第二章　圆锥曲线 1.1　椭圆及其标准方程--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
第二章　圆锥曲线
§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　椭圆的定义及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(教材习题改编)(多选题)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹可能是(　　)
A.圆　　B.椭圆　　C.线段　　D.射线
2.(2024河北部分高中期中)已知F1,F2分别是椭圆E:+=1的左、右焦点,P是椭圆E上一点,若|PF1|=2,则|PF2|=(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
3.(2024江西部分高中阶段性检测)已知椭圆C:+=1,A(0,-4),B(0,4),过A作直线l与C交于P,Q两点,则△BPQ的周长为(　　)
A.24　　B.20　　C.16　　D.12
4.(2025江西新余第十六中学月考)椭圆+=1的两个焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为　　　　.
5.(2025江西南昌第三中学期中)F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,O为坐标原点,且=(+),=(+),则||+||=　　　　.
6.(2025吉林联考)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,点P(-2,-2),Q是C上一点,则|PQ|-|QF|的最小值为　　　　.
题组二　椭圆标准方程的求解
7.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是(　　)
A.+x2=1　　　　B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1　　　　D.以上都不对
8.(2025河北沧州八县期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点A是C上一点,且|AF1|+|AF2|=4,则椭圆C的方程为(　　)
A.+=1　　　　B.+x2=1
C.+=1　　　　D.+=1
9.(教材习题改编)平面内的动点P的坐标(x,y)满足方程+=2,则动点P的轨迹方程为(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.-=1　　　　D.+=1
10.(2025江西南昌师范大学附属中学期中)点F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则椭圆C的方程可以是(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
11.(2025江西上饶第二中学月考)
(1)求过点P且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程;
(2)已知动圆P与圆E:(x+)2+y2=25内切,与圆F:(x-)2+y2=1外切,求圆心P的轨迹方程.
题组三　椭圆标准方程的简单应用
12.(2025江西南昌第三中学期中)已知p:1A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
13.点P(4cosα,2sinα)(α∈R)与椭圆C:+=1的位置关系是(　　)
A.点P在椭圆C上
B.不能确定,与α的取值有关
C.点P在椭圆C内
D.点P在椭圆C外
14.(2024山东临沂沂水期中)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,且|PF2|=|F1F2|,则点P到x轴的距离为(　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.
15.(多选题)(2025广东佛山联考)已知曲线C:x2+my2=1,则下列结论正确的有(　　)
A.若0B.若m=1,则C是圆
C.若m>1,则C是焦点在y轴上的椭圆
D.若m=0,则C是两条平行于y轴的直线
16.(2024江西大余梅关中学月考)已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点P位于第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2的面积.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　椭圆的定义的应用
1.(2025广东东莞五校联考)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点,点A(0,2),则△APF的周长的最大值为(　　)
A.9+　B.14　C.7+2+　D.15+
2.(2025陕西商洛洛南中学期中,)已知F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点O对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为(　　)
A.10　　B.8　　C.24　　D.15
3.(2025江西上进联考)在△ABC中,sinB+sinC=2sinA,已知点B(-3,0),C(3,0),A为动点,设点C到直线AB的距离的最大值为d1,点A到直线BC的距离的最大值为d2,则=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
题组二　椭圆的标准方程及其应用
4.(2025江西南昌第一中学期中)定义:若点P(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)上,则以P为切点的椭圆的切线方程为+=1.已知椭圆C:+=1,M为直线x-2y-6=0上的一个动点,过点M作椭圆C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,则直线AB过定点(　　)
A.B.C.D.
5.(2025江西八校协作体联考,)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式为S椭圆=abπ(其中a为长半轴长,b为短半轴长).已知椭圆+=1(0A.3π　　B.3π　　C.3π　　D.6π
6.(多选题)(2024江苏常州联盟学校期中,)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,△PF1F2的面积为6,则(　　)
A.点P的横坐标为
B.△PF1F2的周长为16
C.△PF1F2的内切圆的半径为
D.△PF1F2的外接圆的半径为
7.(2025江西多校月考,)在某城市中,F地位于E地的正南方向,相距2km;Q地位于E地的正东方向,相距1km.现有一条沿湖小径RS(曲线),其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台,经测算从P到F,Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km,则修建两条观景步道的总费用最低是　　　　万元.
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+,|PF2|=2-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点P的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章　圆锥曲线
§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
基础过关练
1.AB　设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆C的半径为r,则r=|BC|.
若点A与点B不重合,由题意知圆A与圆C内切,则|AC|=R-r=R-|BC|,即|CA|+|CB|=R,
∴动点C到两个定点A,B的距离之和为常数R,
∵B为圆A内的定点,∴|AB|若点A与点B重合,则动点C的轨迹是以R为直径的圆.
2.C　由椭圆方程可知a=3,因为P是椭圆上一点,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,而|PF1|=2,所以|PF2|=6-|PF1|=4.
3.A　由椭圆方程可知a=6,b=2,则c==4,
所以A(0,-4),B(0,4)是椭圆C的两个焦点,
故△BPQ的周长为|AP|+|BP|+|AQ|+|BQ|=4a=24.
4.答案　120°
解析　由椭圆方程可知a=3,b=,
则c===,∴|F1F2|=2,
∵|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2,
在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2==-,∴∠F1PF2=120°.
5.答案　6
解析　由椭圆方程可知a=6,则|AF1|+|AF2|=2a=12,
由=(+),=(+)得B为AF1的中点,C为AF2的中点,
则|OB|=|AF2|,|OC|=|AF1|,
故||+||=|AF2|+|AF1|=a=6.
6.答案　2-4
解析　由椭圆方程可知a=2,设C的左焦点为F',则|QF|+|QF'|=4,
所以|PQ|-|QF|=|PQ|-(4-|QF'|)=|PQ|+|QF'|-4,
当P,Q,F'三点共线且点Q在线段PF'上时,
(|PQ|+|QF'|)min=|PF'|=2,
所以|PQ|-|QF|的最小值为2-4.
7.A　设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则解得
所以椭圆的标准方程为+x2=1.
解题技法　求椭圆的标准方程时,若焦点位置不确定,则可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.
8.B　由题意得2a=4,解得a=2,所以C的方程为+=1(0因为点A是C上一点,所以+=1,所以b=1,所以C的方程为+x2=1.
9.B　+=2表示点P(x,y)到点(-,0)与(,0)的距离之和为2,记F1(-,0),F2(,0),则|PF1|+|PF2|=2,又|F1F2|=2<2,所以动点P的轨迹为椭圆,且2a=2,2c=2,则a=,c=,b2=a2-c2=3,故动点P的轨迹方程为+=1.
10.A　假设椭圆方程为+=1(a>b>0),椭圆与y轴正半轴的交点为B,
由题意得∠F1BF2≥90°(当P为椭圆与y轴的交点时,∠F1PF2最大),则cos∠F1BF2≤0,
在△F1BF2中,由余弦定理得,
cos∠F1BF2=≤0,
所以|BF1|2+|BF2|2≤|F1F2|2,即a2+a2≤4c2,
结合c2=a2-b2,得a2≥2b2,
同理,椭圆焦点在y轴上时也有a2≥2b2,
结合选项可知A符合.
11.解析　(1)解法一:因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以所求椭圆的焦点在x轴上,且c2=15-6=9.
设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
则解得
故所求椭圆的标准方程为+=1.
解法二:设所求椭圆的方程为+=1(λ>-6).
将点P的坐标代入,得+=1,解得λ=10或λ=-(舍去),
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题可知圆E的圆心E(-,0),半径rE=5,
圆F的圆心F(,0),半径rF=1.
设圆P的半径为r,则|PE|=rE-r,|PF|=rF+r,
所以|PE|+|PF|=rE+rF=6>|EF|=2,
所以圆心P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且2a=6,2c=2,则a=3,c=,b==,
所以圆心P的轨迹方程为+=1.
解题技法　与椭圆+=1(a>b>0)有相同焦点的椭圆方程可设为+=1(λ>-b2).
12.C　若方程+=1表示椭圆,则
解得1又p:113.D　把(4cosα,2sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边,得+=4(cos2α+sin2α)=4>1,因此点P在椭圆C外.
14.C　由椭圆方程知a=3,b=,c=2,则|PF2|=|F1F2|=2c=4,|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c=2,
在△PF1F2中,cos∠PF2F1==,
∴sin∠PF2F1=,∴点P到x轴的距离h=|PF2|·sin∠PF2F1=.
15.ABD　当m≠0时,曲线C的方程可化为x2+=1.
对于A,若01,所以C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;
对于B,若m=1,则曲线C:x2+y2=1,所以C是圆,故B正确;
对于C,若m>1,则0<<1,所以C是焦点在x轴上的椭圆,故C错误;
对于D,若m=0,则x=±1,所以C是两条平行于y轴的直线,故D正确.
16.解析　(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0),
因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以a=2,
又c=1,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)设P(x,y),x<0,y>0,则+=1①,=(x+1,y),又=(2,0),∠F2F1P=120°,所以cos∠F2F1P===-②,
由①②得x=-,y=,
所以=|F1F2|·y=×2×=.
能力提升练
1.B　由椭圆方程得a=3,b=,则c==2.
设椭圆的左焦点为F',则F'(-2,0),F(2,0),
又A(0,2),所以|AF'|=|AF|=4,
则△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|=14,当且仅当A,F',P三点共线,且P在AF'的延长线上时取等号,所以△APF的周长的最大值为14.
2.B　由椭圆方程知a=4,c==2,
因为P,Q为C上关于坐标原点O对称的两点,
所以|OP|=|OQ|,
又|OF1|=|OF2|,所以四边形PF1QF2为平行四边形,
因为|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF1QF2为矩形,则PF1⊥PF2,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=48①,
由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=8②,
由②平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=64,
结合①得|PF1|·|PF2|=8,
故四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|=8.
3.D　由题意知|BC|=6,由sinB+sinC=2sinA,结合正弦定理得|AC|+|AB|=2|BC|=12>6=|BC|,
所以动点A的轨迹是椭圆,且2a=12,2c=6,则a=6,c=3,b==3,则动点A的轨迹方程为+=1,
易知当A是椭圆与y轴的交点时,点A到直线BC的距离最大,则d2=3,
当AB⊥BC时,点C到直线AB的距离最大,则d1=|BC|=6,
所以==.
4.C　由题意设M(2t+6,t),A(x1,y1),B(x2,y2),所以直线MA的方程为+=1,则+=1①,
同理可得+=1②,
由①②可得直线AB的方程为+=1,即2x(2t+6)+3yt=6,即(4x+3y)t+(12x-6)=0,令解得故直线AB过定点.
5.B　由椭圆方程知a=3.设F1关于∠F1PF2的平分线所在直线的对称点为Q,
则P,F2,Q三点共线且|PQ|=|PF1|,
又∠F1PF2=,所以△PQF1是正三角形,
设|PF1|=|QF1|=|PQ|=m,
易知△PQF1的周长为4a=4×3=12,
则3m=12,解得m=4,所以|PF1|=4,则|PF2|=2a-|PF1|=2.
在△PF1F2中,由余弦定理得=+-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即4c2=42+22-2×4×2×cos,解得c=,所以b==,
所以该椭圆的面积为3π.
6.BCD　由椭圆方程知a=5,b=4,c=3,
∴△PF1F2的面积为×2c×|yP|=3|yP|=6,
∴|yP|=2.
对于A,将|yP|=2代入+=1,可得|xP|=,即xP=±,A错误;
对于B,△PF1F2的周长为2a+2c=16,B正确;
对于C,设△PF1F2的内切圆的半径为r,
则=(2a+2c)r=8r=6,∴r=,C正确;
对于D,不妨设点P在第一象限内,
则由上述分析可得P,又F1(-3,0),F2(3,0),∴=,=,
∴cos<,>=
==,
∴sin<,>===,
设△PF1F2的外接圆的半径为R,
则2R==,∴R=,D正确.
7.答案　15
解析　以EF的中点为原点,EF所在直线为y轴,线段EF的垂直平分线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
依题意,P为沿湖小径RS(曲线)上的任意一点,
则|PE|+|PF|=4>|EF|=2,
所以点P的轨迹为椭圆,且2a=4,2c=2,则a=2,c=1,b==,
则点P的轨迹方程为+=1,
故总费用为5|PF|+5|PQ|=5(|PQ|+2a-|PE|)万元,
由图形可知,当E,Q,P三点共线且Q在E,P之间(P在P0处)时,总费用最低,为5(4-|EQ|)=15万元.
解题模板　设椭圆方程为+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,Q(x0,y0)为椭圆内一定点,M为椭圆上任意一点,则
(1)-|QF1|≤|MQ|-|MF1|≤|QF1|;
(2)2a-|QF1|≤|MF2|+|MQ|≤2a+|QF1|.
8.解析　(1)由题及椭圆的定义,得a===2,
在△PF1F2中,=+-2|PF1|·|PF2|cos120°=++(2+)×(2-)=15,即4c2=15,得c2=,∴b2=a2-c2=4-=,
故椭圆C的方程为+4y2=1.
(2)设点P的坐标为(m,n),∵|PF1|>|PF2|,∴m>0.
=|PF1||PF2|sin120°=×(2+)×(2-)×=,
又=×2c|n|=,
∴=,解得n=±,
∵点P在椭圆C上,∴+=1,解得m=(负值舍去),
故点P的坐标为或.
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