8 数上 基本功
16.3.2 完全平方公式——课时 1 完全平方公式
知识点 1 完全平方公式
1. 下列运算：①(3 + )2 = 9 2 + 2 ；②( 2 )2 = 2 4 2；③( )2 = 2 + 2
+ 2
1 1
；④( )2 = 2 2 + . 其中，运算错误的有( )
2 4
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析：①(3 + )2 = 9 2 + 6 + 2 ，故①运算错误；
②( 2 )2 = 2 4 + 4 2，故②运算错误；
③( )2 = 2 + 2 + 2 ，故③运算正确；
1
④( )2
1
= 2 + ，故④运算错误.
2 4
所以运算错误的有①②④，共 3 个.故选 C.
2.将形状大小完全相同的四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大
正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是( )
A.( + )( ) = 2 2 B.( + )2 = 2 + 2 + 2
C.( + )2 ( )2 = 4 D.( )2 = 2 2 + 2
解析：题图（1）中“大正方形”的边长为 ，因此面积为( )2 ，
题图（2）中阴影部分的面积为 2 2 + 2，所以有( )2 = 2 2 + 2 ，故选 D.
1
3. 已知 2 5 + 1 = 0，则( )2 = ____.
1
解析：∵ 2 5 + 1 = 0，∴ ≠ 0，∴ 5 + = 0 ，
1 1 1 1
∴ + = 5. ∵ ( + )2 4 = 2 + 2 = 522 4 × 1 = 21 ，
1 1
∴ ( )2 = 2 + 2 = 21 .故答案为 21.
2
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8 数上 基本功
4.计算：
1
（1）( )2 ;
2
1 1 1
解：原式= [ ( + )]2 = ( + )2 = 2 + + 2 .
2 2 4
（2）( 2)2 ( + 2)( 2) .
解：( 2)2 ( + 2)( 2)
= ( 2 4 + 4) ( 2 4)
= 2 4 + 4 2 + 4 = 4 + 8 .
知识点 2 完全平方公式的应用
5.若 2 + 2 = ( + )2 + = ( )2 ，则 , 的数量关系为( )
A. = B. = C. = 1 D.无法确定
解析：∵ 2 + 2 = ( + )2 + ( 2 ) = ( )2 ( 2 ),
∴ = 2 , = 2 ,∴ = .故选 A.
6. 若 + = 2 ， = 2 ，则 的值为( )
A. B. 2 + 2 C. 2 2 D.1 ( 2 + 2)
4
解析：∵ + = 2 ， = 2 ，
∴ ( + )2 = 4 2，( )2 = 4 2 ，
∴ 2 + 2 + 2 = 4 2，①
2 2 + 2 = 4 2，②
∴ ① ② 得4 = 4 2 4 2，
∴ = 2 2 ，故选 C.
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8 数上 基本功
7. 若 + = 2， 2 + 2 = 4，则 2 024 + 2 024 的值是( )
A.4 B.2 0242 C.22 024 D.42 024
解析：∵ + = 2，∴ ( + )2 = 22，∴ 2 + 2 + 2 = 4.
又∵ 2 + 2 = 4 ，∴ 2 = 0，∴ ， 中有一个数为 0.
不妨设 = 0，则 = 2 ，
∴ 2024 + 2024 = 02024 + 22 024 = 22024 ，故选 C.
8. 如图是长与宽分别为 ， 的长方形，若它的周长为 20，面积为 32，则 2 + 2 的值为___.
解析：∵ 长方形的周长为 20，∴ + = 10. ∵长方形的面积为 32，∴ = 32.
∵ ( + )2 = 2 + 2 + 2 ,
∴ 2 + 2 = ( + )2 2 = 100 64 = 36 .
故答案为 36.
9. 已知(2023 )(2025 ) = 2024 ，则(2023 )2 + (2025 )2 = _______.
解析：∵ (2023 )(2025 ) = 2024 ，
[(2023 ) (2025 )]2
= (2023 )2 + (2025 )2 2(2023 )(2025 ) ,
∴ (2023 )2 + (2025 )2
= [(2023 ) (2025 )]2 + 2(2023 )(2025 )
= (2023 2025 + )2 + 2 × 2024
= 4052.
故答案为 4052.
方法：求形如 + ， ，( ± )2， 2 + 2，2 等式子的值，均可通过变形完全平方公
式求解.
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8 数上 基本功
10. 如图，某校园内有一块长为(4 ) 米，宽为(2 + ) 米的长方形空地，学校计划在中
间留一块边长为( + ) 米的正方形空地修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化.
（1）用含 ， 的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）；
解： = (4 )(2 + ) ( + )2
绿化部分
= 8 2 + 4 2 2 ( 2 + 2 + 2)
= 8 2 + 2 2 2 2 2
= (7 2 2 2) 平方米.
（2）当 = 5， = 4 时，求绿化部分的面积.
解：当 = 5， = 4时，7 2 2 2 = 7 × 52 2 × 42 = 143 （平方米）.
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16.3.2 完全平方公式——课时 1 完全平方公式
知识点 1 完全平方公式
1. 下列运算：①(3 + )2 = 9 2 + 2 ；②( 2 )2 = 2 4 2；③( )2 = 2 + 2
+ 2
1 1
；④( )2 = 2 2 + . 其中，运算错误的有( )
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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.将形状大小完全相同的四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大
正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是( )
A.( + )( ) = 2 2 B.( + )2 = 2 + 2 + 2
C.( + )2 ( )2 = 4 D.( )2 = 2 2 + 2
1
3. 已知 2 5 + 1 = 0，则( )2 = ____.
1
4.计算：（1）( )2 ;
2
（2）( 2)2 ( + 2)( 2) .
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8 数上 基本功
知识点 2 完全平方公式的应用
5.若 2 + 2 = ( + )2 + = ( )2 ，则 , 的数量关系为( )
A. = B. = C. = 1 D.无法确定
6. 若 + = 2 ， = 2 ，则 的值为( )
A. B. 2 + 2 C. 2 2 D.1 ( 2 + 2)
4
7. 若 + = 2， 2 + 2 = 4，则 2 024 + 2 024 的值是( )
A.4 B.2 0242 C.22 024 D.42 024
8. 如图是长与宽分别为 ， 的长方形，若它的周长为 20，面积为 32，则 2 + 2 的值为___.
9. 已知(2023 )(2025 ) = 2024 ，则(2023 )2 + (2025 )2 = _______.
10. 如图，某校园内有一块长为(4 ) 米，宽为(2 + ) 米的长方形空地，学校计划在中
间留一块边长为( + ) 米的正方形空地修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化.
（1）用含 ， 的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）；
（2）当 = 5， = 4 时，求绿化部分的面积.
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