第1节 直线与方程
[课程标准要求]
1.理解直线倾斜角和斜率的概念,并会计算.
2.根据确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式.
3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
5.掌握平面上的距离公式并会应用.
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为[0°,180°).
2.斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠90°),则斜率k=tan α.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则直线l的斜率k=.
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2－x1,y2－y1)=(x2－x1)·
(1,),因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k).
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0=k(x－x0) 不含直线x=x0
斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
两点式 = 不含直线x=x1和直线y=y1
截距式 +=1 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0, A2+B2≠0 平面直角坐标系内所有直线都适用
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,不是距离,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.在使用截距式时,应先判断,截距是否为0,若不确定,则分类讨论.
(2)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为x=ty+b.
4.两条直线的位置关系
(1)直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线,l2与l4是同一条直线,且k1,k2都存在,A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0)的位置关系如表:
位置 关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件
平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2－A2B1=0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 k1·k2=－1 A1A2+B1B2=0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
(2)两条直线的交点坐标.
若直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)相交,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
5.三种距离公式
(1)两点间的距离公式.
①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
②结论:|P1P2|=.
③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离 |OP|=.
(2)点到直线的距离.
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d=.
(3)两条平行直线间的距离.
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
2.点关于特殊的直线的对称问题的结论
点的坐标 对称直线 对称点的坐标
(x0,y0) y=x (y0,x0)
y=－x (－y0,－x0)
x=a (2a－x0,y0)
y=b (x0,2b－y0)
x+y+t=0 (－t－y0,－t－x0)
x－y+t=0 (y0－t,x0+t)
1.(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)已知点A(2,0),B(3,),则直线AB的倾斜角为( )
[A] 30° [B] 60° [C] 120° [D] 150°
2.(人教B版选择性必修第一册P77例1改编)已知直线l的倾斜角为,且直线经过P(－2,),Q(－m,0)两点,则实数m的值为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
3.(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x－2y+1=0与直线2x－4y－3=0的距离为( )
[A] [B] [C] [D]
4.(人教A版选择性必修第一册P80习题2.3 T16改编)直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)所过的定点的坐标为 .
5.(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T8改编)过点(0,3),且与直线x+y+1=0垂直的直线方程是 ,平行的直线方程是 .
考点一 直线的倾斜角与斜率
1.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
[A] k1[B] k3[C] k3[D] k12.(2025·广东佛山模拟)已知点A(2,3),B(－3,－2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是( )
[A] (,2)
[B] (－∞,)∪(2,+∞)
[C] (,+∞)
[D] (－∞,2)
3.(2025·四川达州模拟)已知曲线y=x3－x2上一个动点P,作曲线在点P处的切线,则切线倾斜角的取值范围为( )
[A] [0,] [B] [0,)∪[,π)
[C] [,π) [D] (,]
(1)斜率的两种求法:定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法:①图形观察(数形结合);②充分利用函数k=tan α的单调性,当α的取值由0增大到(α≠)时,k由0增大到+∞,当α的取值由(α≠)增大到π时,k由－∞增大到0,应注意当α为时,直线斜率不存在.
考点二 直线的方程
1.下列说法正确的是( )
[A] 经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y－y0=k(x－x0)表示
[B] 不经过原点的直线都可以用方程+=1表示
[C] 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
[D] 经过任意两个不同的点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1)(x－x1)表示
2.过点(2,1),且横截距为纵截距的两倍的直线方程为 .
3.已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),且l过点A(－4,3),则直线l的方程为 .
4.经过点A(－1,－3),且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍的直线方程为 .
1.求直线方程的两种方法
(1)直接法:由题意确定直线方程的适当形式.
(2)待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数.
2.求直线方程时的注意点
(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用.若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.
(3)求解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.
考点三 两直线的位置关系
角度1 两条直线的平行与垂直
[例1] (2025·天津模拟)(1)“a=1”是“直线ax+2y－8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的( )
[A] 充要条件
[B] 充分不必要条件
[C] 必要不充分条件
[D] 既不充分也不必要条件
(2)若直线ax－4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,垂足为(1,b),则a+b+c等于( )
[A]－6 [B] 4 [C]－10 [D]－4
角度2 两直线的交点与距离问题
[例2] (1)过点A(－1,2),到原点的距离等于1的直线方程为 .
(2)(2025·广东佛山模拟)过直线x+2y+1=0与直线2x－y+1=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
利用距离公式应注意:①求解一个点到直线的距离时,不要忘记直线斜率不存在的情况;②求两条平行直线之间的距离时,应先将直线方程化为对应系数相等的一般方程.
[针对训练]
1.(角度1)已知倾斜角为θ的直线l与直线3x－4y－1=0垂直,则cos θ的值为( )
[A] [B]
[C] [D]
2.(角度2)已知直线l1:mx+y－3=0与直线l2:x－y－m=0平行,则直线l1,l2之间的距离是( )
[A] 2 [B] 4 [C] [D] 2
考点四 对称问题
角度1 点(或直线)关于点对称
[例3] (2025·福建泉州模拟)直线3x－2y=0关于点(,0)对称的直线方程为( )
[A] 2x－3y=0 [B] 3x－2y－2=0
[C] x－y=0 [D] 2x－3y－2=0
点关于点对称问题的求解方法
点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足
角度2 点(或直线)关于直线对称
[例4] (2025·山东淄博模拟)已知两点A(－4,8),B(2,4),点C在直线y=x+1上,则|AC|+|BC|的最小值为( )
[A] 2 [B] 9 [C] [D] 10
1.点关于线对称问题的求解方法
解决点关于直线对称的问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直.
2.直线关于直线的对称问题的求解方法
(1)若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式
求解;
(2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点式求解.
[针对训练]
1.(角度2)直线2x－y+3=0关于直线x－y+2=0对称的直线方程是( )
[A] x－2y+3=0
[B] x－2y－3=0
[C] x+2y+1=0
[D] x+2y－1=0
2.(角度1)(2025·江西宜春模拟)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c= .
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
直线的倾斜角与斜率 1
直线方程及其应用 2,3,5,13,14,15
两条直线的位置关系与距离 4,8,9,10,12,16
对称问题 6,7,11
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江苏泰州模拟)已知直线l1:x+3y+1=0,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角是( )
[A] 150° [B] 120° [C] 60° [D] 30°
2.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足( )
[A] ab>0,bc<0 [B] ab>0,bc>0
[C] ab<0,bc>0 [D] ab<0,bc<0
3.过点A(3,4),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程不可能是( )
[A] 4x－3y=0 [B] x－y+1=0
[C] x+y－1=0 [D] x+y－7=0
4.(多选题)已知动点A,B分别在直线l1:3x－4y+6=0与l2:3x－4y+10=0上移动,则线段AB的中点P到坐标原点O的距离可能为( )
[A] [B] [C] [D]
5.(5分)过两直线l1:x－3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为 .
6.(5分)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y－8=0和l2:x－3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 .
7.(5分)(2025·湖南长沙模拟)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l:x－y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 .
8.(12分)已知直线l:x－2y－3=0.
(1)若直线l1过点M(2,－1),且l1⊥l,求直线l1的方程;
(2)若直线l2∥l,且直线l2与直线l之间的距离为,求直线l2的方程.
9.(2025·重庆模拟)当点P(－1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y－(4λ+2)=0的距离最大时,实数λ的值为( )
[A] －1 [B] 1
[C] －2 [D] 2
10.(多选题)(2025·陕西西安模拟)已知平行四边形ABCD的三条边所在直线的方程分别是l1:x+y－3=0,l2:x－2y+3=0,l3:x+y－6=0,l1,l2的交点为A,l2,l3的交点为B,且平行四边形ABCD的面积为5,则( )
[A] A的坐标为(2,1)
[B] B的坐标为(3,3)
[C] 平行四边形ABCD第四条边所在直线的方程可能为x－2y+8=0
[D] 平行四边形ABCD第四条边所在直线的方程可能为x－2y－2=0
11.已知实数x,y满足x+y+1=0,则+的最小值为( )
[A] [B] 2
[C] [D] 2
12.曲线C:xy=1(x>0)上到直线x+16y+2=0距离最短的点的坐标为( )
[A] (,4) [B] (4,)
[C] (－4,) [D] (,－4)
13.(5分)已知△ABC的顶点C(5,6),边BC上的中线AD所在直线方程为x+4y－16=0,边AC上的高BE所在直线方程为5x+2y－15=0,则△ABC的面积为 .
14.(15分)已知直线l:(a－1)y=(2a－3)x+1.
(1)求证:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围;
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求l的方程.
15.(多选题)(2024·江西南昌模拟)已知集合A={(x,y)|x+ay+2a=0},B={(x,y)|ax+ay－1=0},则下列结论正确的是( )
[A] a∈R,A≠
[B] 当a=－1时,A∩B={(,)}
[C] 当A∩B= 时,a=1
[D] a∈R,使得A=B
16.(5分)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则满足条件的实数a的一个值为 (写出一个即可,不必考虑所有情况).
第1节 直线与方程（解析版）
[课程标准要求]
1.理解直线倾斜角和斜率的概念,并会计算.
2.根据确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式.
3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
5.掌握平面上的距离公式并会应用.
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为[0°,180°).
2.斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠90°),则斜率k=tan α.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则直线l的斜率k=.
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2－x1,y2－y1)=(x2－x1)·
(1,),因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k).
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0=k(x－x0) 不含直线x=x0
斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
两点式 = 不含直线x=x1和直线y=y1
截距式 +=1 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0, A2+B2≠0 平面直角坐标系内所有直线都适用
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,不是距离,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.在使用截距式时,应先判断,截距是否为0,若不确定,则分类讨论.
(2)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为x=ty+b.
4.两条直线的位置关系
(1)直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线,l2与l4是同一条直线,且k1,k2都存在,A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0)的位置关系如表:
位置 关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件
平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2－A2B1=0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 k1·k2=－1 A1A2+B1B2=0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
(2)两条直线的交点坐标.
若直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)相交,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
5.三种距离公式
(1)两点间的距离公式.
①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
②结论:|P1P2|=.
③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离 |OP|=.
(2)点到直线的距离.
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d=.
(3)两条平行直线间的距离.
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
2.点关于特殊的直线的对称问题的结论
点的坐标 对称直线 对称点的坐标
(x0,y0) y=x (y0,x0)
y=－x (－y0,－x0)
x=a (2a－x0,y0)
y=b (x0,2b－y0)
x+y+t=0 (－t－y0,－t－x0)
x－y+t=0 (y0－t,x0+t)
1.(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)已知点A(2,0),B(3,),则直线AB的倾斜角为( )
[A] 30° [B] 60° [C] 120° [D] 150°
【答案】 B
【解析】 由题意得直线AB的斜率k==,设直线AB的倾斜角为α,则tan α=,
因为0°≤α<180°,
所以α=60°.故选B.
2.(人教B版选择性必修第一册P77例1改编)已知直线l的倾斜角为,且直线经过P(－2,),Q(－m,0)两点,则实数m的值为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
【答案】 B
【解析】 由题意,直线l的斜率为k=tan==,解得m=3.故选B.
3.(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x－2y+1=0与直线2x－4y－3=0的距离为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 由直线2x－4y－3=0得,x－2y=0,根据两条平行线间的距离公式知d==.故选A.
4.(人教A版选择性必修第一册P80习题2.3 T16改编)直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)所过的定点的坐标为 .
【答案】 (1,－1)
【解析】 直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)可以化为m(y+1)+y+x=0,
令解得
故所过的定点的坐标为(1,－1).
5.(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T8改编)过点(0,3),且与直线x+y+1=0垂直的直线方程是 ,平行的直线方程是 .
【答案】 x－y+3=0 x+y－3=0
【解析】 与直线x+y+1=0垂直的直线方程可设为y－x+t=0,将(0,3)代入可得t=－3,即x－y+3=0.
与直线x+y+1=0平行的直线方程可设为x+y+λ=0(λ≠1),将(0,3)代入可得λ=－3,即x+y－3=0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
1.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
[A] k1[B] k3[C] k3[D] k1【答案】 D
【解析】 直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以 02.(2025·广东佛山模拟)已知点A(2,3),B(－3,－2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是( )
[A] (,2)
[B] (－∞,)∪(2,+∞)
[C] (,+∞)
[D] (－∞,2)
【答案】 A
【解析】 由已知得kAP==2,kBP==.如图,
因为直线l与线段AB始终没有交点,所以斜率k的取值范围是(,2).故选A.
3.(2025·四川达州模拟)已知曲线y=x3－x2上一个动点P,作曲线在点P处的切线,则切线倾斜角的取值范围为( )
[A] [0,] [B] [0,)∪[,π)
[C] [,π) [D] (,]
【答案】 B
【解析】 因为y′=x2－2x=(x－1)2－1≥－1,所以切线的斜率k≥－1,所以切线的倾斜角α∈ [0,)∪[,π).故选B.
(1)斜率的两种求法:定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法:①图形观察(数形结合);②充分利用函数k=tan α的单调性,当α的取值由0增大到(α≠)时,k由0增大到+∞,当α的取值由(α≠)增大到π时,k由－∞增大到0,应注意当α为时,直线斜率不存在.
考点二 直线的方程
1.下列说法正确的是( )
[A] 经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y－y0=k(x－x0)表示
[B] 不经过原点的直线都可以用方程+=1表示
[C] 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
[D] 经过任意两个不同的点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1)(x－x1)表示
【答案】 D
【解析】 A错误,斜率不存在,则不可用;B错误,与坐标轴垂直的直线不可用;C错误,y轴不可用;仅D可用,正确.故选D.
2.过点(2,1),且横截距为纵截距的两倍的直线方程为 .
【答案】 x－2y=0或x+2y－4=0
【解析】 当横截距与纵截距都为0时,可设直线方程为y=kx,
又直线过点(2,1),
所以1=2k,解得k=,
所以直线方程为y=x,即x－2y=0;
当横截距与纵截距都不为0时,可设直线方程为+=1,
由题意可得解得
所以直线方程为+=1,即x+2y－4=0.
综上,所求直线方程为x－2y=0或x+2y－4=0.
3.已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),且l过点A(－4,3),则直线l的方程为 .
【答案】 3x－2y+18=0
【解析】 因为直线l的一个方向向量为n=(2,3),
所以直线l的斜率k=,
故直线l的方程为y－3=(x+4),
即3x－2y+18=0.
4.经过点A(－1,－3),且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍的直线方程为 .
【答案】 3x+4y+15=0
【解析】 设直线y=3x的倾斜角为α,
则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α=3,所以tan 2α==.
又直线经过点A(－1,－3),
因此所求直线方程为y+3=(x+1),
即3x+4y+15=0.
1.求直线方程的两种方法
(1)直接法:由题意确定直线方程的适当形式.
(2)待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数.
2.求直线方程时的注意点
(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用.若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.
(3)求解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.
考点三 两直线的位置关系
角度1 两条直线的平行与垂直
[例1] (2025·天津模拟)(1)“a=1”是“直线ax+2y－8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的( )
[A] 充要条件
[B] 充分不必要条件
[C] 必要不充分条件
[D] 既不充分也不必要条件
(2)若直线ax－4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,垂足为(1,b),则a+b+c等于( )
[A]－6 [B] 4 [C]－10 [D]－4
【答案】 (1)A (2)D
【解析】 (1)设直线l1:ax+2y－8=0,直线l2:x+(a+1)y+4=0.若l1与l2平行,则a(a+1)－2=0,即a2+a－2=0,解得a=1或a=－2.当a=－2时,直线l1的方程为－2x+2y－8=0,即x－y+4=0,直线l2的方程为x－y+4=0,此时两直线重合,故a≠－2.当a=1时,直线l1的方程为x+2y－8=0,直线l2的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故“a=1”是“直线ax+2y－8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.故选A.
(2)因为ax－4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,故2a－20=0,
即a=10,因为垂足为(1,b),
故故
故a+b+c=－4.故选D.
角度2 两直线的交点与距离问题
[例2] (1)过点A(－1,2),到原点的距离等于1的直线方程为 .
(2)(2025·广东佛山模拟)过直线x+2y+1=0与直线2x－y+1=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
【答案】 (1)3x+4y－5=0或x=－1
(2)x－3y=0或5x+5y+4=0
【解析】 (1)当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y－2=k(x+1),
即kx－y+k+2=0.
由题意可得=1,解得k=,因此所求直线的方程为3x+4y－5=0.
当直线的斜率不存在时,直线x=－1满足题意.
综上,所求直线的方程为3x+4y－5=0或x=－1.
(2)联立两直线方程得交点为(,),所求直线过此点.
若直线过原点,此时所求直线方程为
y=x=x,
即x－3y=0;
若直线不过原点,可设直线方程为+=1,
将代入可得a=,此时所求直线方程为5x+5y+4=0.
综上所述,所求直线方程为x－3y=0或5x+5y+4=0.
利用距离公式应注意:①求解一个点到直线的距离时,不要忘记直线斜率不存在的情况;②求两条平行直线之间的距离时,应先将直线方程化为对应系数相等的一般方程.
[针对训练]
1.(角度1)已知倾斜角为θ的直线l与直线3x－4y－1=0垂直,则cos θ的值为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由垂直知两直线的斜率之积为－1,而直线3x－4y－1=0的斜率为,则l的斜率为,即tan θ=,θ为钝角,则cos θ=.
故选A.
2.(角度2)已知直线l1:mx+y－3=0与直线l2:x－y－m=0平行,则直线l1,l2之间的距离是( )
[A] 2 [B] 4 [C] [D] 2
【答案】 C
【解析】 因为直线l1:mx+y－3=0与直线l2:x－y－m=0平行,
所以=≠,
解得m=－1.
所以直线l1的方程为x－y+3=0,直线l2的方程为x－y+1=0.
由平行直线间的距离公式,得d===.故选C.
考点四 对称问题
角度1 点(或直线)关于点对称
[例3] (2025·福建泉州模拟)直线3x－2y=0关于点(,0)对称的直线方程为( )
[A] 2x－3y=0 [B] 3x－2y－2=0
[C] x－y=0 [D] 2x－3y－2=0
【答案】 B
【解析】 法一 设所求直线上任一点为(x,y),则其关于点(,0)对称的点为(x,－y),因为点(x,－y)在直线3x－2y=0上,所以3(x)－2(－y)=0,化简得3x－2y－2=0,所以所求直线方程为3x－2y－2=0.故选B.
法二 在直线3x－2y=0上任取两点O(0,0),M(2,3),设点O,M关于点(,0)的对称点分别为O′,M′,则O′(,0),M′(,－3),所以所求直线方程为=,即3x－2y－2=0. 故选B.
点关于点对称问题的求解方法
点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足
角度2 点(或直线)关于直线对称
[例4] (2025·山东淄博模拟)已知两点A(－4,8),B(2,4),点C在直线y=x+1上,则|AC|+|BC|的最小值为( )
[A] 2 [B] 9 [C] [D] 10
【答案】 C
【解析】 依题意,设B(2,4)关于直线y=x+1对称的点为B′(m,n),
所以
解得
所以B′(3,3),连接AB′,交直线y=x+1于点C′,连接BC′,如图,
在直线y=x+1上任取点C,连接AC,BC,B′C,显然,直线y=x+1垂直平分线段BB′,
则有|AC|+|BC|=|AC|+|B′C|≥|AB′|,
所以(|AC|+|BC|)min=|AB′|
==,
故|AC|+|BC|的最小值为.
故选C.
1.点关于线对称问题的求解方法
解决点关于直线对称的问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直.
2.直线关于直线的对称问题的求解方法
(1)若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式
求解;
(2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点式求解.
[针对训练]
1.(角度2)直线2x－y+3=0关于直线x－y+2=0对称的直线方程是( )
[A] x－2y+3=0
[B] x－2y－3=0
[C] x+2y+1=0
[D] x+2y－1=0
【答案】 A
【解析】 设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x－y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
由得
因为点P′(x0,y0)在直线2x－y+3=0上,所以2(y－2)－(x+2)+3=0,即x－2y+3=0.故所求直线方程为x－2y+3=0.故选A.
2.(角度1)(2025·江西宜春模拟)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c= .
【答案】 －10
【解析】 在直线l1:2x+y+2=0上取点M(－1,0),N(0,－2),则点M,N关于点P(1,0)的对称点分别为M1(3,0),N1(2,2).因为点M1(3,0),N1(2,2)在直线l2:4x+by+c=0上,所以12+c=0,
8+2b+c=0,解得c=－12,b=2,所以b+c=－10.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
直线的倾斜角与斜率 1
直线方程及其应用 2,3,5,13,14,15
两条直线的位置关系与距离 4,8,9,10,12,16
对称问题 6,7,11
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江苏泰州模拟)已知直线l1:x+3y+1=0,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角是( )
[A] 150° [B] 120° [C] 60° [D] 30°
【答案】 C
【解析】 由x+3y+1=0,得y=x,则=,因为直线l2与l1垂直,所以·=－1,所以·=－1,得=,设直线l2的倾斜角为θ,则tan θ=,因为0°≤θ<180°,所以θ=60°.
故选C.
2.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足( )
[A] ab>0,bc<0 [B] ab>0,bc>0
[C] ab<0,bc>0 [D] ab<0,bc<0
【答案】 A
【解析】 由题意知直线的斜率存在,那么直线ax+by+c=0可变形为y=x,要使直线经过第一、第二、第四象限,则即ab>0,bc<0.故选A.
3.过点A(3,4),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程不可能是( )
[A] 4x－3y=0 [B] x－y+1=0
[C] x+y－1=0 [D] x+y－7=0
【答案】 C
【解析】 直线在两坐标轴上截距的绝对值相等,即|a|=|b|,则a=b或a=－b.当 a=b=0时,则直线设为y=kx,将A(3,4)代入,解得k=,此时直线方程为y=x,即4x－3y=0,故A符合;当a=－b≠0时,则直线设为+=1,即+=1,将A(3,4)代入,解得a=－1,b=1,此时直线方程为+=1,即x－y+1=0,故B符合;当 a=b≠0时,则直线设为+=1,即+=1,将A(3,4)代入,解得a=b=7,此时直线方程为+=1,即x+y－7=0,故D符合.故选C.
4.(多选题)已知动点A,B分别在直线l1:3x－4y+6=0与l2:3x－4y+10=0上移动,则线段AB的中点P到坐标原点O的距离可能为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 CD
【解析】 因为动点A,B分别在直线l1:3x－4y+6=0与l2:3x－4y+10=0上移动,又线段AB的中点为P,l2∥l1,
所以P在直线l:3x－4y+8=0上运动,
所以O到直线l的距离d==.
所以P到坐标原点O的距离大于等于.故选CD.
5.(5分)过两直线l1:x－3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为 .
【答案】 3x+19y=0
【解析】 法一 联立
解得即直线l1:x－3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点为(,),故过该交点和原点的直线方程为3x+19y=0.
法二 过两直线交点的直线系方程为x－3y+4+λ(2x+y+5)=0,代入原点坐标,求得λ=,故所求直线方程为x－3y+4(2x+y+5)=0,即3x+19y=0.
6.(5分)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y－8=0和l2:x－3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 .
【答案】 x+4y－4=0
【解析】 设l1与l的交点为A(a,8－2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上,代入l2的方程得－a－3(2a－6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为+y=1,即x+4y－4=0.
7.(5分)(2025·湖南长沙模拟)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l:x－y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 .
【答案】 6x－y－6=0
【解析】 设点M(－3,4)关于直线l:x－y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,
所以解得a=1,b=0.
又反射光线经过点N(2,6),
所以所求直线的方程为=,
即6x－y－6=0.
8.(12分)已知直线l:x－2y－3=0.
(1)若直线l1过点M(2,－1),且l1⊥l,求直线l1的方程;
(2)若直线l2∥l,且直线l2与直线l之间的距离为,求直线l2的方程.
【解】 (1)由题可知直线l的斜率k=,因为l1⊥l,所以直线l1的斜率为－2,所以直线l1的方程是 y+1=－2(x－2),即2x+y－3=0.
(2)设直线l2:x－2y+C=0(C≠－3),则平行线l2与l之间的距离d==,得C=2或C=－8,所以直线l2的方程是x－2y+2=0或 x－2y－8=0.
9.(2025·重庆模拟)当点P(－1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y－(4λ+2)=0的距离最大时,实数λ的值为( )
[A] －1 [B] 1
[C] －2 [D] 2
【答案】 B
【解析】 直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y－(4λ+2)=0,整理得λ(3x+y－4)+(x+y－2)=0,由可得故直线恒过点A(1,1),点P(－1,0)到A(1,1)的距离dmax==,故kPA==;直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y－(4λ+2)=0的斜率k=,故·=－1,解得λ=1.故选B.
10.(多选题)(2025·陕西西安模拟)已知平行四边形ABCD的三条边所在直线的方程分别是l1:x+y－3=0,l2:x－2y+3=0,l3:x+y－6=0,l1,l2的交点为A,l2,l3的交点为B,且平行四边形ABCD的面积为5,则( )
[A] A的坐标为(2,1)
[B] B的坐标为(3,3)
[C] 平行四边形ABCD第四条边所在直线的方程可能为x－2y+8=0
[D] 平行四边形ABCD第四条边所在直线的方程可能为x－2y－2=0
【答案】 BCD
【解析】 由解得
所以A(1,2),由解得
所以B(3,3),故A错误,B正确,
由于l1∥l3,故l2∥l4,且l1,l3之间的距离为=,
根据平行四边形ABCD的面积为5,
故|AD|=,设l4:x－2y+c=0,则D(2a－c,a),D(2a－c,a)在l1上,
所以2a－c+a－3=0,
又|AD|==,
解得或所以直线l4方程可能为x－2y+8=0和x－2y－2=0,C,D正确.故选BCD.
11.已知实数x,y满足x+y+1=0,则+的最小值为( )
[A] [B] 2
[C] [D] 2
【答案】 D
【解析】+表示直线x+y+1=0上一动点P(x,y)到定点A(1,1),B(2,0)的距离之和,如图所示,
设点A(1,1)关于直线x+y+1=0的对称点为A′(x0,y0),则
解得所以对称点为A′(－2,－2),则|A′B|==2,由图知+的最小值为2.故选D.
12.曲线C:xy=1(x>0)上到直线x+16y+2=0距离最短的点的坐标为( )
[A] (,4) [B] (4,)
[C] (－4,) [D] (,－4)
【答案】 B
【解析】 设曲线C:xy=1(x>0)上的点A的坐标为(m,),m>0,则点A到直线x+16y+2=0的距离d==≥=,当且仅当m=,即m=4时,等号成立,此时点A的坐标为(4,).故选B.
13.(5分)已知△ABC的顶点C(5,6),边BC上的中线AD所在直线方程为x+4y－16=0,边AC上的高BE所在直线方程为5x+2y－15=0,则△ABC的面积为 .
【答案】 13
【解析】 依题意,AC⊥BE,设直线AC的方程为2x－5y+m=0,于是2×5－5×6+m=0,解得m=20,即直线AC:2x－5y+20=0,
由
解得即点A(0,4),
设点B(a,b),则线段BC的中点D(,),于是解得
即点B(3,0),因此点B(3,0)到直线AC的距离
d==,
|AC|==,
所以△ABC的面积为|AC|·d=××=13.
14.(15分)已知直线l:(a－1)y=(2a－3)x+1.
(1)求证:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围;
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求l的方程.
(1)【证明】 由l:(a－1)y=(2a－3)x+1,即a(2x－y)－3x+y+1=0,则解得所以直线过定点(1,2).
(2)【解】 如图所示,结合图象可知,当a=1时,直线斜率不存在,方程为x=1,不经过第二象限,成立;当a≠1时,直线斜率存在,方程为y=x+,
又直线不经过第二象限,则解得a<1.综上所述,所求实数a的取值范围为{a|a≤1}.
(3)【解】 已知直线l:(a－1)y=(2a－3)x+1,
且由题意知a≠1,
令x=0,得y=>0,得a>1,
令y=0,得x=>0,得a<,
则S=××==,
所以当a=时,S取最小值,此时直线l的方程为(1)y=(2×3)x+1,即2x+y－4=0.
15.(多选题)(2024·江西南昌模拟)已知集合A={(x,y)|x+ay+2a=0},B={(x,y)|ax+ay－1=0},则下列结论正确的是( )
[A] a∈R,A≠
[B] 当a=－1时,A∩B={(,)}
[C] 当A∩B= 时,a=1
[D] a∈R,使得A=B
【答案】 AB
【解析】 对于选项A,因为x+ay+2a=0表示过定点(0,－2),且斜率不为0的直线,可知A={(x,y)|x+ay+2a=0}表示直线x+ay+2a=0上所有的点,所以 a∈R,A≠ ,故A正确;
对于选项B,当a=－1时,则A={(x,y)|x－y－2=0)},B={(x,y)|x+y+1=0)},联立得方程组
解得
所以A∩B={(,) },故B正确;
对于选项C,当A∩B= 时,则有:若B= ,则a=0;若B≠ ,可知直线x+ay+2a=0与直线ax+ay－1=0平行,且a≠0,可得=≠,解得a=1.综上所述,a=0或a=1,故C错误;
对于选项D,若A=B,由选项C可知a≠0,且==,无解,故D错误.
故选AB.
16.(5分)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则满足条件的实数a的一个值为 (写出一个即可,不必考虑所有情况).
【答案】 －1(或1或－2)
【解析】 ①当a=1时,直线l1,l2,l3重合,不能构成三角形,符合题意.
②当a≠1时,若三条直线交于一点,则不能构成三角形.由得直线l2,l3的交点坐标为(－a－1,1),代入直线l1的方程ax+y+1=0得a2+a－2=0,解得a=－2或a=1(舍去).
若三条直线中有两条平行或重合,则不能构成三角形,若l1和l3平行或重合,则a=1(舍去);若l2和l3平行或重合,则a=1(舍去);若l1和l2平行或重合,则－a=,得a=1(舍去)或a=－1,符合题意.综上,实数a所有可能的值为－1,1,－2.(共89张PPT)
第1节 直线与方程
第八章 平面解析几何
1.理解直线倾斜角和斜率的概念,并会计算.
2.根据确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式.
3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
5.掌握平面上的距离公式并会应用.
[课程标准要求]
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴 时,我们规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为 .
向上
平行或重合
[0°,180°)
知识梳理
2.斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠90°),则斜率k= .
tan α
释疑
知识梳理
3.直线方程的五种形式
y－y0=k(x－x0)
y=kx+b
Ax+By+C=0,
A2+B2≠0
释疑
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,不是距离,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.在使用截距式时,应先判断,截距是否为0,若不确定,则分类讨论.
(2)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为x=ty+b.
知识梳理
4.两条直线的位置关系
(1)直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线,l2与l4是同一条直线,且k1,k2都存在,A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0)的位置关系如表:
位置关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件
平行
垂直
相交
k1=k2且b1≠b2
A1B2－A2B1=0且A1C2－A2C1≠0
k1·k2=－1
A1A2+B1B2=0
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
知识梳理
(2)两条直线的交点坐标.
5.三种距离公式
(1)两点间的距离公式.
①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
②结论:|P1P2|= .
知识梳理
③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离 |OP|= .
(2)点到直线的距离.
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
(3)两条平行直线间的距离.
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d= .
重要结论
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,
且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay+n=0(n∈R).
重要结论
2.点关于特殊的直线的对称问题的结论
点的坐标 对称直线 对称点的坐标
(x0,y0) y=x (y0,x0)
y=－x (－y0,－x0)
x=a (2a－x0,y0)
y=b (x0,2b－y0)
x+y+t=0 (－t－y0,－t－x0)
x－y+t=0 (y0－t,x0+t)
对点自测
[A] 30° [B] 60° [C] 120° [D] 150°
B
对点自测
B
对点自测
3.(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x－2y+1=0与直线2x－4y－3=0的距离为( )
A
对点自测
4.(人教A版选择性必修第一册P80习题2.3 T16改编)直线x+(m+1)y+m=0
(m∈R)所过的定点的坐标为 .
对点自测
(1,－1)
对点自测
5.(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T8改编)过点(0,3),且与直线x+y+1=0垂直的直线方程是 ,平行的直线方程是
.
x－y+3=0
x+y－3=0
【解析】 与直线x+y+1=0垂直的直线方程可设为y－x+t=0,将(0,3)代入可得t=－3,即x－y+3=0.
与直线x+y+1=0平行的直线方程可设为x+y+λ=0(λ≠1),将(0,3)代入可得λ=－3,即x+y－3=0.
关键能力
课堂突破
考点一 直线的倾斜角与斜率
1.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
[A] k1[B] k3[C] k3[D] k1D
【解析】 直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以 0A
2.(2025·广东佛山模拟)已知点A(2,3),B(－3,－2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是( )
B
题后悟通
(1)斜率的两种求法:定义法、斜率公式法.
考点二 直线的方程
1.下列说法正确的是( )
[A] 经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y－y0=k(x－x0)表示
[C] 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
[D] 经过任意两个不同的点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程
(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1)(x－x1)表示
D
【解析】 A错误,斜率不存在,则不可用;B错误,与坐标轴垂直的直线不可用;C错误,y轴不可用;仅D可用,正确.故选D.
2.过点(2,1),且横截距为纵截距的两倍的直线方程为 .
x－2y=0或x+2y－4=0
3.已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),且l过点A(－4,3),则直线l的方程为
.
3x－2y+18=0
4.经过点A(－1,－3),且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍的直线方程为
.
3x+4y+15=0
1.求直线方程的两种方法
(1)直接法:由题意确定直线方程的适当形式.
(2)待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数.
题后悟通
2.求直线方程时的注意点
(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用.若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.
(3)求解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.
题后悟通
考点三 两直线的位置关系
角度1 两条直线的平行与垂直
[例1] (2025·天津模拟)(1)“a=1”是“直线ax+2y－8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的( )
[A] 充要条件
[B] 充分不必要条件
[C] 必要不充分条件
[D] 既不充分也不必要条件
A
【解析】 (1)设直线l1:ax+2y－8=0,直线l2:x+(a+1)y+4=0.若l1与l2平行,则a(a+1)－2=0,即a2+a－2=0,解得a=1或a=－2.当a=－2时,直线l1的方程为－2x+2y－8=0,即x－y+4=0,直线l2的方程为x－y+4=0,此时两直线重合,故a≠－2.当a=1时,直线l1的方程为x+2y－8=0,直线l2的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故“a=1”是“直线ax+2y－8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.故选A.
(2)若直线ax－4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,垂足为(1,b),则a+b+c等于( )
[A]－6 [B] 4 [C]－10 [D]－4
D
角度2 两直线的交点与距离问题
[例2] (1)过点A(－1,2),到原点的距离等于1的直线方程为 .
3x+4y－5=0或x=－1
(2)(2025·广东佛山模拟)过直线x+2y+1=0与直线2x－y+1=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
x－3y=0或5x+5y+4=0
解题策略
利用距离公式应注意:①求解一个点到直线的距离时,不要忘记直线斜率不存在的情况;②求两条平行直线之间的距离时,应先将直线方程化为对应系数相等的一般方程.
1.(角度1)已知倾斜角为θ的直线l与直线3x－4y－1=0垂直,则cos θ的值为
( )
[针对训练]
A
2.(角度2)已知直线l1:mx+y－3=0与直线l2:x－y－m=0平行,则直线l1,l2之间的距离是( )
C
考点四 对称问题
角度1 点(或直线)关于点对称
B
[A] 2x－3y=0 [B] 3x－2y－2=0
[C] x－y=0 [D] 2x－3y－2=0
解题策略
点关于点对称问题的求解方法
角度2 点(或直线)关于直线对称
[例4] (2025·山东淄博模拟)已知两点A(－4,8),B(2,4),点C在直线y=x+1上,则|AC|+|BC|的最小值为( )
C
解题策略
1.点关于线对称问题的求解方法
解决点关于直线对称的问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直.
2.直线关于直线的对称问题的求解方法
(1)若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式
求解;
(2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点式求解.
1.(角度2)直线2x－y+3=0关于直线x－y+2=0对称的直线方程是( )
[A] x－2y+3=0
[B] x－2y－3=0
[C] x+2y+1=0
[D] x+2y－1=0
[针对训练]
A
因为点P′(x0,y0)在直线2x－y+3=0上,所以2(y－2)－(x+2)+3=0,即x－2y+3=0.故所求直线方程为x－2y+3=0.故选A.
2.(角度1)(2025·江西宜春模拟)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c= .
－10
【解析】 在直线l1:2x+y+2=0上取点M(－1,0),N(0,－2),则点M,N关于点P(1,0)的对称点分别为M1(3,0),N1(2,2).因为点M1(3,0),N1(2,2)在直线l2:4x+by+c=0上,所以12+c=0,
8+2b+c=0,解得c=－12,b=2,所以b+c=－10.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
直线的倾斜角与斜率 1
直线方程及其应用 2,3,5,13,14,15
两条直线的位置关系与距离 4,8,9,10,12,16
对称问题 6,7,11
基础巩固练
C
[A] 150° [B] 120° [C] 60° [D] 30°
2.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足( )
[A] ab>0,bc<0 [B] ab>0,bc>0
[C] ab<0,bc>0 [D] ab<0,bc<0
A
3.过点A(3,4),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程不可能是
( )
[A] 4x－3y=0 [B] x－y+1=0
[C] x+y－1=0 [D] x+y－7=0
C
4.(多选题)已知动点A,B分别在直线l1:3x－4y+6=0与l2:3x－4y+10=0上移动,则线段AB的中点P到坐标原点O的距离可能为( )
CD
5.(5分)过两直线l1:x－3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为
.
3x+19y=0
6.(5分)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y－8=0和l2:x－3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 .
x+4y－4=0
7.(5分)(2025·湖南长沙模拟)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l:
x－y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为
.
6x－y－6=0
8.(12分)已知直线l:x－2y－3=0.
(1)若直线l1过点M(2,－1),且l1⊥l,求直线l1的方程;
8.(12分)已知直线l:x－2y－3=0.
综合运用练
9.(2025·重庆模拟)当点P(－1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y－(4λ+2)=0的距离最大时,实数λ的值为( )
[A] －1 [B] 1
[C] －2 [D] 2
B
10.(多选题)(2025·陕西西安模拟)已知平行四边形ABCD的三条边所在直线的方程分别是l1:x+y－3=0,l2:x－2y+3=0,l3:x+y－6=0,l1,l2的交点为A,l2,l3的交点为B,且平行四边形ABCD的面积为5,则( )
[A] A的坐标为(2,1)
[B] B的坐标为(3,3)
[C] 平行四边形ABCD第四条边所在直线的方程可能为x－2y+8=0
[D] 平行四边形ABCD第四条边所在直线的方程可能为x－2y－2=0
BCD
D
12.曲线C:xy=1(x>0)上到直线x+16y+2=0距离最短的点的坐标为( )
B
13.(5分)已知△ABC的顶点C(5,6),边BC上的中线AD所在直线方程为x+4y－16=0,边AC上的高BE所在直线方程为5x+2y－15=0,则△ABC的面积为
.
13
【解析】 依题意,AC⊥BE,设直线AC的方程为2x－5y+m=0,
于是2×5－5×6+m=0,解得m=20,即直线AC:2x－5y+20=0,
14.(15分)已知直线l:(a－1)y=(2a－3)x+1.
(1)求证:直线l过定点;
14.(15分)已知直线l:(a－1)y=(2a－3)x+1.
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围;
14.(15分)已知直线l:(a－1)y=(2a－3)x+1.
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求l的方程.
15.(多选题)(2024·江西南昌模拟)已知集合A={(x,y)|x+ay+2a=0},
B={(x,y)|ax+ay－1=0},则下列结论正确的是( )
应用创新练
AB
16.(5分)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则满足条件的实数a的一个值为 (写出一个即可,不必考虑所有情况).
－1(或1或－2)
【解析】 ①当a=1时,直线l1,l2,l3重合,不能构成三角形,符合题意.
