第五章　计数原理 §2　排列问题--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§2　排列问题
2.1　排列与排列数　　2.2　排列数公式
基础过关练
题组一　对排列概念的理解
　　　　　　　　　　　　　
1.下列问题属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数进行幂运算.
A.①④　　B.①②　　C.④　　D.①③④
题组二　排列数与排列数公式
2.(2025全国课后作业)-的值是(　　)
A.480　　B.520　　C.600　　D.1320
3.(多选题)(2024重庆拔尖强基联盟月考)下列计算正确的是(　　)
A.=n(n-1)(n-2)…(n-m)
B.=210
C.=n
D.4×5×6×…×2024=
4.(2025上海浦东月考)计算0!+1!+2!+3!+4!+…+100!得到的数的个位数字是(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
5.(2024广东清远期中)一条铁路线上原有n个车站,为了满足客运的需要,在这条铁路线上又新增加了m(m>1)个车站,客运车票增加了58种,则n=　　　,m=　　　.
6.(1)解不等式:3+12≤11;
(2)解方程:=140.
题组三　有限制条件的排列问题
7.参加完某项活动的6名成员合影留念,前排和后排各3人,则不同排法的种数为(　　)
A.360　　B.720　　C.2160　　D.4320
8.(2025黑龙江哈尔滨期中)将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中,则表格内每一行数字之和均相等的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.(2025四川成都期中)设a1,a2,a3,a4是数字1,2,3,4的排列,若存在1≤i题组四　“在”与“不在”问题
10.(2025四川成都石室成飞中学月考)有4名学生和2名老师站成一排拍照,若2名老师不站两端,则不同排列方式共有(　　)
A.72种　　B.144种　　C.288种　　D.576种
11.(教材习题改编)在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有(　　)
A.512个　　B.192个　　C.240个　　D.108个
12.(2025福建福州第四中学月考)某学校选拔出四名学生参加知识竞赛,四名学生按顺序作答,要求甲不在第一个出场,乙不在最后一个出场,则不同排法的种数是　　　　.
13.(2024河北石家庄七县联考)北京时间2023年10月26日19时34分,神舟十六号航天员乘组(景海鹏,桂海潮,朱杨柱3人)顺利打开“家门”,欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组(汤洪波,唐胜杰,江新林3人)入驻“天宫”.随后,两个航天员乘组拍下“全家福”,共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念,景海鹏不站最左边,汤洪波不站最右边,则不同的排法有　　　　种.
题组五　相邻与不相邻问题
14.(2025山东德州开学考试)为积极落实“双减”政策,丰富学生的课外活动,某校开设了舞蹈、摄影等5门课程,分别安排在周一到周五,每天一节,舞蹈课和摄影课安排在相邻两天的方案种数为(　　)
A.48　　B.36　　C.24　　D.12
15.(2024浙江台州第一次教学质量评估)杭州第19届亚运会火炬2023年9月14日在浙江台州传递,火炬传递路线以“和合台州,活力城市”为主题,全长大约8千米.从和合公园出发,途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑.假设某段路线由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有(　　)
A.288种　　B.360种　　C.480种　　D.504种
16.(2025山东济南开学考试)由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中任意两个偶数都不相邻,则满足条件的六位数的个数为(　　)
A.60　　B.108　　C.132　　D.144
17.(2025河北邢台开学考试)有4名男生和3名女生参与一个活动,活动中有2个不同的道具(记作A和B).活动要求:所有人站成一排,女生必须站在一起,并且按照身高从左到右由高到低的顺序排列(假设女生的身高各不相同),道具A和B被分配给队伍中的两个人(可以是男生,也可以是女生),但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有(　　)
A.2400种　　　　B.3600种
C.2880种　　　　D.4220种
18.某学校将要举行校园歌手大赛,现有3男3女参加,需要安排他们的出场顺序.(结果用数字作答)
(1)如果3名女生都不相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻),那么有多少种不同的出场顺序
(3)如果3名男生都相邻,且女生甲不在第一个出场,那么有多少种不同的出场顺序
题组六　定序问题
19.(2024安徽合肥六中月考)某校两个班要进行围棋比赛,一班有5名棋手,出场次序已经排定,二班有2名棋手,现要排出这7人的出场次序,如果不改变一班棋手出场次序,那么不同排法种数为(　　)
A.12　　B.20　　C.30　　D.42
20.(2025安徽开学考试)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,在所组成的五位数中任选一个,则这个五位数中数字1,2,3按从小到大的顺序排列的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
能力提升练
题组　排列问题的综合应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(多选题)(2024河北石家庄教学质量摸底检测,)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排,下列说法正确的是(　　)
A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列,则不同的排法有12种
B.若甲、乙不相邻,则不同的排法有72种
C.若甲不能在最左端,且乙不能在最右端,则不同的排法有72种
D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,则不同的排法有24种
2.(2023河南南阳第一中学月考,)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示,这个弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案种数为(　　)
A.180　　B.192　　C.300　　D.420
3.(2024湖南衡阳模拟,)某城市随机选取n个人参加活动,假设该城市人口年龄分布均匀,要使得参加该活动的人生肖相同的概率大于50%,则至少需要选取的人数为(　　)
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
4.(教材习题改编)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛,决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩,老师对甲说:“你不是最差的.”对乙说:“很遗憾,你和甲都没有得到冠军.”对丙说:“你不是第二名.”从这三个回答分析,5名同学可能的名次排列情况种数为(　　)
A.44　　B.46　　C.48　　D.54
5.(2025山东泰安开学考试,)为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合,提升学生的个人综合素质,增强社会责任感和使命感,某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”“社区文化”“便民服务”“法律援助”“教育服务”“公益慈善”六项社区服务活动,并对活动开展顺序提出了如下要求:重点活动“法律援助”必须排在前三位,且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起,则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是　　　　.
6.(创新题)(2025湖北武汉开学考试)将编号为1,2,3,4,5的5个小球随机放置在圆周的5个等分点上,每个等分点上各有一个小球,则使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和最小的放法的概率为　　　　　.
7.(2024重庆南开中学段考)4名男生和5名女生站成一排.
(1)甲不在正中间也不在两端的站法有多少种
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种
(4)男、女相间的站法有多少种
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种
答案与分层梯度式解析
§2　排列问题
2.1　排列与排列数
2.2　排列数公式
基础过关练
1.A　根据排列的定义,选出的元素有顺序的才是排列问题.
2.C　-=12×11×10-10×9×8=600.
3.BC　对于A,=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),因此A错误;对于B,=7×6×5=210,因此B正确;对于C,因为=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),=(n-1)(n-2)·…·[(n-1)-(m-1)+1]=(n-1)(n-2)…(n-m+1),所以=n,因此C正确;对于D,4×5×6×…×2024=,因此D错误.
4.C　5!=5×4×3×2×1=120,
6!=6×5×4×3×2×1=720,
因为5!,6!,…,100!中都有2×5,
所以从5!开始个位数字全部是0,
故只需看0!+1!+2!+3!+4!的个位数字即可,
又0!+1!+2!+3!+4!=34,
所以计算0!+1!+2!+3!+4!+…+100!得到的数的个位数字是4.
5.答案　14;2
解析　由题意可得,现在这条铁路线上有(n+m)个车站,
因此有-=(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=m(2n+m-1)=58=2×29,
因为m,n均为正整数,m>1,所以2n+m-1也为正整数,且2n+m-1>m>1,
所以解得
6.解析　(1)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11x(x+1),化简得2x2-7x+3≤0,
即(2x-1)(x-3)≤0,所以≤x≤3.
因为x≥2,且x∈N+,所以原不等式的解集为{2,3}.
(2)由得x≥3,且x∈N+,
由=140得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x·(x-1)(x-2),化简得(4x2-35x+69)·(x-1)·x=0,解得x1=3,x2=(舍去),x3=1(舍去),x4=0(舍去),所以原方程的解为x=3.
7.B　解法一:分两步完成.第一步,从6人中选3人排前排有=120种不同排法;第二步,剩下的3人排后排有=6种不同排法.由分步乘法计数原理知,有120×6=720种不同排法.
解法二:6名成员合影,每个人都可以站前排也可站后排,所以相当于6个人的全排列,即有=720种不同排法.
8.C　由1+6=2+5=3+4,可先将6个数字分为3组,分别为(1,6),(2,5),(3,4),安排在表格的三行中,每一行有种顺序,
再将三组全排列,则有=48种情况.
将1,2,3,4,5,6这6个数填入表格中的所有情况有=720种,
故所求概率为=.
9.答案　
解析　1,2,3,4全排列,共有=24种情况,
其中满足存在1≤i故从所有的排列中任取一个,它是“树德好排列”的概率为=.
10.C　先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置,再将其余4名学生全排列,故不同排列方式共有=288种.
11.D　能被5整除的四位数,可分为两类:
一类是末位为0,其他三位在剩下的5个数中选3个,顺序不同为不同的数,共有=5×4×3=60个.
另一类是末位为5,首位不能为0,由分步乘法计数原理知,共有4×4×3=48个.
由分类加法计数原理得所求的四位数共有60+48=108个.
方法技巧　解决排列“在”与“不在”问题时,如果有多个条件,通常是先易(肯定语气)后难(否定、不确定语气),如果条件都不易,则可根据其中一个条件对其他条件的影响进行分类讨论.
12.答案　14
解析　若甲最后一个出场,则其余三人全排列,有=6种排法;
若甲不在最后一个出场,则甲有2种方式出场,乙也有2种方式出场,剩余两人全排列,有2×2×=8种排法.
综上所述,不同排法的种数是6+8=14.
13.答案　504
解析　由题意分为两种情况:
第一种情况:景海鹏站最右边,共有=120种排法.
第二种情况:景海鹏不站最左边与最右边,共有=384种排法.
因此总共有120+384=504种排法.
14.A　将舞蹈课和摄影课进行捆绑,有种情况,捆绑后和剩余的3门课程进行全排列,有种情况,故共有=48种方案.
15.C　由题知甲、乙不相邻,所以可以先安排除甲、乙以外的4人,有种排法,然后插空安排甲、乙两人,有种排法,所以不同的传递方案共有=480种.
16.B　先排3个奇数,有=6种排法,
排完奇数后形成4个空,插入余下的3个偶数,有=24种排法,其中0放在首位的情况有=6种,
故满足条件的六位数的个数为6×(24-6)=108.
17.B　女生必须站在一起且按照身高从左到右由高到低的顺序排列,则可将3名女生捆绑在一起且顺序固定,与4名男生全排列,共有种方法,在7人中选出不相邻的2人分配道具,有(-6)种方法,故满足条件的排列方式共有(-6)=3600种.
18.解析　(1)根据题意,分2步进行分析:
①先将3名男生排成一排,有种情况;
②男生排好后有4个空位,在4个空位中任选3个,安排3名女生,有种情况.
故有=144种不同的出场顺序.
(2)根据题意,将6人排成一排,有种情况,
其中女生甲在女生乙的前面,所以不用考虑两人的先后顺序,故有=360种不同的出场顺序.
(3)根据题意,分3步进行分析:
①将3名男生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有种情况;
②将除甲之外的2名女生和3名男生的整体全排列,有种情况,排好后有4个空位;
③女生甲不在第一个出场,则女生甲的安排方法有3种.
根据分步乘法计数原理,有3=108种不同的出场顺序.
19.D　7名棋手全排列,有种方式,其中原有5名棋手的排列有种方式,
所以不改变一班棋手出场次序的不同排法有=7×6=42种.
方法技巧　对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题,可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列,然后用总排列数除以m个顺序一定的元素之间的全排列数,即得到不同排法种数为=.
20.C　组成没有重复数字的五位数有=120个,
这个五位数中数字1,2,3按从小到大的顺序排列的有=20个,所以所求的概率P==.
能力提升练
1.BD　对于A,有=20种排法,故A错误;
对于B,先安排丙、丁、戊三人,有=6种排法,再将甲、乙两人插空,有=12种排法,故甲、乙不相邻的排法种数为6×12=72,故B正确;
对于C,若最左端排乙,则其余四人可进行全排列,有=24种排法;若最左端不排乙,则最左端只能从丙、丁、戊中选出1人,又乙不能在最右端,所以有=54种排法,则共有24+54=78种排法,故C错误;
对于D,将甲、乙捆绑,看成一个整体且固定顺序,再与其他三人站成一排,故有=24种排法,故D正确.
2.D　
思路分析
思路一:
思路二:
解法一:不同的涂色方案种数为×(1×+)=420.
解法二:不同的涂色方案种数为+2+=420.
3.C　因为共有12个生肖,所以选择n个人,每次选中的人有12种等可能情况,由分步乘法计数原理知共有12n种情况.
若选取的n个人中生肖均不相同,则有(n≤12)种情况,故选取n个人中生肖均不相同的概率Pn=,
要使得参加该活动的人生肖相同的概率大于50%,则Pn≤50%,
由=>1,得Pn随n的增大而减小,
P4===>50%,P5==×=<50%,
故至少要选5个人.
4.B　由题意知甲、乙都不是第一名,甲不是最后一名,丙不是第二名,分以下三种情况讨论:
①甲是第二名,则乙有3种可能,剩下3人有种可能,此时有3=18种可能;
②乙是第二名,则甲有2种可能,剩下3人有种可能,此时有2=12种可能;
③甲、乙都不是第二名,则甲有2种可能,乙有2种可能,丙有2种可能,剩下2人有种可能,此时有2×2×2×=16种可能.
故这5名同学可能的名次排列情况种数为18+12+16=46.
5.答案　120
解析　由题知“法律援助”必须排在前三位,因为“便民服务”和“教育服务”必须排在一起,所以可将它们捆绑在一起,分以下三种情况讨论:
①“法律援助”活动排在第一项,则此时有4=48种安排方案;
②“法律援助”活动排在第二项,则此时有3=36种安排方案;
③“法律援助”活动排在第三项,则此时有3=36种安排方案.
故符合题意的安排方案有48+36+36=120种.
6.答案　
解析　五个编号不同的小球放在圆周的五个等分点上,每点放一个相当于五个不同元素在圆周上的一个圆形排列,共有=4!种放法,
又考虑到翻转因素,故本质不同的放法有种.
下面求使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和达到最小的放法数:
在圆周上,从1到5有优弧和劣弧两条路径,对其中任一条路径,设x1,x2,…,xk是依次排列于这段弧上的小球号码,
则|1-x1|+|x1-x2|+…+|xk-5|≥|(1-x1)+(x1-x2)+…+(xk-5)|=|1-5|=4,(关键点)
当且仅当1因此圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和的最小值为2×4=8,
由上知当每段弧上的球号{1,x1,x2,…,xk,5}确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定,
在1,2,3,4,5中,将除1与5以外,剩下三个球号2,3,4分为两个子集,元素较少的一个子集共有+=4种情形,每种情形对应着使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和最小的唯一排法,即放法总数为4,故所求概率P==.
7.解析　(1)利用特殊元素优先法,先排甲有6种,再排其余的人有种,共有6=241920种不同的站法.
(2)利用特殊元素优先法,先排甲、乙有种,再排其余的人有种,共有=10080种不同的站法.
(3)利用捆绑法,将男生看成一个整体,进行全排列,有种,将女生看成一个整体,进行全排列,有种,这两个整体全排列,有种,
所以不同的站法有=5760种.
(4)利用插空法,先排4名男生有种站法,再将5名女生插空,有种站法,
所以不同的站法有=2880种.
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定,则满足条件的站法共有=60480种.
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