2025届高三下学期5月适应性考试（三）数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C C D D A D B BC ABC BC
13. 14.
15.解:（1），
在 ABC中，由正弦定理得，，
由三角形内角和为可得，
，
即，
，，，
即，………………………………………………………………………………（5分）
又，，即………………………………………………（6分）
（2）设，令，，
在中，由正弦定理得，，
，…………………………………………………………（8分）
在 ABC中，由正弦定理得，，，，
……………………………………………………………………………（10分）
，
解得，
……………………………………………………………（13分）
16．解：（1）设数列的公差为，因为成等比数列，且，所以，
即，即，解得，所以，………………………（4分）
又因为，
当时，集合，所以集合中元素的个数；
当时，集合，所以集合中元素的个数.…………（6分）
（2）由集合 的元素个数为，
结合（1）可得，…………………………………………………………………（8分）
所以，
当时，可得；
当时，可得，………………………………………（13分）
又由，
所以数列为单调递增数列，所以的最小值是.………………………………………（15分）
17．解：（1）由题意得，
所以；………………………………（5分）
（2）列联表如下：
a b
c d
则，
所以，
…………………………………………………………………………………………………（9分）
同理，
所以
…………………………………………………………………（15分）
18．解：（1）对于任意不同的，有，，所以，
，
所以是上的“3类函数”………………………………………………………（4分）
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，
令，只需
，令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
，…………………………………………………………………………（7分）
由可转化为，
令，只需
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，
故…………………………………………………………………………………（11分）
（3）因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，
当时，；
当时，因为，
，
综上所述，，，…………………………………………………（17分）
19．解：（1）依题意，，，解得，
所以所求方程为…………………………………………………………………（4分）
（2）（i）设直线，由消去得，
设，则，直线的斜率分别为，
则
，
则，即，……………………………………………………（8分）
在中，令，则，
，
当且仅当时取等号，所以的最大值为……………………………………（10分）
（ii）当取最大值时，是边长为2的等边三角形，
过原点，
将沿轴折成三棱锥，将底面补成等腰梯形，
则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球．
过等腰梯形外心即中点作直线平面，
过中心作直线平面，则即为三棱锥外接球球心，
即为三棱锥外接球半径，
显然与重合时三棱锥外接球半径最小，
此时平面，三棱锥为正四面休，AN与交点即为中心，
平面，而平面，则PG⊥AM，
在等腰梯形中，，，则，即，
由平面，于是平面，
而平面，因此，
因此，………………………………………………（14分）
，
则三棱锥表面积为，
设三棱锥内切球半径为，
则，
解得……………………………………………………………………………（17分）
第1页，共1页2025届高三下学期5月适应性考试（三）
数 学 试 题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，已知，用，表示，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．在上是减函数，且曲线存在对称轴
B．在上是减函数，且曲线存在对称中心
C．在上是增函数，且曲线存在对称轴
D．在上是增函数，且曲线存在对称中心
5．已知等差数列的前项和为，且，则公差为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．2
6．若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7． 已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（ ）
A． B． C． D．
8．过双曲线右支上的点P作C的切线l，，为双曲线C的左右焦点，N为切线l上的一点，且若，则双曲线的离心率( )
A. B. C. 2 D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．数据的第百分位数为
B．已知随机变量，若，则
C．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，
则
，，，和，，，的方差分别为和，若且，
则
10．在正方体中，点为棱中点，则（ ）
A．过有且只有一条直线与直线和都相交
B．过有且只有一条直线与直线和都垂直
C．过有且只有一个平面与直线和都平行
D．过有且只有一个平面与直线和所成角相等
11．若，记为不超过的正整数中与互质（两个正整数除1之外，没有其余公因数）的正整数的个数，例如，则下面选项正确的是（ ）
A． B．
C．若是质数，则 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中的常数项为 （用数字作答）.
13．若函数在上恰有2个零点，则符合条件的a为 .
14．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
求的大小.
(2) 如图所示，为 ABC外一点，，，，求值.
16．（本小题15分）
已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合 的元素个数为.
求的值;
求满足的最小自然数的值.
（本小题15分）
在列联表（表一）的卡方独立性检验中，，其中为第i行第j列的实际频数，如，而第i行的行频率第j列的列频率总频数，为第i行第j列的理论频数，如.
abcd
10203040
（表一） （表二）
求表二列联表的值；
求证：题干中与课本公式等价，
其中.
18．（本小题17分）
若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，
则称为上的“类函数”.
若，判断是否为上的“3类函数”；
若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
19．（本小题17分）
已知椭圆 的上顶点为，且过点.
求椭圆的方程；
若斜率为的直线l与椭圆交于A，B 两点（直线 PA 斜率为正），直线 PA，PB（若P，B重
合，直线PB即为椭圆在P点处的切线）分别与x轴交于M，N两点，H为PN中点.
（i）求的最大值;
（ii）当最大时，将坐标平面沿x轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球表面积取得最小值时三棱锥的内切球的半径.
