第6节 对数与对数函数
[课程标准要求]
1.理解对数的概念和运算法则,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用
对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
1.对数
概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数
性质 对数式与指数式的互化:ax=N x=logaN, loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1)
运算法则 loga(MN)=logaM+logaN a>0, 且a≠1, M>0,N>0
loga=logaM－logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
换底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
2.对数函数的概念、图象与性质
(1)对数函数的概念.
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质.
项目 a>1 0
图象
定义 域 (0,+∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在区间(0,+∞)上是增函数 在区间(0,+∞)上是减函数
3.指数函数与对数函数的关系
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
1.换底公式及其推论
(1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0,且不等于1).
(2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;d>0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,
故03.与对数函数相关的几个函数的奇偶性
(1)函数y=loga,y=loga(bx+)(a>0,且a≠1)为奇函数.
(2)函数y=ln(eax+1)－x为偶函数.
1.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T6改编)设alog34=2,则4－a等于( )
[A] [B] [C] [D]
2.(北师大版必修第一册P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,则( )
[A] b[C] c3.(人教B版必修第二册P29习题4－2B T2改编)求值:lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
4.(人教A版必修第一册P132探究改编)函数f(x)=loga(x+2)－2(a>0,且a≠1)的图象过定点 .
5.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T1改编)函数y=的定义域是 .
考点一 对数式的运算
1.(2025·陕西咸阳模拟)若2x=,lg 2≈0.301 0,则x的值约为( )
[A] 1.322 [B] 1.410 [C] 1.507 [D] 1.669
2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a= .
3.2log32－log3+log38－= .
4.(2024·全国甲卷)已知a>1,且=－,则a等于 .
(1)利用对数的运算法则化简对数式主要有以下方法.
①“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和;
②“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数;
③“指对互化”,既是对数的本质,又是最重要的解题方法.
(2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.
考点二 对数函数的图象及应用
[例1] (1)(2025·山东潍坊模拟)若函数f(x)=(k－1)ax－a－x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的大致图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
(2)已知函数f(x)=|ln x|.若0[A] (4,+∞) [B] [4,+∞)
[C] (5,+∞) [D] [5,+∞)
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质和函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤
如下:
①对不等式变形,使不等号两边分别对应函数f(x),g(x);
②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象;
③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解集的情况.
[针对训练] (1)(2025·湖南长沙模拟) 若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga|x|的大致图象是( )
[A] [B] [C] [D]
(2)当0[A] (0,) [B] (,1)
[C] (1,) [D] (,2)
考点三 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
[例2] 已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是( )
[A] c[C] a比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度2 解对数不等式
[例3] (2025·安徽淮南模拟)已知函数f(x)=则不等式f((log2x)2－3)<4f(log2x) 的解集为 .
对数不等式的两种类型及求解方法
类型 求解方法
logax>logab (a>0,且a≠1) 借助y=logax的单调性求解 如果a的取值不确定,需分a>1与0logax>b (a>0, 且a≠1) 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
角度3 对数型复合函数的单调性
[例4] 已知函数f(x)=loga(ax+9－3a)(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在[1,3]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若f(3)>0且存在x0∈(3,+∞),使得f(x0)>2logax0成立,求a的最小整数值.
与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三个方面:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数单调性的“同增异减”原则判断函数的单调性.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·安徽黄山模拟)设a=,b=log25,c=log35,则( )
[A] c[C] a2.(角度3)函数y=lo(x2－5x+6)的单调递减区间为( )
[A] (,+∞) [B] (3,+∞)
[C] (－∞,) [D] (－∞,2)
3.(角度2)(2025·广东茂名模拟)已知函数f(x)=lg(ax－3)的图象经过定点(2,0),若k为正整数,那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是 .
微点培优4 指数、对数、幂大小比较的方法
类型一 利用图象或性质比较大小
[典例1] (1)(2025·天津模拟)已知a=,b=log0.42,c=,则( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] a>c>b
(2)(多选题)(2025·福建厦门模拟)已知实数a,b,c满足ln a=2b=,则下列关系式中可能成立的是( )
[A] c>b>a
[B] a>c>b
[C] c>a>b
[D] a>b>c
1.利用图象与性质比较大小
比较大小的题目,若涉及指数式、对数式、幂,则应考虑指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,同时要特别注意“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用.
2.利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22[拓展演练1] (1)(2024·天津卷)若a=4.2－0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] b>c>a
(2)设a,b,c均为正数,且2a=loa,=lob,=log2c,则( )
[A] a[C] c类型二 巧解涉及三元变量的比较大小问题
[典例2] (2025·广东东莞模拟)已知实数x,y,z满足eyln x=yex且ezln =zex,若0[A] x>y>z [B] x>z>y
[C] y>z>x [D] y>x>z
比较大小时,若题目涉及三个指数式或对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,灵活运用相关函数的图象与性质求解.
[拓展演练2] (多选题)(2025·浙江嘉兴模拟)已知log2x=log3y=log5z,则下列不等式可能成立的是( )
[A] 0[C] 0(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
对数的概念及对数运算 1,4,10
对数函数的图象及应用 2,9,11,12,16
对数函数的性质及应用 3,5,6,7,8,13,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知x,y为正实数,则( )
[A] lg(x2y)=(lg x)2+lg y
[B] lg(x)=lg x+lg y
[C] eln x+ln y=x+y
[D] eln x－ln y=xy
2.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=log4(x+k)的图象如图所示,则2f(2)+2－f(2)等于( )
[A] 2 [B] 2
[C] [D]
3.若函数f(x)=lg(ax2－2x+a)的值域为R,则实数a的取值范围为( )
[A] (－1,0) [B] (0,1)
[C] [0,1] [D] (1,+∞)
4.若2a=3,3b=5,5c=4,则log4abc等于( )
[A] －2 [B] [C] [D] 1
5.(2025·江苏南通模拟)设函数f(x)=ln(2ax－x2)在(3,4)上单调递减,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,3) [B] (－∞,3]
[C] (2,3] [D] [2,3]
6.若a=,b=log147,c=log126,则( )
[A] a>b>c [B] b>c>a
[C] c>b>a [D] a>c>b
7.(5分)已知函数f(x)=若f(a2+1)=f(－6a)－f(3),则实数a= .
8.(14分)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=loga(3－ax)(a>0,且a≠1).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,且最大值为1 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
9.(2025·广东梅州模拟)已知函数f(x)=loga(x－b)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
[A] a+b<0
[B] ab<－1
[C] 0[D] loga|b|>0
10.(2025·江苏南京模拟)苏格兰数学家约翰·纳皮尔发明了对数及对数表,英国数学家亨利·布里格斯将其改良为便于计算的以10为底的常用对数(如下表),为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),则lg N=n+lg a(0≤lg a<1),这样我们可以知道N的位数.已知正整数M31是35位数,则M的值为( )
N 2 3 4 5 11
lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04
N 12 13 14 15 —
lg N 1.08 1.11 1.15 1.18 —
[A] 3 [B] 12 [C] 13 [D] 14
11.(多选题)(2025·辽宁丹东模拟)已知函数f(x)=ex和g(x)=ln x的图象与直线y=2－x的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则( )
[A] 0[C] 012.(5分)(2025·四川绵阳模拟) 已知函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1)的定义域为[m,n](013.(5分)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=lg(x≠0,x∈R)的性质进行了探究,得到下列四个命题,其中真命题为 .(填序号)
①函数f(x)的图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数,当x<0时,f(x)是减函数;
③函数f(x)的最小值是lg 2;
④当－11时,f(x)单调递增.
14.(15分)(2025·湖南株洲模拟)已知函数f(x)=log9(9x+1)－kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=log9(+1)有两个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
15.(2025·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=ln(+x)－,则不等式f(x)+f(2x－1)>－2的解集是( )
[A] (,+∞) [B] (1,+∞)
[C] (－∞,) [D] (－∞,1)
16.(5分)如图,已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点,若BC∥x轴,则四边形ABDC的面积为 .
第6节 对数与对数函数（解析版）
[课程标准要求]
1.理解对数的概念和运算法则,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用
对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
1.对数
概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数
性质 对数式与指数式的互化:ax=N x=logaN, loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1)
运算法则 loga(MN)=logaM+logaN a>0, 且a≠1, M>0,N>0
loga=logaM－logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
换底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
2.对数函数的概念、图象与性质
(1)对数函数的概念.
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质.
项目 a>1 0图象
定义 域 (0,+∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在区间(0,+∞)上是增函数 在区间(0,+∞)上是减函数
3.指数函数与对数函数的关系
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
1.换底公式及其推论
(1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0,且不等于1).
(2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;d>0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,
故03.与对数函数相关的几个函数的奇偶性
(1)函数y=loga,y=loga(bx+)(a>0,且a≠1)为奇函数.
(2)函数y=ln(eax+1)－x为偶函数.
1.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T6改编)设alog34=2,则4－a等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以4－a=.故选B.
2.(北师大版必修第一册P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,则( )
[A] b[C] c【答案】 D
【解析】 因为a=log0.90.8>log0.90.81=2,b=log0.80.92>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2,且c=1.41.9>1.40=1,故13.(人教B版必修第二册P29习题4－2B T2改编)求值:lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
【答案】 1
【解析】 原式=lg 5×lg(22×5)+(lg 2)2=lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=(lg 5)2+2lg 2×lg 5+
(lg 2)2=(lg 5+lg 2)2=[lg(5×2)]2=1.
4.(人教A版必修第一册P132探究改编)函数f(x)=loga(x+2)－2(a>0,且a≠1)的图象过定点 .
【答案】 (－1,－2)
【解析】 由loga1=0(a>0,且a≠1)知,f(－1)=loga(－1+2)－2=0－2=－2,所以函数f(x)的图象过定点(－1,－2).
5.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T1改编)函数y=的定义域是 .
【答案】 (,1]
【解析】 由lo(2x－1)≥0得lo(2x－1)≥lo1,所以0<2x－1≤1,解得考点一 对数式的运算
1.(2025·陕西咸阳模拟)若2x=,lg 2≈0.301 0,则x的值约为( )
[A] 1.322 [B] 1.410 [C] 1.507 [D] 1.669
【答案】 A
【解析】 因为2x=,lg 2≈0.301 0,
所以x=log2==≈≈1.322.故选A.
2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a= .
【答案】 e
【解析】 由f(ln 2)f(ln 4)=8,
可得aln 2·aln 4=8,
即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,也即(aln 2)3=23,
因为a>0,a≠1,所以aln 2=2,
两边取对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e.
3.2log32－log3+log38－= .
【答案】 －1
【解析】 原式=2log32－(5log32－2)+3log32－3=2log32－5log32+2+3log32－3=－1.
4.(2024·全国甲卷)已知a>1,且=－,则a等于 .
【答案】 64
【解析】 由=log2a=－,整理得(log2a)2－5log2a－6=0
log2a=－1或log2a=6,又a>1,
所以log2a=6=log226,故a=26=64.
(1)利用对数的运算法则化简对数式主要有以下方法.
①“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和;
②“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数;
③“指对互化”,既是对数的本质,又是最重要的解题方法.
(2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.
考点二 对数函数的图象及应用
[例1] (1)(2025·山东潍坊模拟)若函数f(x)=(k－1)ax－a－x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的大致图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
(2)已知函数f(x)=|ln x|.若0[A] (4,+∞) [B] [4,+∞)
[C] (5,+∞) [D] [5,+∞)
【答案】 (1)A (2)C
【解析】 (1)由于f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=k－1－1=0,k=2,因为f(x)=ax－为减函数,所以0(2)由f(a)=f(b)得|ln a|=|ln b|.如图,根据函数y=|ln x|的图象及01,所以g(b)>g(1)=5.故a+4b>5.故选C.
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质和函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤
如下:
①对不等式变形,使不等号两边分别对应函数f(x),g(x);
②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象;
③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解集的情况.
[针对训练] (1)(2025·湖南长沙模拟) 若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga|x|的大致图象是( )
[A] [B] [C] [D]
(2)当0[A] (0,) [B] (,1)
[C] (1,) [D] (,2)
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)因为|x|≥0,且y=a|x|的值域为[1,+∞),所以a>1.当x>0时,y=loga|x|=logax在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga|x|=loga|－x|,所以y=loga|x|为偶函数,图象关于y轴对称,所以y=loga|x|的大致图象应为选项A.故选A.
(2)令f(x)=4x,g(x)=logax,当a>1时不满足条件,当0,所以a的取值范围为(,1).故选B.
考点三 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
[例2] 已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是( )
[A] c[C] a[溯源探本] 本例题源于人教B版必修第二册P54复习题C组T1.
【答案】 C
【解析】 a=log52故选C.
比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度2 解对数不等式
[例3] (2025·安徽淮南模拟)已知函数f(x)=则不等式f((log2x)2－3)<4f(log2x) 的解集为 .
【答案】 (,8)
【解析】 当x≥0时,f(x)=2x2≥0,4f(x)=8x2=f(2x),且f(x)在[0,+∞)上单调递增.
当x<0时,f(x)=－2x2<0,4f(x)=－8x2=f(2x),且f(x)在(－∞,0)上单调递增.
所以f(x)在R上有4f(x)=f(2x),且函数f(x)是R上的增函数,
于是原不等式可化为(log2x)2－3<2log2x,
即(log2x)2－2log2x－3<0,
即(log2x+1)(log2x－3)<0,
得－1解得对数不等式的两种类型及求解方法
类型 求解方法
logax>logab (a>0,且a≠1) 借助y=logax的单调性求解 如果a的取值不确定,需分a>1与0logax>b (a>0, 且a≠1) 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
角度3 对数型复合函数的单调性
[例4] 已知函数f(x)=loga(ax+9－3a)(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在[1,3]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若f(3)>0且存在x0∈(3,+∞),使得f(x0)>2logax0成立,求a的最小整数值.
【解】 (1)由函数f(x)=loga(ax+9－3a),设g(x)=ax+9－3a,x∈[1,3],
由a>0,且a≠1,可得函数g(x)在[1,3]上是增函数,所以a>1,
又由函数定义域可得g(1)=9－2a>0,解得a<,
所以实数a的取值范围是(1,).
(2)由f(3)=loga9>0,可得a>1,
又由f(x0)>2logax0,
可得loga(ax0+9－3a)>loga,
所以ax0+9－3a>,
即a>x0+3,
因为存在x0∈(3,+∞),使得f(x0)>2logax0成立,可得a>6,
所以a的最小整数值是7.
与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三个方面:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数单调性的“同增异减”原则判断函数的单调性.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·安徽黄山模拟)设a=,b=log25,c=log35,则( )
[A] c[C] a【答案】 D
【解析】 因为log3<0,所以0log24=2,1=log332.(角度3)函数y=lo(x2－5x+6)的单调递减区间为( )
[A] (,+∞) [B] (3,+∞)
[C] (－∞,) [D] (－∞,2)
【答案】 B
【解析】 由题意,x2－5x+6>0,解得x>3或x<2,
即函数y=lo(x2－5x+6)的定义域为(－∞,2)∪(3,+∞),
因为函数y=lo(x2－5x+6)由y=lot与t=x2－5x+6复合而成,
外层函数y=lot显然单调递减,
要求y=lo(x2－5x+6)的单调递减区间,只需求t=x2－5x+6的单调递增区间,
又t=x2－5x+6是图象开口向上,对称轴为直线x=的二次函数,
所以t=x2－5x+6在(3,+∞)上单调递增,
即函数y=lo(x2－5x+6)的单调递减区间为(3,+∞).
故选B.
3.(角度2)(2025·广东茂名模拟)已知函数f(x)=lg(ax－3)的图象经过定点(2,0),若k为正整数,那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是 .
【答案】 1
【解析】 由已知,得f(2)=lg(2a－3)=0,则2a－3=1,解得a=2,故f(x)=lg(2x－3).由2f(x)>lg(kx2),得lg(2x－3)2>lg(kx2).因为x∈[3,4],所以kx2<4x2－12x+9,所以k<+4,令t=∈[,],g(t)=9t2－12t+4,则函数g(t)在[,]上单调递减,所以g(t)max=g()=,故k<.因此正整数k的最大值为1.
微点培优4 指数、对数、幂大小比较的方法
类型一 利用图象或性质比较大小
[典例1] (1)(2025·天津模拟)已知a=,b=log0.42,c=,则( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] a>c>b
(2)(多选题)(2025·福建厦门模拟)已知实数a,b,c满足ln a=2b=,则下列关系式中可能成立的是( )
[A] c>b>a
[B] a>c>b
[C] c>a>b
[D] a>b>c
【答案】 (1)C (2)BCD
【解析】 (1)a==0.4,b=log0.421,
故c>a>b.
故选C.
(2)根据题意,设ln a=2b==t,其中t>0,则a=et,b=log2t,c=,
在同一坐标系中分别画出函数y=ex,y=log2x,y=的大致图象,如图,
当t=x1时,c>a>b;当t=x2时,a>c>b;当t=x3时,a>b>c,
由此可以看出,不可能出现c>b>a这种情况.故选BCD.
1.利用图象与性质比较大小
比较大小的题目,若涉及指数式、对数式、幂,则应考虑指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,同时要特别注意“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用.
2.利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22[拓展演练1] (1)(2024·天津卷)若a=4.2－0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] b>c>a
(2)设a,b,c均为正数,且2a=loa,=lob,=log2c,则( )
[A] a[C] c【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)因为y=4.2x在R上单调递增,且－0.3<0<0.3,
所以0<4.2－0.3<4.20<4.20.3,
所以0<4.2－0.3<1<4.20.3,即0因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1,
所以log4.20.2a>c.故选B.
(2)因为a,b,c均为正数,将a,b,c分别看成是函数图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出y=2x,y=()x,y=log2x,y=lox的大致图象如图.
由图可知a类型二 巧解涉及三元变量的比较大小问题
[典例2] (2025·广东东莞模拟)已知实数x,y,z满足eyln x=yex且ezln =zex,若0[A] x>y>z [B] x>z>y
[C] y>z>x [D] y>x>z
【答案】 A
【解析】 由eyln x=yex,得=,
由ezln =zex,得－=,
因此－=,
又0又ez>0,
所以z<0,
利用00,
又ex>0,
所以ln x>0,即x>1,
所以x>1>y>0>z,即x>y>z.
故选A.
比较大小时,若题目涉及三个指数式或对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,灵活运用相关函数的图象与性质求解.
[拓展演练2] (多选题)(2025·浙江嘉兴模拟)已知log2x=log3y=log5z,则下列不等式可能成立的是( )
[A] 0[C] 0【答案】 AC
【解析】 在同一坐标系中作出函数s=log2t,s=log3t,s=log5t的图象,
从图中可以看出,当x,y,z均在区间(0,1)时,有0当x,y,z均在区间(1,+∞)时,有1由于log2x=log4x2,
所以有log3y=log4x2=log5z,
作出函数s=log4t,s=log3t,s=log5t的图象,类似地可以得出C正确,D不正确.
故选AC.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
对数的概念及对数运算 1,4,10
对数函数的图象及应用 2,9,11,12,16
对数函数的性质及应用 3,5,6,7,8,13,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知x,y为正实数,则( )
[A] lg(x2y)=(lg x)2+lg y
[B] lg(x)=lg x+lg y
[C] eln x+ln y=x+y
[D] eln x－ln y=xy
【答案】 B
【解析】 x,y为正实数,lg(x2y)=lg x2+lg y=2lg x+lg y,故A错误;lg(x)=lg x+lg =lg x+lg y,
故B正确;eln x+ln y=eln x·eln y=xy,eln x－ln y==,故C,D错误.故选B.
2.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=log4(x+k)的图象如图所示,则2f(2)+2－f(2)等于( )
[A] 2 [B] 2
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 由题图可知,f(0)=0,即log4k=0,所以k=1,则f(x)=log4(x+1),所以f(2)=log43,
则2f(2)+2－f(2)=+=+=+=+=.故选C.
3.若函数f(x)=lg(ax2－2x+a)的值域为R,则实数a的取值范围为( )
[A] (－1,0) [B] (0,1)
[C] [0,1] [D] (1,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意问题可以转化为g(x)=ax2－2x+a的值域能取到(0,+∞)内的任意实数,当a=0时,g(x)=－2x,函数g(x)的值域为R,满足题意;
当a≠0时,要使g(x)的值域能取到(0,+∞)内的任意实数,则满足解得04.若2a=3,3b=5,5c=4,则log4abc等于( )
[A] －2 [B] [C] [D] 1
【答案】 B
【解析】 由2a=3,3b=5,5c=4,可得a=log23,b=log35,c=log54,
所以abc=log23×log35×log54=××=2,则log4abc=log42=.故选B.
5.(2025·江苏南通模拟)设函数f(x)=ln(2ax－x2)在(3,4)上单调递减,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,3) [B] (－∞,3]
[C] (2,3] [D] [2,3]
【答案】 D
【解析】 因为y=ln t在(0,+∞)上单调递增,故t=2ax－x2在(3,4)上单调递减,则a≤3,又由题意可得t=2ax－x2>0在(3,4)上恒成立,故8a－16≥0,解得a≥2,所以2≤a≤3.故选D.
6.若a=,b=log147,c=log126,则( )
[A] a>b>c [B] b>c>a
[C] c>b>a [D] a>c>b
【答案】 A
【解析】 a====()2=,
b=log147=1－log142=1－,c=log126=1－log122=1－,
因为4log142=log1424=log1416>1,则log142>,
所以1－log142<1－=,即b而ln 2>0,ln 14>ln 12>0,所以<,
所以1－>1－,即b>c.
综上,a>b>c.故选A.
7.(5分)已知函数f(x)=若f(a2+1)=f(－6a)－f(3),则实数a= .
【答案】 －1
【解析】 因为a2+1≥1,所以f(a2+1)=log2(a2+1),f(3)=log23,所以f(－6a)=log2(3a2+3)>0,因为f(x)在(－∞,1)上单调递增,所以当x<1时,f(x)<21+1－3=0,
故
即解得a=－1.
8.(14分)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=loga(3－ax)(a>0,且a≠1).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,且最大值为1 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)设g(x)=3－ax,x∈[0,2].
由题意,知3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立.
因为a>0,所以g(x)=3－ax在区间[0,2]上单调递减.
只需g(2)=3－2a>0,解得a<.
又a≠1,
所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,).
(2)不存在.理由如下:
假设存在这样的实数a.
由题意,得f(1)=1,即loga(3－a)=1,
即a=3－a,解得a=.
所以f(x)=lo(3－x).
因为当x=2时,f(x)无意义,
所以这样的实数a不存在.
9.(2025·广东梅州模拟)已知函数f(x)=loga(x－b)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
[A] a+b<0
[B] ab<－1
[C] 0[D] loga|b|>0
【答案】 C
【解析】 由图象可知,f(x)在定义域内单调递增,所以a>1,令f(x)=loga(x－b)=0,即x=b+1,结合函数图象可知00,故A错误;由题意可得,－a1,所以－a<－1,因此ab<－1不一定成立,故B错误;因为a－110.(2025·江苏南京模拟)苏格兰数学家约翰·纳皮尔发明了对数及对数表,英国数学家亨利·布里格斯将其改良为便于计算的以10为底的常用对数(如下表),为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),则lg N=n+lg a(0≤lg a<1),这样我们可以知道N的位数.已知正整数M31是35位数,则M的值为( )
N 2 3 4 5 11
lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04
N 12 13 14 15 —
lg N 1.08 1.11 1.15 1.18 —
[A] 3 [B] 12 [C] 13 [D] 14
【答案】 C
【解析】 因为正整数M31是35位数,所以1034≤M31<1035,两边取常用对数得34≤31lg M<35,于是≤lg M<,即1.0911.(多选题)(2025·辽宁丹东模拟)已知函数f(x)=ex和g(x)=ln x的图象与直线y=2－x的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则( )
[A] 0[C] 0【答案】 ACD
【解析】 因为函数f(x)=ex和g(x)=ln x互为反函数,所以函数f(x)=ex和g(x)=ln x的图象关于直线y=x对称,
由解得
又因为直线y=2－x与直线y=x垂直,
所以A,B两点的中点为(1,1),
所以0由x1x2=x1(2－x1)=－+2x1=－+1<1,可得012.(5分)(2025·四川绵阳模拟) 已知函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1)的定义域为[m,n](0【答案】 或
【解析】当a>1时,作出f(x)的大致图象如图(1)所示,因为f(1)=0,f()=f(a)=1,所以由图(1)可知使值域为[0,1]的满足n－m最小的定义域为[,1],
所以n－m的最小值为1－=,所以a=.当0因为f(1)=0,f()=f(a)=1,所以由图(2)可知使值域为[0,1]的满足n－m最小的定义域为[a,1],所以n－m的最小值为1－a=,所以a=.
13.(5分)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=lg(x≠0,x∈R)的性质进行了探究,得到下列四个命题,其中真命题为 .(填序号)
①函数f(x)的图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数,当x<0时,f(x)是减函数;
③函数f(x)的最小值是lg 2;
④当－11时,f(x)单调递增.
【答案】 ①③④
【解析】 f(x)=lg(x≠0,x∈R)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
且f(－x)=lg=lg=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故①是真命题;
当x>0时,f(x)=lg=lg(x+),令t=x+,则y=lg t,由对勾函数的性质可知t=x+在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,又y=lg t在定义域上是增函数,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故②是假命题;
当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),又f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故③是真命题;
当x∈(0,1)时,t=x+单调递减,当x∈(1,+∞)时,t=x+单调递增,又f(x)是偶函数,所以根据复合函数的单调性知,当－11时,f(x)单调递增,故④是真命题.
14.(15分)(2025·湖南株洲模拟)已知函数f(x)=log9(9x+1)－kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=log9(+1)有两个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为9x+1>0,
所以f(x)的定义域为R,
又因为f(x)是偶函数,
所以 x∈R,有f(－x)=f(x),
即log9(9－x+1)+kx=log9(9x+1)－kx对 x∈R恒成立,
则2kx=log9(9x+1)－log9(9－x+1)=log9=log99x=x对 x∈R恒成立,
即x(2k－1)=0对 x∈R恒成立,
因为x不恒为0,所以k=.
(2)由(1)得f(x)=log9(9x+1)－x=
log9(9x+1)－log9=log9=
log9(3x+),
则方程f(x)=log9(+1)有两个不相等的实数解等价于方程log9(3x+)=log9(+1)有两个不相等的实数解,所以方程3x+=+1有两个不相等的实数解,
令t=3x,则t>0,方程化为t+=+1,
即方程m=t2－t+1在(0,+∞)上有两个不相等的实数解,
令g(t)=t2－t+1,
则y=m与y=g(t)在(0,+∞)上有两个交点,如图所示,
又g(t)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以g(t)≥g()=,且g(0)=1,
所以m∈(,1).
15.(2025·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=ln(+x)－,则不等式f(x)+f(2x－1)>－2的解集是( )
[A] (,+∞) [B] (1,+∞)
[C] (－∞,) [D] (－∞,1)
【答案】 A
【解析】 令g(x)=f(x)+1=ln(+x)－+1=ln(+x)+,
由于+x>|x|+x≥0,所以g(x)的定义域为R,
g(－x)=ln(－x)+=
ln []+=
ln()+=－ln(+x)－=－g(x),所以g(x)是奇函数,
当x>0时,y=ln(+x)单调递增,y=－+1单调递增,所以g(x)单调递增,
由g(x)是奇函数可知,g(x)在R上单调递增,由f(x)+f(2x－1)>－2得f(x)+1>－(f(2x－1)+1),即g(x)>－g(2x－1)=g(1－2x),
则x>1－2x,解得x>,
所以不等式f(x)+f(2x－1)>－2的解集是(,+∞). 故选A.
16.(5分)如图,已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点,若BC∥x轴,则四边形ABDC的面积为 .
【答案】 log23
【解析】 设点A,B的横坐标分别为x1,x2,由题意知,x1>1,x2>1,则点A,B的纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A,B在过点O的直线上,所以=,点C,D的坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2).由BC∥x轴,知log2x1=log8x2,即log2x1=log2x2,所以x2=.代入x2log8x1=x1log8x2得log8x1=3x1log8x1.由x1>1知log8x1≠0,所以=3x1.考虑x1>1,解得x1=.于是点A的坐标为(,log8),即A(,log23),
所以B(3,log23),C(,log23),D(3,log23),
所以梯形ABDC的面积为S=(AC+BD)·BC=×(log23+log23)×2=log23.
第6节 对数与对数函数
[课程标准要求]
1.理解对数的概念和运算法则,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用
对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
1.对数
概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数
性质 对数式与指数式的互化:ax=N x=logaN, loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1)
运算法则 loga(MN)=logaM+logaN a>0, 且a≠1, M>0,N>0
loga=logaM－logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
换底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
2.对数函数的概念、图象与性质
(1)对数函数的概念.
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质.
项目 a>1 0图象
定义 域 (0,+∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在区间(0,+∞)上是增函数 在区间(0,+∞)上是减函数
3.指数函数与对数函数的关系
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
1.换底公式及其推论
(1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0,且不等于1).
(2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;d>0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,
故03.与对数函数相关的几个函数的奇偶性
(1)函数y=loga,y=loga(bx+)(a>0,且a≠1)为奇函数.
(2)函数y=ln(eax+1)－x为偶函数.
1.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T6改编)设alog34=2,则4－a等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以4－a=.故选B.
2.(北师大版必修第一册P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,则( )
[A] b[C] c【答案】 D
【解析】 因为a=log0.90.8>log0.90.81=2,b=log0.80.92>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2,且c=1.41.9>1.40=1,故13.(人教B版必修第二册P29习题4－2B T2改编)求值:lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
【答案】 1
【解析】 原式=lg 5×lg(22×5)+(lg 2)2=lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=(lg 5)2+2lg 2×lg 5+
(lg 2)2=(lg 5+lg 2)2=[lg(5×2)]2=1.
4.(人教A版必修第一册P132探究改编)函数f(x)=loga(x+2)－2(a>0,且a≠1)的图象过定点 .
【答案】 (－1,－2)
【解析】 由loga1=0(a>0,且a≠1)知,f(－1)=loga(－1+2)－2=0－2=－2,所以函数f(x)的图象过定点(－1,－2).
5.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T1改编)函数y=的定义域是 .
【答案】 (,1]
【解析】 由lo(2x－1)≥0得lo(2x－1)≥lo1,所以0<2x－1≤1,解得考点一 对数式的运算
1.(2025·陕西咸阳模拟)若2x=,lg 2≈0.301 0,则x的值约为( )
[A] 1.322 [B] 1.410 [C] 1.507 [D] 1.669
【答案】 A
【解析】 因为2x=,lg 2≈0.301 0,
所以x=log2==≈≈1.322.故选A.
2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a= .
【答案】 e
【解析】 由f(ln 2)f(ln 4)=8,
可得aln 2·aln 4=8,
即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,也即(aln 2)3=23,
因为a>0,a≠1,所以aln 2=2,
两边取对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e.
3.2log32－log3+log38－= .
【答案】 －1
【解析】 原式=2log32－(5log32－2)+3log32－3=2log32－5log32+2+3log32－3=－1.
4.(2024·全国甲卷)已知a>1,且=－,则a等于 .
【答案】 64
【解析】 由=log2a=－,整理得(log2a)2－5log2a－6=0
log2a=－1或log2a=6,又a>1,
所以log2a=6=log226,故a=26=64.
(1)利用对数的运算法则化简对数式主要有以下方法.
①“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和;
②“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数;
③“指对互化”,既是对数的本质,又是最重要的解题方法.
(2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.
考点二 对数函数的图象及应用
[例1] (1)(2025·山东潍坊模拟)若函数f(x)=(k－1)ax－a－x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的大致图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
(2)已知函数f(x)=|ln x|.若0[A] (4,+∞) [B] [4,+∞)
[C] (5,+∞) [D] [5,+∞)
【答案】 (1)A (2)C
【解析】 (1)由于f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=k－1－1=0,k=2,因为f(x)=ax－为减函数,所以0(2)由f(a)=f(b)得|ln a|=|ln b|.如图,根据函数y=|ln x|的图象及01,所以g(b)>g(1)=5.故a+4b>5.故选C.
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质和函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤
如下:
①对不等式变形,使不等号两边分别对应函数f(x),g(x);
②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象;
③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解集的情况.
[针对训练] (1)(2025·湖南长沙模拟) 若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga|x|的大致图象是( )
[A] [B] [C] [D]
(2)当0[A] (0,) [B] (,1)
[C] (1,) [D] (,2)
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)因为|x|≥0,且y=a|x|的值域为[1,+∞),所以a>1.当x>0时,y=loga|x|=logax在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga|x|=loga|－x|,所以y=loga|x|为偶函数,图象关于y轴对称,所以y=loga|x|的大致图象应为选项A.故选A.
(2)令f(x)=4x,g(x)=logax,当a>1时不满足条件,当0,所以a的取值范围为(,1).故选B.
考点三 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
[例2] 已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是( )
[A] c[C] a[溯源探本] 本例题源于人教B版必修第二册P54复习题C组T1.
【答案】 C
【解析】 a=log52故选C.
比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度2 解对数不等式
[例3] (2025·安徽淮南模拟)已知函数f(x)=则不等式f((log2x)2－3)<4f(log2x) 的解集为 .
【答案】 (,8)
【解析】 当x≥0时,f(x)=2x2≥0,4f(x)=8x2=f(2x),且f(x)在[0,+∞)上单调递增.
当x<0时,f(x)=－2x2<0,4f(x)=－8x2=f(2x),且f(x)在(－∞,0)上单调递增.
所以f(x)在R上有4f(x)=f(2x),且函数f(x)是R上的增函数,
于是原不等式可化为(log2x)2－3<2log2x,
即(log2x)2－2log2x－3<0,
即(log2x+1)(log2x－3)<0,
得－1解得对数不等式的两种类型及求解方法
类型 求解方法
logax>logab (a>0,且a≠1) 借助y=logax的单调性求解 如果a的取值不确定,需分a>1与0logax>b (a>0, 且a≠1) 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
角度3 对数型复合函数的单调性
[例4] 已知函数f(x)=loga(ax+9－3a)(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在[1,3]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若f(3)>0且存在x0∈(3,+∞),使得f(x0)>2logax0成立,求a的最小整数值.
【解】 (1)由函数f(x)=loga(ax+9－3a),设g(x)=ax+9－3a,x∈[1,3],
由a>0,且a≠1,可得函数g(x)在[1,3]上是增函数,所以a>1,
又由函数定义域可得g(1)=9－2a>0,解得a<,
所以实数a的取值范围是(1,).
(2)由f(3)=loga9>0,可得a>1,
又由f(x0)>2logax0,
可得loga(ax0+9－3a)>loga,
所以ax0+9－3a>,
即a>x0+3,
因为存在x0∈(3,+∞),使得f(x0)>2logax0成立,可得a>6,
所以a的最小整数值是7.
与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三个方面:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数单调性的“同增异减”原则判断函数的单调性.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·安徽黄山模拟)设a=,b=log25,c=log35,则( )
[A] c[C] a【答案】 D
【解析】 因为log3<0,所以0log24=2,1=log332.(角度3)函数y=lo(x2－5x+6)的单调递减区间为( )
[A] (,+∞) [B] (3,+∞)
[C] (－∞,) [D] (－∞,2)
【答案】 B
【解析】 由题意,x2－5x+6>0,解得x>3或x<2,
即函数y=lo(x2－5x+6)的定义域为(－∞,2)∪(3,+∞),
因为函数y=lo(x2－5x+6)由y=lot与t=x2－5x+6复合而成,
外层函数y=lot显然单调递减,
要求y=lo(x2－5x+6)的单调递减区间,只需求t=x2－5x+6的单调递增区间,
又t=x2－5x+6是图象开口向上,对称轴为直线x=的二次函数,
所以t=x2－5x+6在(3,+∞)上单调递增,
即函数y=lo(x2－5x+6)的单调递减区间为(3,+∞).
故选B.
3.(角度2)(2025·广东茂名模拟)已知函数f(x)=lg(ax－3)的图象经过定点(2,0),若k为正整数,那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是 .
【答案】 1
【解析】 由已知,得f(2)=lg(2a－3)=0,则2a－3=1,解得a=2,故f(x)=lg(2x－3).由2f(x)>lg(kx2),得lg(2x－3)2>lg(kx2).因为x∈[3,4],所以kx2<4x2－12x+9,所以k<+4,令t=∈[,],g(t)=9t2－12t+4,则函数g(t)在[,]上单调递减,所以g(t)max=g()=,故k<.因此正整数k的最大值为1.
微点培优4 指数、对数、幂大小比较的方法
类型一 利用图象或性质比较大小
[典例1] (1)(2025·天津模拟)已知a=,b=log0.42,c=,则( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] a>c>b
(2)(多选题)(2025·福建厦门模拟)已知实数a,b,c满足ln a=2b=,则下列关系式中可能成立的是( )
[A] c>b>a
[B] a>c>b
[C] c>a>b
[D] a>b>c
【答案】 (1)C (2)BCD
【解析】 (1)a==0.4,b=log0.421,
故c>a>b.
故选C.
(2)根据题意,设ln a=2b==t,其中t>0,则a=et,b=log2t,c=,
在同一坐标系中分别画出函数y=ex,y=log2x,y=的大致图象,如图,
当t=x1时,c>a>b;当t=x2时,a>c>b;当t=x3时,a>b>c,
由此可以看出,不可能出现c>b>a这种情况.故选BCD.
1.利用图象与性质比较大小
比较大小的题目,若涉及指数式、对数式、幂,则应考虑指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,同时要特别注意“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用.
2.利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22[拓展演练1] (1)(2024·天津卷)若a=4.2－0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] b>c>a
(2)设a,b,c均为正数,且2a=loa,=lob,=log2c,则( )
[A] a[C] c【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)因为y=4.2x在R上单调递增,且－0.3<0<0.3,
所以0<4.2－0.3<4.20<4.20.3,
所以0<4.2－0.3<1<4.20.3,即0因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1,
所以log4.20.2a>c.故选B.
(2)因为a,b,c均为正数,将a,b,c分别看成是函数图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出y=2x,y=()x,y=log2x,y=lox的大致图象如图.
由图可知a类型二 巧解涉及三元变量的比较大小问题
[典例2] (2025·广东东莞模拟)已知实数x,y,z满足eyln x=yex且ezln =zex,若0[A] x>y>z [B] x>z>y
[C] y>z>x [D] y>x>z
【答案】 A
【解析】 由eyln x=yex,得=,
由ezln =zex,得－=,
因此－=,
又0又ez>0,
所以z<0,
利用00,
又ex>0,
所以ln x>0,即x>1,
所以x>1>y>0>z,即x>y>z.
故选A.
比较大小时,若题目涉及三个指数式或对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,灵活运用相关函数的图象与性质求解.
[拓展演练2] (多选题)(2025·浙江嘉兴模拟)已知log2x=log3y=log5z,则下列不等式可能成立的是( )
[A] 0[C] 0【答案】 AC
【解析】 在同一坐标系中作出函数s=log2t,s=log3t,s=log5t的图象,
从图中可以看出,当x,y,z均在区间(0,1)时,有0当x,y,z均在区间(1,+∞)时,有1由于log2x=log4x2,
所以有log3y=log4x2=log5z,
作出函数s=log4t,s=log3t,s=log5t的图象,类似地可以得出C正确,D不正确.
故选AC.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
对数的概念及对数运算 1,4,10
对数函数的图象及应用 2,9,11,12,16
对数函数的性质及应用 3,5,6,7,8,13,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知x,y为正实数,则( )
[A] lg(x2y)=(lg x)2+lg y
[B] lg(x)=lg x+lg y
[C] eln x+ln y=x+y
[D] eln x－ln y=xy
【答案】 B
【解析】 x,y为正实数,lg(x2y)=lg x2+lg y=2lg x+lg y,故A错误;lg(x)=lg x+lg =lg x+lg y,
故B正确;eln x+ln y=eln x·eln y=xy,eln x－ln y==,故C,D错误.故选B.
2.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=log4(x+k)的图象如图所示,则2f(2)+2－f(2)等于( )
[A] 2 [B] 2
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 由题图可知,f(0)=0,即log4k=0,所以k=1,则f(x)=log4(x+1),所以f(2)=log43,
则2f(2)+2－f(2)=+=+=+=+=.故选C.
3.若函数f(x)=lg(ax2－2x+a)的值域为R,则实数a的取值范围为( )
[A] (－1,0) [B] (0,1)
[C] [0,1] [D] (1,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意问题可以转化为g(x)=ax2－2x+a的值域能取到(0,+∞)内的任意实数,当a=0时,g(x)=－2x,函数g(x)的值域为R,满足题意;
当a≠0时,要使g(x)的值域能取到(0,+∞)内的任意实数,则满足解得04.若2a=3,3b=5,5c=4,则log4abc等于( )
[A] －2 [B] [C] [D] 1
【答案】 B
【解析】 由2a=3,3b=5,5c=4,可得a=log23,b=log35,c=log54,
所以abc=log23×log35×log54=××=2,则log4abc=log42=.故选B.
5.(2025·江苏南通模拟)设函数f(x)=ln(2ax－x2)在(3,4)上单调递减,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,3) [B] (－∞,3]
[C] (2,3] [D] [2,3]
【答案】 D
【解析】 因为y=ln t在(0,+∞)上单调递增,故t=2ax－x2在(3,4)上单调递减,则a≤3,又由题意可得t=2ax－x2>0在(3,4)上恒成立,故8a－16≥0,解得a≥2,所以2≤a≤3.故选D.
6.若a=,b=log147,c=log126,则( )
[A] a>b>c [B] b>c>a
[C] c>b>a [D] a>c>b
【答案】 A
【解析】 a====()2=,
b=log147=1－log142=1－,c=log126=1－log122=1－,
因为4log142=log1424=log1416>1,则log142>,
所以1－log142<1－=,即b而ln 2>0,ln 14>ln 12>0,所以<,
所以1－>1－,即b>c.
综上,a>b>c.故选A.
7.(5分)已知函数f(x)=若f(a2+1)=f(－6a)－f(3),则实数a= .
【答案】 －1
【解析】 因为a2+1≥1,所以f(a2+1)=log2(a2+1),f(3)=log23,所以f(－6a)=log2(3a2+3)>0,因为f(x)在(－∞,1)上单调递增,所以当x<1时,f(x)<21+1－3=0,
故
即解得a=－1.
8.(14分)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=loga(3－ax)(a>0,且a≠1).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,且最大值为1 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)设g(x)=3－ax,x∈[0,2].
由题意,知3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立.
因为a>0,所以g(x)=3－ax在区间[0,2]上单调递减.
只需g(2)=3－2a>0,解得a<.
又a≠1,
所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,).
(2)不存在.理由如下:
假设存在这样的实数a.
由题意,得f(1)=1,即loga(3－a)=1,
即a=3－a,解得a=.
所以f(x)=lo(3－x).
因为当x=2时,f(x)无意义,
所以这样的实数a不存在.
9.(2025·广东梅州模拟)已知函数f(x)=loga(x－b)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
[A] a+b<0
[B] ab<－1
[C] 0[D] loga|b|>0
【答案】 C
【解析】 由图象可知,f(x)在定义域内单调递增,所以a>1,令f(x)=loga(x－b)=0,即x=b+1,结合函数图象可知00,故A错误;由题意可得,－a1,所以－a<－1,因此ab<－1不一定成立,故B错误;因为a－110.(2025·江苏南京模拟)苏格兰数学家约翰·纳皮尔发明了对数及对数表,英国数学家亨利·布里格斯将其改良为便于计算的以10为底的常用对数(如下表),为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),则lg N=n+lg a(0≤lg a<1),这样我们可以知道N的位数.已知正整数M31是35位数,则M的值为( )
N 2 3 4 5 11
lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04
N 12 13 14 15 —
lg N 1.08 1.11 1.15 1.18 —
[A] 3 [B] 12 [C] 13 [D] 14
【答案】 C
【解析】 因为正整数M31是35位数,所以1034≤M31<1035,两边取常用对数得34≤31lg M<35,于是≤lg M<,即1.0911.(多选题)(2025·辽宁丹东模拟)已知函数f(x)=ex和g(x)=ln x的图象与直线y=2－x的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则( )
[A] 0[C] 0【答案】 ACD
【解析】 因为函数f(x)=ex和g(x)=ln x互为反函数,所以函数f(x)=ex和g(x)=ln x的图象关于直线y=x对称,
由解得
又因为直线y=2－x与直线y=x垂直,
所以A,B两点的中点为(1,1),
所以0由x1x2=x1(2－x1)=－+2x1=－+1<1,可得012.(5分)(2025·四川绵阳模拟) 已知函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1)的定义域为[m,n](0【答案】 或
【解析】当a>1时,作出f(x)的大致图象如图(1)所示,因为f(1)=0,f()=f(a)=1,所以由图(1)可知使值域为[0,1]的满足n－m最小的定义域为[,1],
所以n－m的最小值为1－=,所以a=.当0因为f(1)=0,f()=f(a)=1,所以由图(2)可知使值域为[0,1]的满足n－m最小的定义域为[a,1],所以n－m的最小值为1－a=,所以a=.
13.(5分)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=lg(x≠0,x∈R)的性质进行了探究,得到下列四个命题,其中真命题为 .(填序号)
①函数f(x)的图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数,当x<0时,f(x)是减函数;
③函数f(x)的最小值是lg 2;
④当－11时,f(x)单调递增.
【答案】 ①③④
【解析】 f(x)=lg(x≠0,x∈R)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
且f(－x)=lg=lg=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故①是真命题;
当x>0时,f(x)=lg=lg(x+),令t=x+,则y=lg t,由对勾函数的性质可知t=x+在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,又y=lg t在定义域上是增函数,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故②是假命题;
当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),又f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故③是真命题;
当x∈(0,1)时,t=x+单调递减,当x∈(1,+∞)时,t=x+单调递增,又f(x)是偶函数,所以根据复合函数的单调性知,当－11时,f(x)单调递增,故④是真命题.
14.(15分)(2025·湖南株洲模拟)已知函数f(x)=log9(9x+1)－kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=log9(+1)有两个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为9x+1>0,
所以f(x)的定义域为R,
又因为f(x)是偶函数,
所以 x∈R,有f(－x)=f(x),
即log9(9－x+1)+kx=log9(9x+1)－kx对 x∈R恒成立,
则2kx=log9(9x+1)－log9(9－x+1)=log9=log99x=x对 x∈R恒成立,
即x(2k－1)=0对 x∈R恒成立,
因为x不恒为0,所以k=.
(2)由(1)得f(x)=log9(9x+1)－x=
log9(9x+1)－log9=log9=
log9(3x+),
则方程f(x)=log9(+1)有两个不相等的实数解等价于方程log9(3x+)=log9(+1)有两个不相等的实数解,所以方程3x+=+1有两个不相等的实数解,
令t=3x,则t>0,方程化为t+=+1,
即方程m=t2－t+1在(0,+∞)上有两个不相等的实数解,
令g(t)=t2－t+1,
则y=m与y=g(t)在(0,+∞)上有两个交点,如图所示,
又g(t)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以g(t)≥g()=,且g(0)=1,
所以m∈(,1).
15.(2025·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=ln(+x)－,则不等式f(x)+f(2x－1)>－2的解集是( )
[A] (,+∞) [B] (1,+∞)
[C] (－∞,) [D] (－∞,1)
【答案】 A
【解析】 令g(x)=f(x)+1=ln(+x)－+1=ln(+x)+,
由于+x>|x|+x≥0,所以g(x)的定义域为R,
g(－x)=ln(－x)+=
ln []+=
ln()+=－ln(+x)－=－g(x),所以g(x)是奇函数,
当x>0时,y=ln(+x)单调递增,y=－+1单调递增,所以g(x)单调递增,
由g(x)是奇函数可知,g(x)在R上单调递增,由f(x)+f(2x－1)>－2得f(x)+1>－(f(2x－1)+1),即g(x)>－g(2x－1)=g(1－2x),
则x>1－2x,解得x>,
所以不等式f(x)+f(2x－1)>－2的解集是(,+∞). 故选A.
16.(5分)如图,已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点,若BC∥x轴,则四边形ABDC的面积为 .
【答案】 log23
【解析】 设点A,B的横坐标分别为x1,x2,由题意知,x1>1,x2>1,则点A,B的纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A,B在过点O的直线上,所以=,点C,D的坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2).由BC∥x轴,知log2x1=log8x2,即log2x1=log2x2,所以x2=.代入x2log8x1=x1log8x2得log8x1=3x1log8x1.由x1>1知log8x1≠0,所以=3x1.考虑x1>1,解得x1=.于是点A的坐标为(,log8),即A(,log23),
所以B(3,log23),C(,log23),D(3,log23),
所以梯形ABDC的面积为S=(AC+BD)·BC=×(log23+log23)×2=log23.
(
第
21
页
)(共93张PPT)
第6节 对数与对数函数
1.理解对数的概念和运算法则,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
[课程标准要求]
知识梳理
1.对数
ax=N
logaN
底数
x=logaN
N
知识梳理
logaM+logaN
logaM－logaN
nlogaM(n∈R)
知识梳理
2.对数函数的概念、图象与性质
(1)对数函数的概念.
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
知识梳理
(2)对数函数的图象与性质.
项目 a>1 0图象
定义域
值域
(0,+∞)
R
知识梳理
性质 过定点 ,即x=1时,y=0
当x>1时, ; 当01时, ;
当0在区间(0,+∞)上是 函数 在区间(0,+∞)上是 函数
(1,0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增
减
3.指数函数与对数函数的关系
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的 与值域正好互换,图象关于直线 对称.
知识梳理
定义域
y=x
重要结论
1.换底公式及其推论
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;d>0).
重要结论
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,
故0重要结论
3.与对数函数相关的几个函数的奇偶性
对点自测
1.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T6改编)设alog34=2,则4－a等于( )
B
2.(北师大版必修第一册P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,
则( )
[A] b[C] c对点自测
D
【解析】 因为a=log0.90.8>log0.90.81=2,b=log0.80.92>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2,且c=1.41.9>1.40=1,故1对点自测
3.(人教B版必修第二册P29习题4－2B T2改编)求值:lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
1
【解析】 原式=lg 5×lg(22×5)+(lg 2)2=lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=(lg 5)2+
2lg 2×lg 5+(lg 2)2=(lg 5+lg 2)2=[lg(5×2)]2=1.
对点自测
4.(人教A版必修第一册P132探究改编)函数f(x)=loga(x+2)－2(a>0,且a≠1)的图象过定点 .
(－1,－2)
【解析】 由loga1=0(a>0,且a≠1)知,f(－1)=loga(－1+2)－2=0－2=－2,所以函数f(x)的图象过定点(－1,－2).
对点自测
考点一 对数式的运算
[A] 1.322 [B] 1.410 [C] 1.507 [D] 1.669
A
2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a= .
e
【解析】 由f(ln 2)f(ln 4)=8,
可得aln 2·aln 4=8,
即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,也即(aln 2)3=23,
因为a>0,a≠1,所以aln 2=2,
两边取对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e.
－1
【解析】 原式=2log32－(5log32－2)+3log32－3
=2log32－5log32+2+3log32－3=－1.
64
题后悟道
(1)利用对数的运算法则化简对数式主要有以下方法.
①“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和;
②“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数;
③“指对互化”,既是对数的本质,又是最重要的解题方法.
(2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.
[例1] (1)(2025·山东潍坊模拟)若函数f(x)=(k－1)ax－a－x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的大致图象是( )
考点二 对数函数的图象及应用
[A] [B] [C] [D]
A
(2)已知函数f(x)=|ln x|.若0[A] (4,+∞) [B] [4,+∞)
[C] (5,+∞) [D] [5,+∞)
C
解题策略
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质和函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤如下:
①对不等式变形,使不等号两边分别对应函数f(x),g(x);
②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象;
③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解集的情况.
[针对训练] (1)(2025·湖南长沙模拟) 若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga|x|的大致图象是( )
[A] [B] [C] [D]
A
【解析】 (1)因为|x|≥0,且y=a|x|的值域为[1,+∞),所以a>1.
当x>0时,y=loga|x|=logax在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga|x|=loga|－x|,
所以y=loga|x|为偶函数,图象关于y轴对称,所以y=loga|x|的大致图象应为选项A.故选A.
B
考点三 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
[A] c[C] aC
解题策略
比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度2 解对数不等式
解题策略
对数不等式的两种类型及求解方法
类型 求解方法
logax>logab (a>0,且a≠1) 借助y=logax的单调性求解 如果a的取值不确定,需分a>1与0logax>b (a>0,且a≠1) 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
角度3 对数型复合函数的单调性
[例4] 已知函数f(x)=loga(ax+9－3a)(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在[1,3]上单调递增,求实数a的取值范围;
[例4] 已知函数f(x)=loga(ax+9－3a)(a>0,且a≠1).
(2)若f(3)>0且存在x0∈(3,+∞),使得f(x0)>2logax0成立,求a的最小整数值.
解题策略
与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三个方面:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数单调性的“同增异减”原则判断函数的单调性.
D
[针对训练]
[A] c[C] aB
3.(角度2)(2025·广东茂名模拟)已知函数f(x)=lg(ax－3)的图象经过定点(2,0),若k为正整数,那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是
.
1
微点培优4 指数、对数、
幂大小比较的方法
题型演绎
类型一 利用图象或性质比较大小
C
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] a>c>b
BCD
[A] c>b>a
[B] a>c>b
[C] c>a>b
[D] a>b>c
反思归纳
1.利用图象与性质比较大小
比较大小的题目,若涉及指数式、对数式、幂,则应考虑指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,同时要特别注意“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用.
反思归纳
2.利用特殊值作“中间量”
[拓展演练1] (1)(2024·天津卷)若a=4.2－0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] b>c>a
B
【解析】 (1)因为y=4.2x在R上单调递增,且－0.3<0<0.3,
所以0<4.2－0.3<4.20<4.20.3,
所以0<4.2－0.3<1<4.20.3,即0因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1,
所以log4.20.2a>c.故选B.
A
[A] a[C] c类型二 巧解涉及三元变量的比较大小问题
A
[A] x>y>z [B] x>z>y
[C] y>z>x [D] y>x>z
反思归纳
比较大小时,若题目涉及三个指数式或对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,灵活运用相关函数的图象与性质求解.
[拓展演练2] (多选题)(2025·浙江嘉兴模拟)已知log2x=log3y=log5z,则下列不等式可能成立的是( )
[A] 0[C] 0AC
【解析】 在同一坐标系中作出函数s=log2t,s=log3t,s=log5t的图象,
从图中可以看出,当x,y,z均在区间(0,1)时,有0当x,y,z均在区间(1,+∞)时,有1由于log2x=log4x2,
所以有log3y=log4x2=log5z,
作出函数s=log4t,s=log3t,s=log5t的图象,类似地可以得出C正确,D不正确.
故选AC.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
对数的概念及对数运算 1,4,10
对数函数的图象及应用 2,9,11,12,16
对数函数的性质及应用 3,5,6,7,8,13,14,15
1.已知x,y为正实数,则( )
基础巩固练
B
2.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=log4(x+k)的图象如图所示,则2f(2)+2－f(2)等于( )
C
3.若函数f(x)=lg(ax2－2x+a)的值域为R,则实数a的取值范围为( )
[A] (－1,0) [B] (0,1)
[C] [0,1] [D] (1,+∞)
C
4.若2a=3,3b=5,5c=4,则log4abc等于( )
B
5.(2025·江苏南通模拟)设函数f(x)=ln(2ax－x2)在(3,4)上单调递减,则a的取值范围是( )
[A] (－∞,3) [B] (－∞,3]
[C] (2,3] [D] [2,3]
D
【解析】 因为y=ln t在(0,+∞)上单调递增,故t=2ax－x2在(3,4)上单调递减,则a≤3,又由题意可得t=2ax－x2>0在(3,4)上恒成立,故8a－16≥0,解得a≥2,
所以2≤a≤3.故选D.
[A] a>b>c [B] b>c>a
[C] c>b>a [D] a>c>b
A
－1
8.(14分)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=loga(3－ax)(a>0,且a≠1).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
8.(14分)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=loga(3－ax)(a>0,且a≠1).
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,且最大值为1 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
9.(2025·广东梅州模拟)已知函数f(x)=loga(x－b)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
[A] a+b<0
[B] ab<－1
[C] 0[D] loga|b|>0
C
综合运用练
10.(2025·江苏南京模拟)苏格兰数学家约翰·纳皮尔发明了对数及对数表,英国数学家亨利·布里格斯将其改良为便于计算的以10为底的常用对数(如下表),为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),则lg N=n+lg a(0≤lg a<1),这样我们可以知道N的位数.已知正整数M31是35位数,则M的值为( )
C
N 2 3 4 5 11
lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04
N 12 13 14 15 —
lg N 1.08 1.11 1.15 1.18 —
[A] 3 [B] 12 [C] 13 [D] 14
11.(多选题)(2025·辽宁丹东模拟)已知函数f(x)=ex和g(x)=ln x的图象与直线y=2－x的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则( )
[A] 0[C] 0ACD
①③④
①函数f(x)的图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数,当x<0时,f(x)是减函数;
③函数f(x)的最小值是lg 2;
④当－11时,f(x)单调递增.
14.(15分)(2025·湖南株洲模拟)已知函数f(x)=log9(9x+1)－kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
【解】 (1)因为9x+1>0,
所以f(x)的定义域为R,
又因为f(x)是偶函数,
所以 x∈R,有f(－x)=f(x),
14.(15分)(2025·湖南株洲模拟)已知函数f(x)=log9(9x+1)－kx(k∈R)是偶函数.
A
应用创新练
16.(5分)如图,已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点,若BC∥x轴,则四边形
ABDC的面积为 .