第三章　空间向量与立体几何 3.1　空间向量基本定理--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1　空间向量基本定理
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解
1.(多选题)(2025广东广州华南师范大学附属中学测试)以下四个命题中正确的是(　　)
A.若非零空间向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则a∥c
B.若{a,b,c}是空间向量的一组基,则a,b,c都不是零向量
C.纵坐标为0的空间向量都共面
D.已知{a,b,c}是空间向量的一组基,则{c,a+b,a-b}也是空间向量的一组基
2.(2025江西部分学校期中)设向量a,b,c不共面,则下列可以作为空间向量的一组基的是(　　)
A.{a+b,-a+b,a}　　　　B.{a+b,-a+b,b}
C.{a+b+c,a+b,c}　　　　D.{a+b,-a+b,c}
题组二　空间向量基本定理的应用
3.(2025广东部分学校联考)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,=,PN=ND,设=a,=b,=c,则向量用基{a,b,c}表示为　(　　)
A.a+b+c　　　　B.-a+b+c
C.a-b+c　　　　D.-a-b+c
4.(多选题)(2025安徽合肥一中月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=x+y+z,则下列结论中正确的是(　　)
A.若点P在直线A1D上,则x+y=1
B.若点P在直线AC1上,则x=y=z
C.若点P在平面A1BD内,则x+y+z=1
D.若点P在平面B1BDD1内,则x+y=1
5.(2025江西上饶余干月考)已知正四面体PABC的棱长为6,空间中一点M满足=x+y+z,其中x,y,z∈R,且x+y+z=1,则||的最小值为(　　)
A.2　　B.4　　C.6　　D.2
6.(2025江西华东师范大学上饶实验中学检测)如图,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=4MG,过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F,若=m,=n,=t,则++=(　　)
A.　　B.4　　C.　　D.
7.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)用向量法证明:E,F,G,H四点共面;
(2)用向量法证明:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任意一点O,有=(+++).
答案与分层梯度式解析
§3　空间向量基本定理及空间向量
运算的坐标表示
3.1　空间向量基本定理
基础过关练
1.BCD　A,根据题设,以正方体共顶点的三条棱为例,易知a∥c不成立,A错误;易知B正确;
C,纵坐标为0的空间向量都与zOx平面平行或在zOx平面内,即它们都共面,C正确;
D,若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),
所以a,b,c也共面,与题设矛盾,故{c,a+b,a-b}是空间向量的一组基,D正确.
2.D　选项A,2a=(a+b)-(b-a),三个向量共面,不能构成空间向量的一组基,故A不符合题意;
选项B,2b=(a+b)+(b-a),三个向量共面,不能构成空间向量的一组基,故B不符合题意;
选项C,a+b+c=(a+b)+c,三个向量共面,不能构成空间向量的一组基,故C不符合题意;
选项D,假设{a+b,b-a,c}不能作为空间向量的一组基,则a+b,b-a,c共面,则存在x,y∈R,使得c=x(a+b)+y(b-a)=(x-y)a+(x+y)b,则向量a,b,c共面,与题设矛盾,故a+b,b-a,c不共面,可以构成空间向量的一组基,故D符合题意.
3.D　由题意得=++=-+
=-+(-)=--+,
即=-a-b+c.
4.BCD　如图,
对于A,若点P在直线A1D上,则x=0,则=y+z,因为A1,P,D三点共线,所以y+z=1,A错误;
对于B,若点P在直线AC1上,则=λ,λ∈R,而=++,结合=x+y+z,得x=y=z=λ,B正确;
对于C,若点P在平面A1BD内,即A1,B,D,P四点共面,
则由=x+y+z,可知x+y+z=1,C正确;
对于D,若点P在平面B1BDD1内,则=m+n+s(m+n+s=1),
则=m+n+s(+)=(m+s)+n+s,
又=x+y+z,故x+y=m+s+n=1,D正确.
知识拓展
(1)若P是直线AB外任意一点,则A,B,C三点共线的充要条件为=λ+μ,λ,μ∈R,且λ+μ=1.
(2)共面向量基本定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间四点P,A,B,C共面的充要条件:=x+y+z,其中x,y,z∈R,且x+y+z=1,O为空间中的任意一点.
5.D　因为=x+y+z,x,y,z∈R,且x+y+z=1,
所以M,A,B,C四点共面,所以点M在平面ABC内,
所以当PM⊥平面ABC时,||最小,
取BC的中点D,连接AD,则点M在AD上,且AM=AD=×=2,
所以PM===2,
即||的最小值为2.
6.A　连接AG并延长,交BC于点H,
以{,,}为空间向量的一组基,
因为G是△ABC的重心,点M在PG上,且PM=4MG,
所以==(+)=+×
=+×(+)=+(-+-)
=++,
又=m,=n,=t,
故=,=,=,
所以=++,
因为D,E,F,M四点共面,所以++=1,
则++=.
7.证明　(1)连接BG,则=+=+(+)=++=+,
由平面向量基本定理,知E,F,G,H四点共面.
(2)∵=-=-=,∴EH∥BD,
又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,
∴BD∥平面EFGH.
(3)易知=,=,
∴=,因此四边形EFGH是平行四边形,
∴M为EG,FH的中点.
在空间中任取一点O,连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如图所示:
则=(+)=+,
=(+),=(+),
∴=×(+)+×(+)=(+++).
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