第一章　直线与圆 1.1一次函数的图象、直线的方程 1.2直线的倾斜角、斜率及其关系--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
基础过关练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　直线的倾斜角
1.(2024江西南昌月考)已知直线l1的倾斜角为110°,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角为(　　)
A.10°　　B.20°　　C.70°　　D.200°
2.(易错题)(多选题)设直线l过坐标原点,其倾斜角为α,若将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则l1的倾斜角可能为(　　)
A.α+45°　　B.α-135°　　C.135°-α　　D.α-45°
3.(2024广东东莞第七高级中学月考)已知一束光线射到x轴上并经x轴反射.若入射光线所在直线的倾斜角α1=60°,则反射光线所在直线的倾斜角为　　　　.
题组二　过两点的直线的斜率公式及其应用
4.(2025江西赣州检测)已知点A(1,0),B(n,m),若直线AB的斜率为2,则=(　　)
A.2　　B.-2　　C.　　D.-
5.(2025江西宜春第一中学期中)已知点A(-1,2),B(3,1),直线l过点P(0,-1)且与线段AB有公共点,则l的斜率的取值范围为(　　)
A.[-3,0)∪　　　　B.(-∞,-3)∪
C.　　 　　D.(-∞,-3]∪
6.(教材习题改编)已知a>0,平面内A(0,-a),B(1,a2),C(3,2a3)三点共线,则a=　　　　.
7.若直线l过点(1,2),且不经过第四象限,则l的斜率的取值范围为　　　　.
题组三　直线的斜率与倾斜角
8.(多选题)(2025江西宜春赣西外国语学校月考)在下列四个命题中,正确的有(　　)
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C.若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为45°
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
9.(易错题)(2025山东临沂部分学校期中)过A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,则m的值为(　　)
A.-2　　B.-1　　C.-1或-2　　D.1或2
10.(2024安徽宣城中学月考)设直线l的斜率为k,且-1≤k<,则l的倾斜角α的取值范围为　(　　)
A.∪　　　　B.∪
C.　　　　D.∪
11.(2025广东佛山月考)直线l1的倾斜角是直线l:y=-x+1的倾斜角的,则l1的斜率为　　　　.
题组四　直线的方向向量与斜率的关系
12.已知直线l的一个方向向量为p=,则l的倾斜角为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
13.(多选题)(2025浙江嘉兴段考)已知直线l的倾斜角为,则l的方向向量可能为(　　)
A.(1,-)　　　　B.(,-1)
C.(-2,2)　　　　D.(2,-2)
能力提升练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　直线的倾斜角与斜率
1.(2025江苏徐州阶段检测)已知点A(2,-1),B(3,m),若m∈,则直线AB的倾斜角的取值范围为(　　)
A.　　　　B.∪
C.∪　　　　D.∪
2.(2025湖北黄冈月考)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,2]　　　　B.(0,4)
C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4)
3.(多选题)(2024山东师范大学附属中学月考)已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),则下列说法正确的是(　　)
A.直线AB的斜率为7
B.直线BC的倾斜角为钝角
C.若a=(1,1),则a是直线CA的一个方向向量
D.在△ABC中,AB边上的中线所在直线的斜率为-5
4.(2025广东东莞万江中学月考)若正方形的一条对角线所在直线的斜率为,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　,　　　　.
5.(2025江西上饶蓝天教育集团月考)已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),则直线AB的倾斜角为　　　　,若A,B,C,D可以构成平行四边形且点D位于第一象限,则点D的坐标为　　　　.
题组二　直线斜率的综合应用
6.(2023广东佛山期中)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥共有20根拉索,在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)为3.4 m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|,|BiBi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16 m.如图所示,若以A10B10所在直线为x轴,P1P10所在直线为y轴建立平面直角坐标系,最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=66 m,|OA1|=86 m,则最长拉索所在直线的斜率为(　　)
A.±0.47　　B.±0.45　　C.±0.42　　D.±0.40
7.(2025江西南昌第三中学月考,)过曲线y=log4x上一点A作平行于两坐标轴的直线,分别交曲线y=log2x于点B,C.若直线BC经过原点,则直线BC的斜率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2025湖南岳阳期中,)已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的取值范围是　　　　　　　　.
9.(2025安徽蚌埠五河第一中学检测)一质点在矩形ABCD内运动,从AB的中点O处沿一确定方向发射该质点,依次由线段BC、CD、DA反射,反射点分别为P1,P2,P3(反射角等于入射角),最后落在线段OA上的P4(不包括端点)处.若A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),则直线OP1的斜率的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
基础过关练
1.B　因为l1的倾斜角为110°,l2与l1垂直,所以l2的倾斜角为110°-90°=20°.
2.AB　如图1,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;如图2,当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故l1的倾斜角为α+45°或α-135°.
　
3.答案　120°
解析　如图,已知α1=60°,由反射角等于入射角及倾斜角的概念,得反射光线所在直线的倾斜角α2=120°.
4.C　若直线AB的斜率为2,则=2,所以=.
5.D　由题意得直线PA的斜率kPA==-3,直线PB的斜率kPB==,
若直线l过点P(0,-1)且与线段AB有公共点,则直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB,即k≤-3或k≥,
所以直线l的斜率的取值范围为(-∞,-3]∪.
6.答案　2
解析　因为A,B,C三点共线,且xB≠xC,所以kAB=kAC,即a2+a=,即2a3-3a2-2a=0,结合a>0可解得a=2.
7.答案　[0,2]
解析　如图,当直线l过点(1,2)且平行于x轴时,斜率最小,为0;当直线l过点(1,2)且过原点时,斜率最大,为2.故所求直线l的斜率的取值范围是[0,2].
8.BC　对于A,垂直于x轴的直线斜率不存在,故A错误;
对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0,π),故B正确;
对于C,直线的斜率为1即直线的倾斜角的正切值为1,结合直线的倾斜角的取值范围可得直线的倾斜角为45°,故C正确;对于D,若直线的倾斜角为90°,则直线的斜率不存在,故D错误.
9.A　因为直线l的倾斜角为45°,所以直线l的斜率k=tan 45°=1,
则k==1,整理得m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2,
当m=-1时,m2+2-(3-m-m2)=0,不符合,
当m=-2时,m2+2-(3-m-m2)=5≠0,符合.
综上,m=-2.
10.D　由题意可知α∈[0,π),-1≤tan α<,当-1≤tan α<0时,≤α<π;当0≤tan α<时,0≤α<.
故α的取值范围为∪.
11.答案　
解析　直线l:y=-x+1的斜率为-,其倾斜角为120°,则l1的倾斜角为30°,其斜率为tan 30°=.
12.B　p==,则l的斜率k==,结合直线倾斜角的取值范围知l的倾斜角为.
13.AC　由题意得l的斜率为tan =-.
A中,对应的斜率为=-,故A正确;
B中,对应的斜率为=-,故B错误;
C中,对应的斜率为=-,故C正确;
D中,对应的斜率为=-,故D错误.
能力提升练
1.C　由题意得直线AB的斜率k==m+1,
因为m∈,所以k∈,
设直线AB的倾斜角为α,则tan α∈,
又0≤α<π,所以α∈∪.
2.B　设过点A(2,1),B(m,3)的直线为l.当直线l的倾斜角α∈∪时,l的斜率k∈(-∞,-1)∪(1,+∞),即<-1或>1,解得0综上,实数m的取值范围是(0,4).
3.BCD　对于A,kAB==,故A错误;
对于B,kBC==-<0,所以直线BC的倾斜角为钝角,故B正确;
对于C,kCA==1,所以a=(1,1)是直线CA的一个方向向量,故C正确;
对于D,设AB边的中点为D(x0,y0),则x0==-,y0==,即点D,则kCD==-5,故D正确.
4.答案　2-;-2-(或-2-;2-)
解析　
如图,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为,设直线OB的倾斜角为θ,则tan θ=,由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°,故kOA=tan(θ-45°)===2-,
kOC=tan(θ+45°)===-2-.
5.答案　;(3,5)
解析　由题意可知直线AB的斜率为=1,
因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以直线AB的倾斜角为.
如图,当点D位于第一象限时,kCD=kAB,kBD=kAC,
设D(x,y),则
解得
故点D的坐标为(3,5).
6.C　设单位长度为1 m.根据题意,得|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230(m),|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6(m),则点A10(230,0),点P10(0,96.6),
所以==-0.42,同理得=0.42.
解题关键　题眼为“最长拉索所在直线的斜率”,只需找到最长拉索,求其两端点的坐标,利用过两点的斜率公式,即可得结果.
7.A　设A(x,log4x)(x>0且x≠1),不妨令直线AB平行于y轴,直线AC平行于x轴,则B(x,log2x),C(,log4x),
由直线BC经过原点,得==,所以x=4,
所以B(4,2),C(2,1),故直线BC的斜率k==.
8.答案　(-∞,-1]∪[3,+∞)
解析　如图,的几何意义是经过点P(x,y)与点Q(1,0)的直线的斜率,
因为A(2,3),B(-1,2),所以kAQ==3,kBQ==-1,
因为点P是线段AB上的动点,所以kPQ≥kAQ或kPQ≤kBQ,即∈(-∞,-1]∪[3,+∞).
解题技法　求形如的代数式的取值范围时,通常赋予其几何意义,转化为求经过点(x,y)与点(a,b)的直线的斜率的取值范围.
9.答案　
解析　由题意可设P1(1,b),则直线OP1的斜率为=b.
P4落在点O,点A处为两种临界位置.
当P4落到点O处时,如图1所示,
因为O为AB的中点,且质点从O出发又回到O,所以P1为BC的中点,此时b=,所以直线OP1的斜率为;
当P4落到点A处时,P4与P3重合,如图2所示,
设∠P1OB=θ,则∠P1P2C=∠DP2P3=θ,且tan θ=b,
易得CP1=1-b,CP2==-1,DP2=3-,
所以tan θ===b,解得b=,所以直线OP1的斜率为.
综上所述,直线OP1的斜率的取值范围为.
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