第8节 函数与方程
[课程标准要求]
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(1)函数的零点不是一个点,而是一个实数,该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)函数的零点可分为变号零点(零点两侧的函数值异号)与不变号零点(零点两侧的函数值同号)两类.
2.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x) 在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号.
4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别地,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点.
1.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为( )
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
2.(人教B版必修第一册P126习题3-2B T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为( )
[A] －2 [B] － [C] [D] 2
3.(苏教版必修第一册P253 T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
[A] 2 [B] －2,0
[C] [D] 0
4.(人教B版必修第一册P126习题3-2B T5改编)函数y=ln x－的零点所在区间是( )
[A] (,1) [B] (1,2)
[C] (2,e) [D] (e,+∞)
5.(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)若函数y=ax2－2x+1只有一个零点,则实数a的值为 .
考点一 判断函数零点所在的区间
1.(2025·浙江宁波模拟)函数f(x)=2x+x3－9的零点所在区间为( )
[A] (0,1) [B] (1,2) [C] (2,3) [D] (3,4)
2.若a
[A] (a,b)和(b,c)内
[B] (－∞,a)和(a,b)内
[C] (b,c)和(c,+∞)内
[D] (－∞,a)和(c,+∞)内
3.已知函数f(x)=81ln x－()x－3－80的零点位于区间(k,k+1)内,则整数k等于( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
4.已知x0是函数f(x)=+log2(x+1)－4的零点,则(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)的值( )
[A] 为正数 [B] 为负数
[C] 等于0 [D] 无法确定正负
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
考点二 确定函数零点的个数
[例1] (1)(2025·北京模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(2ln x)－ln(2x－1)的零点个数为( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
(2)已知函数f(x)=则函数y=f(x)－3的零点个数是( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出原函数的零点个数.
[针对训练] (1)已知函数f(x)=则方程f(x)－2|x|=0的解的个数是( )
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
(2)已知函数f(x)满足f(x+)=f(x－).当x∈[0,3)时,f(x)=2x3－11x2+14x,则f(x)在[－6,6]上的零点个数为 .
考点三 函数零点的应用
角度1 根据零点的个数求参数
[例2] (2025·辽宁抚顺模拟)若函数f(x)=恰有3个零点,则实数a的取值范围是 .
已知函数零点个数求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)形如g(x)=f(x)－m的含参数函数的零点问题可转化为f(x)=m求解.
(2)根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题,若能够将参数分离,则常分离参数后求解,若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出,则作出函数图象后利用数形结合思想求解.
角度2 根据零点的范围求参数
[例3] (2025·山西阳泉模拟)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)内存在零点,则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞,－5) [B] (－5,－1)
[C] (1,5) [D] (5,+∞)
由函数零点所在区间求参数的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离参数法 先将参数分离,然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决
数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形,转化为图象易得的函数与一个含参数的函数的差,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解
角度3 求函数零点之和
[例4] (2025·四川泸州模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(x－2),当x∈[－2,2]时,函数f(x)=4－x2,设函数g(x)=e－|x－2|(－2[A] 5 [B] 6 [C] 7 [D] 8
求函数的多个零点(或方程的根或直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数图象本身关于点的对称、直线的对称等)求和.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·四川自贡模拟)设函数f(x)=+x2－4x有唯一的零点,则实数m为( )
[A] 2 [B] [C] 3 [D]
2.(角度2)函数f(x)=2x－－a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
[A] (0,3) [B] (1,3)
[C] (1,2) [D] [2,+∞)
3.(角度3)(2025·北京西城模拟)已知函数f(x)=g(x)=f(x)－a,其中a∈R.
(1)若函数g(x)无零点,则a的取值范围为 ;
(2)若函数g(x)有4个零点xi(i=1,2,3,4),则x1+x2+x3+x4= .
微点培优5 嵌套函数的零点
对于判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时,可采用换元法,先令g(x)=t,求解当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数,即为f(g(x))的零点个数.解答时注意数形结合,侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析.
类型一 嵌套函数零点的个数问题
[典例1] (2025·山东济宁模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)－1)的零点个数是( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
嵌套函数零点个数的求解步骤
(1)换元解套.
(2)依次解方程.
抓住两点:①转化换元;②充分利用函数的图象与求解过程中的性质.
[拓展演练1] (2025·四川成都模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上的解析式为f(x)=则关于x的方程[f(x)]2+af(x)－1=0的解的个数可能为( )
[A] 2或4或5或6 [B] 2或4或6
[C] 4 [D] 6
类型二 由嵌套函数的零点个数求参数的取值范围
[典例2] (2025·陕西西安模拟)f(x)=若y=f(f(x)+1)－k有两个零点,则k的取值范围是 .
含参数的嵌套函数方程,应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
[拓展演练2] (2025·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=(a+1)x2－bx+a,若函数f(x)有零点,且与函数y=f(f(x))的零点完全相同,则实数b的取值范围是 .
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
函数零点个数、 函数零点所在区间 1,2,3,4,8,12
由函数零点个数 (区间)确定参数(范围) 5,7,14
函数零点的综合问题 6,9,10,11,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.设函数f(x)=2x+的零点为x0,则x0所在的区间为( )
[A] (－4,－2) [B] (－2,－1)
[C] (1,2) [D] (2,4)
2.函数f(x)=的零点是( )
[A] (－1,0),(9,0) [B] －1,9
[C] (9,0) [D] 9
3.(2025·广东惠州模拟)函数f(x)=|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为( )
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
4.(2025·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=()x－log2x,h(x)=x3+log2x的零点分别为a,b,c,则( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] b>c>a
5.(2025·天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+m,m∈R,若函数f(f(x))有且只有一个零点,则( )
[A] m>1 [B] m<0
[C] 06.(2025·广东揭阳模拟)函数f(x)=ln+x－1的所有零点之和为( )
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
7.(5分)(2025·天津模拟)已知函数f(x)=x3－ax2－|x－a|有3个零点,则实数a的取值范围为 .
8.(14分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=－,3a>2c>2b.求证:
(1)a>0,且－3<<－;
(2)函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
9.(2025·河北保定模拟)已知函数f(x)=若方程f(x)=a(a∈R)有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1[A] [－4,－2) [B] [－4,－2]
[C] (－4,－2) [D] (－4,－2]
10.已知x1是函数f(x)=xln x－2 024的一个零点,x2是函数g(x)=xex－2 024的一个零点,则x1x2的值为( )
[A] 1 012 [B] 2 024
[C] 4 048 [D] 8 096
11.(2025·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)=|log2|1－x||,若函数g(x)=[f(x)]2+af(x)+2b有6个不同的零点,且最小的零点为x=－1,则2a+b等于( )
[A] 6 [B] －2 [C] 2 [D] －6
12.(5分)(2025·河北张家口模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数,f(x－1)为奇函数,且当x∈(－1,1]时,f(x)=|x|.当x∈[0,8]时,函数g(x)=()x与f(x)图象的交点个数为 .
13.(5分)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则函数
F(x)=f(x)－的所有零点之和为 .
14.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x－2)+f(－x)=0.
(1)证明:函数f(x)是周期函数.
(2)当x∈[0,2]时,f(x)=1－x.若g(x)=f(x)－a|x|恰有14个零点,求实数a的取值范围.
15.(多选题)(2025·浙江湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,且方程f(g(x))=x有实数解,则下列式子中可以为g(f(x))的是( )
[A] x2+2x [B] x+1
[C] ecos x [D] ln(|x|+1)
16.(5分)已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α－β|第8节 函数与方程（解析版）
[课程标准要求]
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(1)函数的零点不是一个点,而是一个实数,该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)函数的零点可分为变号零点(零点两侧的函数值异号)与不变号零点(零点两侧的函数值同号)两类.
2.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x) 在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号.
4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别地,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点.
1.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为( )
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
【答案】 B
【解析】 由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)的零点个数至少为3.故选B.
2.(人教B版必修第一册P126习题3-2B T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为( )
[A] －2 [B] － [C] [D] 2
【答案】 B
【解析】 由题意知,f(1)=+a=0,解得a=－.故选B.
3.(苏教版必修第一册P253 T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
[A] 2 [B] －2,0
[C] [D] 0
【答案】 D
【解析】 当x≤1时,令f(x)=2x－1=0,解得x=0;当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=(舍去).综上,函数的零点为0.
故选D.
4.(人教B版必修第一册P126习题3-2B T5改编)函数y=ln x－的零点所在区间是( )
[A] (,1) [B] (1,2)
[C] (2,e) [D] (e,+∞)
【答案】 C
【解析】 y=f(x)=ln x－的定义域为(0,+∞),因为y=ln x与y=－在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=ln x－在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=ln 1－2=－2<0,f(2)=ln 2－1<0,f(e)=ln e－=1－>0,
所以f(2)f(e)<0,所以f(x)在(2,e)上存在唯一的零点.故选C.
5.(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)若函数y=ax2－2x+1只有一个零点,则实数a的值为 .
【答案】 0或1
【解析】 当a=0时,y=－2x+1,有唯一零点;当a≠0 时,由题意可得Δ=4－4a=0,解得a=1.综上,实数a的值为0或1.
考点一 判断函数零点所在的区间
1.(2025·浙江宁波模拟)函数f(x)=2x+x3－9的零点所在区间为( )
[A] (0,1) [B] (1,2) [C] (2,3) [D] (3,4)
【答案】 B
【解析】 由已知得f(x)为增函数,且f(1)=2+1－9=－6<0,f(2)=4+8－9=3>0,根据函数零点存在定理,函数f(x)在区间(1,2)内有零点,且零点是唯一的.故选B.
2.若a[A] (a,b)和(b,c)内
[B] (－∞,a)和(a,b)内
[C] (b,c)和(c,+∞)内
[D] (－∞,a)和(c,+∞)内
【答案】 A
【解析】 函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a0,f(b)=(b－c)(b－a)<0,f(c)=(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.故选A.
3.已知函数f(x)=81ln x－()x－3－80的零点位于区间(k,k+1)内,则整数k等于( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 B
【解析】 因为函数y=81ln x与y=－()x－3－80在(0,+∞)上均单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,因为f(2)=81ln 2－83<0,f(3)=81ln 3－81>0,f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,且零点是唯一的,故k=2.故选B.
4.已知x0是函数f(x)=+log2(x+1)－4的零点,则(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)的值( )
[A] 为正数 [B] 为负数
[C] 等于0 [D] 无法确定正负
【答案】 B
【解析】 由题意可知f(x)为增函数,且f(3)=+log24－4<0,f(4)=2+log25－4>0,则x0∈(3,4),所以x0－1>0,x0－2>0,x0－3>0,x0－4<0,所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.故选B.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
考点二 确定函数零点的个数
[例1] (1)(2025·北京模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(2ln x)－ln(2x－1)的零点个数为( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
(2)已知函数f(x)=则函数y=f(x)－3的零点个数是( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 (1)C (2)B
【解析】 (1)令f(x)=0,则sgn(2ln x)=ln(2x－1),y=sgn(2ln x)=
当x>1时,由ln(2x－1)=1,得x=,符合题意;当x=1时,由ln(2x－1)=0,得x=1,符合题意;当0(2)法一(直接法) 由y=f(x)－3=0得 f(x)=3.
当x>0时,得ln x=3或ln x=－3,解得x=e3或x=e－3;
当x≤0时,得－2x(x+2)=3,无解.
所以函数y=f(x)－3的零点个数是2.故选B.
法二(图象法) 作出函数f(x)的图象,如图,函数y=f(x)－3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线 y=3有2个交点,故函数y=f(x)－3的零点个数是2.故选B.
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出原函数的零点个数.
[针对训练] (1)已知函数f(x)=则方程f(x)－2|x|=0的解的个数是( )
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
(2)已知函数f(x)满足f(x+)=f(x－).当x∈[0,3)时,f(x)=2x3－11x2+14x,则f(x)在[－6,6]上的零点个数为 .
【答案】 (1)B (2)9
【解析】 (1)由f(x)－2|x|=0可得f(x)=2|x|,则方程f(x)－2|x|=0的解的个数等于函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象交点的个数,作出函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知,函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点,即方程f(x)－2|x|=0的解的个数为1.故选B.
(2)因为函数f(x)满足f(x+)=f(x－),所以f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为3,当x∈[0,3)时,令f(x)=2x3－11x2+14x=0,即x(x－2)(2x－7)=0,解得x=0或x=2,即f(0)=f(2)=0,由周期性知f(6)=f(3)=f(－3)=f(－6)=f(0)=0,f(5)=f(2)=f(－1)=f(－4)=0,即f(x)在[－6,6]上共有9个零点.
考点三 函数零点的应用
角度1 根据零点的个数求参数
[例2] (2025·辽宁抚顺模拟)若函数f(x)=恰有3个零点,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (－5,－4)
【解析】 由f(x)=0,得a=
作出函数g(x)=的图象,如图所示.
由图可知,当a∈(－5,－4]时,直线y=a与函数g(x)的图象有3个交点,从而f(x)有3个零点,但x2－4x－a>0对x>0恒成立,则a<－4,故a∈(－5,－4).
已知函数零点个数求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)形如g(x)=f(x)－m的含参数函数的零点问题可转化为f(x)=m求解.
(2)根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题,若能够将参数分离,则常分离参数后求解,若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出,则作出函数图象后利用数形结合思想求解.
角度2 根据零点的范围求参数
[例3] (2025·山西阳泉模拟)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)内存在零点,则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞,－5) [B] (－5,－1)
[C] (1,5) [D] (5,+∞)
[溯源探本] 本例题源于人教B版必修第一册P127习题3-2C T5.
【答案】 B
【解析】 由y1=log2x在(0,+∞)上单调递增,y2=x2+m在(0,+∞)上单调递增,得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)内存在零点,所以
即解得－5所以实数m的取值范围是(－5,－1).故选B.
由函数零点所在区间求参数的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离参数法 先将参数分离,然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决
数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形,转化为图象易得的函数与一个含参数的函数的差,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解
角度3 求函数零点之和
[例4] (2025·四川泸州模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(x－2),当x∈[－2,2]时,函数f(x)=4－x2,设函数g(x)=e－|x－2|(－2[A] 5 [B] 6 [C] 7 [D] 8
【答案】 D
【解析】 因为定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(x－2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,又g(x)=e－|x－2|(－20,g(x)=e－|x－2|=
又当x∈[－2,2]时,函数f(x)=4－x2,所以f(－2)=f(2)=0,则f(6)=f(2)=0,令f(x)－g(x)=0,即f(x)=g(x),在同一平面直角坐标系中画出y=g(x)与y=f(x)(x∈[－2,6])的图象如图所示.由图可得y=g(x)与y=f(x)(x∈[－2,6])有4个交点,设交点横坐标分别为x1,x2,x3,x4,
则x1+x4=4,x3+x2=4,
所以方程f(x)－g(x)=0的所有实数根之和为x1+x2+x3+x4=8.故选D.
求函数的多个零点(或方程的根或直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数图象本身关于点的对称、直线的对称等)求和.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·四川自贡模拟)设函数f(x)=+x2－4x有唯一的零点,则实数m为( )
[A] 2 [B] [C] 3 [D]
【答案】 B
【解析】 令t=x－2,则g(t)=(3t+3－t)+t2－4,因为g(－t)=(3－t+3t)+(－t)2－4=(3t+3－t)+t2－4=g(t),所以函数g(t)是偶函数.因为函数f(x)有唯一的零点,所以函数g(t)有唯一的零点,则g(0)=0,即(1+1)+0－4=0,解得m=.故选B.
2.(角度2)函数f(x)=2x－－a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
[A] (0,3) [B] (1,3)
[C] (1,2) [D] [2,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为函数y=2x,y=－在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=2x－－a在(0,+∞)上单调递增,由函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内,得解得03.(角度3)(2025·北京西城模拟)已知函数f(x)=g(x)=f(x)－a,其中a∈R.
(1)若函数g(x)无零点,则a的取值范围为 ;
(2)若函数g(x)有4个零点xi(i=1,2,3,4),则x1+x2+x3+x4= .
【答案】 (1)(－∞,0) (2)－2
【解析】 画函数f(x)=的大致图象如图所示.
(1)函数g(x)=f(x)－a无零点,即f(x)－a=0无解,
即y=f(x)与y=a的图象无交点,所以a<0.
(2)函数g(x)有4个零点,即f(x)－a=0有4个根,
即y=f(x)与y=a的图象有4个交点,
因为(x1,0),(x4,0)关于直线x=－1对称,所以x1+x4=－2,
(x2,0),(x3,0)关于直线x=0对称,所以x2+x3=0,
所以x1+x2+x3+x4=－2.
微点培优5 嵌套函数的零点
对于判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时,可采用换元法,先令g(x)=t,求解当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数,即为f(g(x))的零点个数.解答时注意数形结合,侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析.
类型一 嵌套函数零点的个数问题
[典例1] (2025·山东济宁模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)－1)的零点个数是( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
【答案】 D
【解析】 由已知f(f(x)－1)=0,令f(x)－1=t,即f(t)=0,当时,得t1=0或t2=2,
当时,明显函数g(t)=ln(－t)+在(－∞,0)上单调递减,
且g(－1)=－1<0,g(－2)=ln 2－=ln 2－ln>0,g(－1)g(－2)<0,故存在t3∈(－2,－1),
使ln(－t3)+=0,画出f(x)=的图象如图,再画出直线y=t+1,
其中t∈{0,2,t3},
观察图象可得交点个数为5,即函数y=f(f(x)－1)的零点个数是5.故选D.
嵌套函数零点个数的求解步骤
(1)换元解套.
(2)依次解方程.
抓住两点:①转化换元;②充分利用函数的图象与求解过程中的性质.
[拓展演练1] (2025·四川成都模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上的解析式为f(x)=则关于x的方程[f(x)]2+af(x)－1=0的解的个数可能为( )
[A] 2或4或5或6 [B] 2或4或6
[C] 4 [D] 6
【答案】 C
【解析】 由题目给出的f(x)的解析式和奇偶性可得f(x)的图象如图,令t=f(x),则原方程可化为t2+at－1=0,其判别式Δ=a2+4>0,故该方程有两个不相等的非零实根t1,t2,且t1t2=－1,不妨设t1>t2.
①若t1>1时,t1=f(x)有1个解,此时－1类型二 由嵌套函数的零点个数求参数的取值范围
[典例2] (2025·陕西西安模拟)f(x)=若y=f(f(x)+1)－k有两个零点,则k的取值范围是 .
【答案】 [,)
【解析】 易知函数y=ex在R上为增函数,函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以当x≤0时,10时,>0,于是函数f(x)的值域为(0,+∞),又函数f(x)在(－∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,函数图象如图所示.
设t=f(x)+1,由f(x)>0,可知t>1,则f(t)=.因为y=f(f(x)+1)－k有两个零点,所以f(t)－k=0,即=k,于是t=>1,则方程t=f(x)+1=,即f(x)=－1有两个零点,所以由f(x)的图象可知,使方程f(x)=－1有两个零点,则满足解得≤k<.
综上所述,实数k的取值范围是[,).
含参数的嵌套函数方程,应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
[拓展演练2] (2025·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=(a+1)x2－bx+a,若函数f(x)有零点,且与函数y=f(f(x))的零点完全相同,则实数b的取值范围是 .
【答案】 (－4,0]
【解析】 设x0为函数f(x)的一个零点.因为函数f(x)与y=f(f(x))有相同的零点,所以f(f(x0))=f(0)=0,即a=0,所以f(x)=x2－bx.若b=0,则f(x)=x2与y=f(f(x))=f(x2)=x4有相同的零点0,满足题意;若b≠0,则f(x)=x2－bx=x(x－b)有2个零点,分别为0和b,所以y=f(f(x))也有2个零点0和b.又因为f(x)=0有2个零点,所以f(x)=b无实数解,即x2－bx=b无实数解,所以Δ=b2+4b<0,解得－4(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
函数零点个数、 函数零点所在区间 1,2,3,4,8,12
由函数零点个数 (区间)确定参数(范围) 5,7,14
函数零点的综合问题 6,9,10,11,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.设函数f(x)=2x+的零点为x0,则x0所在的区间为( )
[A] (－4,－2) [B] (－2,－1)
[C] (1,2) [D] (2,4)
【答案】 B
【解析】 因为y=2x与y=在R上均为增函数,所以f(x)=2x+在R上为增函数,又因为f(0)=1>0,f(－1)==>0,f(－2)==－<0,则f(－2)f(－1)<0,所以f(x)=2x+有唯一零点,在区间(－2,－1)内.故选B.
2.函数f(x)=的零点是( )
[A] (－1,0),(9,0) [B] －1,9
[C] (9,0) [D] 9
【答案】 B
【解析】 当x≤0时,f(x)=－1=0,解得x=－1;当x>0时,f(x)=log3x－2=0,解得x=9,所以函数f(x)的零点为－1,9.故选B.
3.(2025·广东惠州模拟)函数f(x)=|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为( )
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
【答案】 C
【解析】 由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y1=|x－2|(x>0),y2=ln x(x>0)的图象,如图所示.
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C.
4.(2025·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=()x－log2x,h(x)=x3+log2x的零点分别为a,b,c,则( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] b>c>a
【答案】 D
【解析】 令f(x)=2x+log2x=0,则log2x=－2x,令g(x)=()x－log2x=0,则log2x=()x,令h(x)=x3+log2x=0,可得log2x=－x3,如图可得b>c>a.
故选D.
5.(2025·天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+m,m∈R,若函数f(f(x))有且只有一个零点,则( )
[A] m>1 [B] m<0
[C] 0【答案】 C
【解析】 显然f(x)=0有解,因此Δ=4－4m≥0,m≤1,若m=1,则f(x)=x2+2x+1只有一个零点x=－1,但此时f(x)=－1无实解,f(f(x))无零点,所以m<1,f(x)=(x+1)2+m－1,f(x)min=m－1,由f(x)=0得x=－1±,由题意－1+=m－1,所以m=>0,解得m=(m=舍去),所以当m=时f(f(x))只有一个零点,它只满足C.故选C.
6.(2025·广东揭阳模拟)函数f(x)=ln+x－1的所有零点之和为( )
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
【答案】 D
【解析】 由f(x)=0得,ln=1－x,x<0或x>2,令g(x)=ln,y=1－x,因为g(x)+g(2－x)=ln+ln=ln 1=0,所以函数g(x)=ln的图象关于点(1,0)对称,又因为y=1－x的图象关于点(1,0)对称,如图所示,两个函数图象有两个公共点,横坐标依次为x1,x2,这两个交点关于点(1,0)对称,所以x1+x2=2.故选D.
7.(5分)(2025·天津模拟)已知函数f(x)=x3－ax2－|x－a|有3个零点,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (－∞,－1)
【解析】 显然a是函数f(x)=x3－ax2－|x－a|的一个零点,当xa时,f(x)=x3－ax2－x+a=(x－a)(x2－1),由x2－1=0,得x=±1,因为函数f(x)有3个零点,必有a<－1,所以实数a的取值范围为(－∞,－1).
8.(14分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=－,3a>2c>2b.求证:
(1)a>0,且－3<<－;
(2)函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
【证明】 (1)因为f(1)=a+b+c=－,
所以c=－a－b.
因为3a>2c=－3a－2b,所以3a>－b.
因为2c>2b,所以－3a>4b.
若a>0,则－3<<－;
若a=0,则0>－b,0>b,不成立;
若a<0,则<－3,>－,不成立.
综上,a>0,且－3<<－.
(2)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,f(1)=－.
当c>0时,f(0)>0,f(1)<0,
所以f(x)在(0,2)内至少有一个零点;
当c=0时,f(0)=0,f(1)<0,f(2)=4a+2b=a>0,
所以f(x)在(0,2)内至少有一个零点;
当c<0时,f(0)<0,
f(1)=－<0,b=－a－c,
3a>2c>3c,a－c>0,
f(2)=4a－3a－2c+c=a－c>0,
所以f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
综上,函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
9.(2025·河北保定模拟)已知函数f(x)=若方程f(x)=a(a∈R)有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1[A] [－4,－2) [B] [－4,－2]
[C] (－4,－2) [D] (－4,－2]
【答案】 A
【解析】 由题意作函数y=f(x)=与y=a的图象如图,
因为方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x110.已知x1是函数f(x)=xln x－2 024的一个零点,x2是函数g(x)=xex－2 024的一个零点,则x1x2的值为( )
[A] 1 012 [B] 2 024
[C] 4 048 [D] 8 096
【答案】 B
【解析】 由f(x1)=x1ln x1－2 024=0得ln x1=,由g(x2)=x2－2 024=0得=,故x1可以看作y=ln x与y=的图象交点横坐标,x2可以看作y=ex与y=的图象交点横坐标,设点A的坐标为(x1,),点B的坐标为(x2,),又y=ln x与y=ex的图象关于直线y=x对称,且y=的图象也关于直线y=x对称,则点A,B关于直线y=x对称,即kAB==－=－1,得x1x2=2 024.故选B.
11.(2025·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)=|log2|1－x||,若函数g(x)=[f(x)]2+af(x)+2b有6个不同的零点,且最小的零点为x=－1,则2a+b等于( )
[A] 6 [B] －2 [C] 2 [D] －6
【答案】 B
【解析】 由函数y=log2x的图象,经过翻折变换,可得函数y=log2|x|的图象,
所得图象再向右平移1个单位长度,可得y=log2|x－1|=log2|1－x|的图象,
再次经过翻折变换,可得y=|log2|1－x||的图象,如图.
则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
因为函数g(x)=[f(x)]2+af(x)+2b的最小的零点为x=－1,且f(－1)=1,
又当f(x)=1时,方程g(x)=0有4个零点,
所以要使函数g(x)=[f(x)]2+af(x)+2b有6个不同的零点,且最小的零点为x=－1,则f(x)=0或 f(x)=1,令t=f(x),
所以关于t的方程t2+at+2b=0的两个实数根分别为0,1.
所以由根与系数的关系可得a=－1,b=0,2a+b=－2.故选B.
12.(5分)(2025·河北张家口模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数,f(x－1)为奇函数,且当x∈(－1,1]时,f(x)=|x|.当x∈[0,8]时,函数g(x)=()x与f(x)图象的交点个数为 .
【答案】 4
【解析】 因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数,f(x－1)为奇函数,
所以f(1－x)=f(1+x),f(－x－1)=－f(x－1),则f(x)的图象关于直线x=1对称,
也关于点(－1,0)对称,所以f(－x)=f(x+2),f(－x)=－f(x－2),故有f(x+2)=－f(x－2),
则f(x+4)=－f(x),从而f(x+8)=－f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为8的周期函数.
根据函数的对称性和周期性,可以画出函数f(x)和g(x)=()x在[0,8]上的图象(如图).
由图可知g(x)=()x与f(x)的图象在[0,8]上有4个交点.
13.(5分)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则函数
F(x)=f(x)－的所有零点之和为 .
【答案】
【解析】 由题意,作出函数f(x)在[0,+∞)上的图象,再由奇函数关于原点对称作出f(x)在
(－∞,0)上的图象如图所示,设函数y=f(x)的图象与直线y=的交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4,x5,由图象的对称性可知,x1+x2=－6,x4+x5=6,x1+x2+x4+x5=0,可求得x∈(－1,0)时,f(x)=+2,令+2=,解得x3=,所以函数F(x)=f(x)－的所有零点之和为.
14.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x－2)+f(－x)=0.
(1)证明:函数f(x)是周期函数.
(2)当x∈[0,2]时,f(x)=1－x.若g(x)=f(x)－a|x|恰有14个零点,求实数a的取值范围.
(1)【证明】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(－x)=f(x).
因为f(x－2)+f(－x)=0,所以f(－x)=f(x)=－f(x－2),则f(x+2)=－f(x),
所以f((x+2)+2)=－f(x+2)=f(x),
故函数f(x)是周期函数,且周期为4.
(2)【解】 当x∈[－2,0)时,x+2∈[0,2),
则f(x+2)=1－(x+2)=－1－x,
由(1)知f(x)=－f(x+2),所以f(x)=x+1,
即当x∈[－2,0)时,f(x)=x+1.
因为函数g(x)的零点个数就是函数f(x)的图象与函数y=a|x|的图象交点的个数,且函数f(x)与函数y=a|x|均为偶函数,所以当x>0时,g(x)恰有7个零点,即当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=ax的图象有7个交点.
结合图象可知,当a>0时,12a<1<16a,解得当a<0时,14a=－1,解得a=－.
综上可知,实数a的取值范围是(,)∪{－}.
15.(多选题)(2025·浙江湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,且方程f(g(x))=x有实数解,则下列式子中可以为g(f(x))的是( )
[A] x2+2x [B] x+1
[C] ecos x [D] ln(|x|+1)
【答案】 ACD
【解析】 由方程f(g(x))=x有实数解得g(f(g(x)))=g(x),再用x替代g(x),即x=g(f(x))有实数解.
对于A,x=x2+2x,即x2+x=0,方程有实数解,故A正确;
对于B,x=x+1,即0=1,方程无实数解,故B错误;
对于C,当ecos x=x时,
令h(x)=ecos x－x,
因为h(0)=e>0,h()=1－<0,
由函数零点存在定理可知,h(x)在(0,)上存在零点,所以方程有实数解,故C正确;
对于D,当ln(|x|+1)=x时,x=0为方程的解,所以方程有实数解,故D正确.
故选ACD.
16.(5分)已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α－β|【答案】 (,]
【解析】 由题意可知f(2)=0,且f(x)在R上单调递减,
所以函数f(x)只有一个零点2,
由|2－β|<1,得1<β<3,
所以函数g(x)=x2－aex在区间(1,3)上存在零点.
由g(x)=x2－aex=0,得a=.
令h(x)=,x∈(1,3),
则h'(x)==,
所以h(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减,
且h(1)=,
h(2)=,
h(3)=>,
所以要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点,
只需a∈(,].
(
第
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第8节 函数与方程
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.
[课程标准要求]
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x) 函数y=f(x)的图象与x轴 .
f(x)=0
有零点
有公共点
释疑
(1)函数的零点不是一个点,而是一个实数,该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)函数的零点可分为变号零点(零点两侧的函数值异号)与不变号零点(零点两侧的函数值同号)两类.
知识梳理
2.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得
,这个c也就是方程f(x)=0的解.
f(a)f(b)<0
(a,b)
f(c)=0
由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x) 在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
释疑
3.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
知识梳理
f(a)f(b)<0
一分为二
零点
用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号.
释疑
知识梳理
4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
重要结论
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别地,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点.
对点自测
1.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为( )
B
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
对点自测
【解析】 由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)的零点个数至少为3.故选B.
B
对点自测
对点自测
D
对点自测
对点自测
C
C
对点自测
对点自测
5.(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)若函数y=ax2－2x+1只有一个零点,则实数a的值为 .
0或1
【解析】 当a=0时,y=－2x+1,有唯一零点;
当a≠0 时,由题意可得Δ=4－4a=0,解得a=1.
综上,实数a的值为0或1.
考点一 判断函数零点所在的区间
1.(2025·浙江宁波模拟)函数f(x)=2x+x3－9的零点所在区间为( )
[A] (0,1) [B] (1,2) [C] (2,3) [D] (3,4)
B
【解析】 由已知得f(x)为增函数,且f(1)=2+1－9=－6<0,f(2)=4+8－9=3>0,根据函数零点存在定理,函数f(x)在区间(1,2)内有零点,且零点是唯一的.故选B.
2.若a[A] (a,b)和(b,c)内
[B] (－∞,a)和(a,b)内
[C] (b,c)和(c,+∞)内
[D] (－∞,a)和(c,+∞)内
A
【解析】 函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数,最多有两个零点,
由于a因此f(a)=(a－b)(a－c)>0,f(b)=(b－c)(b－a)<0,f(c)=(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.
故选A.
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
B
[A] 为正数 [B] 为负数
[C] 等于0 [D] 无法确定正负
B
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
题后悟通
考点二 确定函数零点的个数
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
C
B
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【解析】 (2)法一(直接法) 由y=f(x)－3=0得 f(x)=3.
当x>0时,得ln x=3或ln x=－3,解得x=e3或x=e－3;
当x≤0时,得－2x(x+2)=3,无解.
所以函数y=f(x)－3的零点个数是2.故选B.
法二(图象法) 作出函数f(x)的图象,如图,函数y=f(x)－3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线 y=3有2个交点,故函数y=f(x)－3的零点个数是2.故选B.
解题策略
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出原函数的零点个数.
B
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
【解析】 (1)由f(x)－2|x|=0可得f(x)=2|x|,则方程f(x)－2|x|=0的解的个数等于函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象交点的个数,作出函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知,函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点,即方程f(x)－2|x|=0的解的个数为1.故选B.
9
考点三 函数零点的应用
角度1 根据零点的个数求参数
(－5,－4)
由图可知,当a∈(－5,－4]时,直线y=a与函数g(x)的图象有3个交点,
从而f(x)有3个零点,但x2－4x－a>0对x>0恒成立,则a<－4,故a∈(－5,－4).
解题策略
已知函数零点个数求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)形如g(x)=f(x)－m的含参数函数的零点问题可转化为f(x)=m求解.
(2)根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题,若能够将参数分离,则常分离参数后求解,若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出,则作出函数图象后利用数形结合思想求解.
角度2 根据零点的范围求参数
[例3] (2025·山西阳泉模拟)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)内存在零点,则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞,－5) [B] (－5,－1)
[C] (1,5) [D] (5,+∞)
B
解题策略
由函数零点所在区间求参数的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式
(组)确定参数的取值范围
分离参数法 先将参数分离,然后将原问题转化成求函数值域的问题加以
解决
解题策略
数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形,转化为图象易得的函数与一个含参数的函数的差,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质
求解
角度3 求函数零点之和
[例4] (2025·四川泸州模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(x－2),当x∈[－2,2]时,函数f(x)=4－x2,设函数g(x)=e－|x－2|(－2f(x)－g(x)=0的所有实数根之和为( )
[A] 5 [B] 6 [C] 7 [D] 8
D
又当x∈[－2,2]时,函数f(x)=4－x2,所以f(－2)=f(2)=0,则f(6)=f(2)=0,
令f(x)－g(x)=0,即f(x)=g(x),
在同一平面直角坐标系中画出y=g(x)与y=f(x)(x∈[－2,6])的图象如图所示.由图可得y=g(x)与y=f(x)(x∈[－2,6])有4个交点,
设交点横坐标分别为x1,x2,x3,x4,
则x1+x4=4,x3+x2=4,
所以方程f(x)－g(x)=0的所有实数根之和为x1+x2+x3+x4=8.故选D.
解题策略
求函数的多个零点(或方程的根或直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数图象本身关于点的对称、直线的对称等)求和.
B
[针对训练]
[A] (0,3) [B] (1,3)
[C] (1,2) [D] [2,+∞)
A
(1)若函数g(x)无零点,则a的取值范围为 ;
(－∞,0)
(1)函数g(x)=f(x)－a无零点,即f(x)－a=0无解,
即y=f(x)与y=a的图象无交点,所以a<0.
(2)若函数g(x)有4个零点xi(i=1,2,3,4),则x1+x2+x3+x4= .
－2
(2)函数g(x)有4个零点,即f(x)－a=0有4个根,
即y=f(x)与y=a的图象有4个交点,
因为(x1,0),(x4,0)关于直线x=－1对称,
所以x1+x4=－2,
(x2,0),(x3,0)关于直线x=0对称,所以x2+x3=0,
所以x1+x2+x3+x4=－2.
微点培优5 嵌套函数的零点
知识链接
对于判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时,可采用换元法,先令g(x)=t,求解当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数,即为f(g(x))的零点个数.解答时注意数形结合,侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析.
题型演绎
类型一 嵌套函数零点的个数问题
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
D
观察图象可得交点个数为5,即函数y=f(f(x)－1)的零点个数是5.故选D.
反思归纳
嵌套函数零点个数的求解步骤
(1)换元解套.
(2)依次解方程.
抓住两点:①转化换元;②充分利用函数的图象与求解过程中的性质.
[A] 2或4或5或6 [B] 2或4或6
[C] 4 [D] 6
C
【解析】 由题目给出的f(x)的解析式和奇偶性可得f(x)的图象如图,
令t=f(x),则原方程可化为t2+at－1=0,其判别式Δ=a2+4>0,
故该方程有两个不相等的非零实根t1,t2,且t1t2=－1,不妨设t1>t2.
①若t1>1时,t1=f(x)有1个解,此时－14个解;③若0类型二 由嵌套函数的零点个数求参数的取值范围
反思归纳
含参数的嵌套函数方程,应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
[拓展演练2] (2025·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=(a+1)x2－bx+a,若函数f(x)有零点,且与函数y=f(f(x))的零点完全相同,则实数b的取值范围是 .
(－4,0]
【解析】 设x0为函数f(x)的一个零点.因为函数f(x)与y=f(f(x))有相同的零点,所以f(f(x0))=f(0)=0,即a=0,所以f(x)=x2－bx.
若b=0,则f(x)=x2与y=f(f(x))=f(x2)=x4有相同的零点0,满足题意;
若b≠0,则f(x)=x2－bx=x(x－b)有2个零点,
分别为0和b,所以y=f(f(x))也有2个零点0和b.
又因为f(x)=0有2个零点,所以f(x)=b无实数解,即x2－bx=b无实数解,
所以Δ=b2+4b<0,解得－4课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
函数零点个数、函数零点所在区间 1,2,3,4,8,12
由函数零点个数(区间)确定参数(范围) 5,7,14
函数零点的综合问题 6,9,10,11,13,15,16
基础巩固练
B
[A] (－4,－2) [B] (－2,－1)
[C] (1,2) [D] (2,4)
[A] (－1,0),(9,0) [B] －1,9
[C] (9,0) [D] 9
B
3.(2025·广东惠州模拟)函数f(x)=|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为
( )
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
C
【解析】 由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),
在同一直角坐标系中画出函数y1=|x－2|(x>0),y2=ln x(x>0)的图象,
如图所示.
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
故选C.
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] b>c>a
D
5.(2025·天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+m,m∈R,若函数f(f(x))有且只有一个零点,则( )
[A] m>1 [B] m<0
[C] 0C
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
D
7.(5分)(2025·天津模拟)已知函数f(x)=x3－ax2－|x－a|有3个零点,则实数a的取值范围为 .
(－∞,－1)
【解析】 显然a是函数f(x)=x3－ax2－|x－a|的一个零点,
当x当x>a时,f(x)=x3－ax2－x+a=(x－a)(x2－1),由x2－1=0,得x=±1,
因为函数f(x)有3个零点,必有a<－1,所以实数a的取值范围为(－∞,－1).
(2)函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
综合运用练
[A] [－4,－2) [B] [－4,－2]
[C] (－4,－2) [D] (－4,－2]
A
10.已知x1是函数f(x)=xln x－2 024的一个零点,x2是函数g(x)=xex－2 024的一个零点,则x1x2的值为( )
[A] 1 012 [B] 2 024
[C] 4 048 [D] 8 096
B
11.(2025·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)=|log2|1－x||,若函数g(x)=[f(x)]2+af(x)+2b有6个不同的零点,且最小的零点为x=－1,则2a+b等于( )
[A] 6 [B] －2
[C] 2 [D] －6
B
【解析】 由函数y=log2x的图象,经过翻折变换,可得函数y=log2|x|的图象,
所得图象再向右平移1个单位长度,可得y=log2|x－1|=log2|1－x|的图象,
再次经过翻折变换,可得y=|log2|1－x||的图象,如图.
则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
因为函数g(x)=[f(x)]2+af(x)+2b的最小的零点为x=－1,且f(－1)=1,
又当f(x)=1时,方程g(x)=0有4个零点,
所以要使函数g(x)=[f(x)]2+af(x)+2b有6个不同的零点,
且最小的零点为x=－1,则f(x)=0或 f(x)=1,令t=f(x),
所以关于t的方程t2+at+2b=0的两个实数根分别为0,1.
所以由根与系数的关系可得a=－1,b=0,2a+b=－2.故选B.
4
【解析】 因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数,f(x－1)为奇函数,所以f(1－x)=f(1+x),f(－x－1)=－f(x－1),则f(x)的图象关于直线x=1对称,也关于点(－1,0)对称,所以f(－x)=f(x+2),f(－x)=－f(x－2),故有f(x+2)=－f(x－2),则f(x+4)=－f(x),从而f(x+8)=－f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为8的周期函数.
14.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x－2)+f(－x)=0.
(1)证明:函数f(x)是周期函数.
(1)【证明】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(－x)=f(x).
因为f(x－2)+f(－x)=0,所以f(－x)=f(x)=－f(x－2),则f(x+2)=－f(x),
所以f((x+2)+2)=－f(x+2)=f(x),
故函数f(x)是周期函数,且周期为4.
(2)【解】 当x∈[－2,0)时,x+2∈[0,2),
则f(x+2)=1－(x+2)=－1－x,
由(1)知f(x)=－f(x+2),所以f(x)=x+1,
即当x∈[－2,0)时,f(x)=x+1.
14.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x－2)+f(－x)=0.
(2)当x∈[0,2]时,f(x)=1－x.若g(x)=f(x)－a|x|恰有14个零点,求实数a的取值
范围.
因为函数g(x)的零点个数就是函数f(x)的图象与函数y=a|x|的图象交点的个数,且函数f(x)与函数y=a|x|均为偶函数,所以当x>0时,g(x)恰有7个零点,
即当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=ax的图象有7个交点.
15.(多选题)(2025·浙江湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,且方程f(g(x))=x有实数解,则下列式子中可以为g(f(x))的是( )
[A] x2+2x [B] x+1
[C] ecos x [D] ln(|x|+1)
应用创新练
ACD
【解析】 由方程f(g(x))=x有实数解得g(f(g(x)))=g(x),再用x替代g(x),
即x=g(f(x))有实数解.
对于A,x=x2+2x,即x2+x=0,方程有实数解,故A正确;
对于B,x=x+1,即0=1,方程无实数解,故B错误;
对于C,当ecos x=x时,令h(x)=ecos x－x,
16.(5分)已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α－β|【解析】 由题意可知f(2)=0,且f(x)在R上单调递减,
所以函数f(x)只有一个零点2,
由|2－β|<1,得1<β<3,
所以函数g(x)=x2－aex在区间(1,3)上存在零点.