第一章　直线与圆 1.5　两条直线的交点坐标--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
1.5　两条直线的交点坐标
基础过关练
题组一　两条直线的交点坐标及其应用
1.(2025浙江绍兴期中)若直线x+ay+15=0经过两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点,则a=(　　)
A.2　　B.4　　C.6　　D.8
2.(2024安徽部分学校阶段性测试)已知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点,则实数k=(　　)
A.-1　　B.1　　C.-　　D.
3.(2025广东东莞中学第一次段考)若直线l1:x+2y-4=0与直线l2:kx-y+2k+1=0的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
4.(易错题)(2025山东省实验中学期中)若三条直线l1:4x+y=3,l2:x+y=0,l3:x-my=2不能围成三角形,则实数m的取值最多有(　　)
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
5.(2025福建厦门、泉州五校期中)已知△ABC的顶点A(4,3),AB边上的高所在直线的方程为x-y-3=0,D为AC的中点,且BD所在直线的方程为3x+y-7=0.
(1)求AB边所在直线的方程;
(2)求顶点B的坐标.
题组二　过两直线交点的直线方程
6.(教材习题改编)已知直线l1:x-y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过l1和l2的交点且与直线3x+4y=0垂直的直线方程为(　　)
A.3x-4y-1=0　　　　B.3x-4y+1=0
C.4x-3y-1=0　　　　D.4x-3y+1=0
7.(2024安徽马鞍山期中)在平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上的截距为1的直线l的方程为　　　　　　　.(写成一般式)
8.(2025江苏兴化中学学情调研)已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为x+y-1=0,3x-y+4=0,且它的对角线的交点是M(3,3),则这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是　　　　　　　　　　.
9.(2025江苏常州期中)已知直线l1的方程为x+2y-4=0,若直线l2过点,且l1⊥l2.
(1)求l1和l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在x轴上的截距是在y轴上的截距的,求l3的方程.
能力提升练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组　两条直线的交点问题
1.(多选题)(2025江苏常州联盟学校期中)已知三条直线l1:ax+2y+20=0,l2:4x+3y-10=0,l3:2x-y-10=0,则下列结论正确的有(　　)
A.l1过定点(0,-10)
B.l2,l3的交点坐标为(4,2)
C.若l1∥l2,则a=-4
D.若a=-,则l1⊥l2
2.(2024河北沧州运东七县联考)已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C,坐标原点为O,则四边形OACB的面积的最小值为(　　)
A.8+4　　B.16　　C.8　　D.16+8
3.(2025广东东莞五校联考)过点P(3,0)作一条直线l,它夹在两条直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分,则直线l的方程为(　　)
A.8x+y-24=0　　　　B.8x-y-24=0
C.8x+y+24=0　　　　D.x+8y+24=0
4.(多选题)(2025浙江浙南名校联盟期中)已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0将平面分为六个部分,则满足条件的m可以是(　　)
A.-1　　B.-2　　C.　　D.0
5.(创新题)(2025湖北华中师范大学第一附属中学期中)设a为实数,若直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:(a2+a-5)x+3ay-3=0两两相交,且交点恰为直角三角形的三个顶点,则这样的l1,l2,l3有(　　)
A.2组　　B.3组　　C.4组　　D.5组
6.(2025上海期中,)已知P是直线l上一点,直线l绕点P逆时针旋转α角得直线l1:x-y-2=0,若将直线l1绕点P继续逆时针旋转角得直线l2:2x+y-1=0,则直线l的方程为　　　　　　.
7.(2025江西宜春赣西外国语学校月考,)如图,△OAB是一张三角形纸片,∠AOB=90°,OA=1,OB=2,设直线l与边OA,AB分别交于点M,N,将△AOB沿直线l折叠后,点A落在边OB上的点A'处.
(1)若OA'=,求点N到直线OB的距离;
(2)设OA'=m(m>0),求点N到直线OB的距离的最大值.
答案与分层梯度式解析
1.5　两条直线的交点坐标
基础过关练
1.B　联立可得即交点的坐标为(1,-4),则1-4a+15=0,解得a=4.
2.C　由得即两直线的交点坐标为(2,0),将(2,0)代入kx-y+3=0,得2k-0+3=0,解得k=-.
3.A　联立解得
即两直线的交点坐标为,
因为交点位于第一象限,所以解得-4.B　由题意知l1的斜率为-4,l2的斜率为-1,
联立解得所以l1与l2的交点坐标为(1,-1),
若三条直线不能围成三角形,则l3与l1平行或l3与l2平行或l3过l1与l2的交点(1,-1),
l3的斜率为,则=-4或=-1或1+m=2,解得m=-或m=-1或m=1,
所以实数m的取值最多有3个.
5.解析　(1)由题意得,AB边上的高所在直线的斜率为1,所以直线AB的斜率为-1,
又直线AB过点A(4,3),所以直线AB的方程为y-3=-(x-4),即x+y-7=0.
(2)易知顶点B为直线AB与BD的交点,
由解得所以顶点B的坐标为(0,7).
6.D　联立解得所以l1和l2的交点坐标为(2,3),
直线3x+4y=0的斜率为-,故所求直线的斜率为,故所求直线的方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0.
7.答案　9x+5y-5=0
解析　解法一:由得即直线l1与l2的交点坐标为,又直线l过点(0,1),所以直线l的方程为=,即9x+5y-5=0.
解法二:由题设,可令直线l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,因为直线l过点(0,1),
所以0-3+1+λ(0+4-3)=0,解得λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0.
8.答案　x+y-11=0,3x-y-16=0
解析　由解得则平行四边形的一个顶点A的坐标为,
点A关于点M的对称点C的坐标为,则平行四边形的另两边所在的直线均过点C,
它们分别与直线x+y-1=0,3x-y+4=0平行,
设对应方程分别为x+y-m=0,3x-y+n=0,m≠1,n≠4,
则+-m=0,3×-+n=0,解得m=11,n=-16,
所以这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是x+y-11=0,3x-y-16=0.
9.解析　(1)由题意得,l1的斜率为-,因为l1⊥l2,所以l2的斜率为2,
又l2过点,所以l2的方程为y=2,即2x-y-3=0.
由得所以l1和l2的交点坐标为(2,1).
(2)因为l3与两坐标轴都相交,所以其斜率一定存在且不为0.
设l3:y-1=k(x-2),令y=0,得x=2-,令x=0,得y=1-2k,
则2-=(1-2k),解得k=或k=-2,所以l3的方程为x-2y=0或2x+y-5=0.
能力提升练
1.AD　A选项,l1:ax+2y+20=0,令解得即l1过定点(0,-10),A正确;
B选项,联立解得即l2,l3的交点坐标为(4,-2),B错误;
C选项,若l1∥l2,则3a-4×2=0,解得a=,经检验a=成立,C错误;
D选项,当a=-时,l1:-x+2y+20=0,因为-×4+2×3=0,所以l1⊥l2,D正确.
2.A　因为直线l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都过点(4,2),所以C(4,2).连接OC,
在x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,在2x+ay=2a+8中,令y=0,得x=4+a,所以B(4+a,0),
所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=×4+(4+a)×2=8+≥8+2=8+4,当且仅当a=,即a=2时等号成立.所以当a=2时,四边形OACB的面积取得最小值,为8+4.
3.B　若l的斜率不存在,则l:x=3,不符合题意,
所以l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),
l与l1的方程联立,得解得
故l与l1的交点A的坐标为,
l与l2的方程联立,得解得
故l与l2的交点B的坐标为,
因为l夹在l1和l2之间的线段恰被点P平分,所以P为线段AB的中点,
则+=6,且+=0,解得k=8,
所以l的方程为8x-y-24=0.
4.ABD　因为三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0将平面分为六个部分,
所以三条直线交于一点或两条直线平行且与第三条直线相交,
当三条直线交于一点时,由解得将(2,2)代入方程x+my=0,得2+2m=0,解得m=-1.
当两条直线平行且与第三条直线相交时,可得l1∥l3或l2∥l3,当l1∥l3时,m=-2;当l2∥l3时,m=0.
综上可知,m=-1或m=-2或m=0.
5.B　l1,l2,l3的方向向量分别为m1=(1,-a),m2=(1,-1),m3=(3a,-a2-a+5).
若l1⊥l2,则m1·m2=(1,-a)·(1,-1)=1+a=0,解得a=-1,
此时l1:-x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:-5x-3y-3=0,它们交于一点(0,-1),不符合题意.
若l1⊥l3,则m1·m3=(1,-a)·(3a,-a2-a+5)=a(a2+a-2)=0,解得a=-2或a=0或a=1,
当a=-2时,l1:-2x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:x+2y+1=0,满足题意;
当a=0时,l1:y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:-5x-3=0,满足题意;
当a=1时,l1:x+y+1=0,l2:x+y+1=0,不符合题意.
若l2⊥l3,则m2·m3=(1,-1)·(3a,-a2-a+5)=a2+4a-5=0,解得a=-5或a=1(舍去),
当a=-5时,l1:-5x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:5x-5y-1=0,满足题意.
综上,a=-5,a=-2,a=0时满足要求,故有3组.
6.答案　x+3y+2=0
解析　设直线l的倾斜角为β,
则直线l1的倾斜角为α+β,直线l2的倾斜角为α+β+-α=β+,由直线l2:2x+y-1=0的斜率为-2,可得tan=-2,
即==-2,解得tan β=-,
因此直线l的斜率为-,
联立解得即P(1,-1),
所以直线l的方程为y+1=-(x-1),即x+3y+2=0.
7.解析　(1)连接AA',以O为原点,直线OA,OB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(1,0),B(0,2),A',可求得直线AB的方程为+=1,即2x+y-2=0,
直线AA'的斜率k==-,直线l垂直平分线段AA',则l过AA'的中点,且斜率为2,
因此直线l的方程为y-=2,即y=2x-,
联立消去y得x=,即点N的横坐标为,
所以点N到直线OB的距离为.
(2)由(1)得A'(0,m)(0直线AA'的斜率k'==-m,直线l垂直平分线段AA',则l过AA'的中点,且斜率为,
因此直线l的方程为y-=,即y=x+-,
联立消去y得x=,即点N的横坐标为,
因此点N到直线OB的距离d=,0当0易得1<2m+1≤3,所以2m+1+≥2=2,当且仅当2m+1=,即m=时取等号,所以dmax=-×2=,
所以当m=时,点N到直线OB的距离取得最大值,为.
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