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第18章 平行四边形 单元综合全优测评卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC， AD∥BC B．AB∥DC， AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB=DC，AD=BC
2．如图，在平行四边形ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm
3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）．
A．4，4，8，8 B．5，5，7，7
C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，9
4．如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形的面积平分.
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若，则为 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
6．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，-1)，B(4，2)，C(0，3)，下列坐标不能与A、B、C构成平行四边形的是（ ）
A．(-3，0) B．(5，-2) C．(3，6) D．(-3，-2)
8．已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．在 中，下列说法错误的是（ ）
A．若点M是BC的中点， ，则 是矩形
B．若 ，则 是菱形
C．若点E、F分别是AB、CD的中点，且 ，则 是矩形
D．若边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I且 ，则 是菱形
10．若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
12．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中的度数为 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝8cm，BD＝14cm，则△DBC的周长比△ABC的周长多 cm．
14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线平分平行四边形的面积，则 ．
15．如图，E、F分别是 ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为 cm2.
16． ABCD中，两个邻边的比为3：2，其中较长的一边为15cm，则ABCD的周长为 cm．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB.；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点.利用网格作图：
（1）请你在网格中画出长为4的线段AB，长为的线段BC，其中线段AB为水平方向，且以AB，BC为邻边作（图形必须在网格内，且顶点都在格点上）.
（2）求（1）中对角线的长.
19．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，∠1=∠2.
求证：
（1）BE=DF；
（2）AF//CE.
20．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6厘米，AD=9厘米，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动。
（1）几秒时四边形ABQP为平行四边形？
（2）几秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标是 ．
（1）求 的度数；
（2）若第一象限内存在点D，使四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，线段BE，CF相交于点G.
（1）问：线段BE与CF的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝3，CF＝4，求BE的长.
24．如图，已知四边形 为平行四边形， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 、 分别为边 、 上的点，且 ，证明：四边形 是平行四边形．
25．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
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第18章 平行四边形 单元综合全优测评卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC， AD∥BC B．AB∥DC， AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB=DC，AD=BC
【答案】B
【解析】【解答】解：A. ∵ AB∥DC， AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形；
B. ∵等腰梯形符合 AB∥DC， AD=BC，但不是平行四边形；
C. ∵AO=CO，BO=DO ，∴ 四边形ABCD是平行四边形；
D. ∵AB=DC，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形；
.故选B.
2．如图，在平行四边形ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵三角形ACD的周长为13，AC=4
∴AD+DC=9
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB+BC=AD+DC=9
∴四边形ABCD的周长=9+9=18.
故答案为：D。
【分析】根据三角形的周长以及AC的长度可以求得AD+DC的长度，根据平行四边形的性质，即可求得四边形的周长。
3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）．
A．4，4，8，8 B．5，5，7，7
C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，9
【答案】B
【解析】【解答】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边为7，较短的一边长为5．所以选B
【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等，且两邻边之和等于周长的一半，就能解答本题
4．如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形的面积平分.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将 OABC的面积平分，
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD=OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y=kx+b，
∵DE平行于y=2x+1，
∴k=2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y=2x-5，
∴直线y=2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒.
故答案为：C.
【分析】连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将 OABC的面积平分，由平行四边形的性质可得BD=OD，结合点B、C的坐标可得点D的坐标，由两直线平行的条件求出直线DE的解析式，据此解答.
5．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若，则为 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：显然EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形，
∴S△DEP=S△DGP=S平行四边形DEPG，
∴S△PHB=S△PBF=S平行四边形PHBF，
又S△ADB=S△EPD+S平行四边形AHPE+S△PHB+S△PDB①
S△BCD=S△PDG+S平行四边形PFCG+S△PFB S△PDB②
① ②得0=S平行四边形AHPE S平行四边形PFCG+2S△PDB，
即2S△PBD=5 3=2
∴S△PBD=1.
故答案为1.
【分析】显然EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形，则S△DEP=S△DGP=S平行四边形DEPG，S△PHB=S△PBF=S平行四边形PHBF，结合面积间的和差关系可推出0=S平行四边形AHPE S平行四边形PFCG+2S△PDB，据此求解.
6．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：如图1，过B、D分别作BF⊥CE于点F、DG⊥CE于点G，
四边形BCDE是平行四边形，
，
、 ，
，
BF= DG，
，
S1=S2.
故答案为：A.
【分析】过B、D分别作BF⊥CE于点F、DG⊥CE于点G， S1，S2 有一公共边CA，再证明得出BF=DG，即S1，S2 的高相等，从而可得出结论.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，-1)，B(4，2)，C(0，3)，下列坐标不能与A、B、C构成平行四边形的是（ ）
A．(-3，0) B．(5，-2) C．(3，6) D．(-3，-2)
【答案】D
【解析】【解答】解：∵A(1，-1)，B(4，2)，C(0，3)，
∴当点D与点A为对角顶点时，点D的横坐标为4+0-1=3，纵坐标为2+3-（-1）=6，即D（3，6）；
当点D与点B为对角顶点时，点D的横坐标为1+0-4=-3，纵坐标为-1+3-2=0，即D（-3，0）；
当点D与点C为对角顶点时，点D的横坐标为1+4-0=5，纵坐标为-1+2-3=-2，即D（5，-2），
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质求出点坐标即可。
8．已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【解析】【解答】解：∵平行四边形相邻两边的长度之比为1：2，
∴设平行四边形的两邻边为分别为x和2x，
∵平行四边形周长为18，
∴2（x+2x）＝18，
解得：x＝3，
∴较短的边长为3.
故答案为：A.
【分析】设平行四边形的两邻边为分别为x和2x，根据平行四边形的周长公式列出方程，解得x即可解决问题.
9．在 中，下列说法错误的是（ ）
A．若点M是BC的中点， ，则 是矩形
B．若 ，则 是菱形
C．若点E、F分别是AB、CD的中点，且 ，则 是矩形
D．若边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I且 ，则 是菱形
【答案】D
【解析】【解答】解：A．如图所示，∵点M是BC的中点，
∴BM=CM，
又∵平行四边形ABCD中，AB=DC，∠MAD=∠MDA，
∴△ABM≌△DCM全等，
∴∠B=∠C，
又∵∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B．如图所示，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C．如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=DF，
又∵DE=AF，AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴∠DAE=∠ADF，
又∵∠DAB+∠ADF=180°，
∴∠DAE=∠ADF=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D．如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC，
又∵边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I，
∴AI=DI=BQ=CQ，AP=DH=PB=HC，
又∵PQ=QH=HI=IP，
∴△API≌△DHI≌△BPQ≌△CHQ，
∴∠A=∠D=∠B=∠C，
又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A=∠D=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行四边形的同旁内角互补可得到平行四边形的一个角为90°，得到矩形。
B、由平行四边形的内错角相等可得到平行四边形的两边相等，得到菱形。
C、由平行四边形的同旁内角互补与两个同旁内角相等可得到平行四边形有一个角为90°，得到矩形。
D、由中位线定理，只能得出平行四边形的中点四边形为平行四边形。
10．若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【解析】【解答】∵平行四边形两个内角的度数比为1：2，
∴可设两内角分别为x，2x，
∵平行四边形的邻角互补，
∴x+2x=180°，
∴x=60°，
∴2x=120°.
故答案为：B .
【分析】可设两内角分别为x，2x，根据平行四边形的邻角互补，列出方程，求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AB=4，AD=7，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴BC=CF，
∴AD=CF=CD+DF
∴7=4+DF，
∴DF=3
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，由平行线的性质、角平分线的定义证出，从而根据等腰三角形判定“等角对等边”得BC=CF，进而得AD=CF=CD+DF，代入AD、CD的值，即可求DF的值.
12．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中的度数为 ．
【答案】30°
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴
【分析】由于平行四边形的邻角互补，可利用五边形的内角和求出，再利用周角的概念和四边形的内角和计算即可.
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝8cm，BD＝14cm，则△DBC的周长比△ABC的周长多 cm．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝DC
∵BD＝14，AC＝8
∴
故答案为：6
【分析】利用平行四边形的对边相等，可证得AB=CD，再证明是△DBC的周长减去△ABC的周长就是BD-AC，代入计算可求解.
14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线平分平行四边形的面积，则 ．
【答案】-8
【解析】【解答】解：如图，连接AC，OB交于点M
∵四边形OABC为平行四边形，
∴，点M为的中点，
∵点B（10， 4）， 点O（0， 0），
∴点M坐标为（5， 2），
∵直线y= 2x + b平分平行四边形OABC的面积，
∴直线y= 2x + b经过点M（5，2），则2= 10+ b，
解得： b= -8.
故答案为：-8.
【分析】连接AC、OB交于点M，根据平行四边形的性质可得AB=OC，AB∥OC，点M为OB、AC的中点，结合中点坐标公式可得点M的坐标，由题意可得直线y=2x+b的图象经过点M，将点M的坐标代入进行求解可得b的值.
15．如图，E、F分别是 ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为 cm2.
【答案】30
【解析】【解答】解：连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，
∴S四边形EPFQ=30cm2，
故阴影部分的面积为30cm2.
故答案为：30.
【分析】连接EF，由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据同底等高可得S△EFC=S△BCF，即得S△EFQ
=S△BCQ，同理可得S△EFP=S△ADP，由阴影部分的面积=S△EFP+S△EFQ=S△ADP+S△BCQ=即可得解.
16． ABCD中，两个邻边的比为3：2，其中较长的一边为15cm，则ABCD的周长为 cm．
【答案】50
【解析】【解答】解：设 ABCD的较短的一边是x，依题意，得
15：x＝3：2，解得x＝10，
∵平行四边形的两组对边相等，
∴ ABCD的周长＝2×（15+10）＝50．
∴ ABCD的周长为50cm．
故答案为50．
【分析】根据平行四边形的定义，设较短的一边为x，根据题意可得15：x=3：2，可求出x，再计算它的周长。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB.；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠AFD＝∠CEB，
又∵DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）证明：由（1）得：△AFD≌△CEB，
∴AD=BC，∠FAD=∠ECB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据平行线性质及AE＝CF，可得到∠AFD＝∠CEB，AF＝CE，又DF=BE，利用“SAS”判定定理即可证明△AFD≌△CEB；
（2）由全等性质可得AD=BC，∠FAD=∠ECB，从而得出AD∥BC，由一组对边平行且相等，即可证明四边形ABCD是平行四边形.
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点.利用网格作图：
（1）请你在网格中画出长为4的线段AB，长为的线段BC，其中线段AB为水平方向，且以AB，BC为邻边作（图形必须在网格内，且顶点都在格点上）.
（2）求（1）中对角线的长.
【答案】（1）解：如图，AB=4，BC=，四边形ABCD即为求作的平行四边形.
（2）解：如图，对角线AC=，BD=.
【解析】【分析】（1）长为的线段可以看作底、高分别为2、3的直角三角形的斜边长，然后根据平行四边形的性质进行作图；
（2）根据勾股定理可得AC、BD的长.
19．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，∠1=∠2.
求证：
（1）BE=DF；
（2）AF//CE.
【答案】（1）证明：如图，
四边形ABCD是平行四边形 .
在 和 中，
，
（2）证明：由(1)得
，
四边形AECF是平行四边形，
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AB∥CD，利用平行线的性质可证得∠5=∠3，再利用AAS证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得AE=CF，再利用内错角相等，两直线平行，可推出AE∥CF；然后利用有一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF是平行四边形；然后利用平行四边形的对边平行，可证得结论.
20．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6厘米，AD=9厘米，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动。
（1）几秒时四边形ABQP为平行四边形？
（2）几秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
【答案】（1）解：设x秒时四边形ABQP是平行四边形.
根据题意，得6-2x=x，∴x=2，
∴2秒时四边形ABQP为平行四边形。
（2）解：由（1）知，2秒时四边形ABQP为平行四边形.
设y秒时四边形QPDC为平行四边形.
根据题意，得2y=9-y，∴y=3，
故3秒时四边形QPDC为平行四边形.
故2秒或3秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形。
【解析】【分析】(1) 设x秒时四边形ABQP是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出BQ=AP，依此建立关于x的方程求解即可；
(2) 设y秒时四边形QPDC为平行四边形，根据CQ=PD建立关于y的方程求解，再结合(1)，即可作答.
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标是 ．
（1）求 的度数；
（2）若第一象限内存在点D，使四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1）解：如图，作 轴，垂足为点E．
∵直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴当 时， ，当 时， ．
∴点A，B的坐标分别是 ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵点C的坐标是 ，
∴ ， ．
∴ ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ，
即∠ABC的度数是90°．
（2）解：如图，四边形ABCD是平行四边形，作 轴，垂足为点F．
∴ ，∠AFD=90°．
∵ ，
∴四边形ABCD是矩形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴点D的坐标是 ．
【解析】【分析】（1）根据直线解析式求出点A以及点B的坐标，即可得到∠OBA=45°，作CE⊥y轴于E，求出∠CBE=45°，即可得到∠ABC的度数；
（2）根据点D在第一象限，即可得到四边形ABCD为平行四边形时，以AC为对角线，根据点A以及点C的坐标求出AC中点的坐标，根据B点以及中点的坐标求出点D的坐标即可。
22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20．
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明△DFO≌△BEO可得OE=OF；
（2）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，再结合△BEC的周长是10，可得BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，最后利用平行四边形的性质可得平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20。
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，线段BE，CF相交于点G.
（1）问：线段BE与CF的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝3，CF＝4，求BE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC；
（2）解：如图，过A作AMFC，
∵AM//FC，
∴∠AOB＝∠FGB，
∵EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD//BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF//CM，AM//FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝＝，
∴BE＝2.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABC+∠BCD＝180°，结合角平分线的概念可得∠EBC+∠FCB＝(∠ABC+∠DCB)＝90°，据此解答；
（2）过A作AM∥FC，根据垂直的概念以及平行线的性质可得∠AOB＝∠FGB＝90°，根据角平分线的概念可得∠ABE＝∠EBC，根据平行线的性质可得∠AEB＝∠CBE，推出AB＝AE＝3，结合等腰三角形的性质可得BO＝EO，证明△AOE≌△MOB，得到AO＝MO，推出四边形AMCF是平行四边形，得到AM＝FC＝4，则AO＝2，利用勾股定理求出EO，据此可得BE.
24．如图，已知四边形 为平行四边形， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 、 分别为边 、 上的点，且 ，证明：四边形 是平行四边形．
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ．
．
于 ， 于 ，
，
， ，
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，且 ，
，
，且
四边形 是平行四边形
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得 ， ，由“ ”可证 ，可得 ；（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，可的 ，即可证四边形 是平行四边形．
25．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）解：如图1，
设，
∵点是点P的等积点，
∴，
∴
∴，
作轴于点D，轴于点F，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
若点Q在x轴上方，则
∴，
∴；
若点Q在x轴下方，则
∴，
∴，
综上所述，点C的坐标为或．
【解析】【解答】解：由题意得1×2=2×1，
∴点P的等积点是，
故答案为：
【分析】（1）根据等积点的定义结合题意即可求解；
（2）如图1，设，进而结合等积点即可得到，作轴于点D，轴于点F，则，根据平行四边形的性质即可得到，进而结合题意根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再分类讨论：点Q在x轴上方，若点Q在x轴下方，进而结合题意即可求解。
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