（1）实数与代数式——中考数学考前回归教材
解题技巧
考向一 实数及其运算
1.与实数有关的概念题
有理数与无理数统称实数.有理数分为整数和分数，无理数是无限不循环小数.初中阶段常见的无理数有三类：
①含有根号且被开方数开方不尽，如等都是无理数；
②圆周率及一些含的数，像等都是无理数；
③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），-4.6262262226…（相邻两个6之间依次多1个2）等都是无理数.
1.在实数,,,,0,,0.101001000100001中,无理数有( )个
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列实数是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.与算术平方根、平方根的定义和性质有关的问题
正确理解算术平方根和平方根的定义是解决问题的关键.若已知一个正数的算术平方根，则这个正数等于其算术平方根的平方；若已知一个正数的平方根，则这个正数等于其任意一个平方根的平方.根据一个数和它的平方根或算术平方根的关系列出方程，即可求出相应字母的值.
【易错提示】误混淆正数的平方根和算术平方根
正数的平方根为，算术平方根为，求解时不要混淆.
1.与是某正数的两个不同平方根,则实数a的值是( )
A.4 B. C.2 D.
3.与已知两个数的立方根的关系求式子的值的有关问题
一个数有且只有一个立方根，如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也互为相反数.已知两个数的立方根的关系，求式子的值时，常见的有两两种类型：（1）已知，利用列方程求解；
（2）已知与互为相反数，则与互为相反数，利用列方程求解.
1.若和互为相反数,则的值______.
4.与平方根、立方根的性质有关的问题
与平方根、立方根有关的计算问题常利用平方根、立方根的性质解答，性质主要有：（1）；（2）（3）；（4）.
1.下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
5.实数的大小比较题
比较两个是实数大小的方法有：（1）数轴法，在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）绝对值法，两个正数绝对值大的原数大，两个负数绝对值大的反而小；
（3）作差法，若，则，若，则，若，则；
（4）开方法，若，则；
（5）平方法，若，；
（6）倒数法，是任意两个正实数，若，则，若，则；
（7）估计法，比较一些实数的大小，需要先估计部分实数的值，然后估计出整体值后，比较大小；
（8）特殊值法，带有字母的实数的大小比较，利用取特殊值法往往比较简单；
（9）有理化法，有理化法分为分子有理化和分母有理化，利用平方差公式将分子或分母的无理数化为有理数后进行比较；
（10）放缩法（中间值法），把要比较的两个数适当地放大或缩小，使复杂的问题简单化，以达到比较两个实数的大小的目的.
1.比较大小：_____（填或）
2.写出一个比大且比小的整数：______.
6.与非负实数有关的应用题
正数和零统称非负数.常见的非负数有三类：①；② ；③ .
非负数有下列性质：① 如果一个非负数不大于零，那么此非负数必等于零，即若，则.
②如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数一定等于0，如若，则，可得.
1.已知a,b都是实数,若,则______.
7.与方根有关的估算题
开方开不尽的数的方根是无理数，其所在的范围，可以通过乘方运算，采用“夹逼法”来确定.
（1）确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负数正数之间，则的整数部分是.
（2）确定的小数部分：从较小整数开始，逐步加0.1，并求其平方，采用与（1）类似的方法确定的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度 估计近似值为止.（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位的值.）
1.与最接近的整数是( )
A.3 B.5 C.19 D.20
2.估计的值在( )
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
考向二 代数式及其运算
1.与列代数式有关的问题
列代数式，就是把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.其一般步骤是：① 审题，仔细分析问题中的基本术语的含义；② 根据问题中语言叙述表示的运算顺序列出代数式.
1.把一个两位数m放在一个三位数n的前面,组成一个五位数,这个五位数可表示为______.
2.与同类项的概念有关的问题
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，解题时，根据同类项的定义，可通过列方程（组）求解，得出字母的值.同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关.
1.若与是同类项，则的值为__________.
3.与幂的运算有关的问题
解决与幂的运算有关的问题，常用如下性质：
（1）同底数幂的乘法：（为整数）.
（2）幂的乘方：（为整数）.
（3）积的乘方：（为整数）.
（4）同底数幂的除法：（，为整数）.
（5）零指数幂：.
（6）负整数指数幂：（，为正整数）.
（7）推广：① （为整数）；
②（，为整数）；
③（为整数）；
④（为整数）.
1.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.与乘法公式有关的问题
解决与乘法公式有关的问题，常用的乘法公式主要有：
（1）平方差公式：；
（2）完全平方公式：；
（3）.
因此要根据整式的不同特征，灵活运用乘法公式进行计算或化简.在整式中，如果出现相同的多项式，常把这个多项式看成一个整体进行计算或化简，体现了数学中整体思想的运用.
1.已知，则k的值为( )
A. B. C.10 D.
2.下列乘法中,不能运用平方差公式进行运算的是( )
A. B.
C. D.
5.整式的化简（计算）与求值问题
整式的运算是解决数学问题的基础，解整式的运算题时，要注意以下三点：一是熟练掌握运算法则；二是能运用公式的要运用公式；三是整式的混合运算，要注意运算的顺序.一般来讲，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，与此同时，还要防止出现符号的错误.整式的化简求值的一般方法：先把代数式化简，再把已知字母的值代入求值，有些问题也可以运用整体思想解决.
1.先化简，再求值：，其中，.
6.解因式分解的问题
因式分解的一般步骤：一提取，观察所给的多项式.如果有公因式，先提取公因式；二运用，当一个多项式的各项没有公因式（或已提出公因式后）时，考虑运用公式法分解因式.如果是二项式，应考虑选择平方差公式，如果是三项式，应考虑选择完全平方公式；三检查，检查分解因式是否彻底，应该使每一个因式都不能在分解为止.
1.因式分解：
(1)；
(2).
7.解代数式有、无意义的问题
①分式有、无意义；分母中含有字母的式子时分式，若分母中字母的取值使分母不等于零，则分式有意义；若分母中字母的取值使分母等于零，则分式无意义.
②二次根式有意义的条件：必须使被开方数为非负数，如果二次根式作为分母在分式中出现，必须使被开方数为正数，列出不等式，即可求出字母的取值范围.
1.若使分式有意义,x应满足的条件是：______.
8.解分式的化简（计算）与求值问题
分式的混合运算与分数的混合运算类似，也是先进行乘除运算，再进行加减运算；当分式的混合运算含有括号时，一般应先计算括号内的；当分式的分子和分母是多项式时，应先将分子、分母分别分解因式，再进行通分或约分；分式运算的结果应化为最简分式或整式.
1.先化简，再求值：的值，其中.
2.先化简,再从1,,中选一个合适的数作为x的值代入求值.
9.解二次根式的运算题
在进行二次根式的混合运算时，要注意其运算的顺序和实数运算的顺序是一样的，实数运算中的运算律及乘法公式仍然适用，特别注意在进行运算前，要先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，运算结果是二次根式的都要化成最简二次根式.
二次根式的化简主要包括三个方面：（1）如果被开方数是整数或整式，先将它们分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；（2）如果被开方数中含有分母，通常可以利用分式的基本性质将分母配成完全平方数（式），再“开方”出来；（3）如果被开方数中含有完全平方数（式），可以利用算术平方根的性质，将其“开方”出来，在这一环节，二次根式的性质起着重要的作用.
计算：
计算：（1）实数与代数式——中考数学考前回归教材
解题技巧
考向一 实数及其运算
1.与实数有关的概念题
有理数与无理数统称实数.有理数分为整数和分数，无理数是无限不循环小数.初中阶段常见的无理数有三类：
①含有根号且被开方数开方不尽，如等都是无理数；
②圆周率及一些含的数，像等都是无理数；
③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），-4.6262262226…（相邻两个6之间依次多1个2）等都是无理数.
1.在实数,,,,0,,0.101001000100001中,无理数有( )个
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：A
解析：,
在实数,,,,0,,0.101001000100001中,无理数有,,共2个.
故选：A.
2.下列实数是无理数的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：是无限不循环小数，是无理数；
是分数，分数有理数；
，都是整数，整数是有理数.
故选：A.
2.与算术平方根、平方根的定义和性质有关的问题
正确理解算术平方根和平方根的定义是解决问题的关键.若已知一个正数的算术平方根，则这个正数等于其算术平方根的平方；若已知一个正数的平方根，则这个正数等于其任意一个平方根的平方.根据一个数和它的平方根或算术平方根的关系列出方程，即可求出相应字母的值.
【易错提示】误混淆正数的平方根和算术平方根
正数的平方根为，算术平方根为，求解时不要混淆.
1.与是某正数的两个不同平方根,则实数a的值是( )
A.4 B. C.2 D.
答案：C
解析：∵与是某正数的两个不同平方根,
∴,
∴.
故选C.
3.与已知两个数的立方根的关系求式子的值的有关问题
一个数有且只有一个立方根，如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也互为相反数.已知两个数的立方根的关系，求式子的值时，常见的有两两种类型：（1）已知，利用列方程求解；
（2）已知与互为相反数，则与互为相反数，利用列方程求解.
1.若和互为相反数,则的值______.
答案：1
解析：∵和互为相反数,
∴
∴,
∴.
故答案为：1.
4.与平方根、立方根的性质有关的问题
与平方根、立方根有关的计算问题常利用平方根、立方根的性质解答，性质主要有：（1）；（2）（3）；（4）.
1.下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.,故选项错误,不符合题意；
B.,故选项错误,不符合题意；
C.,故选项错误,不符合题意；
D.,故选项正确,符合题意.
故选：D.
5.实数的大小比较题
比较两个是实数大小的方法有：（1）数轴法，在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）绝对值法，两个正数绝对值大的原数大，两个负数绝对值大的反而小；
（3）作差法，若，则，若，则，若，则；
（4）开方法，若，则；
（5）平方法，若，；
（6）倒数法，是任意两个正实数，若，则，若，则；
（7）估计法，比较一些实数的大小，需要先估计部分实数的值，然后估计出整体值后，比较大小；
（8）特殊值法，带有字母的实数的大小比较，利用取特殊值法往往比较简单；
（9）有理化法，有理化法分为分子有理化和分母有理化，利用平方差公式将分子或分母的无理数化为有理数后进行比较；
（10）放缩法（中间值法），把要比较的两个数适当地放大或缩小，使复杂的问题简单化，以达到比较两个实数的大小的目的.
1.比较大小：_____（填或）
答案：
解析：，且，
，
故答案为：
2.写出一个比大且比小的整数：______.
答案：-1(答案不唯一)
解析：∵,
∴比大且比小的整数可以是,0,1,2,
故答案为：(答案不唯一).
6.与非负实数有关的应用题
正数和零统称非负数.常见的非负数有三类：①；② ；③ .
非负数有下列性质：① 如果一个非负数不大于零，那么此非负数必等于零，即若，则.
②如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数一定等于0，如若，则，可得.
1.已知a,b都是实数,若,则______.
答案：-2
解析：∵,,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
故答案为：.
7.与方根有关的估算题
开方开不尽的数的方根是无理数，其所在的范围，可以通过乘方运算，采用“夹逼法”来确定.
（1）确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负数正数之间，则的整数部分是.
（2）确定的小数部分：从较小整数开始，逐步加0.1，并求其平方，采用与（1）类似的方法确定的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度 估计近似值为止.（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位的值.）
1.与最接近的整数是( )
A.3 B.5 C.19 D.20
答案：A
解析：,
,
,
更接近3,
故选：A
2.估计的值在( )
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
答案：B
解析：∵，
，
∴，
故选B.
考向二 代数式及其运算
1.与列代数式有关的问题
列代数式，就是把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.其一般步骤是：① 审题，仔细分析问题中的基本术语的含义；② 根据问题中语言叙述表示的运算顺序列出代数式.
1.把一个两位数m放在一个三位数n的前面,组成一个五位数,这个五位数可表示为______.
答案：
解析：∵五位数是两位数m乘以1000,后边的三位数是n,
∴组成的五位数为.
故答案为.
2.与同类项的概念有关的问题
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，解题时，根据同类项的定义，可通过列方程（组）求解，得出字母的值.同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关.
1.若与是同类项，则的值为__________.
答案：9
解析：由同类项的定义可知，，所以.
3.与幂的运算有关的问题
解决与幂的运算有关的问题，常用如下性质：
（1）同底数幂的乘法：（为整数）.
（2）幂的乘方：（为整数）.
（3）积的乘方：（为整数）.
（4）同底数幂的除法：（，为整数）.
（5）零指数幂：.
（6）负整数指数幂：（，为正整数）.
（7）推广：① （为整数）；
②（，为整数）；
③（为整数）；
④（为整数）.
1.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：A、,计算错误,不符合题意；
B、,计算错误,不符合题意；
C、,计算正确,符合题意；
D、,计算错误,不符合题意；
故选C.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.,故原式不正确；
B.,故原式不正确；
C.,故原式不正确；
D.,正确；
故选D.
4.与乘法公式有关的问题
解决与乘法公式有关的问题，常用的乘法公式主要有：
（1）平方差公式：；
（2）完全平方公式：；
（3）.
因此要根据整式的不同特征，灵活运用乘法公式进行计算或化简.在整式中，如果出现相同的多项式，常把这个多项式看成一个整体进行计算或化简，体现了数学中整体思想的运用.
1.已知，则k的值为( )
A. B. C.10 D.
答案：A
解析：∵，
∴，
∴，
故选：A.
2.下列乘法中,不能运用平方差公式进行运算的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：A、C、D符合平方差公式的特点,故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数,故不能运用平方差公式进行运算.
故选：B.
5.整式的化简（计算）与求值问题
整式的运算是解决数学问题的基础，解整式的运算题时，要注意以下三点：一是熟练掌握运算法则；二是能运用公式的要运用公式；三是整式的混合运算，要注意运算的顺序.一般来讲，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，与此同时，还要防止出现符号的错误.整式的化简求值的一般方法：先把代数式化简，再把已知字母的值代入求值，有些问题也可以运用整体思想解决.
1.先化简，再求值：，其中，.
答案：，9
解析：
当，时，原式.
6.解因式分解的问题
因式分解的一般步骤：一提取，观察所给的多项式.如果有公因式，先提取公因式；二运用，当一个多项式的各项没有公因式（或已提出公因式后）时，考虑运用公式法分解因式.如果是二项式，应考虑选择平方差公式，如果是三项式，应考虑选择完全平方公式；三检查，检查分解因式是否彻底，应该使每一个因式都不能在分解为止.
1.因式分解：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
7.解代数式有、无意义的问题
①分式有、无意义；分母中含有字母的式子时分式，若分母中字母的取值使分母不等于零，则分式有意义；若分母中字母的取值使分母等于零，则分式无意义.
②二次根式有意义的条件：必须使被开方数为非负数，如果二次根式作为分母在分式中出现，必须使被开方数为正数，列出不等式，即可求出字母的取值范围.
1.若使分式有意义,x应满足的条件是：______.
答案：
解析：由题意可得：,
解得：,
故答案为：.
8.解分式的化简（计算）与求值问题
分式的混合运算与分数的混合运算类似，也是先进行乘除运算，再进行加减运算；当分式的混合运算含有括号时，一般应先计算括号内的；当分式的分子和分母是多项式时，应先将分子、分母分别分解因式，再进行通分或约分；分式运算的结果应化为最简分式或整式.
1.先化简，再求值：的值，其中.
答案：，1
解析：
，
原式.
2.先化简,再从1,,中选一个合适的数作为x的值代入求值.
答案：,
解析：
,
∵,
∴当时,原式.
9.解二次根式的运算题
在进行二次根式的混合运算时，要注意其运算的顺序和实数运算的顺序是一样的，实数运算中的运算律及乘法公式仍然适用，特别注意在进行运算前，要先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，运算结果是二次根式的都要化成最简二次根式.
二次根式的化简主要包括三个方面：（1）如果被开方数是整数或整式，先将它们分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；（2）如果被开方数中含有分母，通常可以利用分式的基本性质将分母配成完全平方数（式），再“开方”出来；（3）如果被开方数中含有完全平方数（式），可以利用算术平方根的性质，将其“开方”出来，在这一环节，二次根式的性质起着重要的作用.
计算：
答案：5
解析：原式
计算：
答案：0
解析：
.
