第五章　计数原理 §3　组合问题--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§3　组合问题
3.1　组合　　3.2　组合数及其性质
基础过关练
题组一　对组合概念的理解
　　　　　　　　　　　　　
1.以下5个命题,属于组合问题的有(　　)
①从1,2,3,…,9九个数字中任取三个,组成一个无重复数字的三位数;②从1,2,3,…,9九个数字中任取三个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和的个数;③从a,b,c,d四名学生中选两名去完成同一份工作的选法;④5个人规定相互通话一次,通电话的次数;⑤5个人相互写一封信,所有信的数量.
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
2.商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.则所有可能摸出的结果种数为　　　　.(答案用数字作答)
题组二　组合、组合数及其性质
3.(2024江西新余期末)已知=+(n∈N+),则n=(　　)
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
4.(多选题)(2024吉林BEST合作体期末)下列有关排列数、组合数的等式中,正确的是(　　)
A.=
B.=
C.=+
D.2n=+++…+
5.(2025河北张家口开学考试)为促进学生个性化全面发展,树人中学开设了丰富多彩的课余选课活动.已知高一年级共100人选课,要求没有人选到的课是一模一样的.通过选课模拟测试,发现每人选3门课,不符合要求,每人选4门课,符合要求,则年级总共开设　　　　门课.
6.(1)求值:+;
(2)已知-=,求.
题组三　有限制条件的组合问题
7.(2025安徽蚌埠开学考试)在平面直角坐标系xOy中,平行直线x+y-a=0(a=0,1,2,3,4,5)与平行直线2x-y+b=0(b=0,1,2,3,4,5)组成的图形中,平行四边形共有(　　)
A.25个　　B.36个　　C.100个　　D.225个
8.(2025四川成都开学考试)某高中运动会设有8个项目,甲、乙两名学生每人随机选取3个项目,则至少选中2个相同项目的情况有(　　)
A.420种　　B.840种　　C.476种　　D.896种
9.(2025湖南衡阳开学考试)明明某天学习了10个不同的单词,其中有4个以字母“a”开头,其余以其他字母开头.从中选择5个单词组成一个新的子集,其中至少包含两个以“a”开头的,则一共有　　　　个这样的子集.(用数字作答)
10.(2025广东开学考试)下图是一个3×3的九宫格,小方格内的坐标表示向量的坐标,现不改变这些向量坐标,重新调整位置,使得每行、每列中的三个向量的和都为零向量,则不同的位置安排种数为　　　　.
题组四　分组与分配问题
11.(教材习题改编)有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教,要求一个学校3人,一个学校2人,另一个学校1人,则不同的分法种数为(　　)
A.240　　B.360　　C.480　　D.720
12.(2024江西吉安期末)将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人,每人至少分到1个苹果,不同的分法共有(　　)
A.15种　　　　B.18种
C.21种　　　　D.24种
13.(2025江西上饶中学等多校联考)现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游,每人都要从这四个城市中选择一个城市,且每个城市都有人选择,则至少有2人选择南昌的选法种数为(　　)
A.420　　B.660　　C.720　　D.1200
14.(2023广东河源中学质量检测)某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教,每所学校至少安排一名,每名毕业生只去一所学校,则不同的安排方法种数是　　　　.
题组五　排列与组合的综合应用
15.(多选题)(2025福建龙岩期中)传承红色文化,宣扬爱国精神,某中学国旗队在高一年级招收新成员,现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练,则下列说法正确的是(　　)
A.7名同学站成一排,小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位,则不同的站法种数为840
B.7名同学站成一排,小明、小红两人相邻,则不同的站法种数为720
C.7名同学站成一排,小明、小红两人不相邻,则不同的站法种数为480
D.7名同学分成三组(每组至少有两人),进行三种不同的训练,则有630种不同的训练方法
16.(2024陕西西安模拟预测)F公司的甲部门有3男2女五名职工,乙部门有2男3女五名职工.公司通知每个部门任选两名职工,且所选的四名职工必须是2男2女,公司再将A,B,C,D四个不同的新型项目随机分配给每人,则不同的分配方案种数为　　　　.(用数字作答)
17.(2025云南昆明期中)甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片,乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片,从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片,每个口袋至少抽一张,则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有　　　　种.(用数字作答)
18.(2025安徽开学考试)我国河流旅游资源非常丰富,夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人,包括4个大人,2个小孩,计划去贵州漂流,景点现有3只不同的船只可供他们选择使用,每船最多可乘3人,为了安全起见,小孩必须要大人陪同,则不同的乘船方式共有　　　　种.
能力提升练
题组　排列、组合的综合应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025四川巴中模拟预测,)有4名志愿者参加社区服务,服务星期六、星期日两天.若每天从4人中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2025重庆开学考试,)第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月在重庆举办.在本次竞赛组织过程中,有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目,每名新教师只参加一个服务项目,每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目,则不同的安排方案种数为(　　)
A.108　　B.114　　C.150　　D.240
3.某国际旅行社有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则不同的选法种数为(　　)
A.225　　B.185　　C.145　　D.110
4.(2024江西吉安阶段检测,)为响应国家号召,某校甲、乙、丙、丁、戊、己这6名大学生计划到西部边远地区A,B,C三个学校支教.根据学校需要及所学的专业,每个学校去2名大学生,甲不能去A学校,乙、丙所学专业相同,不能去同一所学校,则不同的安排方法有(　　)
A.24种　　B.36种　　C.48种　　D.72种
5.(多选题)要安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,则以下说法错误的是(　　)
A.若每人都安排一项工作,则不同的方法数为54
B.若每项工作至少有1人参加,则不同的方法数为
C.若每项工作至少有1人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊四项工作都能胜任,则不同的方法数为+
D.如果司机工作不安排,其余三项工作每项至少安排1人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为(+)
6.(教材习题改编)若从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数,组成一个无重复数字的四位数,则不同的四位数的个数是　　　　.
7.(2025辽宁抚顺六校月考,)某介绍会需要安排6个产品的介绍顺序,其中3个产品来自A公司,2个产品来自B公司,1个产品来自C公司.
(1)求B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数;
(2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻,C公司的产品既不是第一个介绍,也不是最后一个介绍的方案数.
答案与分层梯度式解析
§3　组合问题
3.1　组合
3.2　组合数及其性质
基础过关练
1.B　组合问题是没有顺序的,由此可知②③④是组合问题.
2.答案　12　
解析　所有可能结果为(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2),共12种结果.
3.C　由组合数的性质可知+=,
又=+,
所以=,即4+5=n+1,解得n=8.
4.BC　由=知A错误;根据组合数公式知B正确;∵=,=,=,∴+=+==,∴=+,C正确;2n=++++…+,D错误.
5.答案　9
解析　设开设了n门课,则≥100且<100,
因为=84<100,=120>100,=126>100,=70<100,
所以9≤n≤9,故n=9.
6.解析　(1)由题意得解得4≤n≤5,
∵n∈N+,∴n=4或n=5.
当n=4时,原式=+=5;
当n=5时,原式=+=16.
(2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈N},
由已知得-=,
即10m=(7-m)(6-m),整理得m2-23m+42=0,
解得m=21(舍去)或m=2,∴==28.
7.D　从两组平行直线中分别选2条即可确定1个平行四边形,所以可确定=15×15=225个平行四边形.
8.D　分两种情况:
①所选取的3个项目恰有2个相同,
第一步,在8个项目中选取2个,有=28种选法,
第二步,甲在剩下的6个项目中选取1个,有=6种选法,
第三步,乙在剩下的5个项目中选取1个,有=5种选法,
由分步乘法计算原理可知,有28×6×5=840种选法;
②所选取的3个项目完全相同,有=56种选法.
由分类加法计数原理知,至少选中2个相同项目的情况有840+56=896种.
9.答案　186
解析　可分以下三类情况:
①所选5个单词中,有2个以“a”开头的单词,有种选法;
②所选5个单词中,有3个以“a”开头的单词,有种选法;
③所选5个单词中,有4个以“a”开头的单词,有种选法.
由分类加法计数原理可得共有++=186个这样的子集.
10.答案　72
解析　先对3×3的九宫格的每个位置标注数字,
1 2 3
4 5 6
7 8 9
第一步先排(0,0),一共9个位置,有种选法,不妨设(0,0)在1位置,
根据对称性知,(0,0)所在的行和列只能排(1,1),(-1,-1)或(1,-1),(-1,1);
第二步排2位置,从(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)中选一个,有种选法,
则3位置的向量也就确定了;
第三步排4位置,从(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)剩余的两个中选一个,有种选法,
则7位置的向量也就确定了,
相当于(0,0)所在的行和列都定下来了,
要使得每行、每列中的三个向量的和都为零向量,其他四个位置的向量排法是唯一的.
故由分步乘法计数原理知,不同的位置安排种数为=72.
11.B　先把6人分为3组,一组3人,一组2人,一组1人,有=60种分法,
再把这3组人分配到甲、乙、丙3个学校支教,
所以不同的分法种数为60×=360.
12.C　将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人,每人至少分到1个苹果,采用“隔板法”,8个苹果间会产生7个空隙,任选2个空隙将苹果分开,即分成三份,共有=21种分法.
方法总结　解决相同元素分配问题常用隔板法,用隔板将相同元素分成若干份,不同的分法对应不同的分配数量.将n个元素分配给m(m13.B　当有2人选择南昌时,剩余4人的分配方式为1,1,2,选法种数为··=540;
当有3人选择南昌时,剩余3人的分配方式为1,1,1,选法种数为··=120.
故至少有2人选择南昌的选法种数为540+120=660.
14.答案　240
解析　先将5名毕业生分成4组共有=10种分法,再将4组毕业生安排到4所不同的学校有=24种安排方法,根据分步乘法计数原理可知,不同的安排方法共有10×24=240种.
易错警示　平均分组时应考虑重复计算的情况,比如四个人平均分成两组,即两人为一组的所有分法有=3(种),即A,B,C,D四个人中,两个人为一组的分法为(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),而非(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),(CD,AB),(BD,AC),(BC,AD),应剔除重复分组.
本题中5名学生分成4组,共有=10种分法,其中前三组均为一人,是平均分组,故分组后还应除以.
15.AD　A选项,先从7个位置中选3个排小明、小红、小华3人,有=35种方法,再排剩下的4人,有=24种方法,则共有35×24=840种方法,故A正确;
B选项,将小明、小红两人捆绑排列,有2种方法,再与剩下的5人一起排列,有=720种方法,则共有2×720=1440种方法,故B错误;
C选项,先排除小明、小红外的5人,有=120种方法,再将小明、小红排进5人产生的6个空隙中,有=30种方法,则共有120×30=3600种方法,故C错误;
D选项,人数分配情况为2、2、3,则有=105种分组方法,再安排训练,有=6种方法,则共有105×6=630种方法,故D正确.
16.答案　1104
解析　从甲、乙两部门各选两名职工,且所选的四名职工是2男2女,有++=46种选法,
将A,B,C,D四个不同的新型项目随机分配给每人,有=24种分法,
所以不同的分配方案种数为46×24=1104.
17.答案　26
解析　从甲、乙两个口袋中,每个口袋至少抽一张卡片,共抽取三张卡片,
不同的抽法种数为+=18+12=30,
其中,抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数为=4,
因此,抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法种数为30-4=26.
18.答案　348
解析　①若6人乘坐3只船,先将4个大人分成2,1,1三组,有=6种方法,然后将三组排到3只船中,有=6种方法,最后将两个小孩排到3只船中,有3×3-1=8种方法,所以共有6×6×8=288种方法;
②若6人乘坐2只船,则共有×=60种方法.
综上,共有288+60=348种不同的乘船方式.
能力提升练
1.B　不妨设4名志愿者分别为a,b,c,d,假设a连续参加两天服务,剩下的3人中抽取2人参加服务,共有=6种方法,
所以恰好有1人连续参加两天服务的情况有4×6=24种.又总的情况有×=36种,
故恰有1人连续参加两天服务的概率为=.
2.B　5名新教师按3,1,1分组有种方法,按2,2,1分组有种方法,
因此5名新教师的安排方案有=150种,
当甲、乙在同一组时,甲、乙可视为一个整体,相当于4名新教师的安排方案,有=36种,
故不同的安排方案有150-36=114种.
3.B　分三类:①既会英语又会法语的2人均未入选,有=5种选法.②既会英语又会法语的2人中有1人入选,此时分这个人当英语翻译和法语翻译两种情况,有+=60种选法.③既会英语又会法语的2人均入选,此时分三种情况:2人都当英语翻译;2人都当法语翻译;一人当英语翻译,一人当法语翻译,有++=120种选法.
故共有5+60+120=185种不同的选法.
4.C　当甲去B学校时,①若从乙、丙中选1人去B学校,则有种方法,剩下4人去A,C两个学校,有种方法,共有=12种方法;②若乙、丙去A,C两个学校,则有种方法,剩下3人去A,B,C三个学校,有种方法,共有=12种方法.所以甲去B学校共有12+12=24种方法.同理,甲去C学校也有24种方法.
故不同的安排方法有24+24=48种.
5.ABD　对于A,安排5人参加四项工作,若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则有45种安排方法,故A中说法错误;
对于B,先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,有种安排方法,故B中说法错误;
对于C,分两种情况:①从丙、丁、戊中选出1人开车,②从丙、丁、戊中选出2人开车,则有(+)种安排方法,故C中说法正确;
对于D,分两步进行分析:先将5人分为3组,有种分组方法,再将分好的三组安排到翻译、导游、礼仪三项工作中,有种情况,则有+·种安排方法,故D中说法错误.
6.答案　180
解析　可分两类情况进行讨论:
第一类,数字0被取到,则可从2,4中任选一个,从1,3,5中任选两个,再从除0外的三个数中取一个排在首位,剩下的在三个数位上全排列,共有=108个四位数;
第二类,数字0没被取到,故2,4全被取到,只需从1,3,5中任选两个,再与2,4共4个数字在四个数位上全排列,共有=72个四位数.
根据分类加法计数原理得,不同的四位数的个数是108+72=180.
7.解析　(1)将B公司的2个产品捆绑在一起,
与其他4个产品进行全排列,共有=240种排法,
故B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数为240.
(2)先排A公司的3个产品,有=6种排法.
由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻,故分两类情况:
第一类,B公司的2个产品和C公司的1个产品都在A公司的3个产品之间,即B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品相邻,共有=8种排法;
第二类,B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品在A公司的3个产品之间,另一个在第一个或最后一个,共有=8种排法.
故满足题意的方案数为6×(8+8)=96.
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