第3节 直线与圆、圆与圆的位置关系
[课程标准要求]
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系
设圆C:(x－a)2+(y－b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d,由消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
量 化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0
几何观点 d>r d=r d2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1:(x－x1)2+(y－y1)2=,
C2:(x－x2)2+(y－y2)2=,
则圆心距d=|C1C2|=.
两圆C1,C2有以下位置关系:
位置 关系 圆心距与 半径的关系 图示 公切线 条数
外离 d>r1+r2 4
内含 d<|r1－r2| 0
相交 |r1－r2|< d内切 d=|r1－r2| 1
外切 d=r1+r2 3
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+－4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+－4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程.
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦.
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防漏解).
1.(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)(x－1)2+(y+2)2=6与直线2x+y－5=0的位置关系是( )
[A] 相切
[B] 相离
[C] 相交过圆心
[D] 相交但直线不过圆心
2.(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2－8x－6y+16=0的公切线条数是( )
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
3.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编)直线m:x+y－1=0被圆M:x2+y2－2x－4y=0截得的弦长为( )
[A] 4 [B] 2 [C] [D]
4.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程为 .
考点一 直线与圆的位置关系
角度1 位置关系的判断
[例1] 已知直线l:y=kx－k与圆C:(x－4)2+=3有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
[A] [,) [B] [0,]
[C] [0,] [D] [,)
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
角度2 弦长问题
[例2] (2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my+1=0与☉C:(x－1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 .
直线和圆相交弦长的两种求法
(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.
(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长 l=2.
根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.
角度3 切线问题
[例3] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,－2)与圆x2+y2－4x－1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α等于( )
[A] 1 [B] [C] [D]
(2)(2025·浙江杭州模拟)写出与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1,)的一条直线的方程 .
(1)过一点求圆的切线方程的两种求法.
①代数法:设切线方程为y－y0=k(x－x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.
②几何法:设切线方程为y－y0=k(x－x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.
注意斜率不存在的情况.
特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.
(2)过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形
求解.
角度4 直线与圆位置关系中的最值问题
[例4] (1)(2025·广东茂名模拟)动点P与两个定点O(0,0),A(0,3)满足|PA|=2|PO|,则点P到直线l:mx－y+4－3m=0的距离的最大值为 .
(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2－4x－2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是 .
涉及直线上动点或动直线与圆上一点的距离范围(最值)问题,解题的关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的问题,利用数形结合等方法求得结果.
[针对训练]
1.(角度1)直线kx－y+2－k=0与圆x2+y2－2x－8=0的位置关系为( )
[A] 相交、相切或相离 [B] 相交或相切
[C] 相交 [D] 相切
2.(角度2)(2025·山东青岛模拟)已知圆x2+y2+2x－2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
[A] －8 [B] －6 [C] －4 [D] －2
3.(角度3)已知点P(+1,2－),圆C:(x－1)2+(y－2)2=4,则过点P的圆C的切线方程为 .
4.(角度4)(2025·广西桂林模拟)已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆C:x2+y2－2x－2y+1=0的两条切线,A,B是切点,则四边形PACB面积的最小值为 .
考点二 圆与圆的位置关系
[例5] 已知两圆C1:x2+y2－4x－6y+4=0和C2:x2+y2－12x－12y+36=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
(3)求圆C1和圆C2的公切线方程.
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
[针对训练] 已知两圆C1:x2+y2－4y=0,C2:(x－2)2+y2=m2(m>0).
(1)m取何值时两圆外切
(2)当m=2时,求两圆的公共弦所在直线l的方程和公共弦的长.
微点培优12 隐圆问题
类型一 由圆的定义及基本性质确定隐圆
[典例1] (1)如果圆(x－a)2+(y－a)2=8上总存在两个点到原点的距离为,则实数a的取值范围是( )
[A] (－3,3) [B] (－1,1)
[C] (－3,1) [D] (－3,－1)∪(1,3)
(2)已知圆C:(x－5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(－6,0),B(0,8),若圆C上存在点P使得PA⊥PB,则r的取值范围为( )
[A] (0,5] [B] [5,15]
[C] [10,15] [D] [15,+∞)
(1)题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数,则可以得到动点的轨迹为圆;
(2)题目中若给出垂直关系,根据圆的性质则可以得到点的轨迹为圆.题目给出垂直关系的常见方式有以下两种:
①直接告诉垂直关系:如动点到两定点的夹角为90°或向量的数量积为0等;
②利用垂直线系:与Ax+By+C=0垂直的直线方程的形式为Bx－Ay+D=0.
[拓展演练1] 已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点,且直线l1:mx－ny－3m+n=0与直线l2:nx+my－3m－n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P,则|PM|的取值范围是( )
[A] [－1,2+1] [B] [－1,3+1]
[C] [－1,2+1] [D] [－1,3+1]
类型二 由“动点与两定点的向量数量积为定值”确定隐圆
[典例2] (2025·四川绵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(－t,0)(t>0),B(t,0),点C满足·=8,且点C到直线l:3x－4y+24=0的最小距离为,则实数t的值是 .
已知两定点A,B,动点P满足 ·为定值的轨迹为圆.这是由于|AB|为定值,设AB的中点为M,根据平面向量部分极化恒等式可得·==λ(λ≠0) |PM|=,
故动点P是以AB的中点M为圆心,半径为的圆.
[拓展演练2] (2025·河南郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中,设A(2,4),B(－2,－4),动点P满足·=－1,则tan∠PBO的最大值为( )
[A] [B]
[C] [D]
类型三 由“动点到两定点距离的平方和为定值”确定隐圆
[典例3] 已知圆C:(x－a)2+(y－a+2)2=1,A(0,2),若圆C上存在一点M,满足|MA|2+|MO|2=10,则实数a的取值范围是 .
已知两定点A,B,动点P满足PA2+PB2为定值的轨迹是圆.这是由于|PA|2+|PB|2=
(+)2－2·,设AB的中点为M,则由向量关系与极化恒等式可知(+)2－2·=4－2()=λ,整理得=,显然动点P的轨迹是以M为圆心,为半径的圆.
[拓展演练3] (2025·重庆模拟)在△ABC中,|AB|=|AC|=,且△ABC所在平面内存在一点P使得|PB|2+|PC|2=3|PA|2=3,则△ABC面积的最大值为( )
[A] [B]
[C] [D]
类型四 由“动点到两定点距离的比值为定值”确定隐圆(阿波罗尼斯圆)
[典例4] (2025·湖南长沙模拟)已知平面内两点 A(,0),B(2,0),直线l:kx－y－k+2=0,曲线C上动点P满足=,则曲线C与直线l相交于M,N两点,则|MN|的最短长度为( )
[A] [B]
[C] 2 [D] 2
若给定两定点A,B,动点P满足|AP|=λ|BP|(λ>0,λ≠1)的关系,则点P的轨迹为圆,称为阿波罗尼斯圆.设A(－c,0),B(c,0),P(x,y),因为 |AP|=λ|BP|(c>0,λ>0,且λ≠1),由两点间的距离公式得=λ,化简得(x－c)2+y2=(c)2,
所以点P的轨迹是以(c,0)为圆心,以|c|为半径的圆.
[拓展演练4] (2025·山东烟台模拟)已知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍,记点P的轨迹为C,直线y=kx+1交C于M,N两点,Q(1,4),若△QMN的面积为2,则实数k的值为 .
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
直线与圆的位置关系 2,3,7,8,9,13
圆与圆的位置关系 1,4,14
位置关系的综合应用 5,10,11,15
隐圆问题 6,12
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知圆O1:x2+2x+y2=10与圆O2:x2+y2－x－3y=4交于A,B两点,则|AB|等于( )
[A] [B] 5
[C] [D] 3
2.已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=5交于点M,N,当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m等于( )
[A] ±1 [B] ±
[C] ± [D] ±2
3.(2025·江苏苏州模拟)设O为坐标原点,圆M:(x－1)2+(y－2)2=4与x轴切于点A,直线x－y+2=0交圆M于B,C两点,其中B在第二象限,则·等于( )
[A] [B]
[C] [D]
4.(2025·福建莆田模拟)圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x－4y=0的交点为A,B,则有( )
[A] 公共弦AB所在直线方程为x－2y+1=0
[B] 公共弦AB的长为
[C] 线段AB中垂线方程为2x－y=0
[D] ∠AO2B>
5.(多选题)(2025·浙江温州模拟)已知圆C1:x2+y2=6与圆C2:x2+y2+2x－a=0相交于A,B两点.若=2,则实数a的值可以是( )
[A] 10 [B] 2 [C] [D]
6.(2025·湖北荆门模拟)已知点P是直线x－y－m=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=1引切线,切点分别为M,N且∠MPN=90°,若满足以上条件的点P有且只有一个,则m等于( )
[A] [B] ± [C] 2 [D] ±2
7.(5分)(2025·河南信阳模拟)已知圆C:x2+y2－6x=0,l1,l2是过原点且互相垂直的两条直线,若l1被圆C截得的弦长与l2被圆C截得的弦长的比为2∶1,则直线l1的斜率k= .
8.(13分)(2025·四川绵阳模拟)已知圆O:x2+y2=4,点Q(－1,)是圆O上一点,点P为直线l:y=－x+4上的动点,过点P作圆O的切线,切点为M,N.
(1)求过点Q(－1,)的圆O的切线方程;
(2)以P为圆心的圆交圆O于M,N两点,问直线MN是否恒过一定点 若过定点求出定点
坐标.
9.已知直线l:x－y+3=0被圆C:(x－a)2+(y－2)2=4(a>0)截得的弦长为2,则点(－a,a－1)与圆上点的距离最大值为( )
[A] 2+2 [B] 2－2
[C] 2 [D] 4
10.(2025·江苏南京模拟)若直线y=kx+4(k>0)与曲线y=有两个交点,则实数k的取值范围为( )
[A] (,+∞) [B] [,+∞)
[C] [,2] [D] (,2]
11.(多选题)已知A(0,),B(0,),动点P(x,y)满足|PA|=|PB|,则下列结论正确的是( )
[A] 点P的轨迹围成的图形面积为π
[B] |PB|的最小值为1－
[C] P1,P2是P的任意两个位置点,则∠P1AP2≤
[D] 过点(,)的直线与点P的轨迹交于点M,N,则MN的最小值为
12.(2025·安徽合肥模拟)已知点M是直线l1:ax+y－2a=0和l2:x－ay+2=0(a∈R)的交点,
A(－1,0),B(m,0),且点M满足|MA|=|MB|恒成立,若C(2,2),则2|MA|+|MC|的最小值为( )
[A] [B] 2
[C] [D] 2
13.(5分)已知☉M:x2+y2+2x－4y+1=0,直线l:x－y－1=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点分别为A,B,当|PM|·|AB|最小时,点P的坐标为 ,直线AB的方程为 .
14.(15分)已知直线l:(m+1)x+(2m+1)y－7m－4=0,圆C:x2+y2－6x－4y－3=0.
(1)证明:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标;
(2)当直线l被圆C截得的弦最短时,求此时l的方程;
(3)设直线l与圆C交于A,B两点,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.
15.(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则·的最大值为( )
[A] [B]
[C] 1+ [D] 2+
第3节 直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）
[课程标准要求]
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系
设圆C:(x－a)2+(y－b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d,由消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
量 化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0
几何观点 d>r d=r d2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1:(x－x1)2+(y－y1)2=,
C2:(x－x2)2+(y－y2)2=,
则圆心距d=|C1C2|=.
两圆C1,C2有以下位置关系:
位置 关系 圆心距与 半径的关系 图示 公切线 条数
外离 d>r1+r2 4
内含 d<|r1－r2| 0
相交 |r1－r2|< d内切 d=|r1－r2| 1
外切 d=r1+r2 3
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+－4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+－4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程.
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦.
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防漏解).
1.(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)(x－1)2+(y+2)2=6与直线2x+y－5=0的位置关系是( )
[A] 相切
[B] 相离
[C] 相交过圆心
[D] 相交但直线不过圆心
【答案】 D
【解析】 由题意知圆心(1,－2)到直线2x+y－5=0的距离d==<,且2×1+
(－2)－5≠0,所以直线与圆相交但不过圆心.故选D.
2.(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2－8x－6y+16=0的公切线条数是( )
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
【答案】 C
【解析】 圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2,圆C2可化为(x－4)2+(y－3)2=9,所以圆心C2(4,3),半径r2=3,所以|C1C2|==5=r1+r2,故两圆外切,两圆的公切线条数为3.故选C.
3.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编)直线m:x+y－1=0被圆M:x2+y2－2x－4y=0截得的弦长为( )
[A] 4 [B] 2 [C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为x2+y2－2x－4y=0,
所以(x－1)2+(y－2)2=5,
所以圆M的圆心坐标为(1,2),半径为,
又点(1,2)到直线x+y－1=0的距离d==,所以直线m被圆M截得的弦长等于2=2.
故选B.
4.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程为 .
【答案】 y=1或4x－3y－5=0
【解析】 设切线l的方程为y－1=k(x－2),
所以=1,解得k=0或k=,
因此所求切线l的方程为y=1或4x－3y－5=0.
考点一 直线与圆的位置关系
角度1 位置关系的判断
[例1] 已知直线l:y=kx－k与圆C:(x－4)2+=3有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
[A] [,) [B] [0,]
[C] [0,] [D] [,)
【答案】 C
【解析】 圆C的圆心为(4,),半径为,直线l:kx－y－k=0,
直线l与圆C有公共点可以转化为圆心到直线的距离d小于等于半径,
即d=≤,即|k－1|≤,
故3k2－2k+1≤k2+1,即2k2－2k≤0,解得0≤k≤.
设直线l的倾斜角为α,则k=tan α,
所以0≤tan α≤.
因为α∈[0,π),所以α∈[0,],所以直线l的倾斜角的取值范围是[0,].故选C.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
角度2 弦长问题
[例2] (2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my+1=0与☉C:(x－1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 .
[溯源探本]本例题源于人教A版选择性必修第一册P98习题2.5 T3.
【答案】 2(2,－2,,－中任意一个皆可)
【解析】 设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|=2,
所以S△ABC=×d×2=,
解得d=或d=,
由d==,所以=或=,解得m=±2或m=±.
直线和圆相交弦长的两种求法
(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.
(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长 l=2.
根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.
角度3 切线问题
[例3] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,－2)与圆x2+y2－4x－1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α等于( )
[A] 1 [B] [C] [D]
(2)(2025·浙江杭州模拟)写出与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1,)的一条直线的方程 .
【答案】 (1)B (2)y=x+2或y=x－2(写出一个即可)
【解析】 (1)因为x2+y2－4x－1=0,
即(x－2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=,
过点P(0,－2)作圆C的切线,切点为A,B,
因为|PC|==2,
则|PA|==,
可得sin ∠APC==,
cos ∠APC==,则sin ∠APB=sin 2∠APC=2sin ∠APCcos ∠APC=2××=,
cos ∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC－sin2∠APC=()2－()2=－<0,即∠APB为钝角,
所以sin α=sin(π－∠APB)=sin ∠APB=.故选B.
(2)因为切线的方向向量为(1,),所以切线的斜率为,故可设切线方程为y=x+b,
因为直线y=x+b与圆x2+y2=1相切,所以圆心(0,0)到直线y=x+b的距离为==1,所以b=2或b=－2,所以与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1,)的直线为y=x+2或y=x－2.
(1)过一点求圆的切线方程的两种求法.
①代数法:设切线方程为y－y0=k(x－x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.
②几何法:设切线方程为y－y0=k(x－x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.
注意斜率不存在的情况.
特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.
(2)过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形
求解.
角度4 直线与圆位置关系中的最值问题
[例4] (1)(2025·广东茂名模拟)动点P与两个定点O(0,0),A(0,3)满足|PA|=2|PO|,则点P到直线l:mx－y+4－3m=0的距离的最大值为 .
(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2－4x－2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是 .
【答案】 (1)2+ (2)2
【解析】 (1)令P(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4,
所以P的轨迹是圆心坐标为(0,－1),半径为2的圆,
又直线l:mx－y+4－3m=0可化为m(x－3)－(y－4)=0,易知过定点(3,4),
由32+(4+1)2>4,
故点(3,4)在圆x2+(y+1)2=4外,
则圆心与定点(3,4)所在直线与直线l垂直时,圆心与直线l距离最大,
所以点P到直线l距离的最大值为+2=2+.
(2)因为圆C:x2+y2－4x－2y=0,
所以圆C是以C(2,1)为圆心,半径r=的圆.
设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A′(m,n),
所以解得
故A′(－4,－2).
连接A′C交圆C于Q(图略),此时,|PA|+|PQ|取得最小值,
由对称性可知|PA|+|PQ|=|A′P|+|PQ|=|A′Q|=|A′C|－r=2.
涉及直线上动点或动直线与圆上一点的距离范围(最值)问题,解题的关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的问题,利用数形结合等方法求得结果.
[针对训练]
1.(角度1)直线kx－y+2－k=0与圆x2+y2－2x－8=0的位置关系为( )
[A] 相交、相切或相离 [B] 相交或相切
[C] 相交 [D] 相切
【答案】 C
【解析】 圆的方程可化为(x－1)2+y2=32,所以圆的圆心坐标为(1,0),半径为3.圆心到直线kx－y+2－k=0的距离为=≤2<3,所以直线与圆相交.故选C.
2.(角度2)(2025·山东青岛模拟)已知圆x2+y2+2x－2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
[A] －8 [B] －6 [C] －4 [D] －2
【答案】 C
【解析】 由题知圆的标准方程为(x+1)2+(y－1)2=2－a,则圆心坐标为(－1,1),半径r=.因为圆x2+y2+2x－2y+a=0截直线 x+y+2=0所得弦的长度为4,所以()2+()2=2－a,解得a=－4.故选C.
3.(角度3)已知点P(+1,2－),圆C:(x－1)2+(y－2)2=4,则过点P的圆C的切线方程为 .
【答案】 x－y+1－2=0
【解析】 由题意得,圆心C(1,2),半径r=2.因为(+1－1)2+(2－－2)2=4,所以点P在圆C上,又kPC==－1,所以切线的斜率k=－=1,所以过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)=1×[x－(+1)],即x－y+1－2=0.
4.(角度4)(2025·广西桂林模拟)已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆C:x2+y2－2x－2y+1=0的两条切线,A,B是切点,则四边形PACB面积的最小值为 .
【答案】 2
【解析】 圆C:x2+y2－2x－2y+1=0,即圆C:(x－1)2+(y－1)2=1,
所以圆心C(1,1),半径r=1,如图,连接PC,
因为S四边形PACB=2S△PAC=2×·|AP|·|AC|=|AP|=,所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值,而|PC|的最小值就是圆心到直线3x+4y+8=0的距离d,即d==3,即四边形PACB面积的最小值为=2.
考点二 圆与圆的位置关系
[例5] 已知两圆C1:x2+y2－4x－6y+4=0和C2:x2+y2－12x－12y+36=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
(3)求圆C1和圆C2的公切线方程.
(1)【证明】 因为C1:(x－2)2+(y－3)2=9,
圆心C1(2,3),半径r1=3;
C2:(x－6)2+(y－6)2=36,
圆心C2(6,6),半径r2=6.
所以|C1C2|==5,
因为6－3<|C1C2|=5<6+3,
所以圆C1和圆C2相交.
(2)【解】 将两圆方程相减,
得公共弦所在直线方程是4x+3y－16=0.
圆心C2(6,6)到直线4x+3y－16=0的距离d==,由此可得公共弦的长为
2=2=.
(3)【解】 由(1)知,圆C1和圆C2相交,则两圆有两条公切线,易知其中一条公切线l1为直线y=0,另一条公切线与直线y=0关于两圆圆心所连直线l对称,且这三条直线交于一点.
过两圆圆心的直线l的方程为=,即 3x－4y+6=0.由得x=－2,所以另一条公切线l2过点(－2,0).设另一条公切线l2的方程为y=k(x+2)(k≠0),则圆心C1到直线l2的距离d==3,解得k=或k=0(舍去).故公切线l2的方程为y=(x+2),即24x－7y+48=0.综上所述,圆C1和圆C2的公切线方程为y=0和24x－7y+48=0.
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
[针对训练] 已知两圆C1:x2+y2－4y=0,C2:(x－2)2+y2=m2(m>0).
(1)m取何值时两圆外切
(2)当m=2时,求两圆的公共弦所在直线l的方程和公共弦的长.
【解】 (1)因为C1的标准方程为x2+(y－2)2=4,所以两圆的圆心分别为(0,2),(2,0), 半径分别为2,m.当两圆外切时,圆心距为半径之和,则=2+m, 结合m>0,解得 m=2－2.
(2)当m=2时,圆C2的一般方程为x2+y2－4x=0,
两圆一般方程相减得4x－4y=0,所以两圆的公共弦所在直线l的方程为x－y=0.
圆C1的圆心(0,2)到直线l的距离为=,故两圆的公共弦的长为2=2.
微点培优12 隐圆问题
类型一 由圆的定义及基本性质确定隐圆
[典例1] (1)如果圆(x－a)2+(y－a)2=8上总存在两个点到原点的距离为,则实数a的取值范围是( )
[A] (－3,3) [B] (－1,1)
[C] (－3,1) [D] (－3,－1)∪(1,3)
(2)已知圆C:(x－5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(－6,0),B(0,8),若圆C上存在点P使得PA⊥PB,则r的取值范围为( )
[A] (0,5] [B] [5,15]
[C] [10,15] [D] [15,+∞)
【答案】 (1)D (2)B
【解析】 (1)问题可转化为圆O:(x－a)2+(y－a)2=8和圆O1:x2+y2=2相交,两圆圆心距d==|a|,
由R－r<|OO1|故选D.
(2)如图,由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆,设为圆M,
因为A(－6,0),B(0,8),故圆M:(x+3)2+(y－4)2=25.
依题意知圆M与圆C必至少有一个公共点.
因为C(5,－2),M(－3,4),
则|CM|==10,
由|r－5|≤|CM|≤5+r,解得5≤r≤15.
故选B.
(1)题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数,则可以得到动点的轨迹为圆;
(2)题目中若给出垂直关系,根据圆的性质则可以得到点的轨迹为圆.题目给出垂直关系的常见方式有以下两种:
①直接告诉垂直关系:如动点到两定点的夹角为90°或向量的数量积为0等;
②利用垂直线系:与Ax+By+C=0垂直的直线方程的形式为Bx－Ay+D=0.
[拓展演练1] 已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点,且直线l1:mx－ny－3m+n=0与直线l2:nx+my－3m－n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P,则|PM|的取值范围是( )
[A] [－1,2+1] [B] [－1,3+1]
[C] [－1,2+1] [D] [－1,3+1]
【答案】 B
【解析】 依题意,直线l1:m(x－3)－n(y－1)=0恒过定点A(3,1),直线l2:n(x－1)+m(y－3)=0恒过定点B(1,3),显然直线l1⊥l2,因此,直线l1与l2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆,
其方程为(x－2)2+(y－2)2=2,圆心N(2,2),半径r2=,
而圆C的圆心C(0,0),半径r1=1,如图,
|NC|=2>r1+r2,两圆外离,由圆的几何性质得,|PM|min=|NC|－r1－r2=－1,
|PM|max=|NC|+r1+r2=3+1,所以|PM|的取值范围是[－1,3+1].故选B.
类型二 由“动点与两定点的向量数量积为定值”确定隐圆
[典例2] (2025·四川绵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(－t,0)(t>0),B(t,0),点C满足·=8,且点C到直线l:3x－4y+24=0的最小距离为,则实数t的值是 .
【答案】 1
【解析】 因为点A(－t,0)(t>0),B(t,0),点C满足·=8,
设C(x0,y0),则=(x0+t,y0),=(x0－t,y0),·=8 +=8+t2,
所以点C是以原点O(0,0)为圆心,半径r=的圆,
而O(0,0)到直线l:3x－4y+24=0的距离d=>,因为点C到直线l:3x－4y+24=0的最小距离为,所以－r= r==3(t>0) t=1.
已知两定点A,B,动点P满足 ·为定值的轨迹为圆.这是由于|AB|为定值,设AB的中点为M,根据平面向量部分极化恒等式可得·==λ(λ≠0) |PM|=,
故动点P是以AB的中点M为圆心,半径为的圆.
[拓展演练2] (2025·河南郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中,设A(2,4),B(－2,－4),动点P满足·=－1,则tan∠PBO的最大值为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设P(x,y),则=(－x,－y),=(2－x,4－y),
则·=－x(2－x)－y(4－y)=－1,即x2－2x+y2－4y+1=0,
化为(x－1)2+(y－2)2=4,则点P的轨迹为以D(1,2)为圆心,半径为2的圆,
又kOB==2=kOD=,所以B,O,D三点共线,
显然当直线PB与此圆相切时,tan∠PBO的值最大.
又BD==3,PD=2,
则PB===,
则tan∠PBO===.故选C.
类型三 由“动点到两定点距离的平方和为定值”确定隐圆
[典例3] 已知圆C:(x－a)2+(y－a+2)2=1,A(0,2),若圆C上存在一点M,满足|MA|2+|MO|2=10,则实数a的取值范围是 .
【答案】 [0,3]
【解析】 设M(x,y),
因为|MA|2+|MO|2=10,所以x2+(y－2)2+x2+y2=10,所以x2+(y－1)2=4.
因为圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=10,所以两圆相交或相切,
所以1≤≤3.所以0≤a≤3.
已知两定点A,B,动点P满足PA2+PB2为定值的轨迹是圆.这是由于|PA|2+|PB|2=
(+)2－2·,设AB的中点为M,则由向量关系与极化恒等式可知(+)2－2·=4－2()=λ,整理得=,显然动点P的轨迹是以M为圆心,为半径的圆.
[拓展演练3] (2025·重庆模拟)在△ABC中,|AB|=|AC|=,且△ABC所在平面内存在一点P使得|PB|2+|PC|2=3|PA|2=3,则△ABC面积的最大值为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
设B(－a,0),C(a,0)(a>0),则A(0,),
设P(x,y),由|PB|2+|PC|2=3|PA|2=3得
(x+a)2+y2+(x－a)2+y2=3[x2+(y－)2]=3,
即x2+y2=－a2,x2+=1,
即点P既在(0,0)为圆心,为半径的圆上,又在(0,)为圆心,1为半径的圆上,
可得|1－|≤≤1+,由两边平方化简可得a2≤,
则△ABC的面积为S=·2a·=a=,
由a2≤,可得当a2=时,S取得最大值,且为.故选B.
类型四 由“动点到两定点距离的比值为定值”确定隐圆(阿波罗尼斯圆)
[典例4] (2025·湖南长沙模拟)已知平面内两点 A(,0),B(2,0),直线l:kx－y－k+2=0,曲线C上动点P满足=,则曲线C与直线l相交于M,N两点,则|MN|的最短长度为( )
[A] [B]
[C] 2 [D] 2
【答案】 C
【解析】 设动点P的坐标为(x,y),则|PB|2=(x－2)2+y2,|PA|2=(x－)2+y2.
由=,得|PB|2=2|PA|2 (x－2)2+y2=2[(x－)2+y2],
化简得曲线C:x2+y2=10,半径R=,故点P的轨迹为圆.
又直线l:kx－y－k+2=0可化为y－2=k(x－1),则直线l过定点Q(1,2),
所以圆心C到直线l的距离的最大值为|OQ|,此时 |MN| 的长度最短,且最短长度为 2=2=2.
故选C.
若给定两定点A,B,动点P满足|AP|=λ|BP|(λ>0,λ≠1)的关系,则点P的轨迹为圆,称为阿波罗尼斯圆.设A(－c,0),B(c,0),P(x,y),因为 |AP|=λ|BP|(c>0,λ>0,且λ≠1),由两点间的距离公式得=λ,化简得(x－c)2+y2=(c)2,
所以点P的轨迹是以(c,0)为圆心,以|c|为半径的圆.
[拓展演练4] (2025·山东烟台模拟)已知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍,记点P的轨迹为C,直线y=kx+1交C于M,N两点,Q(1,4),若△QMN的面积为2,则实数k的值为 .
【答案】 －7或1
【解析】 设P(x,y),已知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍,所以=2,化简整理得(x－1)2+(y－4)2=4.
故动点P的轨迹是以(1,4)为圆心,2为半径的圆,故Q为圆心,因为△QMN的面积为2,
所以|QM|·|QN|sin∠MQN=2,
所以∠MQN=90°,所以可得点Q到直线y=kx+1的距离为,
所以=,解得k=－7或k=1.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
直线与圆的位置关系 2,3,7,8,9,13
圆与圆的位置关系 1,4,14
位置关系的综合应用 5,10,11,15
隐圆问题 6,12
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知圆O1:x2+2x+y2=10与圆O2:x2+y2－x－3y=4交于A,B两点,则|AB|等于( )
[A] [B] 5
[C] [D] 3
【答案】 C
【解析】 圆O1:(x+1)2+y2=11的圆心O1(－1,0),半径r1=,
圆O2:+=的圆心O2(,),半径r2=,
|O1O2|=∈(r1－r2,r1+r2),圆O1与圆O2相交,两圆方程相减得直线AB:x+y=2,
显然点O2(,)在直线AB上,因此线段AB是圆O2的直径,
所以|AB|=.故选C.
2.已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=5交于点M,N,当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m等于( )
[A] ±1 [B] ±
[C] ± [D] ±2
【答案】 D
【解析】 由题可得,圆心为(0,0),半径为,
则圆心到直线y=kx+m的距离为d=,所以|MN|=2,
则当k=0时,|MN|最小,最小值为|MN|=2=2,
解得m=±2.故选D.
3.(2025·江苏苏州模拟)设O为坐标原点,圆M:(x－1)2+(y－2)2=4与x轴切于点A,直线x－y+2=0交圆M于B,C两点,其中B在第二象限,则·等于( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 由题意A(1,0),圆心M(1,2),
M(1,2)到直线x－y+2=0距离为,
所以BC=2=,
直线x－y+2=0的斜率为,则其倾斜角为,则与的夹角为,
所以·=||||cos<,>=1××=.故选D.
4.(2025·福建莆田模拟)圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x－4y=0的交点为A,B,则有( )
[A] 公共弦AB所在直线方程为x－2y+1=0
[B] 公共弦AB的长为
[C] 线段AB中垂线方程为2x－y=0
[D] ∠AO2B>
【答案】 D
【解析】 联立两圆的方程得到2x－4y+4=0,即x－2y+2=0,所以公共弦AB所在的直线方程为x－2y+2=0,故A错误;
由☉O1:x2+y2=4得O1(0,0),半径r1=2,则O1到直线AB的距离d==,所以|AB|=2=,故B错误;
由直线AB的方程得线段AB中垂线的斜率为－2,根据圆的性质得线段AB中垂线过圆心O1,所以中垂线方程为y=－2x,即2x+y=0,故C错误;
圆O2的方程可整理为(x+1)2+(y－2)2=5,所以O2A=O2B=,
在三角形AO2B中,根据余弦定理得cos∠AO2B===－<0,所以∠AO2B>,故D正确.故选D.
5.(多选题)(2025·浙江温州模拟)已知圆C1:x2+y2=6与圆C2:x2+y2+2x－a=0相交于A,B两点.若=2,则实数a的值可以是( )
[A] 10 [B] 2 [C] [D]
【答案】 BD
【解析】 由题意可得弦AB所在的直线方程为2x+6－a=0,
因为圆C1:x2+y2=6,圆心C1(0,0),
圆C2:x2+y2+2x－a=0,圆心C2(－1,0),
设圆心C1(0,0)与圆心C2(－1,0)到直线AB的距离分别为d1,d2,
因为=2,
即|AB|·d1=2×|AB|·d2,
所以d1=2d2,又d1=,d2=,
即=2×,
化简可得3a2－20a+28=0,
即(3a－14)(a－2)=0,解得a=2或a=.故选BD.
6.(2025·湖北荆门模拟)已知点P是直线x－y－m=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=1引切线,切点分别为M,N且∠MPN=90°,若满足以上条件的点P有且只有一个,则m等于( )
[A] [B] ± [C] 2 [D] ±2
【答案】 D
【解析】 连接OM,ON,则PM⊥OM,PN⊥ON.
又∠MPN=90°,OM=ON,所以四边形MPNO为正方形.
所以|PO|=|ON|=,于是点P在以点O为圆心,为半径的圆C上.
又由满足条件的点P有且只有一个,则圆C与直线x－y－m=0相切,
所以点O到直线x－y－m=0的距离d=,所以=,解得m=±2.故选D.
7.(5分)(2025·河南信阳模拟)已知圆C:x2+y2－6x=0,l1,l2是过原点且互相垂直的两条直线,若l1被圆C截得的弦长与l2被圆C截得的弦长的比为2∶1,则直线l1的斜率k= .
【答案】 ±
【解析】 因为圆C:x2+y2－6x=0,即为(x－3)2+y2=9,可知圆心为C(3,0),半径r=3,
由题意知,直线l1,l2的斜率存在,且不为0,
设直线l1:y=kx,则直线l2:y=－x,则圆心C(3,0)到直线l1,l2的距离分别为d1=,d2=,由题意可得===,解得k=±.
8.(13分)(2025·四川绵阳模拟)已知圆O:x2+y2=4,点Q(－1,)是圆O上一点,点P为直线l:y=－x+4上的动点,过点P作圆O的切线,切点为M,N.
(1)求过点Q(－1,)的圆O的切线方程;
(2)以P为圆心的圆交圆O于M,N两点,问直线MN是否恒过一定点 若过定点求出定点
坐标.
【解】 (1)由圆O的方程可得圆心的坐标为(0,0),
则kOQ=－,即所求直线的斜率为,
即过点Q(－1,)的圆O的切线方程为y－=(x+1),
即x－y+4=0.
(2)设P(a,4－a),则过M,N两点且以P为圆心的圆的方程为(x－a)2+[y－(4－a)]2=a2+(4－a)2－4,
又圆O:x2+y2=4,两式作差可得,ax+(4－a)y－4=0,
此方程变形可得(x－y)a+4(y－1)=0,
令可得x=y=1,
即直线MN恒过定点(1,1).
9.已知直线l:x－y+3=0被圆C:(x－a)2+(y－2)2=4(a>0)截得的弦长为2,则点(－a,a－1)与圆上点的距离最大值为( )
[A] 2+2 [B] 2－2
[C] 2 [D] 4
【答案】 A
【解析】 由题可得,圆的半径r=2,
圆心C(a,2)到直线l:x－y+3=0的距离为
d=,
直线l被圆C截得的弦长为2=2,
解得a=1或a=－3(舍去),
则点(－a,a－1)的坐标为(－1,0),该点到圆心C(1,2)的距离为=2,
所以点(－1,0)到圆上点的距离最大值为2+r=2+2.故选A.
10.(2025·江苏南京模拟)若直线y=kx+4(k>0)与曲线y=有两个交点,则实数k的取值范围为( )
[A] (,+∞) [B] [,+∞)
[C] [,2] [D] (,2]
【答案】 D
【解析】 如图所示,直线y=kx+4(k>0)过定点A(0,4),曲线y=与x轴负半轴交于点B(－2,0),
设直线AC与曲线(半圆)相切于点C,
若直线y=kx+4(k>0)与曲线y=有两个交点,则kAC若y=kx+4(k>0)与半圆x2+y2=4(y≥0)(圆心O(0,0),半径r=2)相切,
则圆心到直线的距离满足d==2,解得
k=,即kAC=,
综上所述,实数k的取值范围为(,2].故选D.
11.(多选题)已知A(0,),B(0,),动点P(x,y)满足|PA|=|PB|,则下列结论正确的是( )
[A] 点P的轨迹围成的图形面积为π
[B] |PB|的最小值为1－
[C] P1,P2是P的任意两个位置点,则∠P1AP2≤
[D] 过点(,)的直线与点P的轨迹交于点M,N,则MN的最小值为
【答案】 ABD
【解析】 由|PA|=|PB|得x2+=2[x2+],即x2+y2=1,
点P的轨迹为圆心O(0,0),半径r=1的圆.
对于A,面积为πr2=π,故A正确;
对于B,点B在圆内,由图知|BP|+|OB|≥OP,当O,B,P共线时等号成立,所以|BP|最小值为1－,故B正确;
对于C,因为|OA|=,r=1,所以过A向圆引切线,切线长等于1,则两条切线夹角为,故C不正确;
对于D,斜率不存在时,过点(,)的直线方程为x=,此时|MN|=;斜率存在时,过点(,)的直线方程为y－=k(x－),即kx－y－k+=0,则圆心到该直线的距离d==,
由圆的几何性质,
|MN|=2==,
当k=0时,|MN|=;
当k>0时,|MN|=>;
当k<0时,|MN|==
≥,当且仅当=k,即k=－1时,等号成立,
综上所述,MN的最小值为,故D正确.
12.(2025·安徽合肥模拟)已知点M是直线l1:ax+y－2a=0和l2:x－ay+2=0(a∈R)的交点,
A(－1,0),B(m,0),且点M满足|MA|=|MB|恒成立,若C(2,2),则2|MA|+|MC|的最小值为( )
[A] [B] 2
[C] [D] 2
【答案】 D
【解析】 将直线l1:ax+y－2a=0化为a(x－2)+y=0,可得直线l1恒过定点(2,0),
同理可得直线l2:x－ay+2=0恒过定点(－2,0),
当a≠0时,可得=－a,=,则·=－1,得l1⊥l2,当a=0时,显然l1⊥l2,
因为点M是直线l1和l2的交点,所以点M的轨迹方程为x2+y2=4(x≠2),
又因为|MA|=|MB|恒成立,可得4[(x+1)2+y2]=(x－m)2+y2恒成立,
即8x+20=－2mx+m2+4恒成立,
所以m=－4,即B(－4,0),
又由2|MA|+|MC|=|MB|+|MC|,且直线BC的方程为x－3y+4=0,
可得原点O(0,0)到直线BC的距离为=<2,
所以在直线BC上存在两个点P,Q满足B,P,C或B,Q,C三点共线,
如图所示,可得2|MA|+|MC|=|MB|+|MC|≥|BC|=2,
所以2|MA|+|MC|的最小值为2.故选D.
13.(5分)已知☉M:x2+y2+2x－4y+1=0,直线l:x－y－1=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点分别为A,B,当|PM|·|AB|最小时,点P的坐标为 ,直线AB的方程为 .
【答案】 (1,0) x－y+1=0
【解析】 ☉M的标准方程为(x+1)2+(y－2)2=4,其圆心为M(－1,2),半径为2.如图,
由题意可知PM⊥AB,则S PAMB=|PM||AB|=2S△PAM=|PA||AM|=2|PA|=2,所以当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,此时PM与直线l垂直,所以直线PM的方程为y－2=－(x+1),即x+y－1=0.联立解得所以点P的坐标为(1,0),|PM|==2.
在Rt△PAM中,|AP|==2,同理|BP|=2.以P为圆心,|AP|为半径作圆P,
如图,则线段AB为☉M与☉P的公共弦,
☉P的方程为(x－1)2+y2=4,即x2+y2－2x－3=0,两圆方程相减得x－y+1=0,
即直线AB的方程为x－y+1=0.
14.(15分)已知直线l:(m+1)x+(2m+1)y－7m－4=0,圆C:x2+y2－6x－4y－3=0.
(1)证明:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标;
(2)当直线l被圆C截得的弦最短时,求此时l的方程;
(3)设直线l与圆C交于A,B两点,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.
(1)【证明】 由题意知l可化为m(x+2y－7)+(x+y－4)=0,令解得P(1,3),所以直线l恒过定点P(1,3).
(2)【解】 由C:x2+y2－6x－4y－3=0,得(x－3)2+(y－2)2=16,所以圆C的圆心为(3,2),半径r=4,如图.
kPC==－,当直线l被圆截得的弦长最短时,l与PC垂直,所以kl=2,所以y－3=2(x－1),即2x－y+1=0.
(3)【解】 法一 因为S△ABC=r2·sin∠ACB,且∠ACB为钝角,所以当CP⊥l时 sin∠ACB 有最大值,即面积有最大值,此时同(2),即l:2x－y+1=0.
法二 设圆心到直线AB的距离为d,则|AB|=2(0所以S△ABC=|AB|d=·d==,当d2=5时有最大值,此时同(2),或者由d2=5,d=,解得m=－,所以l:2x－y+1=0.
15.(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则·的最大值为( )
[A] [B]
[C] 1+ [D] 2+
【答案】 A
【解析】 如图所示,|OA|=1,|OP|=,则由题意可知,∠APO=,
由勾股定理可得PA==1,
设∠OPC=α,0≤α<,
当α=0时,有|PD|=|PO|=,
当0<α<时,在△ODP中,|PD|=cos α.
当点A,D位于直线PO异侧时,
·=||·||cos(α+)
=1×cos αcos(α+)
=cos α(cos α－sin α)
=cos2 α－sin αcos α
=sin 2α
=sin(2α－),
因为0≤α<,则－≤2α－<,
所以当2α－=－时,·有最大值1.
当点A,D位于直线PO同侧时,
·=||·||·cos(α－)
=1×cos αcos(α－)
=cos α(cos α+sin α)
=cos2 α+sin αcos α
=+sin 2α
=+sin(2α+),
因为0≤α<,则≤2α+<,
所以当2α+=时,·有最大值.
综上可得,·的最大值为.故选A.
(
第
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第3节 直线与圆、圆与圆的
位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
知识梳理
位置关系 相离 相切 相交
图形
量 化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0
几何观点 d r d r d r
<
=
>
>
=
<
知识梳理
2.圆与圆的位置关系
知识梳理
两圆C1,C2有以下位置关系:
位置 关系 圆心距与 半径的关系 图示 公切线
条数
外离 4
内含 0
d>r1+r2
d<|r1－r2|
知识梳理
相交 2
内切 1
外切 3
|r1－r2|d=|r1－r2|
d=r1+r2
重要结论
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
重要结论
2.两圆相交时公共弦的性质
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程.
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦.
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防漏解).
对点自测
1.(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)(x－1)2+(y+2)2=6与直线2x+y－5=0的位置关系是( )
[A] 相切
[B] 相离
[C] 相交过圆心
[D] 相交但直线不过圆心
D
对点自测
对点自测
2.(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2－8x－6y+16=0的公切线条数是( )
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
C
对点自测
3.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编)直线m:x+y－1=0被圆M:
x2+y2－2x－4y=0截得的弦长为( )
B
对点自测
4.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程为 .
对点自测
y=1或4x－3y－5=0
关键能力
课堂突破
考点一 直线与圆的位置关系
角度1 位置关系的判断
C
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
解题策略
角度2 弦长问题
直线和圆相交弦长的两种求法
解题策略
(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.
角度3 切线问题
[例3] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,－2)与圆x2+y2－4x－1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α等于( )
B
解题策略
(1)过一点求圆的切线方程的两种求法.
①代数法:设切线方程为y－y0=k(x－x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.
②几何法:设切线方程为y－y0=k(x－x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.
注意斜率不存在的情况.
特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.
(2)过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.
角度4 直线与圆位置关系中的最值问题
[例4] (1)(2025·广东茂名模拟)动点P与两个定点O(0,0),A(0,3)满足|PA|=2|PO|,
则点P到直线l:mx－y+4－3m=0的距离的最大值为 .
由32+(4+1)2>4,
故点(3,4)在圆x2+(y+1)2=4外,
则圆心与定点(3,4)所在直线与直线l垂直时,圆心与直线l距离最大,
(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2－4x－2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是 .
解题策略
涉及直线上动点或动直线与圆上一点的距离范围(最值)问题,解题的关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的问题,利用数形结合等方法求得结果.
[针对训练]
1.(角度1)直线kx－y+2－k=0与圆x2+y2－2x－8=0的位置关系为( )
[A] 相交、相切或相离 [B] 相交或相切
[C] 相交 [D] 相切
C
2.(角度2)(2025·山东青岛模拟)已知圆x2+y2+2x－2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
[A] －8 [B] －6 [C] －4 [D] －2
C
4.(角度4)(2025·广西桂林模拟)已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆C:x2+y2－2x－2y+1=0的两条切线,A,B是切点,则四边形PACB面积的最小值为 .
【解析】 圆C:x2+y2－2x－2y+1=0,即圆C:(x－1)2+(y－1)2=1,
所以圆心C(1,1),半径r=1,如图,连接PC,
考点二 圆与圆的位置关系
[例5] 已知两圆C1:x2+y2－4x－6y+4=0和C2:x2+y2－12x－12y+36=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交.
(1)【证明】 因为C1:(x－2)2+(y－3)2=9,
圆心C1(2,3),半径r1=3;C2:(x－6)2+(y－6)2=36,
圆心C2(6,6),半径r2=6.
因为6－3<|C1C2|=5<6+3,
所以圆C1和圆C2相交.
[例5] 已知两圆C1:x2+y2－4x－6y+4=0和C2:x2+y2－12x－12y+36=0.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
[例5] 已知两圆C1:x2+y2－4x－6y+4=0和C2:x2+y2－12x－12y+36=0.
(3)求圆C1和圆C2的公切线方程.
(3)【解】 由(1)知,圆C1和圆C2相交,则两圆有两条公切线,易知其中一条公切线l1为直线y=0,另一条公切线与直线y=0关于两圆圆心所连直线l对称,且这三条直线交于一点.
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
解题策略
[针对训练] 已知两圆C1:x2+y2－4y=0,C2:(x－2)2+y2=m2(m>0).
(1)m取何值时两圆外切
[针对训练] 已知两圆C1:x2+y2－4y=0,C2:(x－2)2+y2=m2(m>0).
(2)当m=2时,求两圆的公共弦所在直线l的方程和公共弦的长.
微点培优12 隐圆问题
题型演绎
类型一 由圆的定义及基本性质确定隐圆
[A] (－3,3) [B] (－1,1)
[C] (－3,1) [D] (－3,－1)∪(1,3)
D
(2)已知圆C:(x－5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(－6,0),B(0,8),若圆C上存在点P使得PA⊥PB,则r的取值范围为( )
[A] (0,5] [B] [5,15]
[C] [10,15] [D] [15,+∞)
B
【解析】 (2)如图,由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆,设为圆M,
因为A(－6,0),B(0,8),故圆M:(x+3)2+(y－4)2=25.
依题意知圆M与圆C必至少有一个公共点.
因为C(5,－2),M(－3,4),
由|r－5|≤|CM|≤5+r,解得5≤r≤15.
故选B.
反思归纳
(1)题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数,则可以得到动点的轨迹为圆;
(2)题目中若给出垂直关系,根据圆的性质则可以得到点的轨迹为圆.题目给出垂直关系的常见方式有以下两种:
①直接告诉垂直关系:如动点到两定点的夹角为90°或向量的数量积为0等;
②利用垂直线系:与Ax+By+C=0垂直的直线方程的形式为Bx－Ay+D=0.
[拓展演练1] 已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点,且直线l1:mx－ny－3m+n=0与直线l2:nx+my－3m－n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P,则|PM|的取值范围是( )
B
【解析】 依题意,直线l1:m(x－3)－n(y－1)=0恒过定点A(3,1),直线l2:
n(x－1)+m(y－3)=0恒过定点B(1,3),显然直线l1⊥l2,因此,直线l1与l2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆,
类型二 由“动点与两定点的向量数量积为定值”确定隐圆
1
反思归纳
C
类型三 由“动点到两定点距离的平方和为定值”确定隐圆
[典例3] 已知圆C:(x－a)2+(y－a+2)2=1,A(0,2),若圆C上存在一点M,满足|MA|2+|MO|2=10,则实数a的取值范围是 .
[0,3]
【解析】 设M(x,y),
因为|MA|2+|MO|2=10,所以x2+(y－2)2+x2+y2=10,所以x2+(y－1)2=4.
因为圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=10,所以两圆相交或相切,
反思归纳
B
类型四 由“动点到两定点距离的比值为定值”确定隐圆(阿波罗尼斯圆)
C
反思归纳
[拓展演练4] (2025·山东烟台模拟)已知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍,记点P的轨迹为C,直线y=kx+1交C于M,N两点,Q(1,4),若△QMN的面积为2,则实数k的值为 .
－7或1
课时作业
(分值:95分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
直线与圆的位置关系 2,3,7,8,9,13
圆与圆的位置关系 1,4,14
位置关系的综合应用 5,10,11,15
隐圆问题 6,12
基础巩固练
1.已知圆O1:x2+2x+y2=10与圆O2:x2+y2－x－3y=4交于A,B两点,则|AB|等于( )
C
2.已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=5交于点M,N,当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m等于( )
D
D
4.(2025·福建莆田模拟)圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x－4y=0的交点为A,B,则有( )
D
BD
【解析】 由题意可得弦AB所在的直线方程为2x+6－a=0,
因为圆C1:x2+y2=6,圆心C1(0,0),
圆C2:x2+y2+2x－a=0,圆心C2(－1,0),
设圆心C1(0,0)与圆心C2(－1,0)到直线AB的距离分别为d1,d2,
6.(2025·湖北荆门模拟)已知点P是直线x－y－m=0上的动点,由点P向圆O:
x2+y2=1引切线,切点分别为M,N且∠MPN=90°,若满足以上条件的点P有且只有一个,则m等于( )
D
7.(5分)(2025·河南信阳模拟)已知圆C:x2+y2－6x=0,l1,l2是过原点且互相垂直的两条直线,若l1被圆C截得的弦长与l2被圆C截得的弦长的比为2∶1,则直线l1的斜率k= .
【解析】 因为圆C:x2+y2－6x=0,即为(x－3)2+y2=9,可知圆心为C(3,0),半径r=3,
由题意知,直线l1,l2的斜率存在,且不为0,
(2)以P为圆心的圆交圆O于M,N两点,问直线MN是否恒过一定点 若过定点求出定点坐标.
综合运用练
A
D
ABD
D
13.(5分)已知☉M:x2+y2+2x－4y+1=0,直线l:x－y－1=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点分别为A,B,当|PM|·|AB|最小时,点P的坐标为
,直线AB的方程为 .
(1,0)
x－y+1=0
【解析】 ☉M的标准方程为(x+1)2+(y－2)2=4,其圆心为M(－1,2),半径为2.如图,
☉P的方程为(x－1)2+y2=4,即x2+y2－2x－3=0,两圆方程相减得x－y+1=0,
即直线AB的方程为x－y+1=0.
14.(15分)已知直线l:(m+1)x+(2m+1)y－7m－4=0,圆C:x2+y2－6x－4y－3=0.
(1)证明:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标;
14.(15分)已知直线l:(m+1)x+(2m+1)y－7m－4=0,圆C:x2+y2－6x－4y－3=0.
(2)当直线l被圆C截得的弦最短时,求此时l的方程;
14.(15分)已知直线l:(m+1)x+(2m+1)y－7m－4=0,圆C:x2+y2－6x－4y－3=0.
(3)设直线l与圆C交于A,B两点,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.
应用创新练
A
