第二章　圆锥曲线 3.2　抛物线的简单几何性质--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
3.2　抛物线的简单几何性质
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　抛物线的简单几何性质
1.(2024浙江温州期中)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为(　　)
A.8　　B.4　　C.4　　D.3
2.(多选题)(2024河南焦作月考)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值可取为(　　)
A.1　　B.2　　C.9　　D.18
3.(2025江西调研)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上位于第一象限的点,且|PF|=3,直线l过点P,当原点O到l的距离最大时,l的方程为(　　)
A.2x-y-3=0　　　　B.2x+y-5=0
C.x-y-2=0　　　　D.x+y-6=0
4.(2024江西九江十校第二次联考)已知抛物线C:y2=2px过点A(1,2),F为C的焦点,点P为C上一点,O为坐标原点,则(　　)
A.C的准线方程为x=-2
B.△AFO的面积为1
C.不存在点P,使得点P到焦点的距离为2
D.存在点P,使得△POF为等边三角形
5.(2024江苏徐州期中)写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程:　　　　.
①以原点为顶点;②以椭圆+x2=1的一个焦点为抛物线的焦点.
题组二　抛物线的焦点弦
6.(2025陕西榆林期中)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交C于M,N两点,过点M作该抛物线的准线的垂线,垂足为P,若△PMF是正三角形,则|MN|=(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.2
7.(2024黑龙江哈尔滨第三中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合,斜率为k(k>0)的直线l经过点F,且与C交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则k=(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.2
8.(2025江苏淮安高中校协作体期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A,B两点,则+的值为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
9.(多选题)(2025辽宁沈阳五校协作体期中)设O为坐标原点,直线m过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且与C交于A,B两点(点A在第一象限内),|AB|min=4,l为C的准线,AM⊥l,垂足为M,Q(0,1),则下列说法正确的是(　　)
A.p=2
B.|AM|+|AQ|的最小值为
C.若∠MFO=,则|AB|=5
D.若=2,则直线AB的斜率为或-
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　抛物线的几何性质及其应用
1.(2024河南通许第一高级中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上的一点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为(　　)
A.64　　B.64　　C.80　　D.80
2.(2025河南南阳期中质量评估)已知P为抛物线x2=4y上的一点,过P作圆C:x2+(y-4)2=1的两条切线,切点分别为A,B,则cos∠APB的最小值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2025江西景德镇一中期中)已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F,点M是抛物线C上的动点,过点F作直线(a-1)x+y-2a+1=0的垂线,垂足为P,则|MF|+|MP|的最小值为(　　)
A.　　B.　　C.5　　D.3
4.(多选题)(2025江西部分学校期中,)点M为抛物线E:y2=-x上的一点,F为E的焦点,O为坐标原点,连接MF并延长交抛物线E于点N,且|MF|=,则(　　)
A.E的准线方程是x=
B.点M的坐标为(-14,7)或(-14,-7)
C.直线MN的方程是8x+15y+7=0
D.+=
5.(2024江西师大附中期中)一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为(　　)
A.　　B.1　　C.2　　D.
6.(2025江西南昌第三中学期中)已知直线l1:3x-4y-6=0和l2:y=-2,P为拋物线x2=4y上一动点,则动点P到直线l1,l2的距离之和的最小值是　　　　.
7.(2025江苏泰州兴化期中,)若方程ax2+ay2-(x+y-1)2=0表示的曲线是抛物线,则实数a的值为　　　　,此抛物线的顶点坐标为　　　　.
8.(2024山东德州期中)已知抛物线C:y2=2px(0(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,求证:直线AB过定点.
答案与分层梯度式解析
3.2　抛物线的简单几何性质
基础过关练
1.A　由题意,可设另外两个顶点的坐标分别为,(m>0),则tan30°==,解得m=4,故这个等边三角形的边长为2m=8.
2.BD　由抛物线方程得其准线方程为x=-.
设点M(x1,y1),则=2px1.
∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,∴x1+=10,y1=±6,结合=2px1,解得x1=1,p=18或x1=9,p=2,即p的值可取为18,2.
3.D　由抛物线方程得=1.
设P(x0,y0),x0>0,y0>0,由抛物线定义得|PF|=y0+1=3,所以y0=2,所以x0=2,则P(2,2),
当原点O到l的距离最大时,l⊥OP,又直线OP的斜率为,所以l的斜率为-,
所以l的方程为y-2=-(x-2),即x+y-6=0.
4.B　将(1,2)代入抛物线方程,得4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,A错误;
S△AFO=×1×2=1,B正确;
当点P的坐标为(1,2)时,点P到焦点的距离为2,C错误;
若△POF为等边三角形,则P的横坐标为,当x=时,y=±,此时|PO|=|PF|≠|OF|,故不存在点P,使得△POF为等边三角形,D错误.
5.答案　x2=4y(答案不唯一)
解析　因为椭圆+x2=1的焦点在y轴上,且c==1,所以椭圆的上焦点为(0,1),下焦点为(0,-1),若以椭圆的上焦点为抛物线的焦点,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则=1,即p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.
同理,若以椭圆的下焦点为抛物线的焦点,则抛物线的方程为x2=-4y.
6.B　由抛物线方程知p=2.
由题意可知直线MN的斜率存在,设直线MN的倾斜角为θ,则θ=∠PMF=60°,又F(1,0),所以直线MN的方程为y=(x-1),联立得3x2-10x+3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,由抛物线的定义得|MN|=x1+x2+p=+2=.
7.D　由椭圆方程可知F(3,0),则C:y2=12x,由题意可设直线l的方程为x=y+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x,得y2-y-36=0,则y1y2=-36,
又|AF|=2|BF|,所以y1=-2y2,所以y2=-3,y1=6,所以x1=6,x2=,则k==2.
8.A　由焦点F到准线的距离为2知p=2,则抛物线的方程为y2=4x,则F(1,0),
所以直线l的方程为y=2(x-1),即y=2x-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得x2-3x+1=0,则x1+x2=3,x1x2=1,
由抛物线的定义得,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
所以+=+==1.
二级结论　已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,过F作直线l交C于A,B两点(A在第一象限内),l的倾斜角为θ,则+=,|AF|=,|BF|=.
故本题可由二级结论直接得+==1.
9.AB　对于A,由题意得2p=4(所有的焦点弦中,通径最短,为2p),所以p=2,故A正确;对于B,由A知抛物线的方程为y2=4x,则F(1,0),由抛物线定义知|AM|=|AF|,所以|AM|+|AQ|=|AF|+|AQ|≥|QF|=,当且仅当F,A,Q三点共线时等号成立,故B正确;对于C,记l与x轴的交点为H,过B作BN⊥l,垂足为N,因为∠MFO=,|FH|=p=2,所以|MH|=2,所以A(3,2),所以|AF|=|AM|=3+1=4,|BF|=|BN|>1,所以|AB|=|AF|+|BF|>4+1=5,故C错误;对于D,当=2时,直线AB的斜率存在且不为0,设其方程为y=k(x-1),
由消去x得y2--4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4,
由=2,点A在第一象限内,得y2=-2y1(y1>0),解得k=-2,故D错误.
能力提升练
1.A　由题意得,线段AB与OP互相垂直平分,则四边形OAPB为菱形.设点P(2t,0),t>0,则线段OP的垂直平分线l的方程为x=t,设l与x轴交于点H,如图,
因为∠OAP=120°,所以∠OAH=∠OAP=60°,所以|AH|==,所以A,将其代入y2=8x,得=8t,所以t=24,在Rt△OAH中,|OA|=2|AH|=2××24=16,所以四边形OAPB的周长为4|OA|=64.
2.B　由圆C的方程知其圆心为C(0,4),半径r=1,
由PA,PB与圆相切知∠APB=2∠APC,且CA⊥PA,
则cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC=1-2=1-2,
设P(x,y),y≥0,则x2=4y,可得|CP|==,y≥0,
所以|CP|min==2,所以cos∠APB的最小值为.
3.A　由题意得F(1,0),抛物线C的准线方程为x=-1,
方程(a-1)x+y-2a+1=0可化为a(x-2)+(y-x+1)=0,
∴直线(a-1)x+y-2a+1=0过定点(2,1),记为B,
设P(x,y),线段FB的中点为A,则A,
∵FP⊥BP,∴|PA|=|FB|=,即+=,
故点P的轨迹是以A为圆心,为半径的圆.
过点M作准线x=-1的垂线,垂足为M1,则|MM1|=|MF|,
∴|MF|+|MP|=|MM1|+|MP|,
又|MP|≥|MA|-,当且仅当M,P,A三点共线且P在M,A之间时等号成立,
∴|MF|+|MP|≥|MM1|+|MA|-,
过点A作准线x=-1的垂线,垂足为A1,则|MM1|+|MA|≥|AA1|=,当且仅当A1,M,A三点共线时等号成立,
∴|MF|+|MP|≥,当且仅当A1,M,P,A四点共线且P在M,A之间时等号成立,
∴|MF|+|MP|的最小值为.
4.BD　由抛物线方程知p=,所以F,准线方程是x=,故A错误;
设M(a,b),则b2=-a,由抛物线定义得|MF|=-a=-a=,所以a=-14,则b2=49,即b=±7,
所以M(-14,7)或M(-14,-7),故B正确;
当M的坐标为(-14,7)时,kMN=kMF==-,
所以直线MN的方程是y=-,即8x+15y+7=0,
当M的坐标为(-14,-7)时,kMN=kMF==,
所以直线MN的方程是y=,即8x-15y+7=0,故C错误;
直接使用结论得+==,故D正确.
5.B　如图所示:
设钢球的圆心为(0,y0)(y0>0),若钢球触及凹槽的最底部,则钢球的半径r=y0,抛物线上的点(x,y)与圆心之间的距离的平方为d2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2(1-y0)y+,
若d2的最小值在(x,y)为(0,0),即y=0时取到,则钢球触及凹槽的最底部,
故此二次函数的图象的对称轴应在y轴的左侧,所以y0-1≤0,即y0≤1,所以0所以清洁钢球的最大半径为1.
6.答案　3
解析　拋物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线l:y=-1,
设动点P到直线l,l1,l2的距离分别为d,d1,d2,
点F到直线l1的距离为d3==2,
d2=d+1=|PF|+1,所以d1+d2=d1+|PF|+1≥d3+1=3,
当且仅当点P在过点F且垂直于l1的直线上,且P在F与l1之间时,等号成立,
故动点P到直线l1,l2的距离之和的最小值是3.
7.答案　2;
解析　由ax2+ay2-(x+y-1)2=0,可得(x2+y2)=,所以=(*),(*)式表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离的倍和点(x,y)到直线x+y-1=0的距离相等,
由抛物线的定义可知,若方程表示抛物线,则=1,解得a=2.
易知抛物线的焦点为(0,0),准线方程为x+y-1=0,
过(0,0)与直线x+y-1=0垂直的直线方程为y=x,
联立解得所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为,
所以抛物线的顶点是焦点(0,0)与的中点,即.
8.解析　(1)由题可知|y0|=4,|DE|=4,|DF|=8+,
∵|DE|=|DF|,∴4=,
整理,得p2-68p+256=0,解得p=4或p=64(舍),
∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)证明:当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线交于一点,不符合题意,∴直线l的斜率不为0,
设直线l的方程为x=my+n(n≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x并整理,得y2-8my-8n=0,
则Δ=64m2+32n,y1+y2=8m,y1y2=-8n,
∴x1x2=·=n2,
∵OA⊥OB,∴·=x1x2+y1y2=n2-8n=0,
∴n=8,此时满足Δ>0,∴直线AB过定点(8,0).
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