时f(x)为奇函数,
当k=－1时,f(x)=a－x+ax,故f(－x)=ax+a－x=f(x),此时f(x)为偶函数,B正确;
若f(x)=a－x+ax=+ax>0,令t=ax,
易知y=t+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
当a>1时,t=ax在(－∞,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可知,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减,所以f(x)在定义域内不单调递减,且无零点,
C错误;
若f(x)=a－x－ax,显然f(0)=0,此时函数有零点,综上,f(x)不一定有零点,D正确.
故选ABD.
求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.求参数值(范围)的方法是首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·云南昆明模拟)若a=2π－2,b=6－1,c=,则( )
[A] b>a>c [B] c>a>b
[C] a>b>c [D] a>c>b
【答案】 D
【解析】 因为y=2x是增函数,且π－2>1>>0,
所以2π－2>>20,
即a>c>1,因为b=6－1=<1,
所以c>b,所以a>c>b.故选D.
2.(角度3)(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)的值域为(－1,1)
[C] 函数f(x)是奇函数
[D] 函数f(x)为减函数
【答案】 ABC
【解析】 因为ex>0,所以ex+1>0,
所以函数f(x)的定义域为R,故A正确;
f(x)==1,
由ex>0 ex+1>1 0<<1 －2<<0 －1<1<1,
所以函数f(x)的值域为(－1,1),故B正确;
因为f(－x)====－f(x),
所以函数f(x)是奇函数,故C正确;
因为函数y=ex+1是增函数,
所以函数y=是减函数,
所以函数y=是增函数,
故f(x)==1是增函数,
故D不正确.故选ABC.
3.(角度2)不等式<()3(x－1)的解集为 .
【答案】 (－3,2)
【解析】 函数y=2x在R上单调递增,
则<()3(x－1) <2－3(x－1) x2－2x－3<－3(x－1),
即x2+x－6<0,解得－3所以原不等式的解集为(－3,2).
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
根式与指数幂的运算 1,7,15
指数函数的图象及应用 2,9
指数函数的性质及应用 3,4,5,6,10,11,12,13
指数函数的图象 与性质的综合应用 8,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.化简(a>0,c<0)的结果为( )
[A] ± [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 原式=()=()=·=.
故选B.
2.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),因此指数函数是增函数,所以有a>1,由底数大于1,指数函数的图象上升,且在x轴上方可知B正确.故选B.
3.已知a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小顺序为( )
[A] c>b>a [B] a>b>c
[C] b>a>c [D] c>a>b
【答案】 B
【解析】 由题意可知,a=()=(),
因为y=()x在(－∞,+∞)上单调递增,
且<,所以()>(),即a>b,
由题意可知,c=()=(),
因为y=在(－∞,+∞)上单调递增,
且<,所以()<(),即c所以a>b>c. 故选B.
4.已知函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,则函数y=f(x)的单调递增区间为( )
[A] (－1,+∞) [B] (0,+∞)
[C] (－∞,－1) [D] (－∞,0)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,
所以2|－x+a|=2|x+a|,解得a=0,
所以函数f(x)=2|x|=其单调递增区间为(0,+∞).
故选B.
5.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=ex－e2－x,若实数m,n满足f(m)+f(n)=0,则m+n等于( )
[A] 1 [B] 2 [C] e [D] 4
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=ex－e2－x,f(2－m)+f(m)=e2－m－em+(em－e2－m)=0,
而f(m)+f(n)=0,因此f(2－m)=f(n),
又函数y=ex,y=－e2－x在R上单调递增,
则函数f(x)=ex－e2－x在R上单调递增,于是2－m=n,
所以m+n=2.故选B.
6.(多选题)函数f(x)=,则下列关于函数 f(x)的说法正确的是( )
[A] 函数f(x)的图象关于原点对称
[B] 函数f(x)的值域为(0,1)
[C] 不等式f(x)>的解集是(0,+∞)
[D] f(x)是增函数
【答案】 BCD
【解析】 函数f(x)的定义域为R,且f(0)=≠0,所以函数f(x)的图象不关于原点对称,A错误;因为e－x+1>1,所以f(x)=∈(0,1),B正确;由f(x)=>,可得e－x<1,则－x<0,解得x>0,C正确;对任意的x∈R,y=1+e－x>1,且函数y=1+e－x在R上单调递减,故函数f(x)是增函数,D正确.故选BCD.
7.(5分)计算化简:
(1)(0.027+()(2)= ;
(2)化简(a>0,b>0)的结果是 .
【答案】 (1)0.09 (2)
【解析】 (1)原式=()2+=0.09+=0.09.
(2)原式==·=ab－1=.
8.(14分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)若不等式()x+()x－m≥0在(－∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)的图象经过点A(1,6),B(3,24),
所以
所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.
所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(－∞,1]时,()x+()x－m≥0恒成立,即m≤()x+()x在(－∞,1]上恒成立.又因为y=()x与y=()x均为减函数,所以y=()x+()x也是减函数,所以当x=1时,
y=()x+()x有最小值,则m≤,故实数m的取值范围是(－∞,].
9.(2025·江苏盐城模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、第三、第四象限,则g(b)=f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
[A] (0,) [B] (－∞,)
[C] (－∞,) [D] (0,)
【答案】 A
【解析】 由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、第三、第四象限,可得b<－1,
所以g(b)=f(b)－f(b－1)=3b－3b－1=3b×(1)=×3b<×3－1=,又因为×3b>0,
所以g(b)=f(b)－f(b－1)的取值范围为(0,).故选A.
10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=4x+a·2x在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
[A] [－4,+∞) [B] (－∞,－4]
[C] [－8,+∞) [D] (－∞,－8]
【答案】 C
【解析】 设t=2x,则由x≥2可知t≥4,由t=2x为增函数以及题意可知,函数y=t2+at在区间[4,+∞)上单调递增,结合y=t2+at的单调递增区间为[,+∞)可知,≤4,则a≥－8.故选C.
11.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知f(x)=x2－2x+m,g(x)=e2x－1－1,若对 x1∈[0,3], x2∈[,],使得f(x1)=g(x2),则实数m的取值范围是( )
[A] [2,e2－4] [B] [1,e2－5]
[C] [2,e2－5] [D] [1,e2－4]
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=x2－2x+m=(x－1)2+m－1,x∈[0,3],所以f(x)在[0,1)上单调递减,在(1,3]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=m－1,因为 f(0)=m,f(3)=m+3,m+3>m,所以 f(x)的最大值为m+3,所以f(x)的值域为[m－1,m+3],因为g(x)=e2x－1－1在x∈[,]上单调递增,所以g(x)的值域为[0,e2－1],因为对 x1∈[0,3], x2∈[,],使得f(x1)=g(x2),所以[m－1,m+3]是[0,e2－1]的子集,所以解得1≤m≤e2－4.故选D.
12.(5分)若m∈R,f(x)=则满足f(m－2)≥f(m+3)的m的最大值为 .
【答案】
【解析】 当x>0时,－x<0,
即f(－x)==2x=f(x),
当x<0时,－x>0,
即f(－x)=2－x==f(x),
于是,在(－∞,+∞)上,f(－x)=f(x)恒成立,
即f(x)为偶函数.
由指数函数的单调性可知,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因此,不等式f(m－2)≥f(m+3)等价于|m－2|≥|m+3|,
即(m－2)2≥(m+3)2,解得m≤.
故m的最大值为.
13.(5分)已知函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则a的取值范围为 ,
f(－4)与f(1)的大小关系是 .
【答案】 (1,+∞) f(－4)>f(1)
【解析】 因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.由于函数f(x)=a|x+1|在(－1,+∞)上单调递增,且它的图象关于直线x=－1对称,则函数f(x)在(－∞,－1)上单调递减,故f(1)=f(－3),f(－4)>f(－3)=f(1).
14.(15分)(2025·福建莆田模拟)已知函数f(x)=是定义域为R的奇函数.
(1)求实数b的值,并证明函数f(x)在R上单调递增;
(2)已知a>0且a≠1,若对于任意的x1,x2∈[1,3],都有f(x1)+≥恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为函数f(x)=是定义域为R的奇函数,则f(0)==0,解得b=－1,此时f(x)==1.
对任意的x∈R,3x+1>0,即函数f(x)的定义域为R,
f(－x)====－f(x),即函数f(x)为奇函数,符合题意.
任取t1,t2∈R,且t1所以f(t1)－f(t2)=(1)－(1)=<0,
则f(t1)(2)由(1)可知,函数f(x)在[1,3]上单调递增,
对于任意的x1,x2∈[1,3],
都有f(x1)+≥,
则≤f(1)=,所以≤2,
因为x2∈[1,3],所以x2－2∈[－1,1].
当0当a>1时,则有a≤2,此时1综上所述,实数a的取值范围是[,1)∪(1,2].
15.(2025·广东茂名模拟)随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善,AI大规模应用成为可能,尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数,Tanh函数的解析式为tanh x=,经过某次测试得知tanh x0=,则当把变量减半时,tanh 等于( )
[A] [B] 3 [C] 1 [D] 或3
【答案】 A
【解析】 因为tanh x0==,
所以=4,所以=2,=－2(舍去).
因为tanh ==,
所以tanh =.故选A.
16.(5分)(2025·浙江宁波模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)=－f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m－1(m∈R,m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是 .
【答案】 [,0)
【解析】 因为f(x)=3x+m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”,
所以存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)=－f(x0),
所以+m－1=m+1,
所以2m=+2,
构造函数y=+2,x0∈[－1,1],
令t=,t∈[,3],
则y=t+2=2－(t+)在[,1]上单调递增,在(1,3]上单调递减,所以当t=1时,函数y=t+2取得最大值0,
当t=或t=3时,
函数y=t+2取得最小值,
所以y∈[,0],
又因为m≠0,所以≤2m<0,
所以≤m<0.
第5节 指数与指数函数
[课程标准要求]
1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.会画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
n次方根 概念 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*
性质 当n是奇数时,a的n次方根用符号表示
当n是偶数时,正数a的n次方根用符号±表示;负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作=0
根式 概念 式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数
性质 当n为任意正整数时,()n=a
当n为奇数时,=a
当n为偶数时,=|a|=
2.有理数指数幂
概念 正分数指数幂:= a>0, m,n∈N*, n>1
负分数指数幂:==
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算性质 aras=ar+s a>0, b>0, r,s∈Q
(ar)s=ars
(ab)r=arbr
有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算.
3.指数函数的概念、图象与性质
(1)指数函数的概念.
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0,且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.
(2)指数函数的图象与性质.
函数 y=ax(a>0,且a≠1)
01
图象
图象特征 在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升
定义域 R
值域 (0,+∞)
性质 单调性 单调递减 单调递增
函数变 化规律 当x<0时,y>1;当x>0时,00时,y>1
1.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是02.与指数函数有关的几个函数的奇偶性
(1)函数y=ax－a－x,y=,y=+,y=(a>0,且a≠1)均为奇函数.
(2)函数y=ax+a－x为偶函数.
1.(人教A版必修第一册P109习题4.1 T1改编)下列运算正确的是( )
[A] =2－π [B] a=
[C] ()8= [D] (=x9
【答案】 C
【解析】 对于A,2－π<0,所以 =π－2,错误;对于B,因为>0,所以a<0,
则a=－(－a)·=,错误;对于C,()8=()8()8=,正确;对于D,
(=x9－2=x7,错误.故选C.
2.(人教B版必修第二册P13练习A T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(－1,2),那么这个函数也必定经过点( )
[A] (－2,) [B] (－1,)
[C] (1,2) [D] (3,)
【答案】 D
【解析】 由题意设f(x)=ax,则f(－1)=a－1=2,所以a=,f(x)=()x,故f(3)=.故选D.
3.(人教A版必修第一册P116探究改编)函数y=的图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 易知函数y=是增函数,可排除选项B,D,又当x=0时,y=2.故选A.
4.(人教A版必修第一册P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是( )
[A] a[C] b【答案】 C
【解析】 易得1.70.3>1,y=0.9x在定义域内是减函数,则0.93.1<0.91.7<0.90,即bc>b.故选C.
5.(北师大版必修第一册P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为 .
【答案】 [2,+∞)
【解析】 因为|x|≥0,所以3|x|≥1,所以f(x)≥2.
考点一 指数幂的运算
1.若a－1－a1=4,则a－2+a2的值为( )
[A] 8 [B] 16
[C] 2 [D] 18
【答案】 D
【解析】 因为a－1－a1=4,
所以a－2+a2=(a－1－a1)2+2=42+2=18.故选D.
2.将(其中a>0)化为有理数指数幂的形式为 .
【答案】
【解析】 ===.
3.+÷(= .
【答案】 －3
【解析】 +÷(=(22+1÷=2+1－4－2=－3.
4.(2025·广东珠海模拟)若xy=3,则x+y= .
【答案】 ±2
【解析】 当x>0,y>0时,x+y=+=2,
当x<0,y<0时,x+y=+()=－2.
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用性质计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
[例1] (多选题)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为( )
[A] a=b [B] 0[C] a【答案】 ABC
【解析】 由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示,
由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故选项A正确;
作出直线y=k,k>1,若3a=6b=k,则0作出直线y=m,0当01,则3a<3b<2b·3b=6b,故选项D错误.故选ABC.
[典例迁移1] (改变指数,指数函数图象平移变换)函数f(x)=ax－b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
[A] a>1,b<0 [B] a>1,b>0
[C] 00 [D] 0【答案】 D
【解析】 由函数f(x)=ax－b的图象可知,
函数f(x)=ax－b在定义域上单调递减,
所以0函数f(x)=ax－b图象是由y=ax向左平移所得,
所以－b>0,所以b<0,故D选项正确.故选D.
[典例迁移2] (改变指数和系数,指数函数图象关于y轴对称)已知函数y=+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab等于( )
[A] －1 [B] －2 [C] －4 [D] －9
【答案】 C
【解析】 因为函数y=f(x)=a()|x|+b图象过原点,所以a()0+b=0,
得a+b=0,又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交,
所以b=2,则a=－2,所以ab=－4.故选C.
[典例迁移3] (改变系数,添加绝对值符号,让指数函数图象先平移再翻折)若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有且只有两个公共点,则a的取值范围是 .
【答案】 (0,)
【解析】 当a>1时,作出函数y=|ax－1|的图象[如图(1)],要使直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则0<2a<1,解得00,且a≠1)的图象有两个公共点,则0<2a<1,解得0指数型函数的图象
(1)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(2)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(3)函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象相同;当x<0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
[例2] (2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
[A] c>a>b [B] c>b>a
[C] a>b>c [D] b>a>c
[溯源探本] 本例题源于人教A版必修第一册P119习题4.2 T6.
【答案】 D
【解析】 由y=1.01x在R上单调递增,则a=1.010.5由y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,
则a=1.010.5>c=0.60.5,
所以b>a>c.
故选D.
比较指数式大小的常用方法
取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,然后得出大小关系
单调性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底
角度2 解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－3)
[B] (1,+∞)
[C] (－3,1)
[D] (－∞,－3)∪(1,+∞)
(2)方程4x+|1－2x|=11的解为 .
【答案】 (1)C (2)x=log23
【解析】 (1)当a<0时,不等式f(a)<1可化为()a－7<1,即()a<8,即()a<()－3,因为0<<1,所以a>－3,此时－3(2)当x≥0时,原方程化为4x+2x－12=0,即(2x)2+2x－12=0,所以(2x－3)(2x+4)=0,所以2x=3,即x=log23;当x<0时,原方程化为4x－2x－10=0,令t=2x,则t2－t－10=0(0解指数不等式的常用方法
性质法 解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0隐含 性质法 解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解
图象法 解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解
角度3 指数函数性质的综合应用
[例4] (1)(2025·辽宁大连模拟)若函数f(x)=在区间(1,4)内单调递减,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,4] [B] [4,16]
[C] (16,+∞) [D] [16,+∞)
(2)(多选题)(2025·福建漳州模拟)小明同学对函数f(x)=a－x－kax(a>0,且a≠1)进行研究,得出如下结论,其中正确的有( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)有可能是奇函数,也有可能是偶函数
[C] 函数f(x)在定义域内单调递减
[D] 函数f(x)不一定有零点
【答案】 (1)A (2)ABD
【解析】 (1)设f(u)=3u,u=－2x2+ax,
则f(u)=3u在(－∞,+∞)上单调递增.
因为f(x)=在区间(1,4)内单调递减,
所以函数u=－2x2+ax在区间(1,4)内单调递减,
结合二次函数的图象和性质,可得≤1,
解得a≤4.故选A.
(2)由x∈R,有ax>0,即f(x)恒有意义,故定义域为R,A正确;
当k=1时,f(x)=a－x－ax,
故f(－x)=ax－a－x=－f(x),此时f(x)为奇函数,
当k=－1时,f(x)=a－x+ax,故f(－x)=ax+a－x=f(x),此时f(x)为偶函数,B正确;
若f(x)=a－x+ax=+ax>0,令t=ax,
易知y=t+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
当a>1时,t=ax在(－∞,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可知,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减,所以f(x)在定义域内不单调递减,且无零点,
C错误;
若f(x)=a－x－ax,显然f(0)=0,此时函数有零点,综上,f(x)不一定有零点,D正确.
故选ABD.
求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.求参数值(范围)的方法是首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·云南昆明模拟)若a=2π－2,b=6－1,c=,则( )
[A] b>a>c [B] c>a>b
[C] a>b>c [D] a>c>b
【答案】 D
【解析】 因为y=2x是增函数,且π－2>1>>0,
所以2π－2>>20,
即a>c>1,因为b=6－1=<1,
所以c>b,所以a>c>b.故选D.
2.(角度3)(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)的值域为(－1,1)
[C] 函数f(x)是奇函数
[D] 函数f(x)为减函数
【答案】 ABC
【解析】 因为ex>0,所以ex+1>0,
所以函数f(x)的定义域为R,故A正确;
f(x)==1,
由ex>0 ex+1>1 0<<1 －2<<0 －1<1<1,
所以函数f(x)的值域为(－1,1),故B正确;
因为f(－x)====－f(x),
所以函数f(x)是奇函数,故C正确;
因为函数y=ex+1是增函数,
所以函数y=是减函数,
所以函数y=是增函数,
故f(x)==1是增函数,
故D不正确.故选ABC.
3.(角度2)不等式<()3(x－1)的解集为 .
【答案】 (－3,2)
【解析】 函数y=2x在R上单调递增,
则<()3(x－1) <2－3(x－1) x2－2x－3<－3(x－1),
即x2+x－6<0,解得－3所以原不等式的解集为(－3,2).
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
根式与指数幂的运算 1,7,15
指数函数的图象及应用 2,9
指数函数的性质及应用 3,4,5,6,10,11,12,13
指数函数的图象 与性质的综合应用 8,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.化简(a>0,c<0)的结果为( )
[A] ± [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 原式=()=()=·=.
故选B.
2.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),因此指数函数是增函数,所以有a>1,由底数大于1,指数函数的图象上升,且在x轴上方可知B正确.故选B.
3.已知a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小顺序为( )
[A] c>b>a [B] a>b>c
[C] b>a>c [D] c>a>b
【答案】 B
【解析】 由题意可知,a=()=(),
因为y=()x在(－∞,+∞)上单调递增,
且<,所以()>(),即a>b,
由题意可知,c=()=(),
因为y=在(－∞,+∞)上单调递增,
且<,所以()<(),即c所以a>b>c. 故选B.
4.已知函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,则函数y=f(x)的单调递增区间为( )
[A] (－1,+∞) [B] (0,+∞)
[C] (－∞,－1) [D] (－∞,0)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,
所以2|－x+a|=2|x+a|,解得a=0,
所以函数f(x)=2|x|=其单调递增区间为(0,+∞).
故选B.
5.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=ex－e2－x,若实数m,n满足f(m)+f(n)=0,则m+n等于( )
[A] 1 [B] 2 [C] e [D] 4
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=ex－e2－x,f(2－m)+f(m)=e2－m－em+(em－e2－m)=0,
而f(m)+f(n)=0,因此f(2－m)=f(n),
又函数y=ex,y=－e2－x在R上单调递增,
则函数f(x)=ex－e2－x在R上单调递增,于是2－m=n,
所以m+n=2.故选B.
6.(多选题)函数f(x)=,则下列关于函数 f(x)的说法正确的是( )
[A] 函数f(x)的图象关于原点对称
[B] 函数f(x)的值域为(0,1)
[C] 不等式f(x)>的解集是(0,+∞)
[D] f(x)是增函数
【答案】 BCD
【解析】 函数f(x)的定义域为R,且f(0)=≠0,所以函数f(x)的图象不关于原点对称,A错误;因为e－x+1>1,所以f(x)=∈(0,1),B正确;由f(x)=>,可得e－x<1,则－x<0,解得x>0,C正确;对任意的x∈R,y=1+e－x>1,且函数y=1+e－x在R上单调递减,故函数f(x)是增函数,D正确.故选BCD.
7.(5分)计算化简:
(1)(0.027+()(2)= ;
(2)化简(a>0,b>0)的结果是 .
【答案】 (1)0.09 (2)
【解析】 (1)原式=()2+=0.09+=0.09.
(2)原式==·=ab－1=.
8.(14分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)若不等式()x+()x－m≥0在(－∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)的图象经过点A(1,6),B(3,24),
所以
所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.
所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(－∞,1]时,()x+()x－m≥0恒成立,即m≤()x+()x在(－∞,1]上恒成立.又因为y=()x与y=()x均为减函数,所以y=()x+()x也是减函数,所以当x=1时,
y=()x+()x有最小值,则m≤,故实数m的取值范围是(－∞,].
9.(2025·江苏盐城模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、第三、第四象限,则g(b)=f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
[A] (0,) [B] (－∞,)
[C] (－∞,) [D] (0,)
【答案】 A
【解析】 由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、第三、第四象限,可得b<－1,
所以g(b)=f(b)－f(b－1)=3b－3b－1=3b×(1)=×3b<×3－1=,又因为×3b>0,
所以g(b)=f(b)－f(b－1)的取值范围为(0,).故选A.
10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=4x+a·2x在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
[A] [－4,+∞) [B] (－∞,－4]
[C] [－8,+∞) [D] (－∞,－8]
【答案】 C
【解析】 设t=2x,则由x≥2可知t≥4,由t=2x为增函数以及题意可知,函数y=t2+at在区间[4,+∞)上单调递增,结合y=t2+at的单调递增区间为[,+∞)可知,≤4,则a≥－8.故选C.
11.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知f(x)=x2－2x+m,g(x)=e2x－1－1,若对 x1∈[0,3], x2∈[,],使得f(x1)=g(x2),则实数m的取值范围是( )
[A] [2,e2－4] [B] [1,e2－5]
[C] [2,e2－5] [D] [1,e2－4]
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=x2－2x+m=(x－1)2+m－1,x∈[0,3],所以f(x)在[0,1)上单调递减,在(1,3]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=m－1,因为 f(0)=m,f(3)=m+3,m+3>m,所以 f(x)的最大值为m+3,所以f(x)的值域为[m－1,m+3],因为g(x)=e2x－1－1在x∈[,]上单调递增,所以g(x)的值域为[0,e2－1],因为对 x1∈[0,3], x2∈[,],使得f(x1)=g(x2),所以[m－1,m+3]是[0,e2－1]的子集,所以解得1≤m≤e2－4.故选D.
12.(5分)若m∈R,f(x)=则满足f(m－2)≥f(m+3)的m的最大值为 .
【答案】
【解析】 当x>0时,－x<0,
即f(－x)==2x=f(x),
当x<0时,－x>0,
即f(－x)=2－x==f(x),
于是,在(－∞,+∞)上,f(－x)=f(x)恒成立,
即f(x)为偶函数.
由指数函数的单调性可知,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因此,不等式f(m－2)≥f(m+3)等价于|m－2|≥|m+3|,
即(m－2)2≥(m+3)2,解得m≤.
故m的最大值为.
13.(5分)已知函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则a的取值范围为 ,
f(－4)与f(1)的大小关系是 .
【答案】 (1,+∞) f(－4)>f(1)
【解析】 因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.由于函数f(x)=a|x+1|在(－1,+∞)上单调递增,且它的图象关于直线x=－1对称,则函数f(x)在(－∞,－1)上单调递减,故f(1)=f(－3),f(－4)>f(－3)=f(1).
14.(15分)(2025·福建莆田模拟)已知函数f(x)=是定义域为R的奇函数.
(1)求实数b的值,并证明函数f(x)在R上单调递增;
(2)已知a>0且a≠1,若对于任意的x1,x2∈[1,3],都有f(x1)+≥恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为函数f(x)=是定义域为R的奇函数,则f(0)==0,解得b=－1,此时f(x)==1.
对任意的x∈R,3x+1>0,即函数f(x)的定义域为R,
f(－x)====－f(x),即函数f(x)为奇函数,符合题意.
任取t1,t2∈R,且t1所以f(t1)－f(t2)=(1)－(1)=<0,
则f(t1)(2)由(1)可知,函数f(x)在[1,3]上单调递增,
对于任意的x1,x2∈[1,3],
都有f(x1)+≥,
则≤f(1)=,所以≤2,
因为x2∈[1,3],所以x2－2∈[－1,1].
当0当a>1时,则有a≤2,此时1综上所述,实数a的取值范围是[,1)∪(1,2].
15.(2025·广东茂名模拟)随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善,AI大规模应用成为可能,尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数,Tanh函数的解析式为tanh x=,经过某次测试得知tanh x0=,则当把变量减半时,tanh 等于( )
[A] [B] 3 [C] 1 [D] 或3
【答案】 A
【解析】 因为tanh x0==,
所以=4,所以=2,=－2(舍去).
因为tanh ==,
所以tanh =.故选A.
16.(5分)(2025·浙江宁波模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)=－f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m－1(m∈R,m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是 .
【答案】 [,0)
【解析】 因为f(x)=3x+m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”,
所以存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)=－f(x0),
所以+m－1=m+1,
所以2m=+2,
构造函数y=+2,x0∈[－1,1],
令t=,t∈[,3],
则y=t+2=2－(t+)在[,1]上单调递增,在(1,3]上单调递减,所以当t=1时,函数y=t+2取得最大值0,
当t=或t=3时,
函数y=t+2取得最小值,
所以y∈[,0],
又因为m≠0,所以≤2m<0,
所以≤m<0.
第5节 指数与指数函数
[课程标准要求]
1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.会画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
n次方根 概念 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*
性质 当n是奇数时,a的n次方根用符号表示
当n是偶数时,正数a的n次方根用符号±表示;负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作=0
根式 概念 式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数
性质 当n为任意正整数时,()n=a
当n为奇数时,=a
当n为偶数时,=|a|=
2.有理数指数幂
概念 正分数指数幂:= a>0, m,n∈N*, n>1
负分数指数幂:==
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算性质 aras=ar+s a>0, b>0, r,s∈Q
(ar)s=ars
(ab)r=arbr
有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算.
3.指数函数的概念、图象与性质
(1)指数函数的概念.
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0,且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.
(2)指数函数的图象与性质.
函数 y=ax(a>0,且a≠1)
01
图象
图象特征 在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升
定义域 R
值域 (0,+∞)
性质 单调性 单调递减 单调递增
函数变 化规律 当x<0时,y>1;当x>0时,00时,y>1
1.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是02.与指数函数有关的几个函数的奇偶性
(1)函数y=ax－a－x,y=,y=+,y=(a>0,且a≠1)均为奇函数.
(2)函数y=ax+a－x为偶函数.
1.(人教A版必修第一册P109习题4.1 T1改编)下列运算正确的是( )
[A] =2－π [B] a=
[C] ()8= [D] (=x9
【答案】 C
【解析】 对于A,2－π<0,所以 =π－2,错误;对于B,因为>0,所以a<0,
则a=－(－a)·=,错误;对于C,()8=()8()8=,正确;对于D,
(=x9－2=x7,错误.故选C.
2.(人教B版必修第二册P13练习A T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(－1,2),那么这个函数也必定经过点( )
[A] (－2,) [B] (－1,)
[C] (1,2) [D] (3,)
【答案】 D
【解析】 由题意设f(x)=ax,则f(－1)=a－1=2,所以a=,f(x)=()x,故f(3)=.故选D.
3.(人教A版必修第一册P116探究改编)函数y=的图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 易知函数y=是增函数,可排除选项B,D,又当x=0时,y=2.故选A.
4.(人教A版必修第一册P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是( )
[A] a[C] b【答案】 C
【解析】 易得1.70.3>1,y=0.9x在定义域内是减函数,则0.93.1<0.91.7<0.90,即bc>b.故选C.
5.(北师大版必修第一册P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为 .
【答案】 [2,+∞)
【解析】 因为|x|≥0,所以3|x|≥1,所以f(x)≥2.
考点一 指数幂的运算
1.若a－1－a1=4,则a－2+a2的值为( )
[A] 8 [B] 16
[C] 2 [D] 18
【答案】 D
【解析】 因为a－1－a1=4,
所以a－2+a2=(a－1－a1)2+2=42+2=18.故选D.
2.将(其中a>0)化为有理数指数幂的形式为 .
【答案】
【解析】 ===.
3.+÷(= .
【答案】 －3
【解析】 +÷(=(22+1÷=2+1－4－2=－3.
4.(2025·广东珠海模拟)若xy=3,则x+y= .
【答案】 ±2
【解析】 当x>0,y>0时,x+y=+=2,
当x<0,y<0时,x+y=+()=－2.
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用性质计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
[例1] (多选题)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为( )
[A] a=b [B] 0[C] a【答案】 ABC
【解析】 由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示,
由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故选项A正确;
作出直线y=k,k>1,若3a=6b=k,则0作出直线y=m,0当01,则3a<3b<2b·3b=6b,故选项D错误.故选ABC.
[典例迁移1] (改变指数,指数函数图象平移变换)函数f(x)=ax－b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
[A] a>1,b<0 [B] a>1,b>0
[C] 00 [D] 0【答案】 D
【解析】 由函数f(x)=ax－b的图象可知,
函数f(x)=ax－b在定义域上单调递减,
所以0函数f(x)=ax－b图象是由y=ax向左平移所得,
所以－b>0,所以b<0,故D选项正确.故选D.
[典例迁移2] (改变指数和系数,指数函数图象关于y轴对称)已知函数y=+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab等于( )
[A] －1 [B] －2 [C] －4 [D] －9
【答案】 C
【解析】 因为函数y=f(x)=a()|x|+b图象过原点,所以a()0+b=0,
得a+b=0,又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交,
所以b=2,则a=－2,所以ab=－4.故选C.
[典例迁移3] (改变系数,添加绝对值符号,让指数函数图象先平移再翻折)若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有且只有两个公共点,则a的取值范围是 .
【答案】 (0,)
【解析】 当a>1时,作出函数y=|ax－1|的图象[如图(1)],要使直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则0<2a<1,解得00,且a≠1)的图象有两个公共点,则0<2a<1,解得0指数型函数的图象
(1)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(2)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(3)函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象相同;当x<0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
[例2] (2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
[A] c>a>b [B] c>b>a
[C] a>b>c [D] b>a>c
[溯源探本] 本例题源于人教A版必修第一册P119习题4.2 T6.
【答案】 D
【解析】 由y=1.01x在R上单调递增,则a=1.010.5由y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,
则a=1.010.5>c=0.60.5,
所以b>a>c.
故选D.
比较指数式大小的常用方法
取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,然后得出大小关系
单调性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底
角度2 解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－3)
[B] (1,+∞)
[C] (－3,1)
[D] (－∞,－3)∪(1,+∞)
(2)方程4x+|1－2x|=11的解为 .
【答案】 (1)C (2)x=log23
【解析】 (1)当a<0时,不等式f(a)<1可化为()a－7<1,即()a<8,即()a<()－3,因为0<<1,所以a>－3,此时－3(2)当x≥0时,原方程化为4x+2x－12=0,即(2x)2+2x－12=0,所以(2x－3)(2x+4)=0,所以2x=3,即x=log23;当x<0时,原方程化为4x－2x－10=0,令t=2x,则t2－t－10=0(0解指数不等式的常用方法
性质法 解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0隐含 性质法 解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解
图象法 解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解
角度3 指数函数性质的综合应用
[例4] (1)(2025·辽宁大连模拟)若函数f(x)=在区间(1,4)内单调递减,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,4] [B] [4,16]
[C] (16,+∞) [D] [16,+∞)
(2)(多选题)(2025·福建漳州模拟)小明同学对函数f(x)=a－x－kax(a>0,且a≠1)进行研究,得出如下结论,其中正确的有( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)有可能是奇函数,也有可能是偶函数
[C] 函数f(x)在定义域内单调递减
[D] 函数f(x)不一定有零点
【答案】 (1)A (2)ABD
【解析】 (1)设f(u)=3u,u=－2x2+ax,
则f(u)=3u在(－∞,+∞)上单调递增.
因为f(x)=在区间(1,4)内单调递减,
所以函数u=－2x2+ax在区间(1,4)内单调递减,
结合二次函数的图象和性质,可得≤1,
解得a≤4.故选A.
(2)由x∈R,有ax>0,即f(x)恒有意义,故定义域为R,A正确;
当k=1时,f(x)=a－x－ax,
故f(－x)=ax－a－x=－f(x),此时f(x)为奇函数,
当k=－1时,f(x)=a－x+ax,故f(－x)=ax+a－x=f(x),此时f(x)为偶函数,B正确;
若f(x)=a－x+ax=+ax>0,令t=ax,
易知y=t+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
当a>1时,t=ax在(－∞,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可知,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减,所以f(x)在定义域内不单调递减,且无零点,
C错误;
若f(x)=a－x－ax,显然f(0)=0,此时函数有零点,综上,f(x)不一定有零点,D正确.
故选ABD.
求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.求参数值(范围)的方法是首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·云南昆明模拟)若a=2π－2,b=6－1,c=,则( )
[A] b>a>c [B] c>a>b
[C] a>b>c [D] a>c>b
【答案】 D
【解析】 因为y=2x是增函数,且π－2>1>>0,
所以2π－2>>20,
即a>c>1,因为b=6－1=<1,
所以c>b,所以a>c>b.故选D.
2.(角度3)(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)的值域为(－1,1)
[C] 函数f(x)是奇函数
[D] 函数f(x)为减函数
【答案】 ABC
【解析】 因为ex>0,所以ex+1>0,
所以函数f(x)的定义域为R,故A正确;
f(x)==1,
由ex>0 ex+1>1 0<<1 －2<<0 －1<1<1,
所以函数f(x)的值域为(－1,1),故B正确;
因为f(－x)====－f(x),
所以函数f(x)是奇函数,故C正确;
因为函数y=ex+1是增函数,
所以函数y=是减函数,
所以函数y=是增函数,
故f(x)==1是增函数,
故D不正确.故选ABC.
3.(角度2)不等式<()3(x－1)的解集为 .
【答案】 (－3,2)
【解析】 函数y=2x在R上单调递增,
则<()3(x－1) <2－3(x－1) x2－2x－3<－3(x－1),
即x2+x－6<0,解得－3所以原不等式的解集为(－3,2).
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
根式与指数幂的运算 1,7,15
指数函数的图象及应用 2,9
指数函数的性质及应用 3,4,5,6,10,11,12,13
指数函数的图象 与性质的综合应用 8,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.化简(a>0,c<0)的结果为( )
[A] ± [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 原式=()=()=·=.
故选B.
2.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),因此指数函数是增函数,所以有a>1,由底数大于1,指数函数的图象上升,且在x轴上方可知B正确.故选B.
3.已知a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小顺序为( )
[A] c>b>a [B] a>b>c
[C] b>a>c [D] c>a>b
【答案】 B
【解析】 由题意可知,a=()=(),
因为y=()x在(－∞,+∞)上单调递增,
且<,所以()>(),即a>b,
由题意可知,c=()=(),
因为y=在(－∞,+∞)上单调递增,
且<,所以()<(),即c所以a>b>c. 故选B.
4.已知函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,则函数y=f(x)的单调递增区间为( )
[A] (－1,+∞) [B] (0,+∞)
[C] (－∞,－1) [D] (－∞,0)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,
所以2|－x+a|=2|x+a|,解得a=0,
所以函数f(x)=2|x|=其单调递增区间为(0,+∞).
故选B.
5.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=ex－e2－x,若实数m,n满足f(m)+f(n)=0,则m+n等于( )
[A] 1 [B] 2 [C] e [D] 4
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=ex－e2－x,f(2－m)+f(m)=e2－m－em+(em－e2－m)=0,
而f(m)+f(n)=0,因此f(2－m)=f(n),
又函数y=ex,y=－e2－x在R上单调递增,
则函数f(x)=ex－e2－x在R上单调递增,于是2－m=n,
所以m+n=2.故选B.
6.(多选题)函数f(x)=,则下列关于函数 f(x)的说法正确的是( )
[A] 函数f(x)的图象关于原点对称
[B] 函数f(x)的值域为(0,1)
[C] 不等式f(x)>的解集是(0,+∞)
[D] f(x)是增函数
【答案】 BCD
【解析】 函数f(x)的定义域为R,且f(0)=≠0,所以函数f(x)的图象不关于原点对称,A错误;因为e－x+1>1,所以f(x)=∈(0,1),B正确;由f(x)=>,可得e－x<1,则－x<0,解得x>0,C正确;对任意的x∈R,y=1+e－x>1,且函数y=1+e－x在R上单调递减,故函数f(x)是增函数,D正确.故选BCD.
7.(5分)计算化简:
(1)(0.027+()(2)= ;
(2)化简(a>0,b>0)的结果是 .
【答案】 (1)0.09 (2)
【解析】 (1)原式=()2+=0.09+=0.09.
(2)原式==·=ab－1=.
8.(14分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)若不等式()x+()x－m≥0在(－∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)的图象经过点A(1,6),B(3,24),
所以
所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.
所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(－∞,1]时,()x+()x－m≥0恒成立,即m≤()x+()x在(－∞,1]上恒成立.又因为y=()x与y=()x均为减函数,所以y=()x+()x也是减函数,所以当x=1时,
y=()x+()x有最小值,则m≤,故实数m的取值范围是(－∞,].
9.(2025·江苏盐城模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、第三、第四象限,则g(b)=f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
[A] (0,) [B] (－∞,)
[C] (－∞,) [D] (0,)
【答案】 A
【解析】 由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、第三、第四象限,可得b<－1,
所以g(b)=f(b)－f(b－1)=3b－3b－1=3b×(1)=×3b<×3－1=,又因为×3b>0,
所以g(b)=f(b)－f(b－1)的取值范围为(0,).故选A.
10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=4x+a·2x在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
[A] [－4,+∞) [B] (－∞,－4]
[C] [－8,+∞) [D] (－∞,－8]
【答案】 C
【解析】 设t=2x,则由x≥2可知t≥4,由t=2x为增函数以及题意可知,函数y=t2+at在区间[4,+∞)上单调递增,结合y=t2+at的单调递增区间为[,+∞)可知,≤4,则a≥－8.故选C.
11.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知f(x)=x2－2x+m,g(x)=e2x－1－1,若对 x1∈[0,3], x2∈[,],使得f(x1)=g(x2),则实数m的取值范围是( )
[A] [2,e2－4] [B] [1,e2－5]
[C] [2,e2－5] [D] [1,e2－4]
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=x2－2x+m=(x－1)2+m－1,x∈[0,3],所以f(x)在[0,1)上单调递减,在(1,3]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=m－1,因为 f(0)=m,f(3)=m+3,m+3>m,所以 f(x)的最大值为m+3,所以f(x)的值域为[m－1,m+3],因为g(x)=e2x－1－1在x∈[,]上单调递增,所以g(x)的值域为[0,e2－1],因为对 x1∈[0,3], x2∈[,],使得f(x1)=g(x2),所以[m－1,m+3]是[0,e2－1]的子集,所以解得1≤m≤e2－4.故选D.
12.(5分)若m∈R,f(x)=则满足f(m－2)≥f(m+3)的m的最大值为 .
【答案】
【解析】 当x>0时,－x<0,
即f(－x)==2x=f(x),
当x<0时,－x>0,
即f(－x)=2－x==f(x),
于是,在(－∞,+∞)上,f(－x)=f(x)恒成立,
即f(x)为偶函数.
由指数函数的单调性可知,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因此,不等式f(m－2)≥f(m+3)等价于|m－2|≥|m+3|,
即(m－2)2≥(m+3)2,解得m≤.
故m的最大值为.
13.(5分)已知函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则a的取值范围为 ,
f(－4)与f(1)的大小关系是 .
【答案】 (1,+∞) f(－4)>f(1)
【解析】 因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.由于函数f(x)=a|x+1|在(－1,+∞)上单调递增,且它的图象关于直线x=－1对称,则函数f(x)在(－∞,－1)上单调递减,故f(1)=f(－3),f(－4)>f(－3)=f(1).
14.(15分)(2025·福建莆田模拟)已知函数f(x)=是定义域为R的奇函数.
(1)求实数b的值,并证明函数f(x)在R上单调递增;
(2)已知a>0且a≠1,若对于任意的x1,x2∈[1,3],都有f(x1)+≥恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为函数f(x)=是定义域为R的奇函数,则f(0)==0,解得b=－1,此时f(x)==1.
对任意的x∈R,3x+1>0,即函数f(x)的定义域为R,
f(－x)====－f(x),即函数f(x)为奇函数,符合题意.
任取t1,t2∈R,且t1所以f(t1)－f(t2)=(1)－(1)=<0,
则f(t1)(2)由(1)可知,函数f(x)在[1,3]上单调递增,
对于任意的x1,x2∈[1,3],
都有f(x1)+≥,
则≤f(1)=,所以≤2,
因为x2∈[1,3],所以x2－2∈[－1,1].
当0当a>1时,则有a≤2,此时1综上所述,实数a的取值范围是[,1)∪(1,2].
15.(2025·广东茂名模拟)随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善,AI大规模应用成为可能,尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数,Tanh函数的解析式为tanh x=,经过某次测试得知tanh x0=,则当把变量减半时,tanh 等于( )
[A] [B] 3 [C] 1 [D] 或3
【答案】 A
【解析】 因为tanh x0==,
所以=4,所以=2,=－2(舍去).
因为tanh ==,
所以tanh =.故选A.
16.(5分)(2025·浙江宁波模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)=－f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m－1(m∈R,m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是 .
【答案】 [,0)
【解析】 因为f(x)=3x+m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”,
所以存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)=－f(x0),
所以+m－1=m+1,
所以2m=+2,
构造函数y=+2,x0∈[－1,1],
令t=,t∈[,3],
则y=t+2=2－(t+)在[,1]上单调递增,在(1,3]上单调递减,所以当t=1时,函数y=t+2取得最大值0,
当t=或t=3时,
函数y=t+2取得最小值,
所以y∈[,0],
又因为m≠0,所以≤2m<0,
所以≤m<0.
(
第
17
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)(共84张PPT)
第5节 指数与指数函数
1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.会画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
[课程标准要求]
知识梳理
1.根式
xn=a
奇数
偶数
知识梳理
根式
根指数
被开方数
a
知识梳理
2.有理数指数幂
ar+s
ars
arbr
释疑
有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算.
3.指数函数的概念、图象与性质
(1)指数函数的概念.
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
知识梳理
释疑
形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0,且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.
(2)指数函数的图象与性质.
知识梳理
函数 y=ax(a>0,且a≠1)
01
图象
知识梳理
图象特征 在x轴上方,过定点
当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升
定义域 R
值域
性质 单调性 单调递减 单调递增
函数变化规律 当x<0时,y>1;当x>0时,00时,y>1
(0,1)
(0,+∞)
重要结论
1.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),
不论是a>1,还是0重要结论
2.与指数函数有关的几个函数的奇偶性
(2)函数y=ax+a－x为偶函数.
对点自测
1.(人教A版必修第一册P109习题4.1 T1改编)下列运算正确的是( )
C
对点自测
2.(人教B版必修第二册P13练习A T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点
(－1,2),那么这个函数也必定经过点( )
对点自测
D
对点自测
[A] [B] [C] [D]
A
对点自测
4.(人教A版必修第一册P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是( )
[A] a[C] b对点自测
C
【解析】 易得1.70.3>1,y=0.9x在定义域内是减函数,则0.93.1<0.91.7<0.90,
即bc>b.故选C.
5.(北师大版必修第一册P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为 .
【解析】 因为|x|≥0,所以3|x|≥1,所以f(x)≥2.
对点自测
[2,+∞)
1.若a－1－a1=4,则a－2+a2的值为( )
[A] 8 [B] 16
[C] 2 [D] 18
考点一 指数幂的运算
D
【解析】 因为a－1－a1=4,
所以a－2+a2=(a－1－a1)2+2=42+2=18.故选D.
－3
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用性质计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
题后悟通
[例1] (多选题)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为
( )
[A] a=b [B] 0[C] a考点二 指数函数的图象及应用
ABC
【解析】 由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示,
由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故选项A正确;
作出直线y=k,k>1,若3a=6b=k,则0作出直线y=m,0当01,则3a<3b<2b·3b=6b,故选项D错误.故选ABC.
[典例迁移1] (改变指数,指数函数图象平移变换)函数f(x)=ax－b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
[A] a>1,b<0 [B] a>1,b>0
[C] 00 [D] 0D
【解析】 由函数f(x)=ax－b的图象可知,
函数f(x)=ax－b在定义域上单调递减,
所以0函数f(x)=ax－b图象是由y=ax向左平移所得,
所以－b>0,所以b<0,故D选项正确.故选D.
C
[A] －1 [B] －2 [C] －4 [D] －9
[典例迁移3] (改变系数,添加绝对值符号,让指数函数图象先平移再翻折)若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有且只有两个公共点,则a的取
值范围是 .
指数型函数的图象
(1)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(2)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(3)函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象相同;当x<0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
解题策略
[例2] (2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为
( )
[A] c>a>b [B] c>b>a
[C] a>b>c [D] b>a>c
考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
D
【解析】 由y=1.01x在R上单调递增,则a=1.010.5由y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,
则a=1.010.5>c=0.60.5,
所以b>a>c.
故选D.
解题策略
比较指数式大小的常用方法
取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时,先与中间值
(特别是0,1)比较大小,然后得出大小关系
单调性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底
[A] (－∞,－3)
[B] (1,+∞)
[C] (－3,1)
[D] (－∞,－3)∪(1,+∞)
角度2 解简单的指数方程或不等式
C
(2)方程4x+|1－2x|=11的解为 .
x=log23
解题策略
解指数不等式的常用方法
性质法 解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0隐含 性质法 解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解
图象法 解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解
角度3 指数函数性质的综合应用
A
[A] (－∞,4] [B] [4,16]
[C] (16,+∞) [D] [16,+∞)
(2)(多选题)(2025·福建漳州模拟)小明同学对函数f(x)=a－x－kax(a>0,且a≠1)进行研究,得出如下结论,其中正确的有( )
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)有可能是奇函数,也有可能是偶函数
[C] 函数f(x)在定义域内单调递减
[D] 函数f(x)不一定有零点
ABD
【解析】 (2)由x∈R,有ax>0,即f(x)恒有意义,故定义域为R,A正确;
当k=1时,f(x)=a－x－ax,
故f(－x)=ax－a－x=－f(x),此时f(x)为奇函数,
当k=－1时,f(x)=a－x+ax,故f(－x)=ax+a－x=f(x),此时f(x)为偶函数,B正确;
解题策略
求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.求参数值(范围)的方法是首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解.
[A] b>a>c [B] c>a>b
[C] a>b>c [D] a>c>b
[针对训练]
D
[A] 函数f(x)的定义域为R
[B] 函数f(x)的值域为(－1,1)
[C] 函数f(x)是奇函数
[D] 函数f(x)为减函数
ABC
(－3,2)
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
根式与指数幂的运算 1,7,15
指数函数的图象及应用 2,9
指数函数的性质及应用 3,4,5,6,10,11,12,13
指数函数的图象与性质的综合应用 8,14,16
基础巩固练
B
2.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( )
B
[A] [B] [C] [D]
【解析】 函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),因此指数函数是增函数,所以有a>1,由底数大于1,指数函数的图象上升,且在x轴上方可知B正确.故选B.
B
[A] c>b>a [B] a>b>c
[C] b>a>c [D] c>a>b
4.已知函数f(x)=2|x+a|(a∈R)为偶函数,则函数y=f(x)的单调递增区间为( )
[A] (－1,+∞) [B] (0,+∞)
[C] (－∞,－1) [D] (－∞,0)
B
5.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=ex－e2－x,若实数m,n满足f(m)+f(n)=0,则m+n等于( )
[A] 1 [B] 2 [C] e [D] 4
B
【解析】 函数f(x)=ex－e2－x,f(2－m)+f(m)=e2－m－em+(em－e2－m)=0,
而f(m)+f(n)=0,因此f(2－m)=f(n),
又函数y=ex,y=－e2－x在R上单调递增,
则函数f(x)=ex－e2－x在R上单调递增,于是2－m=n,
所以m+n=2.故选B.
BCD
0.09
7.(5分)计算化简:
7.(5分)计算化简:
8.(14分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),
B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
8.(14分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),
B(3,24).
9.(2025·江苏盐城模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、第三、第四象限,则g(b)=f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
综合运用练
A
10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=4x+a·2x在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
[A] [－4,+∞) [B] (－∞,－4]
[C] [－8,+∞) [D] (－∞,－8]
C
[A] [2,e2－4] [B] [1,e2－5]
[C] [2,e2－5] [D] [1,e2－4]
D
13.(5分)已知函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则a的取值范围为
,f(－4)与f(1)的大小关系是 .
(1,+∞)
f(－4)>f(1)
【解析】 因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.
由于函数f(x)=a|x+1|在(－1,+∞)上单调递增,且它的图象关于直线x=－1对称,则函数f(x)在(－∞,－1)上单调递减,故f(1)=f(－3),f(－4)>f(－3)=f(1).
(1)求实数b的值,并证明函数f(x)在R上单调递增;
应用创新练
A
16.(5分)(2025·浙江宁波模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)=－f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m－1(m∈R,m≠0)是
定义在[－1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是 .