第二章　圆锥曲线 复习提升--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　求轨迹或轨迹方程时不能正确剔除不符合题意的点致错
　　　　　　　　　　　　　
1.已知F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点,P是椭圆E上一动点,G是△PF1F2的重心,则点G的轨迹方程为(　　)
A.x2+9y2=1　　　　B.x2+9y2=1(y≠0)
C.+=1　　　　D.+=1(y≠0)
2.(2025黑龙江省实验中学期中)已知△ABC的其中两个顶点为A(-2,0),B(2,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于k(k≠0),则当k=-1时,C的轨迹为　　　　　　　　;当k<-1或-10时,C的轨迹为　　　　　　　　.
易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清致错
3.已知点P到曲线C上的点的距离的最小值称为点P到曲线C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到定点A(不在圆C上)的距离相等的点的轨迹不可能是(　　)
A.圆　　　　B.椭圆　　
C.双曲线的一支　　　　D.直线
4.(多选题)(2025江西南昌师大附中期中)已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则(　　)
A.当mn>0时,方程表示椭圆
B.当mn<0时,方程表示双曲线
C.当m=0,n>0时,方程表示两条直线
D.方程不能表示抛物线
易错点3　忽略圆锥曲线的焦点的多种情况致错
5.(2025福建莆田一中诊断性测试)若抛物线y2=2px的准线与圆x2+y2+2x-3=0相切,则抛物线的方程为(　　)
A.y2=-12x或y2=4x　　　　B.y2=12x或y2=-4x
C.y2=-6x或y2=2x　　　　D.y2=6x或y2=-2x
6.(2024江苏南京师大附中期中)设m为正实数,椭圆C:+=1的长轴的两个端点分别是A1,A2,若椭圆C上存在点P满足∠A1PA2=120°,则m的取值范围是(　　)
A.(0,1]∪[9,+∞)　　　　B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,]∪[4,+∞)　　　　D.(0,]∪[9,+∞)
7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为　　　　　.
易错点4　忽略直线斜率不存在的情况致错
8.(2025上海浦东新区期中)过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有(　　)
A.4条　　B.3条　　C.2条　　D.1条
9.(2024广东珠海实验中学期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M(0,2)是椭圆C的一个顶点,△F1MF2是等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点M作直线MA,MB,分别交椭圆于另一点A,B,设两直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:直线AB过定点.
思想方法练
一、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
　　　　　　　　　　　　　
1.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,l在y轴上的截距为1,若|AF1|=3|F1B|,且AF2⊥x轴,则此椭圆的长轴长为(　　)
A.　　　　B.3　　
C.　　　　D.6
2.(2025重庆第一中学校月考)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的中垂线经过F2.记椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+4e2的取值范围是(　　)
A.(6,+∞)　　　　B.(7,+∞)
C.(6,7)　　　　D.(5,+∞)
二、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
3.(2025辽宁名校联盟联考)已知双曲线C,则“C的渐近线方程为y=±x”是“C的离心率为”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024福建漳州华安第一中学月考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点C(0,1),且离心率为,过椭圆右焦点F的直线l与E交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线交于M,N两点.
(1)若l过点F,且|MN|=3p,求l的斜率;
(2)若P,且l的斜率为-1,当P l时,求l在y轴上的截距的取值范围(用p表示),并证明∠MPN的平分线始终与y轴平行或垂直.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.B　易得F1(-2,0),F2(2,0).
设G(x,y),P(m,n),
则∴
∵点P为椭圆E上的动点,∴+n2=1,∴x2+9y2=1.
由题意知P与F1,F2不共线,∴n≠0,∴y≠0(易错点),
∴△PF1F2的重心G的轨迹方程为x2+9y2=1(y≠0).
易错警示　求解动点的轨迹问题时,要注意是否存在隐含条件,不能扩大或缩小变量的取值范围.如本题中,易忽略题中的隐含条件:P与F1,F2共线时,P,F1,F2三点不能构成三角形.
2.答案　圆(去掉A,B两点);椭圆(去掉A,B两点);双曲线(去掉A,B两点)
解析　设C(x,y),由AC,BC所在直线的斜率之积等于k(k≠0),
得·=k(x≠±2)(易错点),即-=1(x≠±2).
当k=-1时,方程为x2+y2=4(x≠±2),∴C的轨迹是圆(去掉A,B两点);
当k<-1时,方程为+=1(x≠±2),且-4k>4,
∴C的轨迹为椭圆(去掉A,B两点);
当-1∴C的轨迹为椭圆(去掉A,B两点);
当k>0时,方程为-=1(x≠±2),且4k>0,
∴C的轨迹为双曲线(去掉A,B两点).
易错警示　涉及斜率时,往往会忽略斜率为0或斜率不存在的特殊情况,导致所求轨迹中含有不符合条件的点.
3.D　设动点为Q,定圆C的半径为R,
①如图,当点A在定圆C内且不与圆心C重合时,连接CQ并延长,交圆C于点B,由题意知|QB|=|QA|,
又|QB|+|QC|=R,所以|QA|+|QC|=R,又R>|CA|,故Q的轨迹为椭圆;
②当点A在圆C外时,由题得|QC|-R=|QA|,即|QC|-|QA|=R,为一定值,由三角形中三边关系知|QC|-|QA|<|CA|,即R<|CA|,故Q的轨迹为双曲线的一支;
③当点A与圆心C重合时,设B'为圆C上与Q距离最小的点,要使|QB'|=|QA|,则Q必然在与圆C同心的圆上,即Q的轨迹为圆.
4.BCD　取m=n=1,此时方程表示圆,故A错误;
当mn<0时,方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线,故B正确;
当m=0,n>0时,方程表示两条直线y=±,故C正确;
方程不含有一次项,故它不能表示抛物线,故D正确.
规律总结　对于形如+=1的方程,当m,n异号时,其表示双曲线;当m,n均为正且不相等时,其表示椭圆.
5.B　圆x2+y2+2x-3=0即(x+1)2+y2=4,其圆心为(-1,0),半径为2,
抛物线的准线方程为x=-,则圆心到准线的距离为=,
因为圆与准线相切,所以=2,解得p=-2或p=6,
所以抛物线的方程为y2=-4x或y2=12x.
6.B　若椭圆的焦点在x轴上,则0要使椭圆上存在点P满足∠A1PA2=120°,则当P位于短轴的端点时,∠A1PA2≥120°,则∠A1PO≥60°(O为坐标原点),
则tan∠A1PO=≥tan60°=,解得0若椭圆的焦点在y轴上(易错点),则m2>3,即m>,
要使椭圆上存在点P满足∠A1PA2=120°,则当P位于短轴的端点时,∠A1PA2≥120°,则∠A1PO≥60°,
则tan∠A1PO=≥tan60°=,解得m≥3.
综上,m的取值范围是(0,1]∪[3,+∞).
7.答案　2或
解析　若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则渐近线的方程为y=±x,由题意可得=tan=,则b=a,可得c=2a,则e==2;
若双曲线的焦点在y轴上(易错点),设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则渐近线的方程为y=±x,由题意可得=tan=,则a=b,可得c=a,则e==.
综上可得,e=2或e=.
易错警示　椭圆和双曲线都有焦点在x轴上或在y轴上两种情形,当题目条件中没有明确指出或不能判断出焦点的位置时,要分情况讨论,不要默认焦点在某条坐标轴上而出现漏解的情况.
8.B　①当过点P(0,1)的直线斜率存在时,设其方程为y=kx+1,由消去y得k2x2+(2k-2)x+1=0,
若k=0,则方程为-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个公共点;
若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点.
②当过点P(0,1)的直线斜率不存在时(易错点),
该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个公共点.
综上,过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有3条.
易错警示　直线与抛物线只有一个公共点时,可能是二者相切,也可能是直线与抛物线的对称轴平行或重合.
9.解析　(1)由题意可得b=2,因为△F1MF2是等腰直角三角形,所以b=c=2,所以a2=b2+c2=4+4=8,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)证明:当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+t,t≠2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,整理可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0,
则Δ=8(8k2-t2+4)>0,x1+x2=-,x1x2=,
则k1+k2=+==2k+(t-2)·=2k-=8,整理可得k=2t+4,
即直线AB的方程为y=(2t+4)x+t=t(2x+1)+4x,
所以令2x+1=0且y=4x,得x=-,y=-2,即直线AB恒过定点.
当直线AB的斜率不存在时(易错点),设直线AB的方程为x=n,n∈(-2,0)∪(0,2),
将x=n代入椭圆的方程,可得y2=4,即y=±2,
不妨设A,B,
则k1+k2=+=+=-=8,可得n=-,即直线AB的方程为x=-,也过定点.
综上所述,直线AB恒过定点.
思想方法练
1.D　由AF2⊥x轴,l在y轴上的截距为1,可知A(c,2),又|AF1|=3|F1B|,
∴由三角形相似可得B,
将A,B两点的坐标分别代入椭圆方程,
得可得b2=6,
又|AF2|==2,∴2a=6.
2.B　设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,它们的公共焦距为2c,点P在第一象限内.
∵F2在PF1的中垂线上,∴|PF2|=|F1F2|=2c,
由椭圆、双曲线的定义得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,
∴|PF1|=2a1-2c=2a2+2c,整理得a1-a2=2c,
∴-=2,即-=2,∴=+2,∴+4e2=+4e2+2,易知双曲线的离心率e2>1,
令f(x)=+4x+2(关键点),x>1,
由对勾函数的性质可知,f(x)在(1,+∞)上单调递增,且f(1)=1+4+2=7,∴+4e2>7.
思想方法　在解决直线和圆锥曲线的有关问题时,常把直线方程和曲线方程联立、化简,得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系,设而不求,整体代换求解.求最值(范围)问题时,常常需建立目标函数,然后借助函数的单调性或基本不等式求解.
3.D　当C的焦点在x轴上时,由渐近线方程为y=±x,知=,所以离心率e===;
当C的焦点在y轴上时,由渐近线方程为y=±x,知=,即=,所以离心率e===,所以充分性不成立.
由离心率为,知e===,所以=,
当C的焦点在x轴上时,渐近线方程为y=±x=±x;
当C的焦点在y轴上时,渐近线方程为y=±x=±x,所以必要性不成立.
故为既不充分也不必要条件.
4.解析　(1)将(0,1)代入椭圆方程得b=1,又=,a2=b2+c2,所以a=,故椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:由(1)知F(1,0).
当l与x轴重合,即l的斜率为0时,∠OMA=∠OMB=0°.
当l与x轴垂直,即l的斜率不存在时,直线OM为线段AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴既不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=+,
由y1=kx1-k,y2=kx2-k,
可得kMA+kMB=,
联立消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0,
所以kMA+kMB=0,所以直线MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.
综上可得,∠OMA=∠OMB.
思想方法　在圆锥曲线中,分类讨论思想的应用主要体现在以下几方面:一是圆锥曲线的焦点位置不确定时,方程也就不确定,求标准方程时需要对焦点位置进行讨论;二是在研究直线与圆锥曲线的位置关系时,直线的斜率可能不存在,可能为0,也可能存在且不为0,要注意对其进行讨论等.
5.解析　(1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,与抛物线方程联立,消去x可得y2=p2,即y=±p,所以|MN|=2p,与题意不符,故直线l的斜率存在,设其为k,易知k≠0,则直线l的方程为y=k(k≠0).
由消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,
设M(xM,yM),N(xN,yN),则xM+xN=,
所以|MN|=|MF|+|NF|=xM++xN+=xM+xN+p=+p=3p,解得k=±,所以直线l的斜率为±.
利用抛物线的定义进行距离的转化,从而得到与k有关的式子并求解.
(2)设直线l的方程为y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y,得x2-(2m+2p)x+m2=0,
则x1+x2=2m+2p,x1x2=m2.
由Δ=(2m+2p)2-4m2>0,得m>-.
又P l,故-+m≠p,所以m≠,从而l在y轴上的截距m的取值范围为∪.
通过∠MPN与直线PM,PN的倾斜角之间的关系,将问题转化为两直线斜率之间的关系问题.
kPM+kPN=+
=
=
=
==0,
所以直线PM,PN的斜率互为相反数,倾斜角互补,从而∠MPN的平分线始终与y轴平行或垂直.
思想方法　转化与化归思想在解析几何中的运用常常体现在以下方面:利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行转化与化归,将一般点或一般图形转化为特殊点或特殊图形,将图形问题转化为代数形式或者代数运算,将代数形式或者代数运算翻译为几何图形语言等.
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