第一章　直线与圆 2.1　圆的标准方程--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§2　圆与圆的方程
2.1　圆的标准方程
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　对圆的标准方程的理解
1.(2024湖南常德部分学校联考)若直线l:y=ax-b经过第二、三、四象限,则圆C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心C位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
2.方程x=表示的图形是(　　)
A.两个半圆　　　　B.两个圆
C.圆　　　 　D.半圆
3.(2025广东实验中学附属江门学校期中)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0平行,则l的方程为(　　)
A.x+y-2=0　　　　B.x-y+2=0
C.x+y-3=0　　　　D.x-y+3=0
题组二　点与圆的位置关系
4.(教材习题改编)点P(0,3)与圆(x+a)2+(y-2)2=2a(0A.点P在圆外
B.点P在圆上
C.点P在圆内
D.与a的取值有关,无法确定
5.(2025安徽部分学校期中联考)已知P(x1,y1),Q(x2,y2),定义dPQ=为P,Q两点的“镜像距离”.若点P(1,m)和点Q(n,-1)在圆x2+y2=4上,则P,Q两点的“镜像距离”是(　　)
A.2或1+　　　　B.2或2
C.2或4　　　　D.1+或4
6.(2025陕西榆林期中)已知两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4的内部,则实数k的取值范围是　　　　.
题组三　圆的标准方程的求解及应用
7.(教材习题改编)已知点A(-3,1),B(1,-3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=8　　　　
B.(x+1)2+(y+1)2=8
C.(x-1)2+(y-1)2=32　　　　
D.(x+1)2+(y+1)2=32
8.(2025江西新余第一中学段考)经过原点和点(3,-1),且圆心在直线3x+y-5=0上的圆的方程为(　　)
A.(x-5)2+(y+10)2=125
B.(x+1)2+(y-2)2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=5
D.+y2=
9.(2025江西八校协作体联考)在平面直角坐标系xOy中,以点E(-1,1)为圆心,且与直线mx+y-3m+1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程是(　　)
A.(x+1)2+(y-1)2=22
B.(x+1)2+(y-1)2=24
C.(x+1)2+(y-1)2=18
D.(x+1)2+(y-1)2=20
10.(2025江苏盐城七校联考)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=3,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的标准方程为　　　　.
11.(2025安徽芜湖第一中学期中)若直线y=2x+a和直线y=-x+b将圆(x-1)2+(y-1)2=1的周长四等分,则a+b=　　　　.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　圆的标准方程的求解及应用
1.(2025广东深圳中学期中)“a2+b2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024河南平顶山舞钢月考,)已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为　(　　)
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
3.(多选题)(2025江西新余第十六中学月考)已知圆C:(x-2)2+y2=1,点P(m,n)为圆C上的动点,则下列结论正确的是(　　)
A.的最大值为　　　　B.m2+n2的最小值为3
C.m2+n2的最大值为9　　　　D.无最小值
4.(多选题)(2024广东东莞七校联考,)设直线l:x+y-4=0被半径为3的圆C截得的弦AB的中点为P(3,1),且弦长|AB|=2,则圆C的标准方程为(　　)
A.x2+(y-3)2=9　　
B.(x-4)2+(y-3)2=9
C.(x-2)2+y2=9　　
D.(x-4)2+(y-2)2=9
5.(2024安徽淮南月考)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离的比值为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P与A、B的距离的比值为,当P、A、B三点不共线时,△PAB面积的最大值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
6.(2025江西南昌进贤一中月考,)已知O为坐标原点,过点A(1,0)作直线l:ax+by-a+2b=0(a,b不全为0)的垂线,垂足为M,当a,b变化时,|OM|的最小值为(　　)
A.-1　　B.+1　　C.1　　D.3
7.(2024江西部分学校期中联考,)已知圆C上的任意一点到两个定点A(2,0),B(-2,0)的距离的比值为,则圆C的方程是　　　　　　;在直线l:3x+4y+m=0上存在点P满足:过P作圆C的切线,切点分别为M,N,且四边形PMCN的面积为4,则实数m的取值范围是　　　　.
8.(2024江苏淮安期中,)在△ABC中,A(-4,1),B(8,5),△ABC的内心为D(6,1).
(1)求△ABC内切圆的方程;
(2)求△ABC外接圆的方程.
答案与分层梯度式解析
§2　圆与圆的方程
2.1　圆的标准方程
基础过关练
1.B　因为直线l经过第二、三、四象限,所以a<0,-b<0,即a<0,b>0,故圆心C(a,b)位于第二象限.
2.D　根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1(x≥0),其表示半圆.
3.C　圆x2+(y-3)2=4的圆心为(0,3),设直线l的方程为x+y+C=0(C≠1),将(0,3)代入,得0+3+C=0,解得C=-3,故l的方程为x+y-3=0.
4.A　圆(x+a)2+(y-2)2=2a(0点P(0,3)与圆心(-a,2)的距离为,
因为00,故>,所以点P在圆外.
5.C　由题意得m=±,n=±,有四种情形:
P(1,),Q(,-1),dPQ==2;
P(1,),Q(-,-1),dPQ==4;
P(1,-),Q(,-1),dPQ==4;
P(1,-),Q(-,-1),dPQ==2.
综上所述,P,Q两点的“镜像距离”是2或4.
6.答案　
解析　由解得
则两直线的交点坐标为(k-1,3k-1),
依题意得(k-1)2+(3k-1)2<4,解得-故实数k的取值范围是.
7.B　解法一:由题意得圆心为,即(-1,-1),半径r==2,
所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=8.
解法二:∵A(-3,1),B(1,-3),
∴以AB为直径的圆的方程为(x+3)(x-1)+(y-1)(y+3)=0,化简整理得圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=8.
二级结论　本题解法二用到结论:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
8.D　依题意可设所求圆的圆心为C(a,5-3a),
∵圆C经过原点和点(3,-1),
∴=,解得a=,
∴圆心C,半径为,
故所求圆的方程为+y2=.
9.D　直线方程可变形为m(x-3)+y+1=0,故直线过定点P(3,-1),
则以点E(-1,1)为圆心且与直线mx+y-3m+1=0(m∈R)相切的所有圆中,
圆心到定点的距离为半径的最大值,为=2,
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=20.
10.答案　(x-2)2+(y+2)2=3
解析　圆C1的圆心C1(-1,1),半径r1=,设C2(a,b),
∵圆C1与圆C2关于直线x-y-1=0对称,
∴解得
故圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=3.
解题技法　破解圆关于直线对称的圆的方程的关键
求圆P1:(x-x1)2+(y-y1)2=r2关于直线l:Ax+By+C=0对称的圆P2的方程的思路:
一,求圆心P1(x1,y1)关于直线l对称的点P2(x2,y2),由(其中B≠0,x1≠x2)得P2的坐标;
二,圆关于直线对称的圆,半径不变;
三,得所求对称圆的标准方程.
11.答案　
解析　圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(1,1),
且直线y=2x+a与直线y=-x+b互相垂直,
∵两直线将圆的周长四等分,∴圆心(1,1)在两条直线上,即解得∴a+b=.
能力提升练
1.A　由a2+b2圆(x-a)2+(y-b)2=R2的圆心坐标为(a,b),半径为|R|,要使圆与坐标轴有四个交点,则|a|<|R|,|b|<|R|,则a2+b2<2R2,必要性不成立.故为充分不必要条件.
2.C　解法一:设C(x,y),则|CA|2+|CB|2=|AB|2,
∴(x+3)2+y2+(x-7)2+y2=100,∴(x-2)2+y2=25.
∵A,B,C三点构成三角形,∴y≠0.
∴直角顶点C的轨迹方程是(x-2)2+y2=25(y≠0).
解法二:依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.易知线段AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).
易错警示　若A,B,C三点能构成三角形,则三点不共线,在设点的坐标以及求出方程后要注意排除不满足题目要求的取值.
3.AC　圆C的圆心为C(2,0),半径r=1,
设k=,则km-n=0,因为点P在圆上,所以该直线与圆C有公共点,所以≤1,
解得-≤k≤,故的取值范围为,故A正确,D错误;
m2+n2的几何意义为P点与原点之间的距离的平方,
又P点与原点的距离的取值范围为[2-1,2+1],即[1,3],
所以m2+n2的取值范围为[1,9],故B错误,C正确.
4.CD　由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=9.
圆心C(a,b)到直线l的距离d===①,
∵直线l:x+y-4=0被圆C截得的弦AB的中点为P(3,1),∴kPC·kl=-1,即×(-1)=-1②,
由①②可得a=4,b=2或a=2,b=0,∴所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-2)2=9或(x-2)2+y2=9.
5.D　以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),
∵=,∴=,
两边平方,并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8(y≠0),∴动点P的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆(除去点(3±2,0)),
∴△PAB面积的最大值是×2×2=2.
6.A　直线l的方程可化为a(x-1)+b(y+2)=0,
由解得即直线l恒过点B(1,-2),
设M(x,y),则=(x-1,y),=(x-1,y+2),
当M与A,B都不重合时,MA⊥MB,则·=0,
当M与A,B之一重合时,有·=0,
因此对任意的点M,恒有·=(x-1)2+y(y+2)=0,整理得(x-1)2+(y+1)2=1,即点M的轨迹是以C(1,-1)为圆心,1为半径的圆,
又|OC|==,所以|OM|min=|OC|-1=-1.
7.答案　(x+4)2+y2=12;[-8,32]
解析　设(x,y)是圆C上的任意一点,则=,化简得圆C的方程为(x+4)2+y2=12.圆心C的坐标为(-4,0),半径为2,由题意知PM⊥CM,PN⊥CN,所以|PM|=|PN|=,则S四边形PMCN=2×|PM|×|CM|=×2=4,所以|PC|=4.因为点P在直线l:3x+4y+m=0上,所以|PC|不小于点C到直线l的距离,即4≥,解得-8≤m≤32,
故实数m的取值范围是[-8,32].
8.解析　(1)由A(-4,1),B(8,5)可得直线AB的方程为y-1=(x+4),即x-3y+7=0,
所以D(6,1)到直线x-3y+7=0的距离d==,
因此△ABC内切圆的半径为,圆心为D(6,1),
所以△ABC内切圆的方程为(x-6)2+(y-1)2=10.
(2)设直线AB与内切圆相切于点M,内切圆半径为r,连接AD,BD,DM,如图,
因为|AB|==4,
|AM|===3,
所以|BM|=|AB|-|AM|==r,
所以∠ABD=45°,
因为BD平分∠ABC,所以∠ABC=2∠ABD=90°,因此AB⊥BC,
所以△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形.
由kAB==,得kBC=-=-3,
所以直线BC的方程为y=-3(x-8)+5,
又AD∥x轴,所以直线AB,AC关于直线AD对称,因此kAC=-kAB=-,
因此直线AC的方程为y=-(x+4)+1,
联立直线AC,BC的方程,得解得故C(11,-4),
因此AC的中点坐标为,即外接圆圆心为,又外接圆的半径为|AC|=×=,
故△ABC外接圆的方程为+=.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)