第五章　计数原理--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
第五章　计数原理
(全卷满分150分　考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知的展开式中,常数项为60,则a的值为(　　)
A.2 B.2或-2
C.3 D.3或-3
2.在第33届夏季奥运会期间,中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A,B,C三个比赛场地的现场报道,且每个场地至少安排一人,则甲不在A场地的不同安排方法种数为(　　)
A.32 B.24
C.18 D.12
3.要把5名农业技术员分到3个村支援工作,每名技术员只分配到1个村,甲村至少需要2名,乙村、丙村均不少于1名,则不同的分配方案共有　(　　)
A.180种 B.120种
C.90种 D.80种
4.在打结计时赛中,现有5根绳子,共有10个绳头,每个绳头只打一次结,且每个结仅含两个绳头,所有绳头打结完毕视为结束,则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.(2+x)4(3-x)5的展开式中x8的系数为(　　)
A.7 B.23 C.-7 D.-23
6.某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一枚棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走几个单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去,则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同方法共有(　　)
A.21种 B.22种 C.25种 D.27种
7.若n是正整数,则7n+7n-1+…+7(　　)
A.能被9整除或除以9的余数是7
B.能被9整除
C.除以9的余数是7
D.除以9的余数是1
8.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图,下列叙述正确的是(　　)
A.+…+=120
B.第2 023行中从左往右第1 013个数与第1 014个数相等
C.记第n行中的第i个数为ai,则2i-1ai=4n
D.第20行中的第8个数与第9个数之比为8∶13
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列命题是真命题的是(　　)
A.=162 700
B.
C.=254
D.(1+2x)10的展开式中二项式系数最大的项是×(4x)5
10.若(2-3x)2 024=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a2 024(1-x)2 024,则下列选项正确的有(　　)
A.a0=1
B.a1+a2+a3+…+a2 023+a2 024=22 024-1
C.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 023|+|a2 024|=22 024
D.a0++…+
11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是(　　)
A.若任意选择三门课程,则选法总数为
B.若物理和化学至少选一门,则选法总数为
C.若物理和历史不能同时选,则选法总数为
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法总数为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某中学为庆祝建校130周年,高二年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动,活动结束后5名老师排成一排合影留念,要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻,则共有　　　　种不同的排法.(用数字作答)
13.(x-3)8的展开式中x9的系数为　　　　.(用数字作答)
14.我们称n(n∈N+)元有序实数组(x1,x2,…,xn)为n维向量,|x1|+|x2|+…+|xn|为该向量的范数.已知n维向量a=(x1,x2,…,xn),其中xi∈{-1,0,1}(i=1,2,…,n),记范数为奇数的a的个数为An,则A3=　　　　;A2n=　　　　(用含n的式子表示).
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会,问:
(1)如果选出的4人中男生和女生各有2人,有多少种选法
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人在内,有多少种选法
16.(15分)为了发展贫困地区教育,教育部在全国重点师范大学免费培养师范生,毕业后分配到相应的地区任教.现将6个被免费培养的师范生分配到甲、乙、丙三所学校任教,则在以下三种条件下分别有多少种不同的分配方法
(1)甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人;
(2)一校1人、一校1人、一校4人;
(3)每所学校至少1人.
17.(15分)从①第4项的系数与第2项的系数的比值是;②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36这两个条件中任选一个,补充在下面的横线中.
已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),且(2x-1)n的二项展开式中,　　　　.
(1)求n的值;
(2)(i)求二项展开式的中间项;
(ii)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(17分)某次会议期间,组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位,每个岗位至少有一人参加,且五人均能胜任这四个岗位.
(1)若每人不准兼职,则不同的分配方案有多少种
(2)若甲、乙被抽调去别的地方,剩下的三人要求每人必兼两职,则不同的分配方案有多少种
19.(17分)(x2+x+1)n=x2+…+xr+…+x2n的展开式中,把,…,叫做三项式系数.
(1)当n=1时,写出三项式系数的值;
(2)类比二项式系数性质(1≤m≤n,m∈N+,n∈N+),探究(1≤m≤2n-1,m∈N+,n∈N+)之间的等量关系,并给出证明;
(3)求+…-的值.
答案与解析
第五章　计数原理
1.B　展开式的二项式通项为Tk+1=,k=0,1,2,…,6,令6-k=0,可得k=4,
因此,展开式中的常数项为T5=(-1)4a2=60,则a2=4,解得a=±2.
2.B　按照A场地的参加人数,可以分以下两类:
第一类,A场地安排1人,共=18种安排方法,
第二类,A场地安排2人,共=6种安排方法,
由分类加法计数原理得共有18+6=24种不同的安排方法.
3.D　分三种情况:
①甲村3名,乙村1名,丙村1名,分配方案有=20种,
②甲村2名,乙村2名,丙村1名,分配方案有=30种,
③甲村2名,乙村1名,丙村2名,分配方案有=30种,
所以一共有20+30+30=80种不同的分配方案.
4.D　10个绳头,每个绳头只打一次结,且每个结仅含两个绳头,所有的打结方式有=945种,
其中恰好能围成一个圈的打结方式有=384种,
所以5根绳子恰好能围成一个圈的概率为.
5.A　(2+x)4展开式的二项式通项为24-rxr,r=0,1,2,3,4,
(3-x)5展开式的二项式通项为35-uxu,u=0,1,2,3,4,5,
所以(2+x)4(3-x)5的展开式中x8的系数为
21·(-1)524-4·(-1)435-4=-8+15=7.
6.D　由题意,知正方形ABCD的周长为8个单位,当抛掷三次骰子的点数之和为8或16时,棋子恰好又回到起点A处.
①点数之和为8的情况有:1,1,6;1,2,5;1,3,4;2,2,4;2,3,3,抛掷方法共有=21种;
②点数之和为16的情况有:4,6,6;5,5,6,抛掷方法共有=6种.
所以抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同方法共有21+6=27种.
7.A　根据二项式定理可知,7n+7n-1+…+7=(7+1)n-1=8n-1,
又8n-1=(9-1)n-1=9n-9n-3+…+9×(-1)n-1+(-1)n-1,
所以当n为正偶数时,原式能被9整除;当n为正奇数时,原式除以9的余数为7.
8.D　对于A,由,得+…++…++…+-1=119,故A错误;
对于B,第2 023行有2 024项,从左往右第1 013个数与第1 014个数分别为,故B错误;
对于C,第n行中的第i个数为ai,则ai=,则2i-1ai=20a1+21a2+22a3+…+2nan+1=22+…+2n=(1+2)n=3n,故C错误;
对于D,第20行中的第8个数与第9个数之比为=8∶13,故D正确.
9.BCD　由于=161 700,故A不是真命题;
由组合数的性质,可得,故B是真命题;
=256-2=254,故C是真命题;
(1+2x)10的展开式中二项式系数最大的项是×(4x)5,故D是真命题.
10.ABD　(2-3x)2 024=[3(1-x)-1]2 024=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a2 024·(1-x)2 024.
令x=1,可得a0=1,故A正确;
令x=0,可得a0+a1+a2+…+a2 023+a2 024=22 024,
∴a1+a2+…+a2 023+a2 024=22 024-1,故B正确;
令x=2,可得a0-a1+a2-…-a2 023+a2 024=42 024,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 023|+|a2 024|=a0-a1+a2-…-a2 023+a2 024=42 024,故C错误;
令x=,可得a0++…+,故D正确.
11.ABD　若任意选择三门课程,则选法总数为,故A中说法错误;
若物理和化学至少选一门,则选法总数为,故B中说法错误;
若物理和历史不能同时选,则选法总数为,即,故C中说法正确;
若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法总数为,故D中说法错误.
12.答案　24
解析　将丙、丁捆绑排列有=2种排法,再把他们作为一个整体与戊排成一排有=2种排法,排完后产生3个空,最后将甲、乙插入其中的2个空并排列有=6种排法.
由分步乘法计数原理得,共有2×2×6=24种不同的排法.
13.答案　-23
解析　(x-3)8的二项式通项为Tr+1=x8-r(-3)r,r=0,1,2,…,8,
则题中展开式内含x9的项为x2·x7(-3)1+x·x8=-23x9,所以x9的系数为-23.
14.答案　14;
解析　当n=3时,范数为奇数,则xi=0的个数为偶数,即0的个数为0或2,则A3=·23+·23-2=14.
在2n维向量b=(x1,x2,…,x2n)中,若范数为奇数,则xi=0的个数为奇数,即0的个数为1,3,5,…,2n-1中的一种,
则A2n=·22n-1+·22n-3+…+·2,
32n=(2+1)2n=·22n+·22n-1+…+·2+,
1=(2-1)2n=·22n-·22n-1+…-·2+,
两式相减得A2n=.
15.解析　(1)根据题意,从5名男生中选出2人,有=10种选法,(2分)
从4名女生中选出2人,有=6种选法,(4分)
则选出的4人中男生和女生各有2人的选法有10×6=60种.(6分)
(2)从9人中任选4人,有=126种选法,(8分)
其中甲、乙都没有入选,即从其他7人中任选4人的选法有=35种,(10分)
所以男生甲与女生乙至少要有1人在内的选法有126-35=91种.(13分)
16.解析　(1)从6名学生中选1名到甲学校任教,有种方法,(1分)
从剩余的5名学生中选2名到乙学校任教,有种方法,(2分)
剩余3名学生都被分配到丙学校任教,有种方法,(3分)
则共有=60种分配方法.(5分)
(2)6名学生按1,1,4分为三个组有=15种方法,(7分)
则共有15=90种分配方法.(9分)
(3)由题可得按学生人数分配有1,2,3;1,1,4;2,2,2三种情况.(10分)
①按1,2,3分配,有=360种分配方法;(11分)
②由(2)可知,按1,1,4分配,有90种分配方法;(12分)
③按2,2,2分配,有=90种分配方法.(13分)
则共有360+90+90=540种分配方法.(15分)
17.解析　(1)若选条件①:
由题知,,
化简,得n2-3n-40=0,解得n=8或n=-5(舍去).(6分)
若选条件②:
由题知,=36,
化简,得n2+n-72=0,解得n=8或n=-9(舍去).(6分)
(2)由(1)可得n=8.
(i)(2x-1)8的二项展开式的中间项为T5=(2x)4(-1)4=1 120x4.(10分)
(ii)(2x-1)8的二项式通项为x8-r,(12分)
所以a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7为负数.
在(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8中,令x=0,得a0=1,
令x=-1,得38=a0-a1+a2-a3+…+a8=1+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|,(14分)
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-1.(15分)
18.解析　(1)每个岗位至少有一人参加,且每人不准兼职,则有一个岗位有两人参加,则不同的分配方案有=240种.(6分)
(2)根据题意,剩下的三人分配到四个岗位,且每人身兼两职,
则每个人参加两个职位的方案有=216种,(10分)
其中有一个岗位无人参加的情况有)=96种,(13分)
有两个岗位无人参加的情况有=6种,(16分)
因为每个岗位至少有一人参加,
所以不同的分配方案有216-96-6=114种.(17分)
19.解析　(1)因为(x2+x+1)1=x2+x+1,所以=1.(3分)
(2)类比二项式系数性质,三项式系数有如下性质:
(1≤m≤2n-1,m∈N+,n∈N+).
因为(1+x+x2)n+1=(1+x+x2)·(1+x+x2)n,
所以(1+x+x2)n+1=(1+x+x2)·(x2+…+x2n),(6分)
上式左边xm+1的系数为,右边xm+1的系数为,
由(1+x+x2)n+1=(1+x+x2)·(1+x+x2)n为恒等式,
得(1≤m≤2n-1,m∈N+,n∈N+).(9分)
(3)(1+x+x2)2 024·(x-1)2 024
=(x2+…+x4 047+x4 048)×(x2 024-x2 023+x2 022-x2 021+…-),(12分)
其中x2 024的系数为+…-·,
易知(1+x+x2)2 024·(x-1)2 024=(x3-1)2 024,(14分)
(x3-1)2 024展开式的二项式通项为Tr+1=(-1)r(x3)2 024-r,r=0,1,2,…,2 024,
因为2 024不是3的倍数,所以(x3-1)2 024的展开式中没有x2 024项,
由代数式恒成立,得+…-=0.(17分)
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