第7节 函数的图象
[课程标准要求]
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次,列表(选取一些有代表性的点,比如与坐标轴的交点),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换.
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
(2)对称变换.
①y=f(x)与y=－f(x)的图象关于x轴对称;
②y=f(x)与y=f(－x)的图象关于y轴对称;
③y=f(x)与y=－f(－x)的图象关于原点对称;
④y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
(3)翻折变换.
①y=f(x)y=|f(x)|;
②y=f(x)y=f(|x|).
(4)伸缩变换.
①y=f(x)y=f(ax);
②y=f(x)y=af(x).
1.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=f(b－x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.特别地,若f(a+x)=f(a－x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=－f(b－x),则函数f(x)的图象关于点(,0)中心对称.特别地,若f(a+x)=－f(a－x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
3.两个函数图象的对称性(相互对称)
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b－x)的图象关于直线(a+x)－(b－x)=0,即直线x=对称.
(2)函数y=f(a+x)与y=f(a－x)的图象关于直线x=0对称.
1.(北师大版必修第一册P56例3改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|－1)的图象可以是( )
[A] [B]
[C] [D]
2.(人教A版必修第一册P82探究改编)函数f(x)=的图象( )
[A] 关于y轴对称 [B] 关于x轴对称
[C] 关于原点对称 [D] 关于直线y=x对称
3.(北师大版必修第一册P89实例分析改编)函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)= .
4.(人教A版必修第一册P161复习参考题4 T13改编)若函数f(x)=的图象如图所示,则f(－3)= .
5.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6改编)将某种药物首次注射进患者的血液中,血液中药物含量Q(单位:mg)随时间t(单位:h)变化的图象如图所示.在注射期间,Q与t成正比;停止注射后,血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减.
根据图中提供的信息,写出血液中的药物含量Q与时间t的函数关系式为: .
考点一 函数图象的作法
作出下列函数的图象:
(1)y=|x－2|·(x+2);
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=;
(4)y=x2－4|x|.
作函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本初等函数或其函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
注意:作函数图象时,若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式,再作函数的图象.
考点二 函数图象的识别
[例1] (1)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
[A] f(x)=
[B] f(x)=
[C] f(x)=
[D] f(x)=
(2)(2025·河南焦作模拟)函数f(x)=的大致图象为( )
[A] [B]
[C] [D]
辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点,排除不符合要求的图象.
[针对训练] (1)(2025·江苏南通模拟)函数f(x)=cos x·ln(－x)的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
(2)(2025·广东深圳模拟)已知函数y=f(x)的图象如图(1)所示,则图(2)对应的函数有可能是( )
[A] y=x2f(x) [B] y=
[C] y=xf(x) [D] y=x[f(x)]2
考点三 函数图象的应用
角度1 利用图象研究函数的性质
[例2] (多选题)已知函数f(x)=f(－x),且f(x)图象的对称中心为(1,0),当x∈[2,3]时,f(x)=3－x,则下列选项正确的是( )
[A] f(x)的最小值是－1
[B] f(x)在(－3,－2)上单调递减
[C] f(x)的图象关于直线x=－2对称
[D] f(x)在(3,4)上的函数值大于0
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式,且易画出其在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质:
(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
角度2 利用图象解不等式
[例3] 已知函数f(x)=则满足1≤f(x)≤3的x的取值范围为( )
[A] [0,2]∪[4,6] [B] [,]∪[4,6]
[C] [,]∪[2,4] [D] [,]∪[2,6]
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时,可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题,利用图象法求解.若函数为抽象函数,可根据题目画出大致图象,再结合图象求解.
角度3 利用图象求参数的取值范围
[例4] (2025·北京模拟)已知函数f(x)=若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,0] [B] [－4,0]
[C] [－3,0] [D] (－∞,2]
当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.
[针对训练]
1.(角度1)已知函数y=,则下列命题错误的是( )
[A] 该函数图象关于点(1,1)对称
[B] 该函数的图象关于直线y=－x+2对称
[C] 该函数在定义域内单调递减
[D] 将该函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后与函数y=的图象重合
2.(角度2) (2025·河南商丘模拟)已知定义在R上的奇函数 f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
[A] (－,0)∪(,2)
[B] (－∞,－2)∪(2,+∞)
[C] (－∞,－2)∪(－,0)∪(,2)
[D] (－2,－)∪(0,)∪(2,+∞)
3.(角度3)(2025·湖北咸宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1－|2x－1|.若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是( )
[A] [,+∞) [B] [,+∞)
[C] [,+∞) [D] [,+∞)
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
函数图象的识别 1,2,5,10
函数图象的理解、变换 3,6,9
函数图象的应用 4,7,8,11,12,13,14,15
单选每题5分,填空每题5分.
1.(2025·天津模拟)函数f(x)=的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
2.(2025·山西吕梁模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为( )
[A] f(x)= [B] f(x)=
[C] f(x)=x3·ln|x| [D] f(x)=e|x|·(x2－1)
3.(2025·青海西宁模拟)下列函数中,其图象与函数f(x)=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )
[A] y=ln(1－x) [B] y=ln(2－x)
[C] y=ln(1+x) [D] y=ln(2+x)
4.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x－1,则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为( )
[A] (1,3) [B] (－1,1)
[C] (－1,0)∪(1,3) [D] (－1,0)∪(0,1)
5.已知图(1)中的图象是函数y=f(x)的图象,则图(2)中的图象对应的函数可能是( )
[A] y=f(|x|) [B] y=|f(x)|
[C] y=f(－|x|) [D] y=－f(－|x|)
6.(2025·云南昆明模拟)若将函数y=f(x)的图象平移后能与函数y=g(x)的图象重合,则称函数f(x)和g(x)互为“平行函数”.已知f(x)=2－,g(x)=互为“平行函数”,则m等于( )
[A] 2 [B] 1
[C] －1 [D] －2
7.(5分)(2025·江苏南通模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈(0,3)∪(3,+∞)时,f(－x)>2f(x),f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为 .
8.(13分)已知f(x)=
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)写出函数f(x)的单调区间;
(3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的公共点,求实数m的取值范围.
9.(2025·辽宁大连模拟)已知对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的3倍,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向上平移2个单位长度,所得图象恰好与函数f(x)的图象重合,则a的值是( )
[A] [B] [C] [D]
10.(2025·广东佛山模拟)如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,当点P沿A→B→C→M运动时,点P经过的路程x与阴影区域APM的面积y的函数y=f(x)的图象的形状大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
11.(2025·天津模拟)定义:设不等式F(x)<0的解集为M,若M中只有唯一整数,则称M是最优解.若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx+2<0有最优解,则实数m的取值范围是( )
[A] (,]
[B] [－,－2)
[C] [－,－2]∪[,]
[D] [－,－2)∪(,]
12.(5分)已知函数f(x)=若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1,x2,x3,使得===k,则实数k的取值范围是 .
13.(5分)(2025·广西北海模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,f(x+2)为偶函数,若f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
14.(17分)(2025·北京模拟)已知函数f(x)=2x－ax+1(a∈R).
(1)若a∈Z,且f(4)>0,求a的最大值;
(2)当a=3时,求函数f(x)的零点;
(3)若对任意x∈(－∞,1)都有f(x)>0,求a的取值范围.
15.(5分)设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数m,使得对任意x∈D,都有f(x+m)>f(x),则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=
|x－a|－a(a∈R).若f(x)为R上的“20型增函数”,则实数a的取值范围是 .
第7节 函数的图象（解析版）
[课程标准要求]
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次,列表(选取一些有代表性的点,比如与坐标轴的交点),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换.
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
(2)对称变换.
①y=f(x)与y=－f(x)的图象关于x轴对称;
②y=f(x)与y=f(－x)的图象关于y轴对称;
③y=f(x)与y=－f(－x)的图象关于原点对称;
④y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
(3)翻折变换.
①y=f(x)y=|f(x)|;
②y=f(x)y=f(|x|).
(4)伸缩变换.
①y=f(x)y=f(ax);
②y=f(x)y=af(x).
1.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=f(b－x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.特别地,若f(a+x)=f(a－x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=－f(b－x),则函数f(x)的图象关于点(,0)中心对称.特别地,若f(a+x)=－f(a－x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
3.两个函数图象的对称性(相互对称)
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b－x)的图象关于直线(a+x)－(b－x)=0,即直线x=对称.
(2)函数y=f(a+x)与y=f(a－x)的图象关于直线x=0对称.
1.(北师大版必修第一册P56例3改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|－1)的图象可以是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上为减函数,所以0
当x>0时,函数y=loga(|x|－1)的图象是由y=logax的图象向右平移一个单位长度所得,且y=loga(|x|－1)是偶函数,定义域为(－∞,－1)∪(1,+∞).
故选C.
2.(人教A版必修第一册P82探究改编)函数f(x)=的图象( )
[A] 关于y轴对称 [B] 关于x轴对称
[C] 关于原点对称 [D] 关于直线y=x对称
【答案】 A
【解析】 函数f(x)的定义域为R,且f(－x)=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.故选A.
3.(北师大版必修第一册P89实例分析改编)函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)= .
【答案】 e－x+1
【解析】 由题意可知f(x)=e－x,把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e－(x－1)=e－x+1的图象.
4.(人教A版必修第一册P161复习参考题4 T13改编)若函数f(x)=的图象如图所示,则f(－3)= .
【答案】 －1
【解析】 由f(－1)=ln(－1+a)=0,得a=2,又直线y=ax+b过点(－1,3),则2×(－1)+b=3,得b=5.故当x<－1时,f(x)=2x+5,则f(－3)=2×(－3)+5=－1.
5.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6改编)将某种药物首次注射进患者的血液中,血液中药物含量Q(单位:mg)随时间t(单位:h)变化的图象如图所示.在注射期间,Q与t成正比;停止注射后,血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减.
根据图中提供的信息,写出血液中的药物含量Q与时间t的函数关系式为: .
【答案】 Q(t)=
【解析】 在注射期间,Q与t成正比,
当t∈[0,2)时,设Q(t)=kt(k∈R),则Q(2)=2k=1 920,解得k=960,所以Q(t)=960t;停止注射后,血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减,
由题图可知,当t∈[2,+∞)时,Q(t)=1 920×()t－2=3 000×()t,
综上所述,药物含量Q与时间t的函数关系式为Q(t)=
考点一 函数图象的作法
作出下列函数的图象:
(1)y=|x－2|·(x+2);
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=;
(4)y=x2－4|x|.
【解】 (1)函数解析式可化为y=其图象如图(1)中实线所示.
(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(2)所示.
(3)函数解析式可化为y=2+,故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图(3)所示.
(4)y=x2－4|x|=
作出图象如图(4)所示.
作函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本初等函数或其函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
注意:作函数图象时,若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式,再作函数的图象.
考点二 函数图象的识别
[例1] (1)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
[A] f(x)=
[B] f(x)=
[C] f(x)=
[D] f(x)=
(2)(2025·河南焦作模拟)函数f(x)=的大致图象为( )
[A] [B]
[C] [D]
[溯源探本] 本例题(1)源于人教A版必修第一册P139练习T4.
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)由题图可知,f(x)的图象关于y轴对称,为偶函数,故A,B错误;当x>0时,恒大于0,与图象不符合,故C错误.故选D.
(2)由题意知,函数f(x)的定义域为{x|x≠±},关于原点对称,
因为f(－x)==－f(x),
所以f(x)为奇函数,排除A;因为f(1)=>0,所以排除B;当x→+∞时,f(x)→+∞,排除D.故选C.
辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点,排除不符合要求的图象.
[针对训练] (1)(2025·江苏南通模拟)函数f(x)=cos x·ln(－x)的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
(2)(2025·广东深圳模拟)已知函数y=f(x)的图象如图(1)所示,则图(2)对应的函数有可能是( )
[A] y=x2f(x) [B] y=
[C] y=xf(x) [D] y=x[f(x)]2
【答案】 (1)B (2)C
【解析】 (1)f(x)=cos x·ln(－x),
f(－x)=cos(－x)·ln(+x)=－cos x·ln(－x)=－f(x),函数为奇函数,排除A,D;
当x∈(0,)时,cos x>0,ln(－x)=－ln(+x)<－ln 1=0,故f(x)<0,排除C.故选B.
(2)对于A,当x<0时,f(x)<0,x2f(x)<0,故A不符合题意;
对于B,当x<0时,<0,故B不符合题意;对于D,当x<0时,[f(x)]2>0,所以x[f(x)]2<0,故D不符合题意;
对于C,x<0时,f(x)<0,xf(x)>0,x>0时,f(x)>0,xf(x)>0,可能符合题图(2).故选C.
考点三 函数图象的应用
角度1 利用图象研究函数的性质
[例2] (多选题)已知函数f(x)=f(－x),且f(x)图象的对称中心为(1,0),当x∈[2,3]时,f(x)=3－x,则下列选项正确的是( )
[A] f(x)的最小值是－1
[B] f(x)在(－3,－2)上单调递减
[C] f(x)的图象关于直线x=－2对称
[D] f(x)在(3,4)上的函数值大于0
【答案】 AC
【解析】 根据f(x)=f(－x)可得f(x)为偶函数,又f(x)图象的对称中心为(1,0),结合x∈[2,3]时,f(x)=3－x,可画出f(x)的部分图象如图所示,由图象可知,f(x)的最小值是－1,f(x)在(－3,－2)上单调递增,f(x)的图象关于直线x=－2对称,f(x)在(3,4)上的函数值小于0,故A,C正确,B,D错误.故选AC.
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式,且易画出其在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质:
(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
角度2 利用图象解不等式
[例3] 已知函数f(x)=则满足1≤f(x)≤3的x的取值范围为( )
[A] [0,2]∪[4,6] [B] [,]∪[4,6]
[C] [,]∪[2,4] [D] [,]∪[2,6]
【答案】 D
【解析】 令f(x)=1,则|log2x|=1(x∈(0,4))或=1(x∈[4,+∞)),
解得x=或x=2或x=6.
令f(x)=3,则|log2x|=3(x∈(0,4))或=3(x∈[4,+∞)),解得x=或x=4.
画出函数f(x)的草图(如图),得满足1≤f(x)≤3的x的取值范围为[,]∪[2,6].
故选D.
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时,可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题,利用图象法求解.若函数为抽象函数,可根据题目画出大致图象,再结合图象求解.
角度3 利用图象求参数的取值范围
[例4] (2025·北京模拟)已知函数f(x)=若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,0] [B] [－4,0]
[C] [－3,0] [D] (－∞,2]
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=
令g(x)=|f(x)|,作出y=g(x)的图象,如图所示,
令y=ax,由图知,要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则必有a≤0,
当x≤0时,y=x2－4x,由消y得到x2－(4+a)x=0,由Δ=0,得到(4+a)2=0,即a=－4,由图可知－4≤a≤0.故选B.
当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.
[针对训练]
1.(角度1)已知函数y=,则下列命题错误的是( )
[A] 该函数图象关于点(1,1)对称
[B] 该函数的图象关于直线y=－x+2对称
[C] 该函数在定义域内单调递减
[D] 将该函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后与函数y=的图象重合
【答案】 C
【解析】 因为y===1+,把y=的图象向右、向上分别平移1个单位长度即可得到y=的图象,因为y=为奇函数,其图象关于点(0,0)对称,所以y=的图象关于点(1,1)对称,故A正确;
将y=的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后得到y=的图象,故D正确;
由于函数y=的图象关于直线y=－x对称,根据函数图象的平移可知函数y=的图象关于直线y=－(x－1)+1=2－x对称,故B正确;
y=1+在(1,+∞),(－∞,1)上单调递减,但在整个定义域内不具备单调性,故C错误.故选C.
2.(角度2) (2025·河南商丘模拟)已知定义在R上的奇函数 f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
[A] (－,0)∪(,2)
[B] (－∞,－2)∪(2,+∞)
[C] (－∞,－2)∪(－,0)∪(,2)
[D] (－2,－)∪(0,)∪(2,+∞)
【答案】 C
【解析】 根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的图象,如图所示,
由x2f(x)>2f(x),得(x2－2)f(x)>0,
则或
解得x<－2或故不等式的解集为(－∞,－2)∪(－,0)∪(,2).故选C.
3.(角度3)(2025·湖北咸宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1－|2x－1|.若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是( )
[A] [,+∞) [B] [,+∞)
[C] [,+∞) [D] [,+∞)
【答案】 B
【解析】 因为当x∈[0,1)时,f(x)=1－|2x－1|,
所以f(x)=
又因为函数f(x)满足f(x+1)=f(x),
所以函数f(x)的部分图象如下,
由图可知,若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m≥.故选B.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
函数图象的识别 1,2,5,10
函数图象的理解、变换 3,6,9
函数图象的应用 4,7,8,11,12,13,14,15
单选每题5分,填空每题5分.
1.(2025·天津模拟)函数f(x)=的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 f(1)=1>0,故A,C错误;f(0)==<1=f(1),故B错误.故选D.
2.(2025·山西吕梁模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为( )
[A] f(x)= [B] f(x)=
[C] f(x)=x3·ln|x| [D] f(x)=e|x|·(x2－1)
【答案】 B
【解析】 由题图知,函数f(x)是奇函数.
对于A,因为f(2)==－,
f(－2)==24,
所以f(x)是非奇非偶函数,故排除A;
对于C,定义域为{x|x≠0},与题图不符,故排除C;
对于D,f(x)=e|x|·(x2－1)的定义域为R,f(－x)=e|x|·(x2－1)=f(x),则f(x)是偶函数,故排除D.
故选B.
3.(2025·青海西宁模拟)下列函数中,其图象与函数f(x)=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )
[A] y=ln(1－x) [B] y=ln(2－x)
[C] y=ln(1+x) [D] y=ln(2+x)
【答案】 B
【解析】 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2－x,y),由对称性知点(2－x,y)在函数f(x)=ln x 的图象上,所以y=ln(2－x).故选B.
法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=ln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数解析式逐一检验,排除A,C,D.故选B.
4.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x－1,则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为( )
[A] (1,3) [B] (－1,1)
[C] (－1,0)∪(1,3) [D] (－1,0)∪(0,1)
【答案】 C
【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,在(－1,3)上xf(x)>0,即或即－15.已知图(1)中的图象是函数y=f(x)的图象,则图(2)中的图象对应的函数可能是( )
[A] y=f(|x|) [B] y=|f(x)|
[C] y=f(－|x|) [D] y=－f(－|x|)
【答案】 C
【解析】 题图(2)中的图象是在题图(1)的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧,y轴左侧图象不变得来的,所以题图(2)中的图象对应的函数可能是y=f(－|x|).故选C.
6.(2025·云南昆明模拟)若将函数y=f(x)的图象平移后能与函数y=g(x)的图象重合,则称函数f(x)和g(x)互为“平行函数”.已知f(x)=2－,g(x)=互为“平行函数”,则m等于( )
[A] 2 [B] 1
[C] －1 [D] －2
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=2－,g(x)====m－,而将函数y=f(x)的图象平移后能与函数y=g(x)的图象重合,所以m=1,经检验符合题意.故选B.
7.(5分)(2025·江苏南通模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈(0,3)∪(3,+∞)时,f(－x)>2f(x),f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为 .
【答案】 (－∞,－3)∪(－3,0)
【解析】 依题意知,f(0)=0,
当x∈(0,3)∪(3,+∞)时,f(－x)>2f(x),
即－f(x)>2f(x),
得f(x)<0,
由f(3)=0,得f(－3)=－f(3)=0,
由此画出f(x)的大致图象如图所示,
由图可知,不等式f(x)>0的解集为(－∞,－3)∪(－3,0).
8.(13分)已知f(x)=
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)写出函数f(x)的单调区间;
(3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的公共点,求实数m的取值范围.
【解】 (1)画出函数f(x)的图象,如图所示.
(2)由图象得,f(x)的单调递增区间是(－∞,0],(0,+∞),无单调递减区间.
(3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的公共点,则结合图象得19.(2025·辽宁大连模拟)已知对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的3倍,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向上平移2个单位长度,所得图象恰好与函数f(x)的图象重合,则a的值是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的3倍,得到函数g(x)的图象,
所以g(x)=loga,即g(x)=logax－loga3,
将g(x)的图象向上平移2个单位长度,所得图象的函数解析式y=logax－loga3+2,
因为所得图象恰好与函数f(x)的图象重合,
所以－loga3+2=0,所以a2=3,又a>0,且a≠1,解得a=.故选D.
10.(2025·广东佛山模拟)如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,当点P沿A→B→C→M运动时,点P经过的路程x与阴影区域APM的面积y的函数y=f(x)的图象的形状大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 当点P在AB上时,
y=AP·BC=(0≤x≤1),
当点P在BC上时,y=AB·BC－AB·BP－AD·DM－MC·CP
=1－(x－1)－××(2－x)=(1当点P在CM上时,
y=AD·PM=(－x)=x(211.(2025·天津模拟)定义:设不等式F(x)<0的解集为M,若M中只有唯一整数,则称M是最优解.若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx+2<0有最优解,则实数m的取值范围是( )
[A] (,]
[B] [－,－2)
[C] [－,－2]∪[,]
[D] [－,－2)∪(,]
【答案】 D
【解析】 |x2－2x－3|－mx+2<0可转化为|x2－2x－3|在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)=|x2－2x－3|,g(x)=mx－2的图象,如图所示.
易知当m=0时不满足题意.
当m>0时,要存在唯一的整数x0,
满足f(x0)则即解得当m<0时,要存在唯一的整数x0,
满足f(x0)则即
解得－≤m<－2.综上,实数m的取值范围是[－,－2)∪(,].
故选D.
12.(5分)已知函数f(x)=若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1,x2,x3,使得===k,则实数k的取值范围是 .
【答案】 (0,]
【解析】 函数y=f(x),x∈[0,6]的图象如图所示,
由题意知,直线y=kx与函数y=f(x)的图象至少有3个公共点.
由图知k的取值范围是(0,].
13.(5分)(2025·广西北海模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,f(x+2)为偶函数,若f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
【答案】 24
【解析】 由f(x+2)为偶函数,得f(－x+2)=f(x+2),故f(－x)=f(x+4),即f(x)的图象关于直线x=2对称.
又f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,且f(x)=－f(－x),所以f(x)=－f(x+4),
所以f(x+4)=－f(x+8),所以f(x)=f(x+8),所以f(x)的周期为8.
由f(x)在[0,2]上单调递减,结合上述分析知,f(x)在[2,6]上单调递增,在[6,10]上单调递减,在[10,12]上单调递增,所以f(x)在[0,12]的大致图象如图所示.
要使f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根,即f(x)的图象与直线y=m有4个交点,
则必有两对交点分别关于直线x=2和直线x=10对称,设x114.(17分)(2025·北京模拟)已知函数f(x)=2x－ax+1(a∈R).
(1)若a∈Z,且f(4)>0,求a的最大值;
(2)当a=3时,求函数f(x)的零点;
(3)若对任意x∈(－∞,1)都有f(x)>0,求a的取值范围.
【解】 (1)因为函数f(x)=2x－ax+1(a∈R),
所以f(4)=24－4a+1>0,即a<,
又a∈Z,所以a的最大值为4.
(2)当a=3时,f(x)=2x－3x+1,
由f(x)=2x－3x+1=0,
可得2x=3x－1,
作出函数y=2x与y=3x－1的图象,如图所示.
由图可知y=2x与y=3x－1的图象有两个交点,
即函数f(x)有两个零点,
又因为f(1)=2－3+1=0,
f(3)=23－3×3+1=0,
故函数f(x)的零点为1,3.
(3)因为对任意x∈(－∞,1)都有f(x)>0,
所以2x>ax－1在(－∞,1)上恒成立,
即当x∈(－∞,1)时,函数y=2x的图象恒在直线y=ax－1的上方,
作出函数y=2x,x∈(－∞,1)与y=ax－1,x∈(－∞,1)的大致图象,如图所示.
则a≥0,且a－1≤2,所以0≤a≤3,
即a的取值范围为[0,3].
15.(5分)设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数m,使得对任意x∈D,都有f(x+m)>f(x),则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=
|x－a|－a(a∈R).若f(x)为R上的“20型增函数”,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (－∞,5)
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
且当x>0时,f(x)=|x－a|－a,
所以f(x)=
因为f(x)为R上的“20型增函数”,
所以f(x+20)>f(x)在R上恒成立.
(1)当a≤0时,由f(x)的图象[如图(1)]向左平移20个单位长度得f(x+20)的图象,显然f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,满足f(x+20)>f(x).
(2)当a>0时,由f(x)的图象[如图(2)]向左平移20个单位长度得到f(x+20)的图象,
要保证f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,
需满足2a－20<－2a,
可得0综上可知,a的取值范围为(－∞,5).
(
第
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第7节 函数的图象
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.
[课程标准要求]
知识梳理
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次,列表(选取一些有代表性的点,比如与坐标轴的交点),描点,连线.
知识梳理
2.图象变换
(1)平移变换.
释疑
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
(2)对称变换.
①y=f(x)与y=－f(x)的图象关于 对称;
②y=f(x)与y=f(－x)的图象关于 对称;
③y=f(x)与y=－f(－x)的图象关于原点对称;
④y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
知识梳理
x轴
y轴
(3)翻折变换.
知识梳理
|f(x)|
(4)伸缩变换.
知识梳理
f(ax)
af(x)
重要结论
重要结论
重要结论
3.两个函数图象的对称性(相互对称)
(2)函数y=f(a+x)与y=f(a－x)的图象关于直线x=0对称.
对点自测
1.(北师大版必修第一册P56例3改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|－1)的图象可以是( )
C
[A] [B] [C] [D]
对点自测
【解析】 因为函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上为减函数,所以0所以y=logax在(0,+∞)上单调递减.
当x>0时,函数y=loga(|x|－1)的图象是由y=logax的图象向右平移一个单位长度所得,且y=loga(|x|－1)是偶函数,定义域为(－∞,－1)∪(1,+∞).
故选C.
A
对点自测
[A] 关于y轴对称 [B] 关于x轴对称
[C] 关于原点对称 [D] 关于直线y=x对称
【解析】 函数f(x)的定义域为R,且f(－x)=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.故选A.
3.(北师大版必修第一册P89实例分析改编)函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)= .
e－x+1
对点自测
【解析】 由题意可知f(x)=e－x,把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e－(x－1)=e－x+1的图象.
对点自测
－1
对点自测
【解析】 由f(－1)=ln(－1+a)=0,得a=2,又直线y=ax+b过点(－1,3),
则2×(－1)+b=3,得b=5.故当x<－1时,f(x)=2x+5,则f(－3)=2×(－3)+5=－1.
对点自测
5.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6改编)将某种药物首次注射进患者的血液中,血液中药物含量Q(单位:mg)随时间t(单位:h)变化的图象如图所示.在注射期间,Q与t成正比;停止注射后,血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减.
根据图中提供的信息,写出血液中的药物含量Q与时间t的函数关系式为:
.
对点自测
考点一 函数图象的作法
作出下列函数的图象:
(1)y=|x－2|·(x+2);
(2)y=|log2(x+1)|;
【解】 (2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(2)所示.
(4)y=x2－4|x|.
作函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本初等函数或其函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
题后悟通
解题策略
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
注意:作函数图象时,若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式,再作函数的图象.
考点二 函数图象的识别
[例1] (1)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
D
C
[A] [B] [C] [D]
解题策略
辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点,排除不符合要求的图象.
[A] [B] [C] [D]
B
(2)(2025·广东深圳模拟)已知函数y=f(x)的图象如图(1)所示,则图(2)对应的函数有可能是( )
C
考点三 函数图象的应用
角度1 利用图象研究函数的性质
[例2] (多选题)已知函数f(x)=f(－x),且f(x)图象的对称中心为(1,0),当x∈[2,3]时,f(x)=3－x,则下列选项正确的是( )
[A] f(x)的最小值是－1
[B] f(x)在(－3,－2)上单调递减
[C] f(x)的图象关于直线x=－2对称
[D] f(x)在(3,4)上的函数值大于0
AC
【解析】 根据f(x)=f(－x)可得f(x)为偶函数,又f(x)图象的对称中心为(1,0),结合x∈[2,3]时,f(x)=3－x,可画出f(x)的部分图象如图所示,由图象可知,f(x)的最小值是－1,f(x)在(－3,－2)上单调递增,f(x)的图象关于直线x=－2对称,
f(x)在(3,4)上的函数值小于0,故A,C正确,B,D错误.故选AC.
解题策略
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式,且易画出其在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质:
(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
角度2 利用图象解不等式
D
解题策略
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时,可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题,利用图象法求解.若函数为抽象函数,可根据题目画出大致图象,再结合图象求解.
角度3 利用图象求参数的取值范围
[A] (－∞,0] [B] [－4,0]
[C] [－3,0] [D] (－∞,2]
B
解题策略
当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.
[A] 该函数图象关于点(1,1)对称
[B] 该函数的图象关于直线y=－x+2对称
[C] 该函数在定义域内单调递减
C
[针对训练]
2.(角度2) (2025·河南商丘模拟)已知定义在R上的奇函数 f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
C
【解析】 根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的图象,如图所示,
B
课时作业
(分值:95分)
选题明细表
单选每题5分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
函数图象的识别 1,2,5,10
函数图象的理解、变换 3,6,9
函数图象的应用 4,7,8,11,12,13,14,15
基础巩固练
D
[A] [B] [C] [D]
2.(2025·山西吕梁模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为( )
B
3.(2025·青海西宁模拟)下列函数中,其图象与函数f(x)=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )
[A] y=ln(1－x) [B] y=ln(2－x)
[C] y=ln(1+x) [D] y=ln(2+x)
B
【解析】 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2－x,y),由对称性知点(2－x,y)在函数f(x)=ln x 的图象上,所以y=ln(2－x).故选B.
法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=ln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数解析式逐一检验,排除A,C,D.故选B.
4.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x－1,则不等式xf(x)>0在
(－1,3)上的解集为( )
[A] (1,3) [B] (－1,1)
[C] (－1,0)∪(1,3) [D] (－1,0)∪(0,1)
C
5.已知图(1)中的图象是函数y=f(x)的图象,则图(2)中的图象对应的函数可能是( )
[A] y=f(|x|)
[B] y=|f(x)|
[C] y=f(－|x|)
[D] y=－f(－|x|)
C
【解析】 题图(2)中的图象是在题图(1)的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧,y轴左侧图象不变得来的,所以题图(2)中的图象对应的函数可能是y=f(－|x|).故选C.
[A] 2 [B] 1
[C] －1 [D] －2
B
7.(5分)(2025·江苏南通模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈(0,3)∪(3,+∞)时,f(－x)>2f(x),f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为
.
(－∞,－3)∪(－3,0)
【解析】 依题意知,f(0)=0,
当x∈(0,3)∪(3,+∞)时,f(－x)>2f(x),
即－f(x)>2f(x),
得f(x)<0,
由f(3)=0,得f(－3)=－f(3)=0,
由此画出f(x)的大致图象如图所示,
由图可知,不等式f(x)>0的解集为(－∞,－3)∪(－3,0).
(1)作出函数f(x)的图象;
【解】 (1)画出函数f(x)的图象,如图所示.
(2)写出函数f(x)的单调区间;
【解】 (2)由图象得,f(x)的单调递增区间是(－∞,0],(0,+∞),无单调递减区间.
(3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的公共点,求实数m的取值
范围.
【解】 (3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的公共点,则结合图象得1综合运用练
9.(2025·辽宁大连模拟)已知对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的3倍,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向上平移2个单位长度,所得图象恰好与函数f(x)的图象重合,则a的值是( )
D
10.(2025·广东佛山模拟)如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,当点P沿A→B→C→M运动时,点P经过的路程x与阴影区域APM的面积y的函数y=f(x)的图象的形状大致是( )
[A] [B] [C] [D]
A
11.(2025·天津模拟)定义:设不等式F(x)<0的解集为M,若M中只有唯一整数,则称M是最优解.若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx+2<0有最优解,则实数m的取值范围是( )
D
【解析】 |x2－2x－3|－mx+2<0可转化为|x2－2x－3|在同一平面直角坐标系中分别作出函数
f(x)=|x2－2x－3|,g(x)=mx－2的图象,如图所示.
易知当m=0时不满足题意.
当m>0时,要存在唯一的整数x0,
满足f(x0)当m<0时,要存在唯一的整数x0,
满足f(x0)【解析】 函数y=f(x),x∈[0,6]的图象如图所示,
由题意知,直线y=kx与函数y=f(x)的图象至少有3个公共点.
24
13.(5分)(2025·广西北海模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,f(x+2)为偶函数,若f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
【解析】 由f(x+2)为偶函数,得f(－x+2)=f(x+2),故f(－x)=f(x+4),
即f(x)的图象关于直线x=2对称.
又f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,且f(x)=－f(－x),所以f(x)=－f(x+4),
所以f(x+4)=－f(x+8),所以f(x)=f(x+8),所以f(x)的周期为8.
由f(x)在[0,2]上单调递减,结合上述分析知,f(x)在[2,6]上单调递增,在[6,10]上单调递减,在[10,12]上单调递增,
所以f(x)在[0,12]的大致图象如图所示.
要使f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根,
即f(x)的图象与直线y=m有4个交点,
则必有两对交点分别关于直线x=2和直线x=10对称,
设x114.(17分)(2025·北京模拟)已知函数f(x)=2x－ax+1(a∈R).
(1)若a∈Z,且f(4)>0,求a的最大值;
【解】 (1)因为函数f(x)=2x－ax+1(a∈R),
所以f(4)=24－4a+1>0,即a<,
又a∈Z,所以a的最大值为4.
14.(17分)(2025·北京模拟)已知函数f(x)=2x－ax+1(a∈R).
(2)当a=3时,求函数f(x)的零点;
【解】 (2)当a=3时,f(x)=2x－3x+1,
由f(x)=2x－3x+1=0,可得2x=3x－1,
作出函数y=2x与y=3x－1的图象,如图所示.
由图可知y=2x与y=3x－1的图象有两个交点,
即函数f(x)有两个零点,
又因为f(1)=2－3+1=0,f(3)=23－3×3+1=0,故函数f(x)的零点为1,3.
14.(17分)(2025·北京模拟)已知函数f(x)=2x－ax+1(a∈R).
(3)若对任意x∈(－∞,1)都有f(x)>0,求a的取值范围.
【解】 (3)因为对任意x∈(－∞,1)都有f(x)>0,
所以2x>ax－1在(－∞,1)上恒成立,
即当x∈(－∞,1)时,函数y=2x的图象恒在直线y=ax－1的上方,
作出函数y=2x,x∈(－∞,1)与y=ax－1,x∈(－∞,1)的大致图象,
如图所示.
则a≥0,且a－1≤2,所以0≤a≤3,即a的取值范围为[0,3].
15.(5分)设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数m,使得对任意x∈D,都有f(x+m)>f(x),则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x－a|－a(a∈R).若f(x)为R上的“20型增函数”,则实数a的取值范围是 .
应用创新练
(－∞,5)
(1)当a≤0时,由f(x)的图象[如图(1)]向左平移20个单位长度得f(x+20)的图象,显然f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,满足f(x+20)>f(x).
(2)当a>0时,由f(x)的图象[如图(2)]向左平移20个单位长度得到f(x+20)的
图象,
要保证f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,
需满足2a－20<－2a,
可得0综上可知,a的取值范围为(－∞,5).