（4）函数——中考数学考前回归教材
解题技巧
考向一 平面直角坐标系
1.根据点的坐标求其所在位置的问题
在平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号具有以下特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.已知点的坐标求其所在位置，应先判断其横、纵坐标的符号，然后根据坐标系内各位置点的坐标特征来确定其位置.因此，理解并记住各象限内点的坐标符号特征是解题的关键.
1.在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.几何图形中建立适当的平面直角坐标系的技巧
①使图形中尽量多的点在坐标轴上；②以某些特殊线段所在的直线为轴或轴；③ 若图形被一条直线分得的两部分形状，大小相同，则可以将此直线作为轴或轴；④ 以某已知点为原点，使它的坐标为.
如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为,,点D在y轴上,则点C的坐标是______.
3.根据点的位置来求点的坐标的有关问题
该类问题分两种情况，一种情况是根据几个已知点的坐标来确定另外一个点的坐标，他通常是先根据已知点的坐标确定平面直角坐标系，然后再求另一点的坐标；
另一种情况是已知点的位置，求点的坐标中有关字母的取值范围，解决这类问题，首先根据点的位置来确定该点横、纵坐标的符号，然后根据横、纵坐标的符号及其他条件来确定字母的取值范围.
坐标轴上的点的坐标特征：① 若点在轴上，则点的纵坐标为0，横坐标为任意实数；
② 若点在轴上，则点的横坐标为0，纵坐标为任意实数.据此即可解决问题.
1.已知点A的坐标，直线轴，且，则点B的坐标为( )
A. B.或
C. D.或
4.求平面直角坐标系中几何图形面积的方法
求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形.①当三角形有一条平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算；② 当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差；③ 求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向轴或轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系.
如图,已知,,,.
(1)求四边形的面积；
(2)在y轴上存在一点P,使三角形的面积等于四边形面积的一半,求P点的坐标.
5.解对称点的坐标的问题
求关于坐标轴、原点对称的点的坐标，可根据点的坐标的变化规律进行求解.
平面直角坐标系内带你的对称点有三种：① 点关于轴对称的点的坐标为；② 点关于轴对称的点的坐标为；③ 点关于原点对称的点的坐标为.
1.点关于y轴对称的点坐标是( ).
A. B. C. D.
2.已知点与点关于x轴对称，则的值为( )
A.1 B. C.2 D.
3.已知点与点关于原点对称，则_______.
6.解点到坐标轴或原点的距离问题
在平面直角坐标系中，一个点到轴的距离为其纵坐标的绝对值；到轴的距离为其横坐标的绝对值；到原点的距离则根据该点到两坐标轴的距离，利用勾股定理求解，如图所示，
①点到轴的距离为；
②点到轴的距离为；
③点到原点的距离为.
1.已知点.若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为______.
7.解平面直角坐标系中的规律性问题
①根据题意适当地写一点点的坐标；
②观察这些点的横、纵坐标与其序号之间的关系，找到规律；
③根据规律，写出所求点的坐标.
1.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断的移动,每次移动一个单位,得到点,,,……,那么点的坐标为( )
A. B. C. D.
考向二 函数及其图象
1.解函数自变量的取值范围问题
确定自变量的取值范围时，① 考虑使函数关系式有意义：在整式中，自变量的取值范围为全体实数；分式中满足分母不为0；偶次方根满足被开方数是非负数；在零次幂或负整数次幂中，底数不为0.②要注意实际问题中的实际意义.③在具体问题中，要综合上述几种情况同时考虑.
【方法总结】
对于代数式中既含有分式，又含有二次根式的情况，应先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出其公共部分，即为自变量的取值范围.
1.函数中,自变量x的取值范围是____________.
2.识别和判断函数图象的问题
对于函数图象的识别与判断问题，在解决时要读懂所给情境，仔细分析横轴、纵轴上数据的意义，要特别注意分析其中的“交点”“转折点”的意义，这些“关键点”意味着图象再次发生变化.还要注意图象的变化趋势，并结合题中文字信息，做到“数形结合”，这样才能做出准确判断.
【方法总结】
（1）读取函数图象上的信息时，不仅要注意观察图象，同时还要注意文字表述中的信息，两者相辅相成.
（2）观察图象时要注意观察横轴、纵轴的意义以及一些特殊点的坐标，将点的坐标转化成文字信息和数量关系.
（3）观察图象时，与横轴平行的图象的实际意义取决于纵轴表示的量：若纵轴表示路程，则与横轴平行的图象表示停止运动；若纵轴表示速度，则与横轴平行的图象表示匀速运动.
1.睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水,10分钟后关闭水龙头,小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些,23分钟后泡澡结束,小红离开浴缸.下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是( )
A. B.
C. D.
考向三 一次函数
1.解正比例函数的图象与性质问题
形如（是常数，）的函数叫做正比例函数.正比例函数（是常数，）的图象是一条经过原点的直线.当时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；
当时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小.正比例函数图象上的任意一点中都满足函数解析式.
1.已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
2.解一次函数的图象与性质问题
一次函数（是常数，）的图象是一条直线.当时，其图象一定经过第一、三象限，随的增大而增大，这时直线由左至右上升；当时，其图象一定经过第二、四象限，随的增大而减小，这时直线由左至右下降；
1.下列关于直线的性质说法不正确的是( )
A.不经过第二象限 B.与y轴交于点
C.与x轴交于点 D.y随x的增大而增大
3.比较函数值大小的方法
对于函数值的大小比较问题，一般有三种方法：一是直接法，即直接代入函数解析式求出对应的函数值进行比较；二是利用函数的增减性比较函数值的大小；三是画出一次函数图象，在函数图象上标出点，直接观察图象比较大小.
1.点和都在直线上，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
4.求直线与坐标轴围成的几何图形的面积的方法
先求出直线与直线、直线与坐标轴的交点坐标，再利用数形结合的方法求解，计算时要注意线段的长与坐标的关系.
1.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象经过点和点.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
5.解一次函数与方程（组）之间关系的问题
对于一次函数来说，当时，就是关于的一元一次方程，反之，一元一次方程就是一次函数当时的一种特殊情况，而两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解.
【方法总结】
关于的一元一次方程的解，实际上可以看作是一次函数的函数值时对应的值.
1.如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是____
6.解一次函数与不等式之间关系的问题
①对于一次函数，从图象上看，的解集是直线位于轴上方部分相应的取值范围；的解集是直线位于轴下方部分相应的取值范围.
②对于一次函数和，从图象上看，不等式的解集就是直线位于直线上方部分对应的的取值范围；不等式的解集就是直线位于直线下方部分对应的的取值范围.
根据两个一次函数的图象来确定其所对应的有关不等式的解集，实质上是确定其中一个函数图象在另一个函数图象上（下）方所有点的横坐标构成的集合.
【方法总结】
要比较两个一次函数值的大小，可借助不等式加以解决.
1.如图所示,直线：与直线：交于点,不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.一次函数图象的平移规律
（1）上、下平移：直线向上平移个单位长度得到直线；
直线向下平移个单位长度得到直线.
简记为：上加下减（只改变）.
（2）左、右平移：直线向左平移个单位长度得到直线；
直线向右平移个单位长度得到直线.
简记为：左加右减（只改变）.
1.将直线向上平移a()个单位长度后，经过点，则a的值为_________.
8.解一次函数的实际应用问题
利用一次函数解决实际问题的关键是把实际问题进行抽象概括、获取信息，进而建立一次函数模型解决问题.这类问题主要有两种：一种是题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解；另一种是题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解.
【注意】应用一次函数解决实际问题的关键是：（1）确定函数与自变量之间的解析式；（2）确定实际问题中自变量的取值范围，即实际问题的答案要符合实际情况.
1.某商店销售一台A型电脑销售利润为100元,销售一台B型电脑的销售利润为150元.该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
2.某校实行学案式教学，需印制若干份教学学案.印刷厂有，甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示.
(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是_____，乙种收费方式的函数关系式是_______.
(2)该校某年级每次需印制（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算.
考向四 反比例函数
1.解反比例函数的定义问题
形如（为常数，）的函数叫做反比例函数.解关于反比例函数的定义的问题，要充分利用反比例函数及其另一种表示形式（自变量的指数式）列关于未知数的不等式或方程解之即可.
1.如果函数是反比例函数,那么m的值是( )
A.2 B. C.1 D.
2.解反比例函数的图象和性质的应用问题
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线.
当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大.
反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
1.已知点在反比例函数的图象上,则下列说法正确的是( )
A.图象位于第一、三象限 B.点在该函数图象上
C.当时,y随x的增大而增大 D.当时,
3.判断点是否在反比例函数图象上的方法
（1）将点的横坐标作为的值代入解析式，计算出的值，看点的纵坐标是否与所求的值相等；（2）看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数的比例系数.
3.下列各点中，在反比例函数图象上的点是( )
A. B. C. D.
4.比较反比例函数值的大小方法
比较反比例函数的函数值时，在同一分支上的点可以利用函数的增减性同过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小；不在同一分支上的点，依据与轴的相对位置（在轴上方或轴下方）来进行函数值大小的比较.另外，图象法和特殊值法也是解决此类问题的常用方法，图象法形象直观，特殊法简单直接.
4.已知点,,在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.解反比例函数中的几何意义问题
根据反比例函数系数的几何意义可知，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，两垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积等于.矩形的对角线把矩形分成两个全等的三角形，其面积都等于，并且矩形（或三角形）的面积不随该点的位置变化而变化.通常利用的几何意义来求有关图形的面积，或利用图形的面积求反比例函数的解析式.
5.如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是9，则k的值为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
6.反比例函数与一次函数的综合问题
（一）已知一次函数和反比例函数值的大小关系，根据图象确定自变量取值范围的方法
（1）定点：确定两个函数图象的交点坐标.
（2）选段：当横坐标一致时，函数图象在上方时所对应的函数值大于函数图象在下方时所对应的函数值.
（3）确定范围：根据选段确定自变量的取值范围，要特别注意反比例函数中自变量不能为0.
（二）解反比例函数与一次函数图象的交点问题
此类题目主要是求两个函数图象的交点坐标或根据交点坐标求两个函数的解析式，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式的解集.解此类问题的依据有：① 函数图象的交点坐标满足两函数的解析式；② 不等式的解集就是其所对应函数的图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.
6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数的图象交于C,D两点,点C的坐标为.
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)当时,直接写出x的取值范围.
考向五 二次函数
1.二次函数的对称轴与顶点坐标的问题
求二次函数图象的对称轴与顶点坐标，通常分为两种情况：
（1）若二次函数的解析式为的形式，则二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）若二次函数的解析式为的形式，则二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是.求抛物线的顶点坐标时，若抛物线的解析式为一般式，则通常运用配方法化成顶点式进行求解，或直接把代入顶点坐标式求得.
1.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.二次函数的图象的对称轴为______.
2.二次函数的图象与性质
（一）抛物线的开口方向决定了的符号：若开口向上，则；
若开口向下，则.
抛物线对称轴的位置决定了的符号：若对称轴在轴左侧，则同号；
若对称轴在轴上，则；若对称轴在轴右侧，则异号.
抛物线与轴的交点位置决定了的符号：若交点在轴正半轴上，则；
若交点在原点上，则；若交点在轴负半轴上，则.
（二）比较二次函数值大小的方法
（1）代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小；
（2）增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；
（3）根据点到对称轴距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小.
1.如图,二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是,对称轴为直线,下列结论：①；②；③；④当时,；⑤.其中正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.解抛物线的平移问题
抛物线的平移，应关注的是顶点位置的改变，也就是说，抛物线的平移，实际上是抛物线顶点的平移.通常把抛物线的解析式化成顶点式后，再求其平移后的解析式，此时平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”.由于抛物线平移后的形状不变，故不变.
1.将抛物线先沿水平方向向左平移1个单位,再沿竖直方向向下平移3个单位,则得到的新抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
4.求二次函数最值的策略
求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大（小）值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值.
1.如图,为了改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长)的空地上修建一个矩形小花园,小花园一边靠墙,另三边用总长的栅栏围住,如图所示,若设矩形小花园边的长为,面积为.
(1)求出S与x之间的函数关系式(写出自变量取值范围)；
(2)当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？
5.解二次函数解析式的确定问题
用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法.
（1）设一般式：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于的三元一次方程组求解.
（2）设交点式：若已知二次函数图象与轴的两个交点的坐标为，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般式.
（3）设顶点式：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般式.
【方法总结】
确定二次函数的解析式，关键是根据已知条件选择恰当的解析式形式，主要的方法是待定系数法.在考虑把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的已知条件灵活选择，以简单为原则，尽量减少计算量，以提高准确率.
1.已知二次函数的自变量x与因变量y的几组对应值如下表：
x … 1 4 …
y … …
则下列说法正确的是( )
A.顶点坐标为
B.当时，y的值随x值的增大而增大
C.图象的对称轴是直线
D.图象经过第一、二、三象限
6.解抛物线的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在求一个点关于对称轴对称的点的坐标，或者是已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要依据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为，则抛物线的对称轴可表示为直线.
【方法总结】
已知点在抛物线上，则把该点坐标代入其解析式一定能使解析式成立.根据一个点及对称轴（直线），求点关于对称轴对称的点的坐标可利用公式，即.
1.已知抛物线的一部分如图所示,图象与x轴相交,除点外的另一个交点坐标是( )
A. B. C. D.
7.解二次函数与一元二次方程之间的关系问题
一元二次方程可以看作是二次函数当时的一种特殊情况，所以二次函数的图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根.
【方法总结】
二次函数的图象和轴的交点与一元二次方程的根之间的关系：决定抛物线与轴的交点个数，当时，抛物线与轴有两个交点；当时，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点.
1.二次函数的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程的解是______.
8.根据图象确定不等式解集的方法
先画出函数的图象，并确定（计算）两个图象交点的横坐标，再根据图象的上下关系（图象在上方即函数值较大），得出不等式的解集.
【技巧点拨】
①求大于时的取值范围，即求抛物线在直线下方时所对应的的取值范围.
②求与的乘积小于0时的取值范围，即求抛物线与直线在轴异侧时对应的的取值范围.
【技巧点拨】
求解直线与抛物线的公共点个数问题，即求直线与抛物线的解析式联立组成的方程组，消去函数值后得到的一元二次方程的解的个数问题.抛物线与直线恒有两个公共点，即对应的一元二次方程的根的判别式大于0.
1.二次函数的图象如图所示,则函数值时,x的取值范围是______.
9.利用二次函数解决抛物线形的实际问题的方法
利用二次函数解决抛物线形建筑问题时，需要先建立合适的坐标系，一般选择顶点作为原点或选择对称轴作为轴，然后确定某些点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式，最后利用二次函数的图象和性质解题；利用二次函数解决抛物线形运动路程问题时，一定要分析清楚抛物线的横、纵坐标的实际意义，再利用二次函数的图象和性质解题.
1.新华社天津3月29日电(记者周润健、张泽伟)29日,2024年全国室内田径锦标赛在天津开赛,女子铅球决赛中,河北队选手巩立姣投出19米35轻松夺冠.铅球从出手到落地的过程中,其运动轨迹(不考虑其他因素)可以近似的看成是抛物线的一部分.某运动员在训练时,铅球在空中的竖直高度y(米)与水平距离为(米)之间的部分对应数值如下表所示：
x 0 3 6 9 12
y
(1)出手时铅球的竖直高度是______米,铅球在空中的最大高度是______米；
(2)按如图所示的直角坐标系,求表示该抛物线的函数表达式；
(3)该运动员在比赛时,投出的铅球在空中的竖直高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系式为,请判断该运动员在比赛和训练时,哪次投出的铅球更远一些,并说明理由.（4）函数——中考数学考前回归教材
解题技巧
考向一 平面直角坐标系
1.根据点的坐标求其所在位置的问题
在平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号具有以下特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.已知点的坐标求其所在位置，应先判断其横、纵坐标的符号，然后根据坐标系内各位置点的坐标特征来确定其位置.因此，理解并记住各象限内点的坐标符号特征是解题的关键.
1.在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：D
解析：若点P的坐标为，
因为，，
所以点P所在的象限是第四象限.
故选：D.
2.几何图形中建立适当的平面直角坐标系的技巧
①使图形中尽量多的点在坐标轴上；②以某些特殊线段所在的直线为轴或轴；③ 若图形被一条直线分得的两部分形状，大小相同，则可以将此直线作为轴或轴；④ 以某已知点为原点，使它的坐标为.
如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为,,点D在y轴上,则点C的坐标是______.
答案：
解析：∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为,,点D在y轴上,
∴,
∴,
∴点C的坐标是：.
故答案为：.
3.根据点的位置来求点的坐标的有关问题
该类问题分两种情况，一种情况是根据几个已知点的坐标来确定另外一个点的坐标，他通常是先根据已知点的坐标确定平面直角坐标系，然后再求另一点的坐标；
另一种情况是已知点的位置，求点的坐标中有关字母的取值范围，解决这类问题，首先根据点的位置来确定该点横、纵坐标的符号，然后根据横、纵坐标的符号及其他条件来确定字母的取值范围.
坐标轴上的点的坐标特征：① 若点在轴上，则点的纵坐标为0，横坐标为任意实数；
② 若点在轴上，则点的横坐标为0，纵坐标为任意实数.据此即可解决问题.
1.已知点A的坐标，直线轴，且，则点B的坐标为( )
A. B.或
C. D.或
答案：B
解析：由题知，
因为点A坐标为，且直线轴，
所以点B的横坐标为.
又因为，
所以，
所以点B的坐标为或.
故选：B.
4.求平面直角坐标系中几何图形面积的方法
求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形.①当三角形有一条平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算；② 当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差；③ 求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向轴或轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系.
如图,已知,,,.
(1)求四边形的面积；
(2)在y轴上存在一点P,使三角形的面积等于四边形面积的一半,求P点的坐标.
答案：(1)20
(2)P点的坐标或
解析：(1)分别过C、D两点作x轴的垂线,垂足分别为E、F,如下图：
∵,,,,
∴,,,,,
则
；
(2)设的边上的高为h,由,
得：,
解得,
又∵P点在y轴上,
∴P点的坐标或.
5.解对称点的坐标的问题
求关于坐标轴、原点对称的点的坐标，可根据点的坐标的变化规律进行求解.
平面直角坐标系内带你的对称点有三种：① 点关于轴对称的点的坐标为；② 点关于轴对称的点的坐标为；③ 点关于原点对称的点的坐标为.
1.点关于y轴对称的点坐标是( ).
A. B. C. D.
答案：A
解析：点关于y轴对称的点坐标是，
故选： A.
2.已知点与点关于x轴对称，则的值为( )
A.1 B. C.2 D.
答案：A
解析：∵点和点关于x轴对称，
∴，，
∴.
故选：A.
3.已知点与点关于原点对称，则_______.
答案：8
解析：点与点关于原点对称，
，
解得：；
则；
故答案为：8.
6.解点到坐标轴或原点的距离问题
在平面直角坐标系中，一个点到轴的距离为其纵坐标的绝对值；到轴的距离为其横坐标的绝对值；到原点的距离则根据该点到两坐标轴的距离，利用勾股定理求解，如图所示，
①点到轴的距离为；
②点到轴的距离为；
③点到原点的距离为.
1.已知点.若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为______.
答案：4或－1
解析：∵已知点，若点M到两坐标轴的距离相等，
∴，
解得：或，
故答案为：4或－1.
7.解平面直角坐标系中的规律性问题
①根据题意适当地写一点点的坐标；
②观察这些点的横、纵坐标与其序号之间的关系，找到规律；
③根据规律，写出所求点的坐标.
1.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断的移动,每次移动一个单位,得到点,,,……,那么点的坐标为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由图知,、横坐标为1,
、横坐标为2,
、横坐标为3,
……,以此类推,
点的横坐标为,
、、、、、、……,的纵坐标以1、1、0、0的规律循环出现,
且,
点的纵坐标为0,
则点的坐标为.
故选：A.
考向二 函数及其图象
1.解函数自变量的取值范围问题
确定自变量的取值范围时，① 考虑使函数关系式有意义：在整式中，自变量的取值范围为全体实数；分式中满足分母不为0；偶次方根满足被开方数是非负数；在零次幂或负整数次幂中，底数不为0.②要注意实际问题中的实际意义.③在具体问题中，要综合上述几种情况同时考虑.
【方法总结】
对于代数式中既含有分式，又含有二次根式的情况，应先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出其公共部分，即为自变量的取值范围.
1.函数中,自变量x的取值范围是____________.
答案：且
解析：根据题意得：且,
解得：且.
2.识别和判断函数图象的问题
对于函数图象的识别与判断问题，在解决时要读懂所给情境，仔细分析横轴、纵轴上数据的意义，要特别注意分析其中的“交点”“转折点”的意义，这些“关键点”意味着图象再次发生变化.还要注意图象的变化趋势，并结合题中文字信息，做到“数形结合”，这样才能做出准确判断.
【方法总结】
（1）读取函数图象上的信息时，不仅要注意观察图象，同时还要注意文字表述中的信息，两者相辅相成.
（2）观察图象时要注意观察横轴、纵轴的意义以及一些特殊点的坐标，将点的坐标转化成文字信息和数量关系.
（3）观察图象时，与横轴平行的图象的实际意义取决于纵轴表示的量：若纵轴表示路程，则与横轴平行的图象表示停止运动；若纵轴表示速度，则与横轴平行的图象表示匀速运动.
1.睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水,10分钟后关闭水龙头,小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些,23分钟后泡澡结束,小红离开浴缸.下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意知,分钟,浴缸水位上升,分钟,浴缸水位保持不变,分钟后,水位略下降,故选：C.
考向三 一次函数
1.解正比例函数的图象与性质问题
形如（是常数，）的函数叫做正比例函数.正比例函数（是常数，）的图象是一条经过原点的直线.当时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；
当时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小.正比例函数图象上的任意一点中都满足函数解析式.
1.已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
随的增大而增大，
又点在正比例函数的图象上，且
.
故选：B
2.解一次函数的图象与性质问题
一次函数（是常数，）的图象是一条直线.当时，其图象一定经过第一、三象限，随的增大而增大，这时直线由左至右上升；当时，其图象一定经过第二、四象限，随的增大而减小，这时直线由左至右下降；
1.下列关于直线的性质说法不正确的是( )
A.不经过第二象限 B.与y轴交于点
C.与x轴交于点 D.y随x的增大而增大
答案：C
解析：A、直线中，，，
直线的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意；
B、令，则，即与y轴交于点，不符合题意；
C、令，则，，即与x轴交于点，符合题意；
D、直线中，，
y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：C.
3.比较函数值大小的方法
对于函数值的大小比较问题，一般有三种方法：一是直接法，即直接代入函数解析式求出对应的函数值进行比较；二是利用函数的增减性比较函数值的大小；三是画出一次函数图象，在函数图象上标出点，直接观察图象比较大小.
1.点和都在直线上，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
答案：A
解析：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵都在直线上，
∴，
故选A.
4.求直线与坐标轴围成的几何图形的面积的方法
先求出直线与直线、直线与坐标轴的交点坐标，再利用数形结合的方法求解，计算时要注意线段的长与坐标的关系.
1.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象经过点和点.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
(3)判断点是在直线AB的上方(右边)还是下方(左边).
答案：(1)
(2)
(3)在直线AB的上方
解析：(1)设一次函数解析式为,
把与代入得：,
解得：,
则一次函数解析式为；
(2)在中,令,则有,
令,则有,,
所以函数图象与坐标轴的交点坐标分别为和,
所以图象与坐标轴围成的三角形的面积是；
(3)当时,,所以点在直线AB的上方.
5.解一次函数与方程（组）之间关系的问题
对于一次函数来说，当时，就是关于的一元一次方程，反之，一元一次方程就是一次函数当时的一种特殊情况，而两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解.
【方法总结】
关于的一元一次方程的解，实际上可以看作是一次函数的函数值时对应的值.
1.如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是____
答案：
解析：∵的图象经过，
∴，
解得，
一次函数与的图象相交于点，
方程组的解是，
故答案为.
6.解一次函数与不等式之间关系的问题
①对于一次函数，从图象上看，的解集是直线位于轴上方部分相应的取值范围；的解集是直线位于轴下方部分相应的取值范围.
②对于一次函数和，从图象上看，不等式的解集就是直线位于直线上方部分对应的的取值范围；不等式的解集就是直线位于直线下方部分对应的的取值范围.
根据两个一次函数的图象来确定其所对应的有关不等式的解集，实质上是确定其中一个函数图象在另一个函数图象上（下）方所有点的横坐标构成的集合.
【方法总结】
要比较两个一次函数值的大小，可借助不等式加以解决.
1.如图所示,直线：与直线：交于点,不等式的解集是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：当时,,
所以不等式的解集是.
故选A.
7.一次函数图象的平移规律
（1）上、下平移：直线向上平移个单位长度得到直线；
直线向下平移个单位长度得到直线.
简记为：上加下减（只改变）.
（2）左、右平移：直线向左平移个单位长度得到直线；
直线向右平移个单位长度得到直线.
简记为：左加右减（只改变）.
1.将直线向上平移a()个单位长度后，经过点，则a的值为_________.
答案：
解析：直线向上平移a()个单位长度后的解析式为：，
∴，
解得：
故答案为：
8.解一次函数的实际应用问题
利用一次函数解决实际问题的关键是把实际问题进行抽象概括、获取信息，进而建立一次函数模型解决问题.这类问题主要有两种：一种是题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解；另一种是题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解.
【注意】应用一次函数解决实际问题的关键是：（1）确定函数与自变量之间的解析式；（2）确定实际问题中自变量的取值范围，即实际问题的答案要符合实际情况.
1.某商店销售一台A型电脑销售利润为100元,销售一台B型电脑的销售利润为150元.该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
答案：(1)
(2)该商店购进A型25台,B型75台时,利润最大,最大利润为13750元
解析：(1)据题意得,,即,
∴y关于x的函数解析式为：.
(2)根据题意得,,
解得,
由(1)可知,
∵,
∴y随x的增大而减小,
∴当时,y有最大值,
,
(台),
∴该商店购进A型电脑25台,B型电脑75台时,才能使销售总利润最大,最大利润为13750元.
2.某校实行学案式教学，需印制若干份教学学案.印刷厂有，甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示.
(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是_____，乙种收费方式的函数关系式是_______.
(2)该校某年级每次需印制（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算.
答案：(1)；
(2)当时，选择乙种印刷方式较合算；当时，选择甲、乙两种印刷方式都可以；当时，选择甲种印刷方式较合算.
解析：(1)设甲种收费的函数关系式，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得
，，
解得：，，
∴，；
(2)由题意，得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
∴当时，选择乙种方式合算；
当时，甲、乙两种方式一样合算；
当时，选择甲种方式合算.
答：印制（含100）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算.
考向四 反比例函数
1.解反比例函数的定义问题
形如（为常数，）的函数叫做反比例函数.解关于反比例函数的定义的问题，要充分利用反比例函数及其另一种表示形式（自变量的指数式）列关于未知数的不等式或方程解之即可.
1.如果函数是反比例函数,那么m的值是( )
A.2 B. C.1 D.
答案：B
解析：∵是反比例函数,
∴,
解得：,故B正确.
故选：B.
2.解反比例函数的图象和性质的应用问题
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线.
当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大.
反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
1.已知点在反比例函数的图象上,则下列说法正确的是( )
A.图象位于第一、三象限 B.点在该函数图象上
C.当时,y随x的增大而增大 D.当时,
答案：C
解析：∵点在反比例函数的图象上,
∴,
∴；
∴图象位于第二、四象限；故A错误；
点不在该函数图象上；故B错误；
当时,y随x的增大而增大,故C正确；
当时,或；故D错误；
故选：C
3.判断点是否在反比例函数图象上的方法
（1）将点的横坐标作为的值代入解析式，计算出的值，看点的纵坐标是否与所求的值相等；（2）看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数的比例系数.
3.下列各点中，在反比例函数图象上的点是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：A.，此点在反比例函数的图象上，符合题意；
B.，此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
C.，此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
D.，此点不在反比例函数的图象上，不符合题意
故选：A
4.比较反比例函数值的大小方法
比较反比例函数的函数值时，在同一分支上的点可以利用函数的增减性同过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小；不在同一分支上的点，依据与轴的相对位置（在轴上方或轴下方）来进行函数值大小的比较.另外，图象法和特殊值法也是解决此类问题的常用方法，图象法形象直观，特殊法简单直接.
4.已知点,,在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵反比例函数,
∴双曲线位于第二,四象限,
当时,；
当时,函数值y随着x的增大而增大,即当时,,
∴.
故选：B.
5.解反比例函数中的几何意义问题
根据反比例函数系数的几何意义可知，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，两垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积等于.矩形的对角线把矩形分成两个全等的三角形，其面积都等于，并且矩形（或三角形）的面积不随该点的位置变化而变化.通常利用的几何意义来求有关图形的面积，或利用图形的面积求反比例函数的解析式.
5.如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是9，则k的值为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
答案：B
解析：如图：过点A作轴，过点B作轴，
∴，
∴，
∵点A在双曲线上，点B在，
，，
，
，即，
，
∵，轴，
，
，
，
，
，
，解得：.
故选B.
6.反比例函数与一次函数的综合问题
（一）已知一次函数和反比例函数值的大小关系，根据图象确定自变量取值范围的方法
（1）定点：确定两个函数图象的交点坐标.
（2）选段：当横坐标一致时，函数图象在上方时所对应的函数值大于函数图象在下方时所对应的函数值.
（3）确定范围：根据选段确定自变量的取值范围，要特别注意反比例函数中自变量不能为0.
（二）解反比例函数与一次函数图象的交点问题
此类题目主要是求两个函数图象的交点坐标或根据交点坐标求两个函数的解析式，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式的解集.解此类问题的依据有：① 函数图象的交点坐标满足两函数的解析式；② 不等式的解集就是其所对应函数的图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.
6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数的图象交于C,D两点,点C的坐标为.
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)当时,直接写出x的取值范围.
答案：(1)
(2)
(3)或
解析：(1)∵点在一次函数的图象上,
∴,解得.
∴点C的坐标为.
把代入,得.
∴反比例函数的表达式为.
(2)令,
解得,.
当时,,
∴点D的坐标是.
(3)由图可知：当或时,反比例函数图象在一次函数图象的上面,所以当时,x的取值范围是或.
考向五 二次函数
1.二次函数的对称轴与顶点坐标的问题
求二次函数图象的对称轴与顶点坐标，通常分为两种情况：
（1）若二次函数的解析式为的形式，则二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）若二次函数的解析式为的形式，则二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是.求抛物线的顶点坐标时，若抛物线的解析式为一般式，则通常运用配方法化成顶点式进行求解，或直接把代入顶点坐标式求得.
1.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：抛物线的顶点坐标是,
故选：B.
2.二次函数的图象的对称轴为______.
答案：直线
解析：二次函数的图象的对称轴为直线,
故答案为：直线.
2.二次函数的图象与性质
（一）抛物线的开口方向决定了的符号：若开口向上，则；
若开口向下，则.
抛物线对称轴的位置决定了的符号：若对称轴在轴左侧，则同号；
若对称轴在轴上，则；若对称轴在轴右侧，则异号.
抛物线与轴的交点位置决定了的符号：若交点在轴正半轴上，则；
若交点在原点上，则；若交点在轴负半轴上，则.
（二）比较二次函数值大小的方法
（1）代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小；
（2）增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；
（3）根据点到对称轴距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小.
1.如图,二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是,对称轴为直线,下列结论：①；②；③；④当时,；⑤.其中正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：B
解析：∵抛物线开口向下,
∴；
∵抛物线的对称轴为直线,
∴,所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴,
∴,所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是,对称轴为直线,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是,
∴时,,
∴,所以③错误；
∵抛物线与x轴的2个交点坐标为,,
∴时,,所以④正确；
∵时,,
∴,
而,
∴,
∴,
即,所以⑤正确.
故选B.
3.解抛物线的平移问题
抛物线的平移，应关注的是顶点位置的改变，也就是说，抛物线的平移，实际上是抛物线顶点的平移.通常把抛物线的解析式化成顶点式后，再求其平移后的解析式，此时平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”.由于抛物线平移后的形状不变，故不变.
1.将抛物线先沿水平方向向左平移1个单位,再沿竖直方向向下平移3个单位,则得到的新抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵,
∴将抛物线先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到的新抛物线的解析式为：,
故选：D.
4.求二次函数最值的策略
求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大（小）值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值.
1.如图,为了改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长)的空地上修建一个矩形小花园,小花园一边靠墙,另三边用总长的栅栏围住,如图所示,若设矩形小花园边的长为,面积为.
(1)求出S与x之间的函数关系式(写出自变量取值范围)；
(2)当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？
答案：(1)
(2)当时,小花园的面积最大,最大面积是
解析：(1)设矩形小花园边的长为,则,
根据题意有：.
∵,
∴,
解得：,
∴S与x之间的函数关系式为；
(2)由(1)可知,
∵,
∴当时,S最大,且,
∴当时,小花园的面积最大,最大面积是.
5.解二次函数解析式的确定问题
用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法.
（1）设一般式：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于的三元一次方程组求解.
（2）设交点式：若已知二次函数图象与轴的两个交点的坐标为，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般式.
（3）设顶点式：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般式.
【方法总结】
确定二次函数的解析式，关键是根据已知条件选择恰当的解析式形式，主要的方法是待定系数法.在考虑把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的已知条件灵活选择，以简单为原则，尽量减少计算量，以提高准确率.
1.已知二次函数的自变量x与因变量y的几组对应值如下表：
x … 1 4 …
y … …
则下列说法正确的是( )
A.顶点坐标为
B.当时，y的值随x值的增大而增大
C.图象的对称轴是直线
D.图象经过第一、二、三象限
答案：C
解析：将，，代入抛物线解析式，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
故选项A错误，选项C正确；
∵对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，
故选项B错误；
根据题意画出草图如图：
故图象过第一、二、四象限，
故选项D错误；
故选：C.
6.解抛物线的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在求一个点关于对称轴对称的点的坐标，或者是已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要依据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为，则抛物线的对称轴可表示为直线.
【方法总结】
已知点在抛物线上，则把该点坐标代入其解析式一定能使解析式成立.根据一个点及对称轴（直线），求点关于对称轴对称的点的坐标可利用公式，即.
1.已知抛物线的一部分如图所示,图象与x轴相交,除点外的另一个交点坐标是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵抛物线解析式为,
∴抛物线的对称轴为直线,
∵图象与x轴的一个交点为,
∴根据对称性可得,另一个交点的坐标为,即,
故选：C.
7.解二次函数与一元二次方程之间的关系问题
一元二次方程可以看作是二次函数当时的一种特殊情况，所以二次函数的图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根.
【方法总结】
二次函数的图象和轴的交点与一元二次方程的根之间的关系：决定抛物线与轴的交点个数，当时，抛物线与轴有两个交点；当时，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点.
1.二次函数的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程的解是______.
答案：,
解析：由函数图象可得,二次函数与x轴的交点为,对称轴为：,
∴,
∴二次函数与x轴的另一个交点为,
∴当或时,,
∴一元二次方程的解为：,.
故答案为：,.
8.根据图象确定不等式解集的方法
先画出函数的图象，并确定（计算）两个图象交点的横坐标，再根据图象的上下关系（图象在上方即函数值较大），得出不等式的解集.
【技巧点拨】
①求大于时的取值范围，即求抛物线在直线下方时所对应的的取值范围.
②求与的乘积小于0时的取值范围，即求抛物线与直线在轴异侧时对应的的取值范围.
【技巧点拨】
求解直线与抛物线的公共点个数问题，即求直线与抛物线的解析式联立组成的方程组，消去函数值后得到的一元二次方程的解的个数问题.抛物线与直线恒有两个公共点，即对应的一元二次方程的根的判别式大于0.
1.二次函数的图象如图所示,则函数值时,x的取值范围是______.
答案：或
解析：根据图象可得,图象与x轴交于,,
故当时,x的取值范围是：或.
故答案为：或.
9.利用二次函数解决抛物线形的实际问题的方法
利用二次函数解决抛物线形建筑问题时，需要先建立合适的坐标系，一般选择顶点作为原点或选择对称轴作为轴，然后确定某些点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式，最后利用二次函数的图象和性质解题；利用二次函数解决抛物线形运动路程问题时，一定要分析清楚抛物线的横、纵坐标的实际意义，再利用二次函数的图象和性质解题.
1.新华社天津3月29日电(记者周润健、张泽伟)29日,2024年全国室内田径锦标赛在天津开赛,女子铅球决赛中,河北队选手巩立姣投出19米35轻松夺冠.铅球从出手到落地的过程中,其运动轨迹(不考虑其他因素)可以近似的看成是抛物线的一部分.某运动员在训练时,铅球在空中的竖直高度y(米)与水平距离为(米)之间的部分对应数值如下表所示：
x 0 3 6 9 12
y
(1)出手时铅球的竖直高度是______米,铅球在空中的最大高度是______米；
(2)按如图所示的直角坐标系,求表示该抛物线的函数表达式；
(3)该运动员在比赛时,投出的铅球在空中的竖直高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系式为,请判断该运动员在比赛和训练时,哪次投出的铅球更远一些,并说明理由.
答案：(1),
(2)
(3)训练时投出的铅球更远一些,理由见解析
解析：(1)根据表格中数据可知,出手时铅球的竖直高度是米,
抛物线对称轴为直线,
∴顶点坐标为,
∴铅球在空中的最大高度是米.
故答案为：、.
(2)设抛物线解析式为,
把代入解析式得：,解得：.
∴抛物线的函数表达式为.
(3)训练时投出的铅球更远一些,理由如下：
对于,
令,则,解得：或(舍去)；
对于,
令,则,解得：或(舍去),
∵,∴训练时投出的铅球更远一些.
