微课培优1 几类特殊函数
类型一 对勾函数、飘带函数
1.对勾函数y=ax+(a>0,b>0)
(1)性质.
①奇偶性:奇函数.
②单调性.
单调递增区间:(－∞,－),(,+∞);单调递减区间:(－,0),(0,).
③渐近线:y=ax和x=0.
(2)图象.
2.飘带函数y=ax－(a>0,b>0)
(1)性质.
①奇偶性:奇函数.
②单调性:在(－∞,0),(0,+∞)上单调递增.
③渐近线:x=0和y=ax.
(2)图象.
[典例1] 关于函数f(x)=ax－(ab≠0)有下列四个命题:
① a,b∈R,使f(x)的图象关于y轴对称.
② a,b∈R,都有f(x)的图象关于原点对称.
③ a,b∈R,使f(x)在(0,]上单调递减.
④若x<0, a,b∈R,使f(x)有最大值 －2.
其中真命题的序号是 .
解决对勾函数、飘带函数问题主要运用其图象及奇偶性、对称性、单调性等性质.
[拓展演练1] (2025·北京模拟)设a=t－,b=t+,c=t(2+t),其中－1
[A] b[C] b类型二 高斯函数、狄利克雷函数、最值函数
1.高斯函数y=[x]
(1)定义:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如[3.4]=3,[－2.1]=－3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y=[x]称为高斯函数,又称取整函数.
(2)性质.
①定义域:R;值域:Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象.
2.狄利克雷函数D(x)=
(1)定义域为R;值域为{0,1}.
(2)奇偶性:偶函数.
(3)周期性:以任意有理数为其周期,无最小正周期.
(4)无法画出函数的图象,但其图象客观存在.
3.最值函数
设min{a,b}=max{a,b}=
直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b的最小值,我们将其称为最小值函数,同样的,max{a,b}用来表示a,b的最大值,称作最大值函数.
[典例2] (1)(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[－1.08]=－2.定义函数f(x)=x－[x],则( )
[A] f(3)=1
[B]函数f(x)是周期函数
[C]方程f(x)=在x∈[0,1)上仅有一个解
[D]函数f(x)是增函数
(2)(多选题)(2025·山东济南模拟)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则下列关于函数f(x)的叙述,正确的是( )
[A]函数y=f(x)的图象是两条直线
[B] f(f(x))=1
[C] f()>f(1)
[D] x∈R,都有f(1－x)=f(2+x)
(3)(2025·四川成都模拟)已知f(x)=2x+1,g(x)=, x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为:M(x)=max{f(x),g(x)}.当x∈R时,函数M(x)的最小值为( )
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 4
这几类特殊的函数问题实质上都属于函数中的新定义问题,解题时需仔细理解题意,并与函数的性质相结合,同时注意其特殊性.
[拓展演练2] (1)数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)=它在现代数学的发展过程中有着重要意义,若函数f(x)=x2－D(x),则下列实数不属于函数f(x)的值域的是( )
[A] 3 [B] 2 [C] 1 [D] 0
(2)(2025·陕西宝鸡模拟)取整函数[x]表示不超过x的最大整数,如[1.2]=1,[3.9]=3,[－1.5]=－2,下列关于“取整函数”的命题中,为真命题的是( )
[A] x∈R,[2x]=2[x]
[B] x,y∈R,[x]=[y],则x－y≥1
[C] x∈R,[2x]=2[x]
[D] x,y∈R,[x+y]≤[x]+[y]
(3)函数f(x)=min{2,|x－2|},其中min{a,b}=若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1·x2·x3的最大值为( )
[A] 4 [B] 3 [C] 2 [D] 1
类型三 一次分式函数
我们把形如y=(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数.
其性质为
(1)定义域为{x|x≠－};值域为{y|y≠}.
(2)对称中心:(－,).
(3)渐近线方程:x=－和y=.
(4)单调性:当ad>bc时,函数在区间(－∞,－)和(－,+∞)上分别单调递减;当ad[典例3] 已知函数f(x)=,其中a∈R.
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1,3)成中心对称时,求a的值;
(2)若函数f(x)在(－1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
一次分式函数的图象是中心对称的双曲线,解决此类问题可先找出其对称中心,再由特殊点即可画出函数的大致图象,然后结合图象求解.
[拓展演练3] (2025·浙江余姚模拟)函数y=的值域是( )
[A] (－∞,0]∪[4,+∞)
[B] (－∞,0]∪[2,+∞)
[C] [0,4]
[D] [0,2]
(分值:85分)
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·山东青岛模拟)已知函数y=,x∈(m,n]的最小值为2,则m的取值范围是( )
[A] (1,2) [B] (－1,2)
[C] [1,2) [D] [－1,2)
2.(2025·江苏宿迁模拟)当x∈[2,5]时,函数y=的最小值为( )
[A] 2 [B] 2－1
[C] 3 [D] 4
3.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[－2.9]=－3,[3.9]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域是( )
[A] {0,1} [B] (0,2)
[C] (0,1) [D] {－1,0,1}
4.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
[A] f(x)的值域是{y|y≠4}
[B] f(x)图象的对称中心为(2,0)
[C] f(2 026)+f(－2 022)=8
[D] f(2 023)+f(－2 019)=8
5.(多选题)(2025·重庆沙坪坝模拟)德国数学家狄利克雷给出了著名函数:D(x)=后来人们称之为狄利克雷函数.一般地,广义狄利克雷函数可以定义为f(x)=
(其中a,b∈R,且a[A] x∈R都有D(f(x))=1
[B] 函数f(x)和D(x)均不存在最小正周期
[C] 函数D(f(x))和f(D(x))均为偶函数
[D] 存在三点A,B,C在D(x)的图象上,使得△ABC为正三角形,且这样的三角形有无数个
6.(多选题)已知函数f(x)=x－(a≠0),则下列说法正确的是( )
[A] 当a>0时,f(x)在定义域上单调递增
[B] 当a=－4时,f(x)的单调递增区间为(－∞,－2),(2,+∞)
[C] 当a=－4时,f(x)的值域为(－∞,－4]∪[4,+∞)
[D] 当a>0时,f(x)的值域为R
7.(多选题)(2025·湖北宜昌模拟)高斯是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[－2.1]=－3,[2.1]=2,则下列说法正确的是( )
[A] 函数y=x－[x]在区间[k,k+1)(k∈Z)上单调递增
[B] 若函数f(x)=,则y=[f(x)]的值域为{0}
[C] 若函数f(x)=||,则y=[f(x)]的值域为{0,1}
[D] x∈R,x≥[x]+1
8.(5分)函数y=在区间(－∞,－1)上单调递减,则实数a的取值范围是 .
9.(5分)定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x－3,6－x},则M的最小值为 .
10.(5分)(2025·福建泉州模拟)已知函数y=f(x+1)－3为奇函数,g(x)=,f(x)与g(x)的图象有8个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8),则(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8)－(x1+x2+x3+x4+x5+
x6+x7+x8)= .
11.(5分)对任意实数x,记[x]为不超过x的最大整数,并称函数y=[x]为高斯函数,又称取整函数.如下m个数:[],[],[],…,[]可组成一个72元集合,则正整数m的取值范围是 .
12.(13分)已知函数f(x)=|x－a|－+a,a∈R.
(1)若a=0,试判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)在[1,a]上单调,且对任意x∈[1,a],f(x)<－2恒成立,求a的取值范围;
(3)若x∈[1,6],当a∈(3,6)时,求f(x)的最大值的表达式M(a).
13.(13分)已知函数f(x)=max{－x2+2x,－x+1,x－2}.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥k|x|－1对任意x∈R恒成立,求k的取值范围.
微课培优1 几类特殊函数（解析版）
类型一 对勾函数、飘带函数
1.对勾函数y=ax+(a>0,b>0)
(1)性质.
①奇偶性:奇函数.
②单调性.
单调递增区间:(－∞,－),(,+∞);单调递减区间:(－,0),(0,).
③渐近线:y=ax和x=0.
(2)图象.
2.飘带函数y=ax－(a>0,b>0)
(1)性质.
①奇偶性:奇函数.
②单调性:在(－∞,0),(0,+∞)上单调递增.
③渐近线:x=0和y=ax.
(2)图象.
[典例1] 关于函数f(x)=ax－(ab≠0)有下列四个命题:
① a,b∈R,使f(x)的图象关于y轴对称.
② a,b∈R,都有f(x)的图象关于原点对称.
③ a,b∈R,使f(x)在(0,]上单调递减.
④若x<0, a,b∈R,使f(x)有最大值 －2.
其中真命题的序号是 .
【答案】 ②③④
【解析】 因为f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞),f(－x)=－ax+=－f(x),且ab≠0,故f(x)为奇函数,①错误,②正确;
当a>0,b<0时,由对勾函数的性质,可知f(x)=ax－在(0,]上单调递减,故③正确;又当x<0时,若a>0,b<0,则f(x)在x=－处取得最大值为a(－)－=－2,故④正确.
解决对勾函数、飘带函数问题主要运用其图象及奇偶性、对称性、单调性等性质.
[拓展演练1] (2025·北京模拟)设a=t－,b=t+,c=t(2+t),其中－1[A] b[C] b【答案】 C
【解析】 由飘带函数性质知a=t－>(－1)－()=0,由对勾函数性质可得
b=t+<－(1+1)=－2,
c=t(2+t)<0,且c=t·(2+t)=t2+2t=(t+1)2－1>－1,
综上所述,b类型二 高斯函数、狄利克雷函数、最值函数
1.高斯函数y=[x]
(1)定义:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如[3.4]=3,[－2.1]=－3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y=[x]称为高斯函数,又称取整函数.
(2)性质.
①定义域:R;值域:Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象.
2.狄利克雷函数D(x)=
(1)定义域为R;值域为{0,1}.
(2)奇偶性:偶函数.
(3)周期性:以任意有理数为其周期,无最小正周期.
(4)无法画出函数的图象,但其图象客观存在.
3.最值函数
设min{a,b}=max{a,b}=
直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b的最小值,我们将其称为最小值函数,同样的,max{a,b}用来表示a,b的最大值,称作最大值函数.
[典例2] (1)(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[－1.08]=－2.定义函数f(x)=x－[x],则( )
[A] f(3)=1
[B]函数f(x)是周期函数
[C]方程f(x)=在x∈[0,1)上仅有一个解
[D]函数f(x)是增函数
(2)(多选题)(2025·山东济南模拟)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则下列关于函数f(x)的叙述,正确的是( )
[A]函数y=f(x)的图象是两条直线
[B] f(f(x))=1
[C] f()>f(1)
[D] x∈R,都有f(1－x)=f(2+x)
(3)(2025·四川成都模拟)已知f(x)=2x+1,g(x)=, x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为:M(x)=max{f(x),g(x)}.当x∈R时,函数M(x)的最小值为( )
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 4
【答案】 (1)BC (2)BD (3)B
【解析】 (1)由题意知f(x)=
画出分段函数的图象,如图所示.
对于A,由定义可得f(3)=3－[3]=3－3=0,故A不正确;对于B,由图象可知函数f(x)为周期函数,故B正确;对于C,函数y=f(x)与y=的图象在x∈[0,1)上有一个交点,即方程f(x)=在x∈[0,1)上仅有一个解,故C正确;对于D,由图象可知f(0)=f(1),所以函数f(x)不是增函数,故D不正确.故选BC.
(2)对于A,函数y=f(x)的图象是断续的点集,不是两条直线,A错误;
对于B,当x为有理数时,f(x)=1,
所以f(f(x))=f(1)=1,
当x为无理数时,f(x)=0,f(f(x))=f(0)=1,B正确;
对于C,f()=0,f(1)=1,
所以f(1)>f(),C错误;
对于D,由题意,函数f(x)的定义域为R,
且f(－x)=f(x),所以f(x)为偶函数,
若x是有理数,则x+T也是有理数;
若x是无理数,则x+T也是无理数,其中T为任意有理数;
所以根据函数的表达式,可知任取一个有理数T,
f(x+T)=f(x)对 x∈R恒成立,
故f(x+2)=f(x)=f(－x)=f(1－x),
所以 x∈R,都有f(1－x)=f(2+x),D正确.故选BD.
(3)已知函数y=2x在R上单调递增,若x+1≥(x+1)2,则－1≤x≤0;
若x+1<(x+1)2,则x>0或x<－1.故当－1≤x≤0时,2x+1≥,即f(x)≥g(x);
当x>0或x<－1时,<,
即f(x)综上,M(x)=
当x<－1时,易知函数y=2u(u为自变量)在R上单调递增,函数u=(x+1)2在(－∞,－1)上单调递减,
所以M(x)=在(－∞,－1)上单调递减,又=1,所以此时M(x)>1.
当－1≤x≤0时,函数y=2u(u为自变量)在R上单调递增,函数u=x+1在[－1,0]上单调递增,所以M(x)=2x+1在[－1,0]上单调递增,
故此时M(x)≥M(－1)=2－1+1=1.
当x>0时,函数y=2u(u为自变量)在R上单调递增,函数u=(x+1)2在(0,+∞)上单调递增,所以M(x)=在(0,+∞)上单调递增,又=2,所以此时M(x)>2.
综上,M(x)的最小值为M(－1)=1.故选B.
这几类特殊的函数问题实质上都属于函数中的新定义问题,解题时需仔细理解题意,并与函数的性质相结合,同时注意其特殊性.
[拓展演练2] (1)数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)=它在现代数学的发展过程中有着重要意义,若函数f(x)=x2－D(x),则下列实数不属于函数f(x)的值域的是( )
[A] 3 [B] 2 [C] 1 [D] 0
(2)(2025·陕西宝鸡模拟)取整函数[x]表示不超过x的最大整数,如[1.2]=1,[3.9]=3,[－1.5]=－2,下列关于“取整函数”的命题中,为真命题的是( )
[A] x∈R,[2x]=2[x]
[B] x,y∈R,[x]=[y],则x－y≥1
[C] x∈R,[2x]=2[x]
[D] x,y∈R,[x+y]≤[x]+[y]
(3)函数f(x)=min{2,|x－2|},其中min{a,b}=若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1·x2·x3的最大值为( )
[A] 4 [B] 3 [C] 2 [D] 1
【答案】 (1)C (2)C (3)D
【解析】 (1)由题意可知f(x)=x2－D(x)=
所以f(1)=12－1=0,f()==2,f()==3,而f(x)=1无解.故选C.
(2)当x=1.5时,[2x]=[3]=3,但2[x]=2[1.5]=2×1=2,故A为假命题;
设[x]=[y]=k∈Z,
则k≤x所以x－y<1,故B为假命题;
当x=2时,[2x]=[4]=4=2[2]=2[x],故C为真命题;
当x=0.5,y=0.6时,有[x]+[y]=0,
但[x+y]=[1.1]=1>[x]+[y],故D为假命题.故选C.
(3)作出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,由得(x－2)2=(2)2(0≤x≤2),得x=4－2,因此,A(4－2,2－2),由图知,y=m与y=f(x)图象有三个交点,则0由|x2－2|=2－x2=m,得x2=2－m,2－m>0,
由|x3－2|=x3－2=m,得x3=m+2,m+2>2,
所以x1·x2·x3=·(2－m)·(2+m)=m2(4－m2)≤()2=1,当且仅当m2=4－m2,即m=时,等号成立.故选D.
类型三 一次分式函数
我们把形如y=(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数.
其性质为
(1)定义域为{x|x≠－};值域为{y|y≠}.
(2)对称中心:(－,).
(3)渐近线方程:x=－和y=.
(4)单调性:当ad>bc时,函数在区间(－∞,－)和(－,+∞)上分别单调递减;当ad[典例3] 已知函数f(x)=,其中a∈R.
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1,3)成中心对称时,求a的值;
(2)若函数f(x)在(－1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
【解】 (1)f(x)===a+,
所以f(x)图象的对称中心为点(－1,a),
由题意得a=3.
(2)由f(x)=知直线x=－1为f(x)的一条渐近线,又由一次分式函数的性质知,
当且仅当1·(2－a)>1·a,
即a<1时,f(x)在(－1,+∞)上单调递减,
故a的取值范围是(－∞,1).
一次分式函数的图象是中心对称的双曲线,解决此类问题可先找出其对称中心,再由特殊点即可画出函数的大致图象,然后结合图象求解.
[拓展演练3] (2025·浙江余姚模拟)函数y=的值域是( )
[A] (－∞,0]∪[4,+∞)
[B] (－∞,0]∪[2,+∞)
[C] [0,4]
[D] [0,2]
【答案】 B
【解析】 令cos x=t,则t∈[－1,)∪(,1],则y===+·,可得2t－1∈[－3,0)∪(0,1],∈(－∞,－]∪[1,+∞),
·∈(－∞,－]∪[,+∞),
所以y∈(－∞,0]∪[2,+∞).
故选B.
(分值:85分)
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·山东青岛模拟)已知函数y=,x∈(m,n]的最小值为2,则m的取值范围是( )
[A] (1,2) [B] (－1,2)
[C] [1,2) [D] [－1,2)
【答案】 D
【解析】 y=中,a=1,b=1,c=1,d=4,1×4>1×1,所以y=在(－∞,－1)上单调递减,且y<1;在(－1,+∞)上单调递减,且y>1,又x=2时,y=2,所以要使y=,x∈(m,n]的最小值为2,则n=2,且－1≤m<2,即m的取值范围是[－1,2).故选D.
2.(2025·江苏宿迁模拟)当x∈[2,5]时,函数y=的最小值为( )
[A] 2 [B] 2－1
[C] 3 [D] 4
【答案】 C
【解析】 y==+x=(1+x)+－1,令1+x=t,因为x∈[2,5],所以t∈[3,6],则y=t+－1,由于函数y=x+在区间[,+∞)上单调递增,所以函数y=t+－1在区间[3,6]上单调递增,
因此函数在t=3时取得最小值3+－1=3.故选C.
3.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[－2.9]=－3,[3.9]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域是( )
[A] {0,1} [B] (0,2)
[C] (0,1) [D] {－1,0,1}
【答案】 A
【解析】 法一 因为f(x)===2－∈(0,2),所以当f(x)∈(0,1)时,y=[f(x)]=0;当f(x)∈[1,2)时,y=[f(x)]=1.所以函数y=[f(x)]的值域是{0,1}.故选A.
法二 因为y=[f(x)]不可能为小数,所以排除B,C;又2x>0,所以f(x)=>0,
所以y=[f(x)]≠－1,排除D.
故选A.
4.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
[A] f(x)的值域是{y|y≠4}
[B] f(x)图象的对称中心为(2,0)
[C] f(2 026)+f(－2 022)=8
[D] f(2 023)+f(－2 019)=8
【答案】 ACD
【解析】 一次分式函数中,a=1,b=－2,c=4,d=1,则定义域为{x|x≠2},值域为{y|y≠4},点(2,4)是f(x)图象的对称中心,因此f(x)+f(4－x)=8,则f(2 026)+f(－2 022)=f(2 023)+f(－2 019)=8,综上,A,C,D正确,B错误.故选ACD.
5.(多选题)(2025·重庆沙坪坝模拟)德国数学家狄利克雷给出了著名函数:D(x)=后来人们称之为狄利克雷函数.一般地,广义狄利克雷函数可以定义为f(x)=
(其中a,b∈R,且a[A] x∈R都有D(f(x))=1
[B] 函数f(x)和D(x)均不存在最小正周期
[C] 函数D(f(x))和f(D(x))均为偶函数
[D] 存在三点A,B,C在D(x)的图象上,使得△ABC为正三角形,且这样的三角形有无数个
【答案】 BCD
【解析】 由于f(x)=(其中a,b∈R,且 a设T为非零的有理数,若x是有理数,则x+T也是有理数; 若x是无理数,则x+T也是无理数,根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,D(x+T)=D(x)对x∈R恒成立,即函数f(x)和D(x)均为周期函数,但不存在最小正周期,故B正确;
x∈R,则D(f(－x))=D(f(x)),所以D(f(x))为偶函数,又f(D(－x))=f(D(x)),所以f(D(x))为偶函数,故C正确;
取A(－,0),B(0,1),C(,0),则△ABC为等边三角形,将这个三角形左右平行移动,即只需要高为1,边长为的三角形均可以,所以这样的三角形有无数个,故D正确.故选BCD.
6.(多选题)已知函数f(x)=x－(a≠0),则下列说法正确的是( )
[A] 当a>0时,f(x)在定义域上单调递增
[B] 当a=－4时,f(x)的单调递增区间为(－∞,－2),(2,+∞)
[C] 当a=－4时,f(x)的值域为(－∞,－4]∪[4,+∞)
[D] 当a>0时,f(x)的值域为R
【答案】 BCD
【解析】 当a>0时,f(x)=x－的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞),
则f(x)在(－∞,0),(0,+∞)上单调递增,
当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→－∞时,f(x)→－∞,故f(x)的值域为R,故A错误,D正确;
当a=－4时,f(x)=x+为对勾函数,
其单调递增区间为(－∞,－2),(2,+∞),故B正确;
当x>0时,x+≥2=4,
当且仅当x=2时,等号成立,
当x<0时,x+=－[(－x)+(－)]≤－2=－4,
当且仅当x=－2时,等号成立,故f(x)的值域为(－∞,－4]∪[4,+∞),故C正确.故选BCD.
7.(多选题)(2025·湖北宜昌模拟)高斯是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[－2.1]=－3,[2.1]=2,则下列说法正确的是( )
[A] 函数y=x－[x]在区间[k,k+1)(k∈Z)上单调递增
[B] 若函数f(x)=,则y=[f(x)]的值域为{0}
[C] 若函数f(x)=||,则y=[f(x)]的值域为{0,1}
[D] x∈R,x≥[x]+1
【答案】 AC
【解析】 对于A,x∈[k,k+1),k∈Z,有[x]=k,则函数y=x－[x]=x－k在[k,k+1)上单调递增,故A正确;
对于B,f()==－∈(－1,0),
[f()]=－1,故B不正确;
对于C,f(x)===,
当0≤|cos 2x|≤时,1≤2－2|cos 2x|≤2,
1≤f(x)≤,有[f(x)]=1,
当<|cos 2x|≤1时,
0≤2－2|cos 2x|<1,
0≤f(x)<1,有[f(x)]=0,
所以y=[f(x)]的值域为{0,1},故C正确;
对于D,
当x=2时,[x]+1=3,
有2<[2]+1,故D不正确.
故选AC.
8.(5分)函数y=在区间(－∞,－1)上单调递减,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (－∞,－)
【解析】 法一 因为y===2a－.
又因为y=在(－∞,－1)上单调递减,
所以2a+1<0,所以a<－.
法二 因为y==2a－,
所以y′=,
又因为y=在(－∞,－1)上单调递减,所以2a+1<0,所以a<－.
9.(5分)定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x－3,6－x},则M的最小值为 .
【答案】 4
【解析】 函数M=max{2x,2x－3,6－x}的图象如图中的实线部分所示,
由图可知,函数M在A处取得最小值,最小值为22=6－2=4,故M的最小值为4.
10.(5分)(2025·福建泉州模拟)已知函数y=f(x+1)－3为奇函数,g(x)=,f(x)与g(x)的图象有8个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8),则(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8)－(x1+x2+x3+x4+x5+
x6+x7+x8)= .
【答案】 16
【解析】 因为y=f(x+1)－3为奇函数,所以其图象关于原点对称,因此f(x)的图象关于点(1,3)对称.
又因为g(x)==3+,
所以g(x)的图象也关于点(1,3)对称.
依题意有x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=4×(1×2)=8,
y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8=4×(2×3)=24,
故(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8)－(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)
=24－8=16.
11.(5分)对任意实数x,记[x]为不超过x的最大整数,并称函数y=[x]为高斯函数,又称取整函数.如下m个数:[],[],[],…,[]可组成一个72元集合,则正整数m的取值范围是 .
【答案】 {m|107≤m≤112,m∈N*}
【解析】 因为[]=[]+1,
所以[],[],[],…,[]可组成一个72元集合,进而可转化为[],[],[],[],…,[]可组成一个72元集合.
令≥1,得n≤44,n∈N*,
故[],[],[],[],…,[]各不相同,共有45个数,
而[]=45,[]=44,
72－45=27,44－27+1=18,故[]=18,
故18≤<19,故又≈106.6,≈112.6,
所以107≤m≤112,m∈N*.
12.(13分)已知函数f(x)=|x－a|－+a,a∈R.
(1)若a=0,试判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)在[1,a]上单调,且对任意x∈[1,a],f(x)<－2恒成立,求a的取值范围;
(3)若x∈[1,6],当a∈(3,6)时,求f(x)的最大值的表达式M(a).
【解】 (1)当a=0时,f(x)=|x|－(x≠0),
f(－x)=|x|+≠f(x),f(－x)≠－f(x),
所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)当x∈[1,a]时,f(x)=－x－+2a,
因为f(x)在[1,a]上单调,
所以1此时f(x)在[1,a]上单调递增,
f(x)max=f(a)=－+a,
由题意f(x)max=－+a<－2恒成立,
即a2+2a－9<0,所以－－1又1所以a的取值范围为(1,－1).
(3)当x∈[1,6]时,
f(x)=
又a∈(3,6),由上式知,f(x)在区间(a,6]上单调递增.
当a∈(3,6)时,f(x)在[1,3)上单调递增,在[3,a]上单调递减.
所以f(x)在[1,3)上单调递增,在[3,a]上单调递减,在(a,6]上单调递增,
则f(x)max=max{f(3),f(6)}=max{2a－6,}=
综上所述,f(x)的最大值的表达式为
M(a)=
13.(13分)已知函数f(x)=max{－x2+2x,－x+1,x－2}.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥k|x|－1对任意x∈R恒成立,求k的取值范围.
【解】 (1)在同一平面直角坐标系中,画出函数y=－x2+2x,y=－x+1,y=x－2的图象,如图(1)所示,
由－x2+2x=－x+1,解得x=或 x=;由－x2+2x=x－2,解得x=－1或 x=2.
由图象易得f(x)=
结合图象可知,当x=2时,f(x)取得最小值,
即f(x)min=f(2)=0.
(2)设g(x)=k|x|－1,则g(x)的图象恒过点 M(0,－1),因为f(x)min=f(2)=0,所以记 A(2,0),由(1)知,f(x)的图象如图(2)所示,
当k≤0时,g(x)=k|x|－1≤－1,即 g(x)max=－1,所以f(x)min>g(x)max,不等式恒成立.
当k>0时,易知直线AM的斜率kAM=,由图象可知,根据f(x)≥g(x)恒成立,
可得解得k≤,所以0综上所述,k的取值范围是(－∞,].
(
第
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微课培优1 几类特殊函数
题型演绎
类型一 对勾函数、飘带函数
(1)性质.
①奇偶性:奇函数.
②单调性.
③渐近线:y=ax和x=0.
(2)图象.
(1)性质.
①奇偶性:奇函数.
②单调性:在(－∞,0),(0,+∞)上单调递增.
③渐近线:x=0和y=ax.
(2)图象.
②③④
解决对勾函数、飘带函数问题主要运用其图象及奇偶性、对称性、单调性等性质.
反思归纳
C
[A] b[C] b类型二 高斯函数、狄利克雷函数、最值函数
1.高斯函数y=[x]
(1)定义:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如[3.4]=3,
[－2.1]=－3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y=[x]称为高斯函数,又称取整函数.
(2)性质.
①定义域:R;值域:Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象.
(1)定义域为R;值域为{0,1}.
(2)奇偶性:偶函数.
(3)周期性:以任意有理数为其周期,无最小正周期.
(4)无法画出函数的图象,但其图象客观存在.
3.最值函数
直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b的最小值,我们将其称为最小值函数,同样的,max{a,b}用来表示a,b的最大值,称作最大值函数.
[典例2] (1)(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,
[－1.08]=－2.定义函数f(x)=x－[x],则( )
[A] f(3)=1
[B]函数f(x)是周期函数
BC
BD
对于D,由题意,函数f(x)的定义域为R,
且f(－x)=f(x),所以f(x)为偶函数,
若x是有理数,则x+T也是有理数;
若x是无理数,则x+T也是无理数,其中T为任意有理数;
所以根据函数的表达式,可知任取一个有理数T,
f(x+T)=f(x)对 x∈R恒成立,
故f(x+2)=f(x)=f(－x)=f(1－x),
所以 x∈R,都有f(1－x)=f(2+x),D正确.故选BD.
B
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 4
这几类特殊的函数问题实质上都属于函数中的新定义问题,解题时需仔细理解题意,并与函数的性质相结合,同时注意其特殊性.
反思归纳
C
[A] 3 [B] 2 [C] 1 [D] 0
C
(2)(2025·陕西宝鸡模拟)取整函数[x]表示不超过x的最大整数,如[1.2]=1,
[3.9]=3,[－1.5]=－2,下列关于“取整函数”的命题中,为真命题的是( )
[A] x∈R,[2x]=2[x]
[B] x,y∈R,[x]=[y],则x－y≥1
[C] x∈R,[2x]=2[x]
[D] x,y∈R,[x+y]≤[x]+[y]
【解析】 (2)当x=1.5时,[2x]=[3]=3,但2[x]=2[1.5]=2×1=2,故A为假命题;
设[x]=[y]=k∈Z,
则k≤x所以x－y<1,故B为假命题;
当x=2时,[2x]=[4]=4=2[2]=2[x],故C为真命题;
当x=0.5,y=0.6时,有[x]+[y]=0,
但[x+y]=[1.1]=1>[x]+[y],故D为假命题.故选C.
D
[A] 4 [B] 3 [C] 2 [D] 1
类型三 一次分式函数
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1,3)成中心对称时,求a的值;
(2)若函数f(x)在(－1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
一次分式函数的图象是中心对称的双曲线,解决此类问题可先找出其对称中心,再由特殊点即可画出函数的大致图象,然后结合图象求解.
反思归纳
[A] (－∞,0]∪[4,+∞)
[B] (－∞,0]∪[2,+∞)
[C] [0,4]
[D] [0,2]
B
课时作业
(分值:85分)
[A] (1,2) [B] (－1,2)
[C] [1,2) [D] [－1,2)
D
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
C
A
[A] {0,1} [B] (0,2)
[C] (0,1) [D] {－1,0,1}
[A] f(x)的值域是{y|y≠4}
[B] f(x)图象的对称中心为(2,0)
[C] f(2 026)+f(－2 022)=8
[D] f(2 023)+f(－2 019)=8
ACD
【解析】 一次分式函数中,a=1,b=－2,c=4,d=1,则定义域为{x|x≠2},
值域为{y|y≠4},点(2,4)是f(x)图象的对称中心,因此f(x)+f(4－x)=8,
则f(2 026)+f(－2 022)=f(2 023)+f(－2 019)=8,综上,A,C,D正确,B错误.故选ACD.
[A] x∈R都有D(f(x))=1
[B] 函数f(x)和D(x)均不存在最小正周期
[C] 函数D(f(x))和f(D(x))均为偶函数
[D] 存在三点A,B,C在D(x)的图象上,使得△ABC为正三角形,且这样的三角形有无数个
BCD
[A] 当a>0时,f(x)在定义域上单调递增
[B] 当a=－4时,f(x)的单调递增区间为(－∞,－2),(2,+∞)
[C] 当a=－4时,f(x)的值域为(－∞,－4]∪[4,+∞)
[D] 当a>0时,f(x)的值域为R
BCD
7.(多选题)(2025·湖北宜昌模拟)高斯是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,
则y=[x]称为高斯函数,例如[－2.1]=－3,[2.1]=2,则下列说法正确的是( )
AC
4
9.(5分)定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x－3,6－x},则M的最小值为 .
【解析】 函数M=max{2x,2x－3,6－x}的图象如图中的实线部分所示,
由图可知,函数M在A处取得最小值,最小值为22=6－2=4,故M的最小值为4.
16
{m|107≤m≤112,m∈N*}
(1)若a=0,试判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)在[1,a]上单调,且对任意x∈[1,a],f(x)<－2恒成立,求a的取值范围;
(3)若x∈[1,6],当a∈(3,6)时,求f(x)的最大值的表达式M(a).
13.(13分)已知函数f(x)=max{－x2+2x,－x+1,x－2}.
(1)求f(x)的最小值;
【解】 (1)在同一平面直角坐标系中,画出函数y=－x2+2x,y=－x+1,y=x－2的图象,如图(1)所示,
13.(13分)已知函数f(x)=max{－x2+2x,－x+1,x－2}.
(2)若f(x)≥k|x|－1对任意x∈R恒成立,求k的取值范围.
【解】 (2)设g(x)=k|x|－1,则g(x)的图象恒过点 M(0,－1),因为f(x)min=f(2)=0,所以记 A(2,0),由(1)知,f(x)的图象如图(2)所示,