第5节 双曲线
[课程标准要求]
1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.
3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合E={P|||PF1|－|PF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0.
(1)若a(2)若a=c时,则集合E为两条射线.
(3)若a>c时,则集合E为空集.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 = 1(a>0,b>0) = 1(a>0,b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c,0),F2(c,0) F1(0,－c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≤－a或 x≥a, y∈R y≤－a或y≥a, x∈R
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(－a,0), A2(a,0) A1(0,－a), A2(0,a)
轴 实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b,实半轴长:a,虚半轴长:b
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=∈(1,+∞)
a,b,c 的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=.
1.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
2.过双曲线的一个焦点,且与实轴垂直的弦的长为.
3.点P为双曲线上不同于实轴两端点的一点,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则=.
4.若P是双曲线=1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a(或圆心I在定直线x=a上).
5.若P(x0,y0)为双曲线=1(a>0,b>0)上任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则焦半径公式为|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0－a|.
1.(2025·八省联考)双曲线x2－=1的渐近线方程为( )
[A] y=±x [B] y=±2x
[C] y=±3x [D] y=±4x
2.(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T1改编)设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )
[A] 1 [B] 17
[C] 1或17 [D] 以上均不正确
3.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,－4),点(－6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
[A] 4 [B] 3 [C] 2 [D]
4.(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)已知曲线C的方程为=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是( )
[A] (－1,5) [B] (,+∞)
[C] (,5) [D] (2,)
5.(北师大版选择性必修第一册P68习题2-2 A组T3改编)若双曲线y2－=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2－4y+3=0相切,则m= .
考点一 双曲线的定义及应用
[例1] (1)已知动圆与两个圆C1:(x+4)2+y2=1和C2:(x－4)2+y2=9均内切,则动圆的圆心轨迹方程为 .
(2)已知F1,F2为双曲线C:x2－y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 .
(1)应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定
点间的距离”,若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|－|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系,利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
[针对训练] (1)(2025·陕西榆林模拟)设F1,F2是双曲线C:=1的左、右焦点,过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P,Q,若△PQF2是正三角形,则|PF1|等于( )
[A] 2 [B] 4 [C] 8 [D] 16
(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x－3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
考点二 双曲线的标准方程
[例2] (1)(2025·四川泸州模拟)设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,过左焦点F1作直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,与双曲线右支交于点P,且满足=(+),|OE|= ,则双曲线的方程为( )
[A] =1 [B] =1
[C] =1 [D] =1
(2)(2025·山东淄博模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0,且焦距为10,则该双曲线的标准方程为 .
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.
(2)待定系数法:“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为=λ(λ≠0).与双曲线=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为=1(－a2<λ[针对训练] 若双曲线C1与双曲线C2:－y2=1有相同的焦距,且C1过点(3,1),则双曲线C1的标准方程为( )
[A] =1
[B] =1
[C] =1或=1
[D] =1或y2－=1
考点三 双曲线的简单几何性质
角度1 双曲线的离心率
[例3] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
(2)已知双曲线E:=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
双曲线离心率的求法
(1)直接法:由题设条件求出a,c,从而得e.
(2)等价转化法:由e=或e=等公式将已知条件转化为关于e的等式,从而得e.
角度2 双曲线的渐近线方程
[例4] (1)(2025·河北唐山模拟)已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的两焦点分别为F1,F2,过F2的直线与其一支交于A,B两点,点B在第四象限.以F1为圆心,Γ的实轴长为半径的圆与线段AF1,BF1分别交于M,N两点,且|AM|=3|BN|,F1B⊥F2B,则Γ的渐近线方程是( )
[A] y=±x [B] y=±x
[C] y=±x [D] y=±x
(2)(2025·浙江台州模拟)如图,设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F作倾斜角为60°的直线l与双曲线C的左支交于A,B两点,若=4,则双曲线C的渐近线方程为 .
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线=1(a>0,b>0)或=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令=0,得y=±x或令=0,得y=±x.
(2)已知渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为=λ(a>0,b>0,λ≠0).
说明:两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且两条渐近线关于x轴、y轴对称.
(3)在双曲线的几何性质中,重点是渐近线方程和离心率,在双曲线=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±,满足关系式e2=1+k2.
角度3 由几何性质确定标准方程
[例5] 已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
[A] =1 [B] =1
[C] =1 [D] =1
求双曲线的方程时,将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2,列出未知参数的方程,解方程后即可求出双曲线的方程.
[针对训练]
1.(角度1)双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的离心率为( )
[A] 5 [B] [C] [D]
2.(角度3)过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
[A] =1 [B] =1
[C] =1 [D] =1
3.(角度2)(2022·北京卷)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m= .
微点培优13 椭圆、双曲线的离心率问题
类型一 利用几何图形的特征求离心率
[典例1] (2025·湖南长沙模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,B为椭圆的上顶点,过F1作BF2的垂线,并与椭圆交于点D,且满足BF1∥DF2,则椭圆C的离心率为( )
[A] [B] [C] [D]
已知条件中涉及直线平行、垂直,线段中点,向量的倍数关系,直线与圆相交、相切等说法时,一般要分析图形中隐含的各种数量关系,可以是边的关系,也可以是角的关系,用这些式子构建a,b,c的关系,进一步转化为关于e的方程得解.
[拓展演练1] (2025·广东广州模拟)已知A,B,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点,若过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,则C的离心率为 .
类型二 椭圆与双曲线的离心率的关系问题
[典例2] (多选题)(2025·四川雅安模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆+=1与双曲线=1的离心率分别为e1,e2,其中a>b>0,且双曲线渐近线的斜率绝对值小于,则下列关系正确的是( )
[A] +=3 [B] [C] 已知条件中同时出现椭圆或双曲线,研究这二者的离心率的关系问题,一般根据它们有相同的焦点,或者椭圆的长短轴与双曲线的实虚轴的相等关系,结合同一坐标系下两者的图形特征,如都是轴对称和中心对称图形,获得关于a,b,c的关系式,化为关于e的关系式.
[拓展演练2] (2025·河南洛阳模拟)如图,在平面四边形ABCD中,AB∥CD,|AB|=2|CD|=2,
|AD|=1.若A,B是椭圆C1和双曲线C2的两个公共焦点,C,D是C1与C2的两个交点,则C1与C2的离心率之积为( )
[A] [B] [C] 2 [D] 3
类型三 离心率的范围问题
[典例3] (2025·四川南充模拟)已知点F是双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若∠AEB<120°,则该双曲线离心率的取值范围为 .
对于椭圆或双曲线的离心率范围问题,可以将问题给出的不等关系转化为关于a,b,c的不等式,进一步化为关于e的不等式得解;也可结合方程,利用点与椭圆位置关系、直线与渐近线的位置关系等建立关于a,b,c的不等式得解.这里需要注意椭圆和双曲线离心率自身的约束条件,即椭圆离心率在(0,1)范围内,双曲线的离心率在(1,+∞)范围内.
[拓展演练3] (2025·浙江温州模拟)若动直线mx+ny=2m+n(m,n∈R)始终与椭圆C:+=1
(a>0,且a≠)有公共点,则C的离心率的取值范围是( )
[A] (0,) [B] (0,) [C] [,1) [D] [,1)
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
双曲线的定义、标准方程 1,8
双曲线的几何性质 2,7,9
双曲线的综合应用 4,6,11,15,16
椭圆、双曲线的离心率问题 3,5,10,12,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·河北石家庄模拟)已知双曲线的两个焦点为F1(－,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是( )
[A] －y2=1 [B] x2－=1
[C] =1 [D] =1
2.(2025·湖北黄冈模拟)已知直线y=2x+m与双曲线Γ:=1(m>0)的一条渐近线平行,则Γ的实轴长为( )
[A] 2 [B] 3 [C] [D]
3.(2025·河南商丘模拟)已知双曲线E的顶点为椭圆D:+=1的焦点,E的离心率与D的离心率之积为1,则E的方程为( )
[A] x2－=1 [B] x2－=1
[C] －y2=1 [D] －y2=1
4.已知点O(0,0),A(－4,0),B(4,0),设点M满足|MA|－|MB|=4,且M又为函数y=图象上的点,则|OM|等于( )
[A] [B]
[C] [D]
5.(2025·江西九江模拟)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,O为坐标原点,P为双曲线C右支上的一点,·+·=0, 在 上的投影向量的模为||,则双曲线C的离心率为( )
[A] [B] －1 [C] +1 [D]
6.(多选题)(2025·江苏南通模拟)已知双曲线C:=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点,则( )
[A] C的虚轴长为2
[B] C的离心率为
[C] |PF|的最小值为2
[D] 直线PF的斜率不等于－
7.(5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 .
8.(13分)已知双曲线C:x2－=1(b>0).
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,求双曲线C的标准方程;
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,若PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为9,求b的值.
9.(2025·河南郑州模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的离心率为e,在第一象限存在双曲线上的点P,满足e·sin∠PF1F2=1,且=4a2,则双曲线C的渐近线方程为( )
[A] 2x±y=0 [B] x±2y=0
[C] 3x±y=0 [D] x±3y=0
10.(2025·四川成都模拟)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、第四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
[A] [B] [C] [D]
11.(多选题)(2025·福建泉州模拟)已知双曲线C:－x2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=,上、下焦点分别为F1,F2,则( )
[A] C的方程为－x2=1
[B] C的离心率为2
[C] 若点A(x0,y0)为双曲线C上支上的任意一点,P(2,0),则|PA|+|AF2|的最小值为2
[D] 若点M(2,t)为双曲线C上支上的一点,则△MF1F2的内切圆面积为2π
12.(5分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=－,则C的离心率为 .
13.(5分)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,点B(3a,0).若在双曲线E的渐近线上存在点P,使得·=0,则双曲线E的离心率的取值范围是 .
14.(15分)(2025·湖南衡阳模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)与椭圆+=1共焦点,点M,N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、第二象限的交点,若点E(0,3)满足ME⊥ON(O为坐标原点).
(1)求双曲线的离心率;
(2)求△OMN的面积.
15.(5分)已知双曲线=1左、右焦点分别为F1,F2,点P为右支上一动点,圆M与F1P的延长线、F1F2的延长线和线段F2P都相切,则的取值所组成的集合为 .
16.(5分)(2025·山东潍坊模拟)已知平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=2x,l2:y=－2x,点P为平面内一动点,过P作DP∥l2交l1于D,作EP∥l1交l2于E,得到的平行四边形ODPE面积为1,记点P的轨迹为曲线Γ.若Γ与圆x2+y2=t有四个交点,则实数t的取值范围是 .
第5节 双曲线（解析版）
[课程标准要求]
1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.
3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合E={P|||PF1|－|PF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0.
(1)若a(2)若a=c时,则集合E为两条射线.
(3)若a>c时,则集合E为空集.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 = 1(a>0,b>0) = 1(a>0,b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c,0),F2(c,0) F1(0,－c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≤－a或 x≥a, y∈R y≤－a或y≥a, x∈R
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(－a,0), A2(a,0) A1(0,－a), A2(0,a)
轴 实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b,实半轴长:a,虚半轴长:b
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=∈(1,+∞)
a,b,c 的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=.
1.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
2.过双曲线的一个焦点,且与实轴垂直的弦的长为.
3.点P为双曲线上不同于实轴两端点的一点,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则=.
4.若P是双曲线=1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a(或圆心I在定直线x=a上).
5.若P(x0,y0)为双曲线=1(a>0,b>0)上任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则焦半径公式为|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0－a|.
1.(2025·八省联考)双曲线x2－=1的渐近线方程为( )
[A] y=±x [B] y=±2x
[C] y=±3x [D] y=±4x
【答案】 C
【解析】 令x2－=0,得双曲线x2－=1的渐近线方程为y=±3x.故选C.
2.(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T1改编)设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )
[A] 1 [B] 17
[C] 1或17 [D] 以上均不正确
【答案】 B
【解析】 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||=8,解得|PF2|=1或17.又|PF2|≥c－a=2,故 |PF2|=17.故选B.
3.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,－4),点(－6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
[A] 4 [B] 3 [C] 2 [D]
【答案】 C
【解析】 设F1(0,－4),F2(0,4),P(－6,4),则|F1F2|=2c=8,|PF1|==10,
|PF2|==6,
则2a=|PF1|－|PF2|=10－6=4,
则e===2.故选C.
4.(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)已知曲线C的方程为=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是( )
[A] (－1,5) [B] (,+∞)
[C] (,5) [D] (2,)
【答案】 D
【解析】 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则解得25.(北师大版选择性必修第一册P68习题2-2 A组T3改编)若双曲线y2－=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2－4y+3=0相切,则m= .
【答案】
【解析】 双曲线的渐近线方程为x±my=0,圆x2+y2－4y+3=0的方程可化为x2+(y－2)2=1,则圆心坐标为(0,2),半径r=1.因为双曲线的渐近线与圆相切,所以圆心到渐近线的距离d==1,解得m=.
考点一 双曲线的定义及应用
[例1] (1)已知动圆与两个圆C1:(x+4)2+y2=1和C2:(x－4)2+y2=9均内切,则动圆的圆心轨迹方程为 .
(2)已知F1,F2为双曲线C:x2－y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 .
【答案】 (1)x2－=1(x≥1) (2)2
【解析】 (1)圆C1的圆心为C1(－4,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(4,0),半径为3,
所以两圆相离,且|C1C2|=8,设动圆P的半径为r,
由动圆与两圆均内切,则|PC1|=r－1,|PC2|=r－3,此时|PC1|－|PC2|=2,
则点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的靠近C2的一支,此时2c=8,2a=2,
因此a=1,c=4,b=,因此所求双曲线的方程为x2－=1(x≥1).
(2)不妨设点P在双曲线的右支上,
则|PF1|－|PF2|=2a=2,
在△F1PF2中,由余弦定理,得
cos∠F1PF2==
=,
所以|PF1|·|PF2|=8,
所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=2.
(1)应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定
点间的距离”,若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|－|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系,利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
[针对训练] (1)(2025·陕西榆林模拟)设F1,F2是双曲线C:=1的左、右焦点,过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P,Q,若△PQF2是正三角形,则|PF1|等于( )
[A] 2 [B] 4 [C] 8 [D] 16
(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x－3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】 (1)B (2)x2－=1(x≤－1)
【解析】 (1)对于双曲线C:
=1,则a=2,根据双曲线定义有|QF1|－|QF2|=2a=4,又|QF1|=|PF1|+|PQ|,|QF2|=|PQ|,故|PF1|=4.
故选B.
(2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|－|AC1|=|MA|,
|MC2|－|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|－|AC1|=|MC2|－|BC2|,
即|MC2|－|MC1|=|BC2|－|AC1|=2,
所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数,且小于|C1C2|=6.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与点C2的距离大,与点C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2－=1(x≤－1).
考点二 双曲线的标准方程
[例2] (1)(2025·四川泸州模拟)设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,过左焦点F1作直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,与双曲线右支交于点P,且满足=(+),|OE|= ,则双曲线的方程为( )
[A] =1 [B] =1
[C] =1 [D] =1
(2)(2025·山东淄博模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0,且焦距为10,则该双曲线的标准方程为 .
【答案】 (1)D (2)=1或=1
【解析】 (1)因为E为圆x2+y2=a2上的点,所以 |OE|=a=.因为=(+),所以E是PF1的中点.又O是F1F2的中点,所以 |PF2|=2|OE|=2a=2,且PF2∥OE.又 |PF1|－|PF2|=
2a=2,所以|PF1|=4a=4.因为PF1是圆的切线,所以OE⊥PF1,所以PF2⊥PF1.
又|F1F2|=2c,所以4c2=|PF1|2+|PF2|2=60,所以c2=15,所以b2=c2－a2=12,
所以双曲线的方程为=1.故选D.
(2)依题意,2c=10,所以c=5.若双曲线的焦点在x轴上,则解得b2=5,a2=20,双曲线的标准方程为=1;若双曲线的焦点在y轴上,则解得b2=20,a2=5,双曲线的标准方程为=1.
综上,该双曲线的标准方程为=1或=1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.
(2)待定系数法:“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为=λ(λ≠0).与双曲线=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为=1(－a2<λ[针对训练] 若双曲线C1与双曲线C2:－y2=1有相同的焦距,且C1过点(3,1),则双曲线C1的标准方程为( )
[A] =1
[B] =1
[C] =1或=1
[D] =1或y2－=1
【答案】 C
【解析】 因为C1和C2有相同的焦距,又双曲线C2:－y2=1的焦距为4,所以双曲线C1的焦距2c=4,又C1过点(3,1),
当C1的焦点在x轴上时,设双曲线C1的方程为=1(a>0,b>0),将点(3,1)代入=1(a>0,b>0),得=1,①
又a2+b2=c2=8,②
联立①②两式得a2=6(a2=12舍去),b2=2,
所以双曲线C1的标准方程为=1.
当C1的焦点在y轴上时,设双曲线C1的方程为=1(a>0,b>0),将点(3,1)代入=1(a>0,b>0),得=1,③
联立②③两式得a2=9－(a2=9+舍去),b2=－1,
所以双曲线C1的标准方程为=1.
综上所述,双曲线C1的标准方程为=1或=1.故选C.
考点三 双曲线的简单几何性质
角度1 双曲线的离心率
[例3] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
(2)已知双曲线E:=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
[溯源探本] 本例题(1)源于人教B版选择性必修第一册P154例2.
【答案】 (1) (2)2
【解析】 (1)由题可知A,B,F2三点横坐标相等,设A在第一象限,将x=c代入=1,
得y=±,即A(c,),B(c,－),故|AB|==10,|AF2|==5,
又|AF1|－|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入=5得b2=20,
故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===.
(2)如图,由题意知|AB|=,
|BC|=2c.
又2|AB|=3|BC|,
所以2·=3·2c,
即2b2=3ac,
所以2(c2－a2)=3ac,
两边同除以a2并整理得
2e2－3e－2=0,
解得e=2(负值舍去).
双曲线离心率的求法
(1)直接法:由题设条件求出a,c,从而得e.
(2)等价转化法:由e=或e=等公式将已知条件转化为关于e的等式,从而得e.
角度2 双曲线的渐近线方程
[例4] (1)(2025·河北唐山模拟)已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的两焦点分别为F1,F2,过F2的直线与其一支交于A,B两点,点B在第四象限.以F1为圆心,Γ的实轴长为半径的圆与线段AF1,BF1分别交于M,N两点,且|AM|=3|BN|,F1B⊥F2B,则Γ的渐近线方程是( )
[A] y=±x [B] y=±x
[C] y=±x [D] y=±x
(2)(2025·浙江台州模拟)如图,设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F作倾斜角为60°的直线l与双曲线C的左支交于A,B两点,若=4,则双曲线C的渐近线方程为 .
【答案】 (1)B (2)y=±x
【解析】 (1)如图,由题意得|F1M|=|F1N|=2a,设|BN|=t(t>0),则|AM|=3|BN|=3t,
所以|AF1|=2a+3t,|BF1|=2a+t,由双曲线的定义得|AF1|－|AF2|=|BF1|－|BF2|=2a,
所以|AF2|=3t,|BF2|=t,则|AB|=|AF2|+|BF2|=4t,因为F1B⊥F2B,在Rt△AF1B中,|BF1|2+|AB|2=
|AF1|2,即(2a+t)2+(4t)2=(2a+3t)2,解得t=a,所以|BF1|=3a,|BF2|=a,在Rt△BF1F2中,|BF1|2+
|BF2|2=|F1F2|2,即(3a)2+a2=(2c)2,可得a2=c2,所以b2=c2－a2=c2,所以=,即=,故双曲线Γ的渐近线方程为y=±x.故选B.
(2)令双曲线的右焦点为F′,半焦距为c,连接BF′,AF′,设|BF|=t,则|AF|=4t,
由双曲线定义得|BF′|=t+2a,|AF′|=4t+2a,由直线AB倾斜角为60°,得由余弦定理得
即
整理得于是c=a,b=a,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线=1(a>0,b>0)或=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令=0,得y=±x或令=0,得y=±x.
(2)已知渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为=λ(a>0,b>0,λ≠0).
说明:两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且两条渐近线关于x轴、y轴对称.
(3)在双曲线的几何性质中,重点是渐近线方程和离心率,在双曲线=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±,满足关系式e2=1+k2.
角度3 由几何性质确定标准方程
[例5] 已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
[A] =1 [B] =1
[C] =1 [D] =1
【答案】 C
【解析】 由d1+d2=6,因为右焦点为AB的中点,所以双曲线的右焦点到渐近线的距离为=3,所以b=3.
因为双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,
所以=2,所以=4,
所以=4,解得a2=3.
所以双曲线的方程为=1.
故选C.
求双曲线的方程时,将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2,列出未知参数的方程,解方程后即可求出双曲线的方程.
[针对训练]
1.(角度1)双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的离心率为( )
[A] 5 [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 由双曲线的渐近线方程为y=±2x,
可知=2.
根据a2+b2=c2,得e===.故选D.
2.(角度3)过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
[A] =1 [B] =1
[C] =1 [D] =1
【答案】 A
【解析】 由题意知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可得点A的坐标为(a,b).
设右焦点为F(c,0),由已知可得c=4,且|AF|=4,即(c－a)2+b2=16,所以有(c－a)2+b2=c2.
又c2=a2+b2,则c=2a,即a=2,
所以b2=c2－a2=42－22=12,
故双曲线的方程为=1.故选A.
3.(角度2)(2022·北京卷)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m= .
【答案】 －3
【解析】 依题意得m<0,双曲线的标准方程可表示为y2－=1,双曲线的渐近线的斜率为 ±=±,解得m=－3.
微点培优13 椭圆、双曲线的离心率问题
类型一 利用几何图形的特征求离心率
[典例1] (2025·湖南长沙模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,B为椭圆的上顶点,过F1作BF2的垂线,并与椭圆交于点D,且满足BF1∥DF2,则椭圆C的离心率为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 如图所示,设D关于原点对称的点为E,连接EF1,EF2,则四边形DF1EF2为平行四边形,
由BF1∥DF2可知,B,F1,E三点共线,
且EF2⊥BF2,设|EF1|=x,则|EF2|=2a－x,
在Rt△EF2B中,
a2+(2a－x)2=(x+a)2,解得x=a,
注意到cos∠EF1F2=－cos∠BF1F2=－,
在△EF1F2中结合余弦定理可得,
－=,
解得a2=5c2,则e2=,所以e=.故选C.
已知条件中涉及直线平行、垂直,线段中点,向量的倍数关系,直线与圆相交、相切等说法时,一般要分析图形中隐含的各种数量关系,可以是边的关系,也可以是角的关系,用这些式子构建a,b,c的关系,进一步转化为关于e的方程得解.
[拓展演练1] (2025·广东广州模拟)已知A,B,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点,若过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,则C的离心率为 .
【答案】
【解析】 由已知可得A(a,0),B(0,b),F(c,0),线段AF的垂直平分线方程为x=,过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,所以圆心坐标为(,b),圆的半径为,所以经过A,B,F三点的圆的方程为(x－)2+(y－b)2=()2,A(a,0)在圆上,所以(a－)2+(0－b)2=()2,
整理得b2=ac,所以a2－c2=ac,所以c2+ac－a2=0,化为e2+e－1=0,由0类型二 椭圆与双曲线的离心率的关系问题
[典例2] (多选题)(2025·四川雅安模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆+=1与双曲线=1的离心率分别为e1,e2,其中a>b>0,且双曲线渐近线的斜率绝对值小于,则下列关系正确的是( )
[A] +=3 [B] [C] 【答案】 CD
【解析】 由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为,则0<<,
所以1>e1==>,所以e1∈(,1),所以C正确;
1+=1－+1+=2,所以A不正确;
e1e2==>=,且e1e2=<1,则已知条件中同时出现椭圆或双曲线,研究这二者的离心率的关系问题,一般根据它们有相同的焦点,或者椭圆的长短轴与双曲线的实虚轴的相等关系,结合同一坐标系下两者的图形特征,如都是轴对称和中心对称图形,获得关于a,b,c的关系式,化为关于e的关系式.
[拓展演练2] (2025·河南洛阳模拟)如图,在平面四边形ABCD中,AB∥CD,|AB|=2|CD|=2,
|AD|=1.若A,B是椭圆C1和双曲线C2的两个公共焦点,C,D是C1与C2的两个交点,则C1与C2的离心率之积为( )
[A] [B] [C] 2 [D] 3
【答案】 C
【解析】 依题意,由对称性知,四边形ABCD是等腰梯形,过D作DE⊥AB于点E,连接BD,
则|AE|==,
|DE|==,
在Rt△BDE中,|BD|2=()2+()2=5,
所以C1与C2的离心率之积为·===2.故选C.
类型三 离心率的范围问题
[典例3] (2025·四川南充模拟)已知点F是双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若∠AEB<120°,则该双曲线离心率的取值范围为 .
【答案】 (1,+1)
【解析】 根据双曲线的对称性得,在△EAB中,∠EAB=∠EBA,
又因为∠AEB<120°,所以在Rt△AEF中,∠AEF<60°,即tan∠AEF=<,
所以|AF|<|EF|,又因为AB为通径,
即|AF|=,|EF|=a+c,
所以<(a+c),且c2=a2+b2,
所以c2－a2<(a2+ac),
即c2－ac－(1+)a2<0,
即e2－e－(1+)<0,
解得－11,
所以该双曲线的离心率取值范围为(1,+1).
对于椭圆或双曲线的离心率范围问题,可以将问题给出的不等关系转化为关于a,b,c的不等式,进一步化为关于e的不等式得解;也可结合方程,利用点与椭圆位置关系、直线与渐近线的位置关系等建立关于a,b,c的不等式得解.这里需要注意椭圆和双曲线离心率自身的约束条件,即椭圆离心率在(0,1)范围内,双曲线的离心率在(1,+∞)范围内.
[拓展演练3] (2025·浙江温州模拟)若动直线mx+ny=2m+n(m,n∈R)始终与椭圆C:+=1
(a>0,且a≠)有公共点,则C的离心率的取值范围是( )
[A] (0,) [B] (0,) [C] [,1) [D] [,1)
【答案】 C
【解析】 由直线m(x－2)+n(y－1)=0,得直线过定点(2,1),由题意得,点(2,1)在椭圆上或椭圆内部,所以+≤1,则a2≥6,
所以椭圆焦点在x轴上,
所以e==∈[,1).
故选C.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
双曲线的定义、标准方程 1,8
双曲线的几何性质 2,7,9
双曲线的综合应用 4,6,11,15,16
椭圆、双曲线的离心率问题 3,5,10,12,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·河北石家庄模拟)已知双曲线的两个焦点为F1(－,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是( )
[A] －y2=1 [B] x2－=1
[C] =1 [D] =1
【答案】 A
【解析】 因为·=0,所以⊥,即MF1⊥MF2,所以|MF1|2+|MF2|2=40,则(|MF1|－|MF2|)2=|MF1|2－2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40－2×2=36.所以||MF1|－|MF2||=6=2a,即a=3.因为c=,所以b2=c2－a2=1,则该双曲线的方程是－y2=1.故选A.
2.(2025·湖北黄冈模拟)已知直线y=2x+m与双曲线Γ:=1(m>0)的一条渐近线平行,则Γ的实轴长为( )
[A] 2 [B] 3 [C] [D]
【答案】 D
【解析】 由双曲线Γ:=1(m>0)可知a=,b=,且焦点在x轴上,则双曲线Γ的渐近线方程为y=±x,且直线y=2x+m的斜率k=2,若直线y=2x+m与双曲线Γ的一条渐近线平行,则=2,解得m=,即a==,所以Γ的实轴长为2a=.
故选D.
3.(2025·河南商丘模拟)已知双曲线E的顶点为椭圆D:+=1的焦点,E的离心率与D的离心率之积为1,则E的方程为( )
[A] x2－=1 [B] x2－=1
[C] －y2=1 [D] －y2=1
【答案】 B
【解析】 由题意知,对于椭圆D:+=1,焦点为(－1,0)和(1,0),离心率为e=.设双曲线E的标准方程为=1(a>0,b>0),又双曲线E的离心率与椭圆D的离心率之积为1,所以双曲线E的离心率为2,即=2,又a=1,所以c=2,b2=c2－a2=3,所以双曲线E的标准方程为x2－=1.故选B.
4.已知点O(0,0),A(－4,0),B(4,0),设点M满足|MA|－|MB|=4,且M又为函数y=图象上的点,则|OM|等于( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为|MA|－|MB|=4<|AB|,所以点M在以A(－4,0),B(4,0)为焦点的双曲线的右支上,设双曲线的方程为=1(x≥a)(a>0,b>0),则2a=4,c=4 a=2 b2=16－4=12 =1(x≥2),因此有 M(,),因此|OM|==.故选B.
5.(2025·江西九江模拟)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,O为坐标原点,P为双曲线C右支上的一点,·+·=0, 在 上的投影向量的模为||,则双曲线C的离心率为( )
[A] [B] －1 [C] +1 [D]
【答案】 C
【解析】 取M为PF的中点,F2为右焦点,连接OM,PF2,因为·+·=
·(+)=2·=0,所以OM⊥PF,所以|OF|=|OP|=c,因为在上的投影向量的模为||,所以|FM|=c,所以|OM|=c,所以|PF|=c,|PF2|=c,因为|PF|－|PF2|=2a,
所以(－1)c=2a,所以=+1.故选C.
6.(多选题)(2025·江苏南通模拟)已知双曲线C:=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点,则( )
[A] C的虚轴长为2
[B] C的离心率为
[C] |PF|的最小值为2
[D] 直线PF的斜率不等于－
【答案】 AD
【解析】 双曲线C:=1的渐近线方程为bx±2y=0,依题意,－=－,解得b=,
对于A,C的虚轴长2b=2,A正确;
对于B,C的离心率e==,B错误;
对于C,点F(,0)到直线l:x+y=0的距离=,即|PF|的最小值为,C错误;
对于D,直线l:x+y=0的斜率为－,而点F不在l上,点P在l上,则直线PF的斜率不等于－,D正确.
故选AD.
7.(5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 .
【答案】 8
【解析】 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,－b),所以S△ODE=·a·|DE|=·a·2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以c≥4,所以2c≥8,所以C的焦距的最小值为8.
8.(13分)已知双曲线C:x2－=1(b>0).
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,求双曲线C的标准方程;
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,若PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为9,求b的值.
【解】 (1)因为双曲线C:x2－=1(b>0)的渐近线方程为y=±bx,而它的一条渐近线方程为y=2x,
所以b=2,
所以双曲线C的标准方程为x2－=1.
(2)因为PF1⊥PF2,
所以∠F1PF2=90°,
所以=|PF1|·|PF2|,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,又||PF1|－|PF2||=2a=2,(|PF1|－|PF2|)2=
|PF1|2+|PF2|2－2|PF1|·|PF2|,即4=4c2－4×9,c2=10.
所以b2=c2－a2=9,b=3.
9.(2025·河南郑州模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的离心率为e,在第一象限存在双曲线上的点P,满足e·sin∠PF1F2=1,且=4a2,则双曲线C的渐近线方程为( )
[A] 2x±y=0 [B] x±2y=0
[C] 3x±y=0 [D] x±3y=0
【答案】 A
【解析】 设|PF1|=t,
则|PF2|=t－2a,
而e·sin∠PF1F2=1,
所以sin∠PF1F2==,
所以点P到F1F2的距离为
|PF1|sin∠PF1F2=t·,
又|F1F2|=2c,
所以=·2c·t·=4a2,
解得t=4a,即|PF1|=4a,从而|PF2|=2a,
又因为sin∠PF1F2==,
所以cos∠PF1F2==,
在△PF1F2中,由余弦定理有cos∠PF1F2==,
所以4ab=4a2+c2－a2=b2+4a2,
即+4=0,解得=2,双曲线C的渐近线方程为y=±x,即2x±y=0.故选A.
10.(2025·四川成都模拟)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、第四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 设双曲线C2的方程为=1(a2>0,b2>0),则有+===4－1=3.椭圆C1中,a1=2,b1=1,又四边形AF1BF2为矩形,所以△AF1F2的面积为tan 45°=,
即==1.所以==3－1=2.故双曲线C2的离心率e===.故选D.
11.(多选题)(2025·福建泉州模拟)已知双曲线C:－x2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=,上、下焦点分别为F1,F2,则( )
[A] C的方程为－x2=1
[B] C的离心率为2
[C] 若点A(x0,y0)为双曲线C上支上的任意一点,P(2,0),则|PA|+|AF2|的最小值为2
[D] 若点M(2,t)为双曲线C上支上的一点,则△MF1F2的内切圆面积为2π
【答案】 BC
【解析】 对于A,双曲线C:－x2=1(a>0)的渐近线方程y=±ax,则a=,于是双曲线C的方程为3y2－x2=1,A错误;对于B,双曲线C的离心率e==2,B正确;对于C,F1(0,),F2(0,－),|PA|+|AF2|=|PA|+|AF1|+2a≥|PF1|+=+=2,当且仅当点A为线段PF1与双曲线上支的交点时取等号,C正确;对于D,由点M(2,t)在双曲线上支上,得t=,=|F1F2|·2=,△MF1F2的周长|MF1|+|MF2|+|F1F2|=++=,设△MF1F2的内切圆半径为r,则=×r=,解得r=,因此△MF1F2的内切圆面积为,D错误.故选BC.
12.(5分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=－,则C的离心率为 .
【答案】
【解析】 依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,在Rt△ABF1中,
9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a－m)=0,故a=m或a=－3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,
|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,故cos ∠F1AF2===,又在△AF1F2中,cos ∠F1AF2=
=,整理得5c2=9a2,故e==.
13.(5分)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,点B(3a,0).若在双曲线E的渐近线上存在点P,使得·=0,则双曲线E的离心率的取值范围是 .
【答案】 (1,]
【解析】 由题意得双曲线E:=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),渐近线方程为y=±x,
即bx±ay=0,
·=0,即PA⊥PB,
所以点P为以AB为直径的圆与双曲线渐近线的交点,圆心为AB中点(2a,0),半径为r=a,
依题意,渐近线与该圆有公共点,
故≤a,即3b2≤a2,
即3(c2－a2)≤a2,即3c2≤4a2,
所以114.(15分)(2025·湖南衡阳模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)与椭圆+=1共焦点,点M,N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、第二象限的交点,若点E(0,3)满足ME⊥ON(O为坐标原点).
(1)求双曲线的离心率;
(2)求△OMN的面积.
【解】 (1)椭圆+=1中,c===2,椭圆焦点坐标为(±2,0),所以双曲线的焦点坐标为(±2,0).双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,☉O的方程为x2+y2=20.由消y得x2+x2=20,x=±=±.
由题意知,M,N分别在第一、第二象限,所以M(,),N(－,),所以=(－,
3－),=(－,),因为ME⊥ON,所以·=0,所以(－,3－)·
(－,)=0,化简整理得+=0.又c=2=代入上式,解得b=4,a=2.所以双曲线的离心率e===.
(2)由(1)知M(2,4),N(－2,4),
所以|MN|=|2－(－2)|=4,
yN=yM=4.
所以S△MON=|MN|·yN=×4×4=8.
15.(5分)已知双曲线=1左、右焦点分别为F1,F2,点P为右支上一动点,圆M与F1P的延长线、F1F2的延长线和线段F2P都相切,则的取值所组成的集合为 .
【答案】 {1}
【解析】 如图,设圆M与F1P的延长线、F1F2的延长线和线段F2P分别相切于点G,E,H,
连接MH,则|PG|=|PH|,|F2H|=|F2E|,
|F1G|=|F1E|,由双曲线方程为=1,
可得a=12,b=5,c=13,又P为右支上的一动点,所以|PF1|－|PF2|=2a,
|PF1|－|PF2|=|F1G|－|PG|－(|PH|+|F2H|)=|F1E|－2|PH|－|F2E|=|F1F2|－2|PH|=2a,
所以2c－2|PH|=2a,所以|PH|=c－a=1,
由题意可知MH⊥PF2,
又·=||·||cos<,>,
所以=||cos<,>=|PH|=1.
16.(5分)(2025·山东潍坊模拟)已知平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=2x,l2:y=－2x,点P为平面内一动点,过P作DP∥l2交l1于D,作EP∥l1交l2于E,得到的平行四边形ODPE面积为1,记点P的轨迹为曲线Γ.若Γ与圆x2+y2=t有四个交点,则实数t的取值范围是 .
【答案】 (1,4)
【解析】 设点P(x0,y0),则点P到l1的距离为
d=,
直线PD方程为y=－2x+2x0+y0,
联立
解得xD=,
所以|OD|=,
所以S平行四边形ODPE=|OD|d=·=1,
所以=±1,
所以点P的轨迹Γ为两个双曲线x2－=1,－x2=1,
因为双曲线x2－=1的实半轴长为1,双曲线－x2=1的实半轴长为2,
若Γ与圆x2+y2=t有四个交点,则1<<2,即1(
第
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第5节 双曲线
1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.
3.了解双曲线的简单应用.
[课程标准要求]
知识梳理
1.双曲线的定义
一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的 .
集合E={P|||PF1|－|PF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0.
(1)若a(2)若a=c时,则集合E为两条射线.
(3)若a>c时,则集合E为空集.
|F1F2|
焦距
知识梳理
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
知识梳理
性质 焦点
焦距 范围 或 , y∈R y≤－a或y≥a,
x∈R
对称性 对称轴: ;对称中心: 顶点
F1(－c,0),F2(c,0)
F1(0,－c),F2(0,c)
|F1F2|=2c
x≤－a
x≥a
坐标轴
原点
A1(－a,0),
A2(a,0)
A1(0,－a),
A2(0,a)
知识梳理
A1A2
2a
2b
a
b
(1,+∞)
a2+b2
知识梳理
3.等轴双曲线
y=±x
重要结论
1.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
重要结论
对点自测
[A] y=±x [B] y=±2x
[C] y=±3x [D] y=±4x
C
对点自测
[A] 1 [B] 17
[C] 1或17 [D] 以上均不正确
B
【解析】 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||=8,解得|PF2|=1或17.
又|PF2|≥c－a=2,故 |PF2|=17.故选B.
对点自测
3.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,－4),点(－6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
C
对点自测
D
对点自测
对点自测
考点一 双曲线的定义及应用
[例1] (1)已知动圆与两个圆C1:(x+4)2+y2=1和C2:(x－4)2+y2=9均内切,则动圆的圆心轨迹方程为 .
【解析】 (1)圆C1的圆心为C1(－4,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(4,0),半径为3,
所以两圆相离,且|C1C2|=8,设动圆P的半径为r,
由动圆与两圆均内切,则|PC1|=r－1,|PC2|=r－3,此时|PC1|－|PC2|=2,
则点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的靠近C2的一支,此时2c=8,2a=2,
(2)已知F1,F2为双曲线C:x2－y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 .
(1)应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距离”,若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|－|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系,利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
解题策略
B
(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x－3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【解析】 (2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|－|AC1|=|MA|,
|MC2|－|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|－|AC1|=|MC2|－|BC2|,
即|MC2|－|MC1|=|BC2|－|AC1|=2,
所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数,且小于|C1C2|=6.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与点C2的距离大,与点C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.
考点二 双曲线的标准方程
D
(2)(2025·山东淄博模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0,且焦距为10,则该双曲线的标准方程为 .
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.
解题策略
C
考点三 双曲线的简单几何性质
角度1 双曲线的离心率
2
双曲线离心率的求法
(1)直接法:由题设条件求出a,c,从而得e.
解题策略
角度2 双曲线的渐近线方程
B
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
解题策略
解题策略
角度3 由几何性质确定标准方程
C
求双曲线的方程时,将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2,列出未知参数的方程,解方程后即可求出双曲线的方程.
解题策略
[针对训练]
D
A
设右焦点为F(c,0),由已知可得c=4,且|AF|=4,即(c－a)2+b2=16,
所以有(c－a)2+b2=c2.
又c2=a2+b2,则c=2a,即a=2,
所以b2=c2－a2=42－22=12,
－3
微点培优13 椭圆、双曲线的离心率问题
题型演绎
类型一 利用几何图形的特征求离心率
C
【解析】 如图所示,设D关于原点对称的点为E,连接EF1,EF2,则四边形DF1EF2为平行四边形,
由BF1∥DF2可知,B,F1,E三点共线,
且EF2⊥BF2,设|EF1|=x,则|EF2|=2a－x,
在Rt△EF2B中,
反思归纳
已知条件中涉及直线平行、垂直,线段中点,向量的倍数关系,直线与圆相交、相切等说法时,一般要分析图形中隐含的各种数量关系,可以是边的关系,也可以是角的关系,用这些式子构建a,b,c的关系,进一步转化为关于e的方程得解.
类型二 椭圆与双曲线的离心率的关系问题
CD
反思归纳
已知条件中同时出现椭圆或双曲线,研究这二者的离心率的关系问题,一般根据它们有相同的焦点,或者椭圆的长短轴与双曲线的实虚轴的相等关系,结合同一坐标系下两者的图形特征,如都是轴对称和中心对称图形,获得关于a,b,c的关系式,化为关于e的关系式.
C
类型三 离心率的范围问题
反思归纳
对于椭圆或双曲线的离心率范围问题,可以将问题给出的不等关系转化为关于a,b,c的不等式,进一步化为关于e的不等式得解;也可结合方程,利用点与椭圆位置关系、直线与渐近线的位置关系等建立关于a,b,c的不等式得解.这里需要注意椭圆和双曲线离心率自身的约束条件,即椭圆离心率在(0,1)范围内,双曲线的离心率在(1,+∞)范围内.
C
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
双曲线的定义、标准方程 1,8
双曲线的几何性质 2,7,9
双曲线的综合应用 4,6,11,15,16
椭圆、双曲线的离心率问题 3,5,10,12,13,14
基础巩固练
A
D
B
B
C
AD
8
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,求双曲线C的标准方程;
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,若PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为9,求b的值.
综合运用练
A
[A] 2x±y=0 [B] x±2y=0
[C] 3x±y=0 [D] x±3y=0
D
BC
(1)求双曲线的离心率;
(2)求△OMN的面积.
应用创新练
{1}
【解析】 如图,设圆M与F1P的延长线、F1F2的延长线和线段F2P分别相切于点G,E,H,
连接MH,则|PG|=|PH|,|F2H|=|F2E|,
可得a=12,b=5,c=13,又P为右支上的一动点,所以|PF1|－|PF2|=2a,
|PF1|－|PF2|=|F1G|－|PG|－(|PH|+|F2H|)=|F1E|－2|PH|－|F2E|=
|F1F2|－2|PH|=2a,
所以2c－2|PH|=2a,所以|PH|=c－a=1,
16.(5分)(2025·山东潍坊模拟)已知平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=2x,l2:y=－2x,点P为平面内一动点,过P作DP∥l2交l1于D,作EP∥l1交l2于E,得到的平行四边形ODPE面积为1,记点P的轨迹为曲线Γ.若Γ与圆x2+y2=t有四个交点,则实数t的取值范围是 .
(1,4)
