8 数上 基本功
18.3 分式的加法与减法
课时 2 分式的混合运算
知识点 1 分式的混合运算
1 +1
1.在计算( + 1) 时，嘉嘉和琪琪的使用方法不同，
+1
但计算结果相同，两人的计算过程如下：
1 +1 1+1 +1 +1
嘉嘉：( + 1) = ( ) = = 1 .
+1 +1 +1
1 +1 1 +1 +1 1 +1 2
琪琪：( + 1) = + = + = = 1 .
+1 +1 2
则关于两人的计算过程，说法正确的是( )
A.嘉嘉正确 B.琪琪正确 C.两人都正确 D.两人都不正确
1 +1 1 +1 +1 1+ +1 +1 2 +1
【解析】∵ ( + 1) = ( + ) = = = 2，
+1 +1 +1 +1 +1
1 +1 1 +1 +1 1 +1 2
∴ 嘉嘉从第一步开始出错；( + 1) = + = + = = 2,
+1 +1
∴ 琪琪从第三步开始出错，故两人的计算过程都不正确，故选 D.
5 5
2.化简：(1 ) ÷ ( + 2) = ______.
+2 +2
5 5 3 5 ( 2 4) 3 +2 1
【解析】(1 ) ÷ ( + 2) = ÷ = = ，
+2 +2 +2 +2 +2 ( 3)( +3) +3
1
故答案为 .
+3
3 2 2 1
3.已知 ÷ = 1 + .
2 2 +1 1
（1）求 （化成最简形式）；
3 2 2 1 3 1 + 2 2 1 3 1 1 1
【解】 = ÷ (1 + ) = ÷ = = = .
2 2 +1 1 ( 1)2 1 ( 1)2 ( 3) ( 1) 2
（2）当 = 时，记 的值为 ( ).如：当 = 2时， 的值为 (2)；当 = 3时， 的值为 (3)；….
2 3
请写出关于 的不等式 ≥ (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) 的解集
4 2
及最小整数解.
【解】 (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8)
1 1 1 1 1 1
= + + + + +
2 × (2 1) 3 × (3 1) 4 × (4 1) 5 × (5 1) 6 × (6 1) 7 × (7 1)
1
+
8 × (8 1)
165/176
8 数上 基本功
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
= 1 + + + + + + = 1 = ，
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8
2 3 7 5 5
∴ ≥ ，∴ 2( 2) 4(3 ) ≥ 7，解得 ≥ 3 ，∴ 解集为 ≥ 3 ，最小整数解为 4.
4 2 8 6 6
知识点 2 分式的化简求值
2 2
4.已知 2 = 0且 ≠ 0，则( + 1) 2 的值为( )
A.3 B.1 C.3 D. 1
2 2
( + )( ) ( + )( ) +
【解析】原式= ( + ) 2 = 2 = .∵ 2 = 0 ，
2 + 3
≠ 0,∴ = 2 ，则原式= = ，故选 A.
2 2
2 2 +1 1
5.有这样一道题：计算
2
÷
1 2
的值，其中 = 2004.甲同学把“ = 2 004”错抄
+
成“ = 2040 ”，但他的计算结果也是正确的.请说明原因.
2 2 +1 1 ( 1)2 ( +1)
【解】∵ 2 ÷ 2 = = = 0，∴ 无论 为何值, 1 + ( 1)( +1) 1
原式的值都为 0，∴ 甲同学把“ = 2 004”错抄成“ = 2 040 ”，其结果也是 0，
∴ 他的计算结果也是正确的.
2 4 +4 3 5 2 ≥ 1,
6.先化简： ÷ ( + 1) ，再从不等式组{ 的整数解中选择一个合适的
+1 +1 + 1 > 0
值代入求值.
2 4 +4 3 ( 2)2 3 ( 1)( +1)
【解】 ÷ ( + 1) = ÷ ( )
+1 +1 +1 +1 +1
( 2)2 4 2 (2 )2 +1 2
= ÷ = = .
+1 +1 +1 (2+ )(2 ) 2+
5 2 ≥ 1,
解不等式组{ 得 1 < ≤ 2，
+ 1 > 0,
∴ 不等式组的整数解为 0,1,2. ∵ + 1 ≠ 0，(2 + )(2 ) ≠ 0 ，
∴ ≠ 1，且 ≠ ±2，∴ = 0或 1.
2 1 1 2 0
当 = 1时，原式= = . (或当 = 0 时，原式= = 1)
2+1 3 2+0
166/176
8 数上 基本功
2
2 2 2 1 2 2 2 2
7.已知 ， ， 是非零有理数，且满足 = ，则( 2 + 2 2 + 2 ) ÷ ( ) ÷
101
等于______.
【解析】∵ 2 = ，∴ 2 2 = ， 2 2 = ， 2 2 = ,
2 2 2 1 2 2 1 22 2
2 2 2 2 2( 2 22 ) ∴ 2 + 2 2 + 2 = ( ) + 2 2 = ( ) + 2 = ( )
2 +
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2 = 2 2 = 2 ， = = = ，
2 2 2 1 2 2 2 2 101 1 2 101 1 1
∴ ( 2 + 2 2 + 2 ) ÷ ( ) ÷ = 2 ÷ ÷ = 2 = . 2 101 202
1
故答案为 .
202
167/1768 数上 基本功
18.3 分式的加法与减法
课时 2 分式的混合运算
知识点 1 分式的混合运算
1 +1
1.在计算( + 1) 时，嘉嘉和琪琪的使用方法不同，
+1
但计算结果相同，两人的计算过程如下：
1 +1 1+1 +1 +1
嘉嘉：( + 1) = ( ) = = 1 .
+1 +1 +1
1 +1 1 +1 +1 1 +1 2
琪琪：( + 1) = + = + = = 1 .
+1 +1 2
则关于两人的计算过程，说法正确的是( )
A.嘉嘉正确 B.琪琪正确 C.两人都正确 D.两人都不正确
5 5
2.化简：(1 ) ÷ ( + 2) = ______.
+2 +2
3 2 2 1
3.已知
2
÷ = 1 + .
2 +1 1
（1）求 （化成最简形式）；
（2）当 = 时，记 的值为 ( ).如：当 = 2时， 的值为 (2)；当 = 3时， 的值为 (3)；….
2 3
请写出关于 的不等式 ≥ (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) 的解集
4 2
及最小整数解.
知识点 2 分式的化简求值
2 2
4.已知 2 = 0且 ≠ 0，则( + 1) 2 的值为( )
A.3 B.1 C.3 D. 1
2 2
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8 数上 基本功
2 2 +1 1
5.有这样一道题：计算 2 ÷ 2 的值，其中 = 2004.甲同学把“ = 2 004”错抄 1 +
成“ = 2040 ”，但他的计算结果也是正确的.请说明原因.
2 4 +4 3 5 2 ≥ 1,
6.先化简： ÷ ( + 1) ，再从不等式组{ 的整数解中选择一个合适的
+1 +1 + 1 > 0
值代入求值.
2 2 2 1 2 2 2 2
7.已知 ， ， 是非零有理数，且满足 2 = ，则( 2 + 2 2 + 2 ) ÷ ( ) ÷
101
等于______.
108/116
