华师大版七年级数学下册第九章多边形第3节用正多边形铺设地面2用多种正多边形

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华师大版数学七年级下册第九章第三节9.3.2用多种正多边形
同步练习
一.选择题
1. 下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（　　）
A．正三角形和正方形
B．正方形和正六边形
C．正三角形和正六边形
D．正五边形和正十边形
答案：B
解析：解答：A.正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°＋2×90°＝360°，故能铺满，不合题意；
B.正方形和正六边形内角分别为90°.120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；
C.正三角形和正六边形内角分别为60°.120°，2×60°＋2×120°＝360°，故能铺满，不合题意；
D.正五边形和正十边形内角分别为108°.144°，2×108°＋1×144°＝360°，故能铺满，不合题意．
故选：B．
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
2. 能够铺满地面的正多边形组合是（　　）
A．正六边形和正方形
B．正五边形和正八边形
C．正方形和正八边形
D．正三角形和正十边形
答案：C
解析：解答：A.正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m＋90n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B.正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，正八边形每个内角为135度，135m＋108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C.正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
D.正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m＋144n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
分析：能够铺满地面的图形，即是能够凑成360°的图形组合．
3. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（　　）
A．正八边形和正三角形
B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形
D．正六边形和正五边形
答案：C
解析：解答：A.正八边形的每个内角为：180°－360°÷8＝135°，正三角形的每个内角60°．135m＋60n＝360°，，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B.正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，正八边形的每个内角为：180°－360°÷8＝135°，108m＋135n＝360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
C.正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．∵2×120°＋2×60°＝360°，或120°＋4×60°＝360度，能铺满；
D.正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，120m＋108n＝360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
4. 正方形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，不能够铺满地面的是（　　）
A．正三角形
B．正六边形
C．正八边形
D．正三角形和正六边形
答案：B
解析：解答：A.正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°＋2×90°＝360°，∴能铺满地面；
B.正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90°m＋120°n＝360°，，显然n取任何整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C.正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，∵90°＋2×135°＝360°，∴能铺满地面；
D.正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度，∵60°＋2×90°＋120°＝360°，∴能铺满地面．
故选：B．
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
5. 小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：解答：A.正八边形.正三角形内角分别为135°.60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B.正方形.八边形内角分别为90°.135°，由于135×2＋90＝360，故能铺满；
C.正八边形的内角为135°，菱形的内角度数不确定，所以不一定能构成360°的周角，故不能铺满；
D.正六边形和正八边形内角分别为120°.135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
故选B．
分析：正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
6. 用边长相等的下列两种正多边形，不能进行平面镶嵌的是（　　）
A．等边三角形和正六边形
B．正方形和正八边形
C．正五边形和正十边形
D．正六边形和正十二边形
答案：D
解析：解答：A.正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°＋2×120°＝360°，能密铺，故此选项不合题意；
B.正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°＋90°＝360°，能密铺，故此选项不合题意；
C.正五形的每个内角是108°，正十边形的每个内角是144°，∵2×108°＋144°＝360°，能密铺，故此选项不合题意；
D.正六边形的每个内角是120°和正十二边形的每个内角是150°，120m＋150n＝360°，，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，符合题意．
故选：D．
分析：分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．
7. 一幅平面图案，在某个顶点处由四个正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形.正方形.正六边形，那么另外一个为（　　）
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
答案：B
解析：解答：∵正三角形.正四边形.正六边形的内角分别为60°.90°.120°，
又∵360°－60°－90°－120°＝90°，
∴另一个为正四边形．
故选B．
分析：正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
8. 用边长相等的黑色正三角形与白色正六边形镶嵌图案，按图①②③所示的规律依次下去，则第n个图案中，所包含的黑色正三角形和白色正六边形的个数总和是（　　）
A．
B．6n＋1
C．
D．2n＋4
答案：B
解析：解答：由图形可知图形①的黑色正三角形和白色正六边形的个数总和＝4×1＋3＝7个，
图形②的黑色正三角形和白色正六边形的个数总和＝4×2＋5＝13个…
依此类推，图形n的黑色正三角形和白色正六边形的个数总和＝4n＋2n＋1＝6n＋1个．
故选B．
分析：观察图形可知图形①的黑色正三角形＝4×1＝4，白色正六边形的个数＝3个，
图形②的黑色正三角形＝4×2＝8，白色正六边形的个数＝5个，
…
图形n的黑色正三角形＝4n，白色正六边形的个数＝2n＋1（个），依此类推．
9. 现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正三边形，可以再选择正n边形搭配，则下列选项中不能选择的n值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
答案：C
解析：解答：A.正三边形的每个内角是60°，60°×6＝360°，所以能密铺；
B.正方形的每个内角是90°，90°×2＋60°×3＝360°，所以能密铺；
C.正五边形每个内角是108°，显然不能与正三边形构成360°的周角，故不能密铺；
D.正六边形每个内角是120°，120°＋60°×4＝360°，所以能密铺；
故选C．
分析：根据密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可．
10. 一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是（　　）
A．3
B．5
C．8
D．12
答案：D
解析：解答：正方形的一个内角度数为180－360÷4＝90°，正六边形的一个内角度数为180－360÷6＝120°，
∴一个顶点处取一个角度数为90＋120＝210，
∴需要的多边形的一个内角度数为360－210＝150°，
∴需要的多边形的一个外角度数为180－150＝30°，
∴第三个正多边形的边数为360÷30＝12．
故选D．
分析：找到一个顶点处三种图形的内角度数加起来是360°的正多边形即可．
11. 利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖（ab≠0），则a＋b的值为（　　）
A．3或4
B．4或5
C．5或6
D．4
答案：B
解析：解答：∵正三边形和正六边形内角分别为60°.120°，
60°×4＋120°＝360°，或60°×2＋120°×2＝360°，
∴a＝4，b＝1或a＝2，b＝2，
①当a＝4，b＝1时，a＋b＝5；
②当a＝2，b＝2时，a＋b＝4．
故选B．
分析：正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
12. 由下列所给边长相同的正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　）
A．正方形和正六边形
B．正方形与正三角形
C．正三角形与正六边形
D．正三角形.正方形.正六边形
答案：A
解析：解答：A.正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m＋120n＝360°，，显然n取任何整数时，m不能得正整数，故不能铺满，符合题意；
B.正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°＋2×90°＝360°，∴能铺满地面，不符合题意；
C.正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120度，∵2×60°＋2×120°＝360°，∴能铺满地面，不符合题意；
D.正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度，∵60°＋2×90°＋120°＝360°，∴能铺满地面，不符合题意．
故选：A．
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
13. 用正三角形和正六边形密铺成平面，共有（ ）种拼法．
A．1
B．2
C．3
D．无数
答案：B
解析：解答：∵正六边形的每个内角为120°，正三角形的每个内角为60°，
∴120x＋60y＝360°，
当x＝2时，y＝2；
当x＝1时，y＝4．
所以在一个顶点处可以有2个正六边形和2个正三角形或1个正六边形和4个正三角形．
故选B．
分析：根据正六边形的每个内角为120°，正三角形的每个内角为60°，根据平面密铺的条件列出方程，讨论可得出答案．
14. 在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（　　）
A．正八边形和正方形
B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形
D．正三角形和正方形
答案：B
解析：解答：A.正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90°＋2×135°＝360°，故能铺满；
B.正五边形和正八边形内角分别为108°.135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
C.正六边形和正三角形内角分别为120°.60°，由于60×4＋120＝360，故能铺满；
D.正三角形.正方形内角分别为60°.90°，由于60×3＋90×2＝360，故能铺满．
故选B．
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
15. 下列正多边形组合中，能够铺满地面的组合是（　　）
①正方形和正六边形；
②正八边形和正方形；
③正方形.正十二边形和正六边形；
④正三角形.正方形和正六边形；
⑤正三角形和正方形．
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
答案：C
解析：解答：①正方形.正六边形内角分别为90°.120°，不能构成360°的周角，故不能铺满，故此选项错误；
②正八边形和正方形；正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面，故此选项正确；
③正方形.正十二边形和正六边形；因为正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，加在一起是210°，
另多边形一个内角度数为360°－210°＝150°，另一多边形边数为360÷（180－150）＝12，故此选项正确；
④正三角形.正方形和正六边形；1个正六边形，2个正方形，在一个顶点处的内角和为：120＋2×90＝300，
另多边形一个内角度数为360°－300°＝60°，另一多边形边数为360÷（180－60）＝3，故此选项正确；
⑤正三角形和正方形，正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°＋2×90°＝360°，∴用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和2个正方形，故此选项正确．
故符合题意的有4种．
故选：C．
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
二.填空题
16. 若工人师傅用正三角形.正十边形与正n边形这三种正多边形能够铺成平整的地面，则n的值为________．
答案：十五
解析：解答：正三边形和正十边形内角分别为60°.144°，正n边形的内角应为360°－60°－144°＝156°，所以正n边形为正十五边形．
故答案为：十五．
分析：能够铺满地面的图形，即是能够凑成360°的图形组合．
17. 用三种不同的正多边形地砖铺满地面，若其中有正三角形，正八边形，则另一个为正________边形．
答案：24
解析：解答：∵正三角形的内角是60°，正八边形的内角是135°，
∴另一个正多边形的内角是165°，
∴另一个正多边形是24边形；
故答案为：24．
分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
18. 与正三角形组合，能铺满地面的正多边形有：________．（请你写出一种）
答案：正方形
解析：解答：可以选正方形，
正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°＋2×90°＝360°，
∴正方形和正三角形能铺满地面，
故答案为：正方形．
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
19. 把边长为a的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需______个正三角形才可以镶嵌．
答案：3
解析：解答：∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
又∵3×60°＋2×90°＝360°，
∴用2个正方形，则还需3个正三角形才可以镶嵌．
故答案为：3．
分析：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°，进而得出正三角形的个数即可．
20. 如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，则第6层中含有正三角形个数是______．
答案：66
解析：解答：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，
故第6层中含有正三角形的个数是6＋12×5＝66（个）．
故答案为：66．
分析：分析.归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
三.解答题
21. 如图是以正八边形为“基本图形”构成的一种密铺图案．图中间的四边形是什么四边形，请说说你的理由．
答案：解答：由图形和平面镶嵌的知识可知图中间的四边形是正方形．
因为只有是正方形时，进行密铺，才能彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片．
解析：分析：根据图形的特点，观察图形即可得出图中间的四边形是正方形．
22. 一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是多少？
答案：解答：∵正方形和正六边形内角分别为90°.120°，
根据平面镶嵌的条件可知第三个正多边形的度数＝360°－90°－120°＝150°，
∴第三个正多边形的边数是12．
解析：分析：正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
23. 有下列正多边形：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正十二边形，从中任选二种或二种以上的图形结合在一起作平面镶嵌（每种图形可重复使用）．请你设计4种符合上述条件的平面镶嵌方案，并指出每一种设计方案所用到的正多边形的序号（不需要作出平面镶嵌图形）．
答案：解答：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，正六边形和正十二边形内角分别为120°.150°，
设计方案可为：（1）两个①两个③；
（2）一个①.一个③.两个②．
（3）一个③.四个①；
（4）一个①.两个④．
解析：分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
24. 正三角形，正四边形可以铺满地面，但正十二边形和正八边形均不能铺满地面．试问，
（1）正三角形和正十二边形的结合能否铺满地面？如果可以，举例说明；如果不行，说明理由．
（2）由正四边形和正八变形组合呢？
答案：解答：（1）∵正三角形的每个内角是60°，正十二边形的每个内角是150°，
又∵60°＋2×150°＝360°，
∴用1个正三角形和2个正十二边形的结合能铺满地面；
（2）∵正正四边形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，
又∵90°＋2×135°＝360°，
∴正四边形和正八边形组合能铺满地面．
解析：分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．依此即可求解（1）与（2）．
25. 一底角为60°的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等，同时使用这两种图形能否铺满平面？若能，请设计一个图案；若不能，请说明理由．
答案：解答：如图所示：
一底角为60°的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等，不能同时使用这两种图形能否铺满平面，
因为只有梯形上底等于腰长，下底等于上底的2倍，才能同时使用这两种图形能否铺满平面．
解析：分析：利用平面镶嵌的定义得出符合题意的图形即可．
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