2024-2025学年北师大版九年级数学下册课件 3.8 圆内接正多边形（26张PPT）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北师大版九年级数学下册课件 3.8 圆内接正多边形（26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-05 16:24:42 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
1.圆内接正多边形
2.圆内接正多边形的有关概念
3.正多边形的作图（重点、难点）
学习目标
新课导入
1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体
新课讲解
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
新课讲解
正n边形的各角相等，且每个内角为：
每个外角为：
新课讲解
例
如图所示，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，
OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
分析：
紧扣正多边形的定义，结合同圆中弧、圆心角的
关系证明.
新课讲解
解：
∵三角形AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA.
∴点B 在⊙ O 上.
∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB=
∠ OBA=60°.
∴∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF=
∠ FOA=60° .
∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
新课讲解
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆
的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，
就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
新课讲解
例
作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.
分析：
用量角器画，先求出其中心角；用尺规画，则先考虑等分圆周.
新课讲解
解：
作法一：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°；
(3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角
形，如图所示．
新课讲解
作法二：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O的任一直径AB；
(3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.
则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
课堂小结
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做
正多边形.
把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得
到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内
接正n边形.
当堂小练
1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是( )
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36°
C．a＝2rtan 36°
D．r＝Rcos 36°
A
当堂小练
2.在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
解：
如图所示．
(答案不唯一)
拓展与延伸
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是( )
A．2 B. C．1 D.
A
这个正多边形共有 条对称轴，对称轴都过该多边形的
.
中心
1.如图所示的正多边形中， 是这个正多边形的中心， 是这个正多边形的中心角， 的长是这个正多边形的边心距.
6
该多边形是否为中心对称图形？ (填“是”或“否”)；若是中心对称图形，则对称中心是 .
点O
是
OP
∠AOB
点O
课后练习
2.(北师9下P105、人教9上P108)填表：
圆内接 正多边形
内角度数
半径 OA＝2 OA＝2 OA＝2
中心角度数
边长
边心距
2
60°
120°
2
90°
90°
1
2
120°
60°
4.【例1】(北师9下P105、人教9上P108)如图，正三角形ABC内接于☉O，AB＝2 cm，求☉O的半径.
解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于☉O，
∴点O既是三角形的内心也是外心，
∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝ cm，∴OD＝OB，∵OD2＋BD2＝OB2，＋()2＝OB2，
解得OB＝2，即☉O的半径为2 cm.
5(北师9下P98改编、人教9上P106改编)(2024北京开学)如图，☉O的半径为4.
(1)求作它的内接正六边形ABCDEF；
(2)求正六边形ABCDEF的边长和面积.
解：(1)如图，正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形.
答案图
(2)如图，连接OF，OE，且过点O作OH⊥EF，
由正六边形ABCDEF可得△OFE是等边三角形，
∴∠FOH＝30°，EF＝OF＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4.
∴FH＝2，根据勾股定理得OH＝2 ，
∴S△OFE＝4×2 ＝4 ，
∴S正六边形ABCDEF＝6×4 ＝24
答案图
(2)求正六边形ABCDEF的边长和面积.
6.如图，☉O的半径为2，正方形ABCD，A'B'C'D'分别是☉O的内接正方形和外切正方形，求两个正方形的面积比S内∶S外.
解：如图，连接OA，作OM⊥AD于点M.
∵☉O的半径为2，∴OA＝2，
∵在Rt△AOM中，∠OAM＝45°，∴OM＝OA＝，
∴AB＝2OM＝2 ，A'B'＝2OA＝4，
∴S内∶S外＝AB2∶A'B'2＝(AB∶A'B')2
＝(2 ∶4)2＝
答案图
7.(北师9下P98)如图，正三角形ABC的外接圆☉O的半径为2，求该正三角形的边长.
解：如图，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
∵☉O是正三角形ABC的外接圆，
∴OB平分∠ABC，∴∠OBD＝30°，
∵∠ODB＝90°，∴OD＝OB＝2＝1，
在Rt△OBD中，由勾股定理得BD＝，
∵OD⊥BC，∴BC＝2BD＝2 即该正三角形的边长为2
8.(北师9下P98改编)如图，☉O的半径为4.
(1)求作它的内接正三角形ABC；
(2)求△ABC的面积.
解：(1)如图，△ABC即为所求作.
(2)如图，连接AO，BO，过O作OD⊥AB于D，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，
∵OB＝4，∴OD＝2，∴BD＝2 ，∴AB＝4 ，
∴S△ABO＝AB×OD＝4 2＝4 ，
∴△ABC的面积＝3S△ABO＝3×4 ＝12
答案图
★9. 0.50 (创新题)如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依次作到第n个内切圆，它的半径与R的比为___________.
请完成课本本节对应习题
布置作业
谢谢大家观看
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
1.圆内接正多边形
2.圆内接正多边形的有关概念
3.正多边形的作图（重点、难点）
学习目标
新课导入
1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体
新课讲解
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
新课讲解
正n边形的各角相等，且每个内角为：
每个外角为：
新课讲解
例
如图所示，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，
OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
分析：
紧扣正多边形的定义，结合同圆中弧、圆心角的
关系证明.
新课讲解
解：
∵三角形AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA.
∴点B 在⊙ O 上.
∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB=
∠ OBA=60°.
∴∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF=
∠ FOA=60° .
∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
新课讲解
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆
的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，
就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
新课讲解
例
作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.
分析：
用量角器画，先求出其中心角；用尺规画，则先考虑等分圆周.
新课讲解
解：
作法一：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°；
(3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角
形，如图所示．
新课讲解
作法二：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O的任一直径AB；
(3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.
则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
课堂小结
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做
正多边形.
把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得
到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内
接正n边形.
当堂小练
1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是( )
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36°
C．a＝2rtan 36°
D．r＝Rcos 36°
A
当堂小练
2.在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
解：
如图所示．
(答案不唯一)
拓展与延伸
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是( )
A．2 B. C．1 D.
A
这个正多边形共有 条对称轴，对称轴都过该多边形的
.
中心
1.如图所示的正多边形中， 是这个正多边形的中心， 是这个正多边形的中心角， 的长是这个正多边形的边心距.
6
该多边形是否为中心对称图形？ (填“是”或“否”)；若是中心对称图形，则对称中心是 .
点O
是
OP
∠AOB
点O
课后练习
2.(北师9下P105、人教9上P108)填表：
圆内接 正多边形
内角度数
半径 OA＝2 OA＝2 OA＝2
中心角度数
边长
边心距
2
60°
120°
2
90°
90°
1
2
120°
60°
4.【例1】(北师9下P105、人教9上P108)如图，正三角形ABC内接于☉O，AB＝2 cm，求☉O的半径.
解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于☉O，
∴点O既是三角形的内心也是外心，
∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝ cm，∴OD＝OB，∵OD2＋BD2＝OB2，＋()2＝OB2，
解得OB＝2，即☉O的半径为2 cm.
5(北师9下P98改编、人教9上P106改编)(2024北京开学)如图，☉O的半径为4.
(1)求作它的内接正六边形ABCDEF；
(2)求正六边形ABCDEF的边长和面积.
解：(1)如图，正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形.
答案图
(2)如图，连接OF，OE，且过点O作OH⊥EF，
由正六边形ABCDEF可得△OFE是等边三角形，
∴∠FOH＝30°，EF＝OF＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4.
∴FH＝2，根据勾股定理得OH＝2 ，
∴S△OFE＝4×2 ＝4 ，
∴S正六边形ABCDEF＝6×4 ＝24
答案图
(2)求正六边形ABCDEF的边长和面积.
6.如图，☉O的半径为2，正方形ABCD，A'B'C'D'分别是☉O的内接正方形和外切正方形，求两个正方形的面积比S内∶S外.
解：如图，连接OA，作OM⊥AD于点M.
∵☉O的半径为2，∴OA＝2，
∵在Rt△AOM中，∠OAM＝45°，∴OM＝OA＝，
∴AB＝2OM＝2 ，A'B'＝2OA＝4，
∴S内∶S外＝AB2∶A'B'2＝(AB∶A'B')2
＝(2 ∶4)2＝
答案图
7.(北师9下P98)如图，正三角形ABC的外接圆☉O的半径为2，求该正三角形的边长.
解：如图，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
∵☉O是正三角形ABC的外接圆，
∴OB平分∠ABC，∴∠OBD＝30°，
∵∠ODB＝90°，∴OD＝OB＝2＝1，
在Rt△OBD中，由勾股定理得BD＝，
∵OD⊥BC，∴BC＝2BD＝2 即该正三角形的边长为2
8.(北师9下P98改编)如图，☉O的半径为4.
(1)求作它的内接正三角形ABC；
(2)求△ABC的面积.
解：(1)如图，△ABC即为所求作.
(2)如图，连接AO，BO，过O作OD⊥AB于D，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，
∵OB＝4，∴OD＝2，∴BD＝2 ，∴AB＝4 ，
∴S△ABO＝AB×OD＝4 2＝4 ，
∴△ABC的面积＝3S△ABO＝3×4 ＝12
答案图
★9. 0.50 (创新题)如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依次作到第n个内切圆，它的半径与R的比为___________.
请完成课本本节对应习题
布置作业
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