第五章　计数原理 §1　基本计数原理--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
第五章　计数原理
§1　基本计数原理
1.1　分类加法计数原理　　　　1.2　分步乘法计数原理
1.3　基本计数原理的简单应用
基础过关练
题组一　分类加法计数原理
　　　　　　　　　　　　　
1.(2024湖北鄂州期中)现有3幅不同的油画,4幅不同的国画,5幅不同的水彩画,从这些画中选一幅布置房间,则不同的选法共有(　　)
A.10种　　B.12种　　C.20种　　D.36种
2.(2024广东江门段考)如图,小黑点表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为(　　)
A.26　　　　B.24
C.20　　　　D.19
3.(2024四川雅安开学考试)已知集合U={x∈Z|1≤x≤5},非空集合A U,且A中所有元素之和为奇数,则满足条件的集合A共有(　　)
A.12个　　B.14个　　C.16个　　D.18个
4.(2024上海曹杨第二中学月考)已知四边形ABCD是边长为1的正方形,在空间中取4个不同的点,使得它们与A,B,C,D恰好成为一个侧棱长为1的正四棱柱的8个顶点,则不同的取法数为　　　　.
题组二　分步乘法计数原理
5.(教材习题改编)已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为(　　)
A.6　　B.12　　C.24　　D.36
6.(2025江苏南京六校联合体调研)甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为(　　)
A.6　　B.12　　C.18　　D.24
7.(2025江苏徐州第三中学开学考试)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩,其中甲去过北京,所以甲不去北京,则不同的选法有(　　)
A.18种　　B.48种　　C.108种　　D.192种
8.用4种不同的颜色给如图所示的图形上色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有(　　)
A.24种　　　　B.36种
C.48种　　　　D.72种
9.(2024江西九江六校期末)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得直线中经过坐标原点的有　　　　条.(用数字表示)
题组三　两个计数原理的综合应用
10.(多选题)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是(　　)
A.从中任选1个球,有15种不同的选法
B.若每种颜色选出1个球,则有120种不同的选法
C.若要选出不同颜色的2个球,则有31种不同的选法
D.若要不放回地依次选出2个球,则有210种不同的选法
11.(2025长春吉大附中实验学校开学测试)我校某班举办新年联欢会,抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票,开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说:“我不是鼓励奖.”乙说:“我不是特等奖.”丙说:“我的奖没有戊好但是比丁的强.”根据以上信息,这5人的奖项的所有可能的种数是(　　)
A.12　　　　B.13　　
C.24　　　　D.26
12.(2025重庆第十一中学校第一次质量检测)无人机光影秀中,有8架无人机排列成如图所示的形状,每架无人机均可以发出4种不同颜色的光,1至5号无人机颜色必须相同,6、7号无人机颜色必须相同,8号无人机与其他无人机颜色均不相同,则这8架无人机同时发光时,不同的灯光组合种数为(　　)
A.48　　　　B.12　　
C.18　　　　D.36
13.(2024山东青岛调研)甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为　　　　.
14.已知0,1,2,3,4,5,6这七个数字,请完成下面三个小题.
(1)用以上七个数字能组成多少个三位偶数(允许有重复数字)
(2)用以上七个数字能组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数
(3)已知椭圆+=1,其中a,b∈{0,1,2,3,4,5,6},则满足焦距不小于8的不同椭圆有多少个
能力提升练
题组　两个计数原理及综合应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025江苏南京第一次调研,)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛,已决出了第1名到第4名(没有并列名次),甲、乙、丙三人向老师询问成绩,老师对甲和乙说:“你俩名次相邻”,对丙说:“很遗憾,你没有得到第1名”,从这个回答分析,4人的名次排列情况种数为(　　)
A.4　　B.6　　C.8　　D.12
2.(2024重庆一中开学考试,)用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A,B,C,D,E,F涂色,要求相邻区域涂不同颜色,则涂色方法的总数是(　　)
A.120　　B.72
C.48　　D.24
3.(多选题)(2024广东东莞中学段考,)某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如下表.现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过9站,且他们各自在每个站下地铁的可能性相同,则下列结论正确的是(　　)
站数x 0票价/元 2 3 4
A.若两人共花费5元,则两人下地铁的方案共有9种
B.若两人共花费5元,则两人下地铁的方案共有18种
C.若两人共花费6元,则两人下地铁的方案共有27种
D.若两人共花费6元,则小明比小华先下地铁的方案共有12种(同一地铁站出站不分先后)
4.(2025上海奉贤中学月考,)如图,从1开始出发,一次移动是指:从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或向右上或向右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如从1移动到11:1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n(n=2,3,…,11)的不同路线条数记为rn,从1移动到11的事件中,跳过数字n(n=2,3,…,10)的概率记为pn,则下列结论正确的是(　　)
①r9=34;②rn+1>rn;③p5=;④p9>p10.
A.①②③　　　　B.①②④
C.②③④　　　　D.①②③④
5.(2025上海大学附属中学开学测试,)已知集合A=,若a,b,c∈A且互不相等,则使得指数函数y=ax,对数函数y=logbx,幂函数y=xc中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)有　　　　个.
6.(2025全国课后作业,)A,B两组电路图如图所示.
　
(1)对于B组电路图,闭合两个开关即可通电的方法数为多少
(2)若A组电路与B组电路从衔接点M,N处连接,把两电路串联起来,只需闭合三个开关就可通电的方法数为多少
答案与分层梯度式解析
第五章　计数原理
§1　基本计数原理
1.1　分类加法计数原理
1.2　分步乘法计数原理
1.3　基本计数原理的简单应用
基础过关练
1.B　不同的选法共有3+4+5=12种.
2.D　根据题意,从A到B传递路径有4条,如图所示,
路径①传递的最大信息量为3;
路径②传递的最大信息量为4;
路径③传递的最大信息量为6;
路径④传递的最大信息量为6.
因此,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.
3.C　U={x∈Z|1≤x≤5}={1,2,3,4,5},
非空集合A U,且A中所有元素之和为奇数,
当A中只有1个元素时,A={1}或A={3}或A={5},故有3个满足条件的A;
当A中有2个元素时,A中的元素必为一偶一奇,故有6个满足条件的A;
当A中有3个元素时,A中的元素为两偶一奇或三个奇数,故有4个满足条件的A;
当A中有4个元素时,A中的元素必为一偶三奇,故有2个满足条件的A;
当A中有5个元素时,A={1,2,3,4,5},故有1个满足条件的A.
综上所述,满足条件的集合A共有3+6+4+2+1=16个.
4.答案　12
解析　根据题意,分两种情况讨论:
①当正方形ABCD作为对角面时,有6个符合条件的正四棱柱;
②当正方形ABCD作为底面(或侧面)时,有6个符合条件的正四棱柱.
由分类加法计数原理知,不同的取法数为6+6=12.
5.A　若P(a,b)为第二象限的点,则a<0,b>0,可分两步完成:
第一步确定a,a<0,所以有3种方法;
第二步确定b,b>0,所以有2种方法.
由分步乘法计数原理可知,P可表示坐标平面上第二象限的点的个数是3×2=6.
6.A　甲、乙两人听同一个讲座,有3种情况,
同时丙、丁两人听不同的讲座,有2种情况,
所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为3×2=6.
7.D　甲不去北京,应该分步完成:
第一步,甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个,有3种选法;
第二步,乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个,有4×4×4=64种选法.
由分步乘法计数原理可得,不同的选法有3×64=192种.
8.C　①②③两两相邻,依次用不同颜色涂,有4×3×2=24种涂色方法;④与②③相邻,但与①不相邻,可用剩下的一种颜色涂或者与①涂同样的颜色,有2种涂色方法.由分步乘法计数原理得,不同的涂色方法共有24×2=48种.
9.答案　30
解析　若直线Ax+By+C=0经过坐标原点,则C=0,再从剩余6个元素中任意取两个作为A,B即可,故过坐标原点的直线有6×5=30条.
10.ABD　从中任选1个球,有4+5+6=15种不同的选法,故A中说法正确;
每种颜色选出1个球,有4×5×6=120种不同的选法,故B中说法正确;
选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法,故C中说法错误;
不放回地依次选出2个球,有15×14=210种不同的选法,故D中说法正确.
11.B　若甲是特等奖,则乙有4种情况,丙、丁、戊各有1种情况,所以有4×1=4种;
若甲不是特等奖,则甲有3种情况,乙有3种情况,丙、丁、戊各有1种情况,所以有3×3×1=9种.
所以这5人的奖项的所有可能的种数是4+9=13.
12.D　根据题意可知,1至5号无人机的颜色有4种选择,对6、7号无人机颜色与1至5号无人机颜色是否相同进行分类讨论.
当6、7号无人机颜色与1至5号无人机颜色相同时,8号无人机颜色有3种选择;
当6、7号无人机颜色与1至5号无人机颜色不同时,6、7号无人机颜色有3种选择,8号无人机颜色有2种选择.
故共有4×(1×3+3×2)=36种灯光组合.
13.答案　80
解析　5日至9日,日期尾数分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日,2天是偶数日.
第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,有2×2=4种用车方案;
第二步,安排奇数日出行,分两类:
①选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×2=12种用车方案,
②不安排甲的车,每天都有2种选择,有23=8种用车方案,
共12+8=20种用车方案.
根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数为4×20=80.
14.解析　(1)在0,1,2,3,4,5,6这七个数字中,偶数包括0,2,4,6,奇数包括1,3,5.百位数字不能是0,所以有6种选择,十位数字有7种选择,个位数字有4种选择,故能组成6×7×4=168个三位偶数.
(2)无重复数字且能被5整除的四位数的个位数字只能为0或5.
当个位数字为0时,这样的四位数有6×5×4=120个,
当个位数字为5时,这样的四位数有5×5×4=100个,
所以无重复数字且能被5整除的四位数有120+100=220个.
(3)由题意知a≠b且a,b均不为0,
当a>b时,由2c≥8,得2≥8,整理得a2≥b2+16,所以a=5或a=6,
若a=5,则b=1,2,3,此时满足条件的椭圆有3个,
若a=6,则b=1,2,3,4,此时满足条件的椭圆有4个,
所以满足条件的椭圆有3+4=7个.
同理,当a综上,焦距不小于8的不同椭圆有7+7=14个.
能力提升练
1.C　由题意可得丙不是第1名,甲、乙名次相邻.
当丙是第2名时,甲、乙只能是第3,4名,丁为第1名,共2种情况.
当丙是第3名时,甲、乙只能是第1,2名,丁为第4名,共2种情况.
当丙是第4名时,甲、乙是第1,2名,或第2,3名,
当甲、乙是第1,2名时,丁为第3名,共2种情况;
当甲、乙是第2,3名时,丁为第1名,共2种情况.
综上所述,4人的名次排列情况种数为2+2+2+2=8.
2.A　先涂E,有4种选择,然后涂C,有3种选择,再涂F,有2种选择,
①当C,D颜色相同时,涂色方法数为4×3×2×1×2×1=48;
②当C,D颜色不相同时,涂色方法数为4×3×2×1×(1+2)=72.
所以涂色方法的总数是48+72=120.
3.BCD　两人共花费5元分为两类:①小明花费2元,小华花费3元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种;
②小明花费3元,小华花费2元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种,所以共有18种,A不正确,B正确.
两人共花费6元分为三类:①小明花费2元,小华花费4元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种;
②小明花费3元,小华花费3元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种;
③小明花费4元,小华花费2元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种,所以共有27种,C正确.
两人共花费6元,小明比小华先下地铁有两类:①小明花费2元,小华花费4元,此时两人下地铁的方案有9种;
②小明和小华均花费3元,此时两人下地铁的方案有3种,所以共有12种,D正确.
4.A　由题意可知r2=1,r3=2,r4=3,r5=5,……,观察规律可得到rn+1=rn+rn-1(n≥3),则r6=8,r7=13,r8=21,r9=34,r10=55,r11=89,故①正确;显然rn+1>rn,故②正确;
从1移动到5的路线共有5条,从5移动到11的路线共有13条,树状图如图所示,
利用分步乘法计数原理可得,经过数字5的路线共有5×13=65条,
又r11=89,所以p5==,故③正确;
同理可得p9==,p10==,即有p95.答案　24
解析　满足指数函数y=ax(a>0且a≠1)和对数函数y=logbx(b>0且b≠1)的a,b的取值都有4个,为,,2,3,使它们在(0,+∞)上单调递增的a,b的取值都只有两个,为2,3;
满足幂函数y=xc的c的取值有6个(全部),使幂函数y=xc在(0,+∞)上单调递增的c的取值有4个,为,,2,3.
而a,b,c∈A且互不相等,则满足条件的有四种情况:
①指数函数y=ax和对数函数y=logbx在(0,+∞)上单调递增,共有2×1×2=4种情况;
②指数函数y=ax和幂函数y=xc在(0,+∞)上单调递增,共有2×2×2=8种情况;
③对数函数y=logbx和幂函数y=xc在(0,+∞)上单调递增,共有2×2×2=8种情况;
④三个函数在(0,+∞)上都单调递增,共有2×1×2=4种情况.
利用分类加法计数原理可得,共有4+8+8+4=24种情况.
6.解析　(1)对于B组电路,可分上、中、下路三类,
上路:第一步接通有1种方法,第二步接通有3种方法,总方法数为1×3=3;
中路:第一步接通有2种方法,第二步接通有2种方法,总方法数为2×2=4;
下路:第一步接通有2种方法,第二步接通有3种方法,总方法数为2×3=6.
故所求方法数为3+4+6=13.
(2)对于A组电路,闭合一个开关可使电路通电,可分上、下两路,从上路接通有2种方法,从下路接通有3种方法,故总方法数为2+3=5.
A,B两组串联后要使电路通电,需A,B两组均通电,A组电路通电有5种情况,由(1)知B组电路通电有13种情况,故所求方法数为5×13=65.
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