（6）三角形——中考数学考前回归教材
解题技巧
考向一 三角形
1.解三角形的三边关系问题
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
利用三角形三边之间的关系可以解决以下两类问题：（1）判断三条线段能否组成三角形：三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的线段，那么这三条线段能组成一个三角形.
（2）确定三角形第三边的取值范围：三角形两边为，则第三边必满足，由此便可确定第三边的取值范围.
【方法总结】
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段之和大于最长的线段，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
在给出一组线段，判断它们能否围成三角形时，应先分类讨论确定有多少种选择，再根据三角形的三边关系逐一进行验证.
1.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.求等腰三角形的边长问题
解决已知等腰三角形的周长和一边长求另两边长问题的方法：当题目没有明确已知边是底边还是腰时，则已知边可能是底边，也可能是腰，此时要分类讨论，并利用三角形的三边关系对每种情况进行检验，看能否组成三角形；若已经明确已知边是腰或底边，则不需要分类讨论.
1.若一个等腰三角形两边长分别为和,则它的周长为______.
3.解与三角形的高、中线有关的问题
三角形的高和中线是三角形中的两条重要线段.①从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；利用三角形的高可解决三角形相关角度的计算和面积计算的问题.钝角三角形由两条高线在三角形外部，对于无附图的几何题一般需要进行分类讨论.②三角形的顶点和它对边中点的连线叫做三角形的中线，三角形的每条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，因此这两个三角形的面积相等.
【方法总结】
由三角形的高可得的角，与三角形内角和、外角和相联系可解决三角形相关角度的计算问题，同时三角形的高是计算三角形面积的重要条件.
1.如图,在中,,,分别是边上的中线和高,若,,则的长为( )
A. B. C.1 D.
2.如图,在中,点D,E分别是边,的中点,连接,.若的面积是8,则的面积是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.求三角形内、外角的度数的问题
求三角形内角或外角的度数时，常用到的理论依据有两点：一是三角形内角和定理，即三角形的内角和等于；
二是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
1.如图，在中，，，，则的度数为_______.
2.如图，平分，，，那么等于( )
A. B. C. D.
5.与三角形内、外角平分线有关的问题
当题目中出现三角形的内角或外角的平分线时，常运用三角形外角与内角的关系以及三角形的内角和解决问题.
【规律总结】
三角形内角、外角平分线相交构成的角有如下规律：
（1）（两个内角的平分线）如图所示，在中，与的平分线交于点，则.
（2）（一个内角的平分线和一个外角的平分线）如图所示，在中，的平分线与的平分线交于点，则.
（3）（两个外角的平分线）如图所示，和是的两个外角，与的平分线交于点，则.
1.如图,和分别是的内角平分线和外角平分线,是的平分线,是的平分线,是的平分线,是的平分线,若,则__________________.
6.与三角形中位线有关的问题
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
三角形中位线分得的三角形两部分的面积比为1:3.
当已知三角形两边的中点时，可考虑运动三角形中位线定理，得相应线段的数量关系与位置关系.
1.如图,在中,,E为上一动点,M,N分别为,的中点,则的长为( )
A.4 B.3 C.2 D.不确定
考向二 全等三角形
1.利用全等三角形的性质解决问题
（1）利用全等三角形的性质解决线段问题时，先根据全等三角形的对应边相等，得出线段之间的相等关系，然后运动线段的和差进行转化，再根据等式性质、等量代换等，可证得结论或求出线段的长.
（2）利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系时，一般是判断直线是否平行或垂直，首先利用全等三角形的性质证明对应角相等，再结合平行线的判定或垂直的定义进行证明.
（3）利用全等三角形的性质得对应角相等，再结合三角形内角和定理找出所求角与已知角的关系，利用角的和差关系求出角的度数.
（4）全等三角形的面积相等，两个全等三角形的位置不同，但图形的形状、大小相同.
1.如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.解三角形全等的判定问题
证明两条线段相等（或两个角相等）的常用方法是证明这两条线段（或两个角）所在的三角形全等.
判定两个三角形全等的一般方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，对于直角三角形还有“HL”.
三角形全等的判定方法的选择：（1）当已知两边分别相等时，可找两边的夹角或第三边，利用“SAS”或“SSS”来证明两个三角形全等.（2）当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的对边，利用“ASA”或“AAS”来证明两个三角形全等.（3）当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS”来证明两个三角形全等.（4）当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等.（5）在直角三角形中除了利用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，还可以利用“HL”来证明两个三角形全等.
1.如图,点B、C分别在射线,上,点E,F都在内部的射线上,已知,且.
(1)求证：；
(2)试判断、、之间的数量关系,并说明理由.
2.如图，是等边三角形，D为AB延长线上一点，，且.求证：.
3.运用角平分线的性质解决问题
①证明线段的和差问题：要证一条线段等于另两条线段的和，可采用转化法，即将“大量”分成两部分，证它们分别等于两个“小量”.过角的平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得到线段相等.
②解决面积问题：这类题考查角平分线的性质及三角形的面积，通常是先由角平分线的性质求出三角形的高进而利用三角形的面积公式求出三角形的面积.
1.如图,是中的角平分线,于点E,,,,则长是______.
2.如图,在中,,,垂直平分,分别交,于点D,E,且,则( )
A.4 B.3 C.2 D.1
考向三 等腰三角形
1.用等腰三角形的性质证明边角关系
要证明一个角是另一个角的2倍，可作出等腰三角形顶角的平分线，把大角分为两个相等的小角，由等腰三角形的“三线合一”可得到直角三角形，在两个直角三角形中，由两锐角互余可解决问题.
1.如图,在等腰中,,点D是边上的中点,,交于点E.若,则的度数是( )
A. B. C. D.
2.等腰三角形的性质和判定的综合应用
要证明在同一个三角形中的两条线段相等，可考虑等腰三角形的判定——“等角对等边”；要证明同一个三角形中的两个角相等，可考虑等腰三角形的性质——“等边对等角”.
1.已知：如图,在中,,是的高,,与交于点E.求证：是等腰三角形.
3.解等边三角形问题
等边三角形时三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形又叫正三角形.等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于；所有边上的高、中线与所有角平分线都相等.
解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的角、三条边中任意两边都相等进行推理或计算.
【方法总结】
解等边三角形问题时，常把等边三角形问题转化为含角的直角三角形问题来解决.
1.如图,在等边三角形中,点D,E分别在边,上,且,过点E作,交的延长线于点F.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若,,求的长.
考向四 直角三角形
1.解求直角三角形的边长的问题
求直角三角形的边长时常用到以下性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.
求直角三角形的边长常用到的方法，要根据题目已知条件及图形特征灵活运用，并运用勾股定理进行推理或计算.
（1）当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线或中点（构造斜边上的中线）时，可以考虑应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
（2）善于在直角三角形中发现特殊角度产生的作用，如应用“角所对的直角边等于斜边的一半”“含角的直角三角形时等腰直角三角形，斜边上的高等于斜边的一半”等等.
（3）在解与直角三角形的边有关的问题时，通常考虑应用勾股定理.
1.如图，在中，，于点D，且，则_______
2.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生正对门,缓慢走到离门米的地方时(米),感应门自动打开,则______米.
2.解与直角三角形内角的度数有关的问题
遇到求直角三角形内角度数的问题时，常用“三角形内角和定理”“直角三角形两锐角互余”以及“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”来求解.
【方法总结】
在解与直角三角形内角的角度有关的问题时，可以利用“直角三角形的两锐角互余”或由边长的特殊关系来推特殊角度.
1.在中，，D为的中点，，则的长为( )
A. B. C.1 D.2
3.解勾股定理的证明问题
勾股定理的证明方法有很多种，而“面积法”是常用的证明方法.
证明勾股定理的方法是用两种不同的方法表示同一个图形的面积，列出含有的等式，利用整式的运算法则把等式整理后得到.
1.如图,若正方形A,B的面积分别为25和16,则正方形C的边长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
4.解最短路径问题
在立体图形上，求其表面上某两点间的最短距离，通常将立体图形转化为平面图形，将路径转化为线段.在平面图形中，连接这两个点所得到的的线段的长（根据“两点之间线段最短”），即为立体图形表面上某两点间的最短距离.要注意题干中要求的行进路线，不可想当然地展开.当路线不明确时，还需分类讨论再计算对比.
1.如图,在一个长方形草坪上,放着一根长方体的木块.已知米,米,该木块的较长边与平行,横截面是边长为2米的正方形,一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是____________米.
2.有一圆柱体如图,高,底面周长,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离为( ).
A.3 B.6 C.8 D.5（6）三角形——中考数学考前回归教材
解题技巧
考向一 三角形
1.解三角形的三边关系问题
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
利用三角形三边之间的关系可以解决以下两类问题：（1）判断三条线段能否组成三角形：三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的线段，那么这三条线段能组成一个三角形.
（2）确定三角形第三边的取值范围：三角形两边为，则第三边必满足，由此便可确定第三边的取值范围.
【方法总结】
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段之和大于最长的线段，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
在给出一组线段，判断它们能否围成三角形时，应先分类讨论确定有多少种选择，再根据三角形的三边关系逐一进行验证.
1.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案：C
解析：设该三角形的第三边的长为x，根据三角形的三边关系，得，即.
因为x为整数，所以x的值为4.
所以该三角形的周长为.
2.求等腰三角形的边长问题
解决已知等腰三角形的周长和一边长求另两边长问题的方法：当题目没有明确已知边是底边还是腰时，则已知边可能是底边，也可能是腰，此时要分类讨论，并利用三角形的三边关系对每种情况进行检验，看能否组成三角形；若已经明确已知边是腰或底边，则不需要分类讨论.
1.若一个等腰三角形两边长分别为和,则它的周长为______.
答案：
解析：当腰长是时,则三角形的三边是,,,不满足三角形的三边关系；
当腰长是时,三角形的三边是,,,,能构成三角形,此时三角形的周长,
故答案为:.
3.解与三角形的高、中线有关的问题
三角形的高和中线是三角形中的两条重要线段.①从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；利用三角形的高可解决三角形相关角度的计算和面积计算的问题.钝角三角形由两条高线在三角形外部，对于无附图的几何题一般需要进行分类讨论.②三角形的顶点和它对边中点的连线叫做三角形的中线，三角形的每条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，因此这两个三角形的面积相等.
【方法总结】
由三角形的高可得的角，与三角形内角和、外角和相联系可解决三角形相关角度的计算问题，同时三角形的高是计算三角形面积的重要条件.
1.如图,在中,,,分别是边上的中线和高,若,,则的长为( )
A. B. C.1 D.
答案：A
解析：∵是高,,,
∴,
∴,
∵,是中线,
∴,
故选：A.
2.如图,在中,点D,E分别是边,的中点,连接,.若的面积是8,则的面积是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：A
解析：∵点D是边的中点,的面积等于8,
∴,
∵E是的中点,
∴,
故选：A.
4.求三角形内、外角的度数的问题
求三角形内角或外角的度数时，常用到的理论依据有两点：一是三角形内角和定理，即三角形的内角和等于；
二是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
1.如图，在中，，，，则的度数为_______.
答案：/70度
解析：，，
，
，
，
故答案为：.
2.如图，平分，，，那么等于( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
故选.
5.与三角形内、外角平分线有关的问题
当题目中出现三角形的内角或外角的平分线时，常运用三角形外角与内角的关系以及三角形的内角和解决问题.
【规律总结】
三角形内角、外角平分线相交构成的角有如下规律：
（1）（两个内角的平分线）如图所示，在中，与的平分线交于点，则.
（2）（一个内角的平分线和一个外角的平分线）如图所示，在中，的平分线与的平分线交于点，则.
（3）（两个外角的平分线）如图所示，和是的两个外角，与的平分线交于点，则.
1.如图,和分别是的内角平分线和外角平分线,是的平分线,是的平分线,是的平分线,是的平分线,若,则__________________.
答案：
解析：和分别是的内角平分线和外角平分线,
,,
又,,
,
,
同理可得：,
,
则,
故答案为：.
6.与三角形中位线有关的问题
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
三角形中位线分得的三角形两部分的面积比为1:3.
当已知三角形两边的中点时，可考虑运动三角形中位线定理，得相应线段的数量关系与位置关系.
1.如图,在中,,E为上一动点,M,N分别为,的中点,则的长为( )
A.4 B.3 C.2 D.不确定
答案：B
解析：如图,在平行四边形中,.
,N分别为,的中点,
是的中位线,
.
故选：B.
考向二 全等三角形
1.利用全等三角形的性质解决问题
（1）利用全等三角形的性质解决线段问题时，先根据全等三角形的对应边相等，得出线段之间的相等关系，然后运动线段的和差进行转化，再根据等式性质、等量代换等，可证得结论或求出线段的长.
（2）利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系时，一般是判断直线是否平行或垂直，首先利用全等三角形的性质证明对应角相等，再结合平行线的判定或垂直的定义进行证明.
（3）利用全等三角形的性质得对应角相等，再结合三角形内角和定理找出所求角与已知角的关系，利用角的和差关系求出角的度数.
（4）全等三角形的面积相等，两个全等三角形的位置不同，但图形的形状、大小相同.
1.如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵，
∴，
∵，
∴；
故选B.
2.解三角形全等的判定问题
证明两条线段相等（或两个角相等）的常用方法是证明这两条线段（或两个角）所在的三角形全等.
判定两个三角形全等的一般方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，对于直角三角形还有“HL”.
三角形全等的判定方法的选择：（1）当已知两边分别相等时，可找两边的夹角或第三边，利用“SAS”或“SSS”来证明两个三角形全等.（2）当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的对边，利用“ASA”或“AAS”来证明两个三角形全等.（3）当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS”来证明两个三角形全等.（4）当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等.（5）在直角三角形中除了利用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，还可以利用“HL”来证明两个三角形全等.
1.如图,点B、C分别在射线,上,点E,F都在内部的射线上,已知,且.
(1)求证：；
(2)试判断、、之间的数量关系,并说明理由.
答案：(1)证明见解析
(2),理由见解析
解析：(1)证明：,
,
,
,
,
,
,
,
在和中,
,
；
(2),理由如下：
由(1)得：,
,,
,
.
2.如图，是等边三角形，D为AB延长线上一点，，且.求证：.
答案：见解析
解析：在等边中，.
，
，
.
在和中，
，
.
3.运用角平分线的性质解决问题
①证明线段的和差问题：要证一条线段等于另两条线段的和，可采用转化法，即将“大量”分成两部分，证它们分别等于两个“小量”.过角的平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得到线段相等.
②解决面积问题：这类题考查角平分线的性质及三角形的面积，通常是先由角平分线的性质求出三角形的高进而利用三角形的面积公式求出三角形的面积.
1.如图,是中的角平分线,于点E,,,,则长是______.
答案：6
解析：作于F,如图,
∵是中的角平分线,,,
∴,
∵,
∴,
∴.
故答案为6.
2.如图,在中,,,垂直平分,分别交,于点D,E,且,则( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：C
解析：连接
∵
垂直平分,
平分,
,
故选：C.
考向三 等腰三角形
1.用等腰三角形的性质证明边角关系
要证明一个角是另一个角的2倍，可作出等腰三角形顶角的平分线，把大角分为两个相等的小角，由等腰三角形的“三线合一”可得到直角三角形，在两个直角三角形中，由两锐角互余可解决问题.
1.如图,在等腰中,,点D是边上的中点,,交于点E.若,则的度数是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵,,
∴,
∴,
∵,点D是边上的中点,
∴,
∵,
∴,
故选：C.
2.等腰三角形的性质和判定的综合应用
要证明在同一个三角形中的两条线段相等，可考虑等腰三角形的判定——“等角对等边”；要证明同一个三角形中的两个角相等，可考虑等腰三角形的性质——“等边对等角”.
1.已知：如图,在中,,是的高,,与交于点E.求证：是等腰三角形.
答案：见解析.
解析：证明：∵
∴是等腰三角形,
∵是的高,
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
即是等腰三角形.
3.解等边三角形问题
等边三角形时三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形又叫正三角形.等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于；所有边上的高、中线与所有角平分线都相等.
解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的角、三条边中任意两边都相等进行推理或计算.
【方法总结】
解等边三角形问题时，常把等边三角形问题转化为含角的直角三角形问题来解决.
1.如图,在等边三角形中,点D,E分别在边,上,且,过点E作,交的延长线于点F.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若,,求的长.
答案：(1)见解析
(2)8
解析：(1)证明：∵是等边三角形,
∴.
∵,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴；
∴为等腰三角形.
(2)∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
由(1)可知,即是等边三角形,
∴.
又∵,
∴.
考向四 直角三角形
1.解求直角三角形的边长的问题
求直角三角形的边长时常用到以下性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.
求直角三角形的边长常用到的方法，要根据题目已知条件及图形特征灵活运用，并运用勾股定理进行推理或计算.
（1）当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线或中点（构造斜边上的中线）时，可以考虑应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
（2）善于在直角三角形中发现特殊角度产生的作用，如应用“角所对的直角边等于斜边的一半”“含角的直角三角形时等腰直角三角形，斜边上的高等于斜边的一半”等等.
（3）在解与直角三角形的边有关的问题时，通常考虑应用勾股定理.
1.如图，在中，，于点D，且，则_______
答案：30
解析：取的中点为E，连接，
中，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：30.
2.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生正对门,缓慢走到离门米的地方时(米),感应门自动打开,则______米.
答案：
解析：如图,过点作于点E,
米,米,米,
(米).
在中,由勾股定理得到(米),
故答案为：.
2.解与直角三角形内角的度数有关的问题
遇到求直角三角形内角度数的问题时，常用“三角形内角和定理”“直角三角形两锐角互余”以及“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”来求解.
【方法总结】
在解与直角三角形内角的角度有关的问题时，可以利用“直角三角形的两锐角互余”或由边长的特殊关系来推特殊角度.
1.在中，，D为的中点，，则的长为( )
A. B. C.1 D.2
答案：C
解析：如图，
∵，D为的中点，
∴.
∵，
∴.
故选：C.
3.解勾股定理的证明问题
勾股定理的证明方法有很多种，而“面积法”是常用的证明方法.
证明勾股定理的方法是用两种不同的方法表示同一个图形的面积，列出含有的等式，利用整式的运算法则把等式整理后得到.
1.如图,若正方形A,B的面积分别为25和16,则正方形C的边长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案：A
解析：设正方形A、B、C的边长分别为：a,b,c,
由题意得：,,,
∴,
∴(负值舍去).
故选A.
4.解最短路径问题
在立体图形上，求其表面上某两点间的最短距离，通常将立体图形转化为平面图形，将路径转化为线段.在平面图形中，连接这两个点所得到的的线段的长（根据“两点之间线段最短”），即为立体图形表面上某两点间的最短距离.要注意题干中要求的行进路线，不可想当然地展开.当路线不明确时，还需分类讨论再计算对比.
1.如图,在一个长方形草坪上,放着一根长方体的木块.已知米,米,该木块的较长边与平行,横截面是边长为2米的正方形,一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是____________米.
答案：10
解析：如图,将木块展开,即为所求,
则(米),米,
最短路径为：(米).
故答案为：10.
2.有一圆柱体如图,高,底面周长,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离为( ).
A.3 B.6 C.8 D.5
答案：D
解析：如图,
则的长就是蚂蚁爬行的最短距离,
∵C、D分别是、的中点,
∴,
∴由勾股定理得：,
∴蚂蚁爬行的最短距离为,
故选：D.
