第六章　概率 1.2　乘法公式与事件的独立性--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
1.2　乘法公式与事件的独立性
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　乘法公式及其应用
1.(教材习题改编)一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球.若第一次摸出红球的概率为,在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出黄球的概率为,则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
2.(2024河南南阳六校期末)已知P(A)=,P(B|)=,则P(B)=　　　　.
3.盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,从中不放回地依次摸出2个球使用,则第一次摸出新球且第二次也摸出新球的概率为　　　　.
4.(2025黑龙江哈尔滨期中)对于随机事件M,N,若P(M)=,P(|N)=,P(|)=,则P(N)=　　　　.
题组二　乘法公式与事件的独立性
5.(教材习题改编)如图,三个元件T1,T2,T3正常工作的概率均为,且相互独立,将它们接入电路中,则电路不发生故障的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.6.(多选题)(2025江苏南通开学考试)已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=,P(B|A)=,则(　　)
A.P(B)=　　　　B.P(AB)=
C.P(|B)=　　　　D.P(A+)=
7.(2023湖北部分重点中学联考)从装有3个红球和3个蓝球的袋中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回,记事件Ai表示“第i次摸出红球”,i=1,2,…,6.
(1)求在第一次摸出蓝球的条件下第二次摸出红球的概率;
(2)记P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率,P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.
①证明:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2);
②求P(A3).
答案与分层梯度式解析
1.2　乘法公式与事件的独立性
基础过关练
1.B　记事件A=“第一次摸出红球”,事件B=“第二次摸出黄球”,则P(A)=,P(B|A)=,
由乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
2.答案　
解析　由题意得P()=1-P(A)=1-=,
因此P(B)=P()P(B|)=×=.
3.答案　
解析　设事件A表示“第一次摸出新球”,事件B表示“第二次摸出新球”,则P(A)==,P(B|A)=,故P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
4.答案　
解析　由乘法公式得P(N)=P(N)P(|N)=P(N),
则P(N)=P(MN)+P(N)=P(MN)+P(N),
所以P(MN)=P(N),
又P(|)===,
所以=,解得P(N)=.
5.C　记“T1正常工作”为事件A,“T2正常工作”为事件B,“T3正常工作”为事件C,则P(A)=P(B)=P(C)=,
电路不发生故障,即T1正常工作且T2,T3至少有一个正常工作,
T2,T3至少有一个正常工作的概率P1=1-×=,
所以电路不发生故障的概率P=P(A)P1=×=.
6.BCD　对于B,P(AB)=P(A)P(B|A)=×=,故B正确;
对于A,P(AB)=P(A)P(B)=P(B)=,解得P(B)=,故A错误;
对于C,P(B)=P()P(B)=×=,故P(|B)===,故C正确;
对于D,P(A+)=P(A)+P()-P(A)=P(A)+P()-P(A)P()=+-×=,故D正确.
7.解析　(1)P(A2|)===,
所以在第一次摸出蓝球的条件下第二次摸出红球的概率为.
(2)①证明:因为P(A1A2A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2),P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1),
所以P(A1A2A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2).
②P(A3)=P(A1A2A3)+P(A2A3)+P(A1A3)+P(A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P()·P(A2|)P(A3|A2)+P(A1)P(|A1)P(A3|A1)+P()P(|)P(A3|)=××+××+××+××==.
方法总结　乘法公式可以推广到三个或三个以上的事件.设A,B,C是三个随机事件,且P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
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