8 数上 基本功
17.2 用公式法分解因式
课时 1 用平方差公式分解因式
知识点 1 用平方差公式分解因式
1.课堂上老师在黑板上布置了如下题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错误的题目是
( )
用平方差公式分解下列各式：
（1） 2 2; （2）49 2 2 2 ;
（3） 2 2; （4）16 2 2 25 2 .
A.第（1）题 B.第（2）题 C.第（3）题 D.第（4）题
【解析】(1)(2)(4) 都可以用平方差公式进行因式分解，（3）不能用平方差公式进行因式分解，
故选 C.
2.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于 10的正整数，
并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 4 2（ ”表示漏抄的指数），
则这个指数可能的结果共有 ( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
【解析】该指数可能是 2,4,6,8,10.故选 D.
3.有一种用 因式分解”法产生的密码，方便记忆.
例如：对多项式 4 4因式分解的结果是( )( + )( 2 + 2)，
若取 = 8， = 8 ，则各个因式的值是 = 0， + = 16， 2 + 2 = 128 ，
把这些值从小到大排列得到 016128，于是就可以把 016128”作为一个六位数的密码.
对于多项式4 3 2 ，若取 = 21， = 19 ，
请你写出一个用上述方法产生的密码：________.
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【解析】4 3 2 = (4 2 2) = (2 )(2 + )，若取 = 21， = 19 ，
则 = 21，2 = 42 19 = 23，2 + = 42 + 19 = 61 ，
把这些值从小到大排列得到 212361，故答案为 212361.
4.分解因式：( )4 1 = _______________________________________.
【解析】( )4 1 = [( )2]2 1
= [( )2 + 1][( )2 1]
= ( 2 2 + 2 + 1)( + 1)( 1) .
5.分解因式：
（1）(3 + )2 ( 3 )2 ；
【解】原式
= (3 + + 3 )(3 + + 3 )
= (4 2 )(2 + 4 )
= 4(2 )( + 2 ).
（2）( + 2)( 2) 5 .
【解】( + 2)( 2) 5
= 2 4 5
= 2 9
= ( + 3)( 3) .
知识点 2 平方差公式分解因式的应用
6.已知416 1 可以被 10到 20之间的某两个整数整除，则这两个数是( )
A.12，14 B.13，15 C.14，16 D.15，17
【解析】原式= (48 + 1)(48 1)
= (48 + 1)(44 + 1)(42 + 1)(42 1)
= (48 + 1)(44 + 1) × 17 × 15，
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∴这两个数是 15和 17.故选 D.
3 = 4,
7.已知 , 满足方程组{ 则4 2 36 2 的值为_____.
+ 3 = 5,
【解析】4 2 36 2 = 4( 2 9 2) = 4( 3 )( + 3 ) = 4 × 4 × ( 5) = 80 .
故答案为 80 .
8.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的平方差，且 = 2，则称这个正整
数为 智慧优数”.例如：当 = 3， = 1 时， = 2，且8 = 32 12 ，所以 8是一个 智
慧优数”，若将 智慧优数”从小到大排列，则第 2 024个 智慧优数”是______.
【解析】∵ = 2，∴ = + 2 ，
∴ 2 2 = ( + 2 + )( + 2 ) = 4( + 1). ∵ , 都是正整数，
∴ + 1 是大于等于 2的正整数，∴ 4( + 1)是从 8开始且能被 4整除的正整数，
∴ 第 2024个 智慧优数”是4 × (2 024 + 1) = 8 100 ，故答案为 8100.
9.在实数范围内分解因式： 4 16 4 .丽华的解法如下：
解：原式= ( 2 + 4 2)( 2 4 2) .
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来.
【解】丽华因式分解的结果不正确.正确的解题过程如下：
原式= ( 2 + 4 2)( 2 4 2) = ( 2 + 4 2) ( + 2 )( 2 ) .
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17.2 用公式法分解因式
课时 1 用平方差公式分解因式
知识点 1 用平方差公式分解因式
1.课堂上老师在黑板上布置了如下题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错误的题目是
( )
用平方差公式分解下列各式：
（1） 2 2; （2）49 2 2 2 ;
（3） 2 2; （4）16 2 2 25 2 .
A.第（1）题 B.第（2）题 C.第（3）题 D.第（4）题
2.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于 10的正整数，
并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 4 2（ ”表示漏抄的指数），
则这个指数可能的结果共有 ( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
3.有一种用 因式分解”法产生的密码，方便记忆.
例如：对多项式 4 4因式分解的结果是( )( + )( 2 + 2)，
若取 = 8， = 8 ，则各个因式的值是 = 0， + = 16， 2 + 2 = 128 ，
把这些值从小到大排列得到 016128，于是就可以把 016128”作为一个六位数的密码.
对于多项式4 3 2 ，若取 = 21， = 19 ，
请你写出一个用上述方法产生的密码：________.
4.分解因式：( )4 1 = _______________________________________.
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5.分解因式：
（1）(3 + )2 ( 3 )2 ； （2）( + 2)( 2) 5 .
知识点 2 平方差公式分解因式的应用
6.已知416 1 可以被 10到 20之间的某两个整数整除，则这两个数是( )
A.12，14 B.13，15 C.14，16 D.15，17
3 = 4,
7.已知 , 满足方程组{ 则4 2 36 2 的值为_____.
+ 3 = 5,
8.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的平方差，且 = 2，则称这个正整
数为 智慧优数”.例如：当 = 3， = 1 时， = 2，且8 = 32 12 ，所以 8是一个 智
慧优数，” 若将 智慧优数”从小到大排列，则第 2 024个 智慧优数”是______.
9.在实数范围内分解因式： 4 16 4 .丽华的解法如下：
解：原式= ( 2 + 4 2)( 2 4 2) .
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来.
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